Några historiska ekvationer av Seo Nurmi, 01 Inledning Jag sammanfattar här lösningarna till algebraiska andra-, tredje- och fjärdegrads ekvationer. Det här är ganska tidig matematisk historia, för de ursrungliga lösningarna är senast från 1500-talet. Några ännu mycket tidigare. Man får dock ha i åtanke att det fanns sällan några rigorösa rov å äldre tider. De tidigaste resultaten motiveras ofta med geometrisk resonemang. Kravet för formaliserade algebraiska rov ustår långt senare. Lösningarna kom genomgående från Italien, från handelsstäder som hade fasta förbindelser med Öst. De vetenskaliga idéerna kom österifrån, Euroa befann sig långt bak å den tiden. I och med renessanssen följer sedan den euroeiska vetenskaens gryning. De sätt lösningarna ges här har närmast bara historisk betydelse, med undantag kanske av andragardsekvationen. Numera navänds oftast numeriska metoder för att ta fram lösningar till ekvationer i högre grad. I undantagsfall kan en formell lösning behövas i matematisk analys. Då kan man ofta finna en seciell lösningmetod som bättre assar just den situationen. Det är bara till de fyra första graderna som kan ges en lösning i öen form (i formen x =...), och det är de som är föremålen i denna artikel. Ekvationerna har också historiskt betingade benämningar efter motsvarande olynomer. Första gradens (linjära) x a 0 kallas "monotisk, och högre grads olynomer i tur och ordning "kvadratisk", "kubisk", "kvartisk", och "kvintisk". Den monotiska lösningen är trivial, medan till den kvintiska, och högre därefter, såsom ovan antyddes, finns ingen generell lösning i öen form. Jag utgår här från de grunidéer som som fanns å den tiden lösningarna för tredje- och fjärdeggrads ekvationer blev allmänt kända. Jag är medveten om att det finns modernare metoder. Jag har utfört alla härledningarna själv (och är ensam ansvarig för eventuella fel). Jag har försökt göra det å ett enkelt och överkådligt sätt, och också utan sådan formalism som moderna matematiska rov skulle kräva. Syftet är att demonstrera lösningens idé sanare än strikt bevisa en matematisk tes. Andragradsekvationen Vi ska först lösa den generella andragradsekvationen. Vem som först löste den är inte känt. Lösningar till någon form av andragardsekvationer har förekommit sedan babylonisk tid. En allmän form för den är ax bx c 0 (1) Vi kan dividera med a för att skriva den i normalformen x x 0 där b c och () () a a Om vi inte hade här förstgradstermen skulle vi kunna lösa ekvationen omedelbart. Vi försöker därför göra en substitution som kunde föra ekvationen till en sådan form. Alltså substituera 1/8
x t z () Vi får nu (skuggade formler är fördtydligande mellanformer som man kan hoa över) ( t z) ( t z) 0 t t z z t z ( ) 0 z t z t t 0 (5) Vi sätter nu t 0 vilket ger oss: t Ekvationen blir nu (6) z 0 z 0 z 0 z (7) Vi kan nu lösa z z ± (8) och således också x genom att använda () och (6) x t z ± (9) Lösningen till ekvationen (1) får vi genom att här sätta in () och () b x ± a b a c a b ± b ac (10) a Tredjegradsekvationen Vi skriver tredjegradsekvationen direkt i normalformen x a x a 1 x a 0 0 (11) /8
Från lösningen till andragradsekvationen kan vi låna idén att försöka få bort en av termerna, den näst högsta, andragradstermen. Substitution x t z (1) i formel (11) ger ( t z) a ( t z) a 1 ( t z) a 0 0 t t z tz z a t tz z tz t z t a z z a 1 ( t z) a 0 0 ta z t a a 1 z ta 1 a 0 0 z tz a z t z ta z a 1 z t t a ta 1 a 0 0 z t a z t ta a 1 z t t a ta 1 a 0 0 (1) Vad vi vill åstadkomma är alltså att andragradstermen elimineras: t a 0 a t (1) Substituera detta i (1): a a z a a 1 z a a a 1 a 0 0 z a a a 1 z a a 1 a a a 0 0 7 9 a a a z a z a a 1 a 1 z z a a a 1 a a 0 0 7 7 a a 1 a a 0 7 0 (15) Den första som veterligen löste en tredjegrads ekvation var Sciione dal Ferro (å 1500-talet). Tidigare betraktades de i rinci olösliga. Vi skriver om ekvationen (15) ovan i dal Ferros form (av historiska skäl lägger vi å högre sida, dvs. negativ jämfört med normal- formen; negativa talen, ufunna i Indien, var redan kända i Euroa, men undveks ännu oftast): z z (16) där a a 1 (17) och a 7 a 1 a a 0 (18) /8
Metoden att lösa tredjegrads ekvationen generellt ufanns av Nicolo från Brescia, också känt med öknamnet Tartaglia ('stammaren'). Han delade kunskaen vidare till Giorolamo Cardan från Milano, som ublicerade lösningen (155). Lösningen här följer fritt dessa idéer. Notera först att ( u v) u u v uv v ( u v) uvu ( v) u v (19) om nu uv och u v (0) (1) då är u v en lösning till ekvationen (16). Men nu fås från (0) v u () så (1) ger u 7 u () Vilket kan skrivas, genom att multilicera () med u och flytta allting till samma sida: u 6 u 0 (1) Detta är, märk väl, en andragrads ekvation av u, som vi redan kan lösa. Vi behöver bara ta den ena av lösningarna (den andra blir v som synes): från (1) u () v u () Och slutgiltigen u () v (5) Nu blir alltså en lösning till (16): z 1 u v (6) /8
Redan Cardan utäckte att lösningarna ibland kunde få en märklig form. Ta t.ex ekvationen z 15 z Man kan lätt se att z är en lösning. (På den tiden skrev man inte gärna ut negativa utryck, utan man satte dem å den sidan av ekvationen där de blev ositiva; i själva verket hände det ofta att ekvationerna delades i olika tyer efter detta, och för varje ty utarbetades sin egen lösningsformel. Vi använder här en något modernare metod). Formlerna ovan ger oss för 15 och : u 15 15 11 11 1 v 15 15 11 11 1 Trots kvadratroten av ett negativt tal, som å den tiden ansågs att vara ett ogiltigt uttryck, kunde man utan vidare räkna resultatet efter algebrans regler: u 11 1 1 för att 1 v 11 1 1 för att 1 1 vilket ger z u v 1 11 1 11 1 Cardan fann detta märkligt, och kunde inte förklara hur det kunde komma sig. För oss är det ganska begriligt, för efter Cardans tid, till en del tack vare Cardans utäckt, ufanns de imaginära talen, vars enhet nu brukar anges som: i 1. Anmärkingsvärt nog så ufanns inte de imaginära talen från adragradsekvationen (tvärtom än vad man kanske ofta tror). Man brukade bara förkasta kvadratrötter av negativa tal som "ogiltiga" lösningar. När det gällde tredjegradsekvationen blev det dock nödvändigt att accetera kavdratrötter från negativa tal, eftersom de nu kunde reresentera delar till "giltiga" lösningar. Vi vet numera från modern komlex analys att det är generellt tre lösningar, och att en del av dem kan vara komlexvärda. Minst en är dock alltid reell för en ekvation med reella koefficienter. Två ytterligare lösningar kan bildas med u och v : u v z u v i (7) u v z u v i (8) Att dessa är lösningar kan enkelt ses med en substitution i (16), och sedan tilläma formlerna (0) och (1). Man brukar också skriva diskriminanten, utrycket under kvadratroten: D (9) 5/8
Från (1) får vi nu lösningarna till (11), sammanfattningsvis x 1 u v t u v x u v i t (0) u v x u v i t där vi betecknar u D v D D a a 1 a 7 a 1 a a 0 a t Fjärdegradsekvation I normalformen kan fjärdegradsekvationen skrivas x a x a x a 1 x a 0 0 (1) Åter igen sätter vi x z t () ( z t) a ( z t) a ( z t) a 1 ( z t) a 0 0 z tz 6 t z t z t a z tz t z t... a 1 z t... a z tzt ( ) a 0 0 z t a z 6 t a t a z t a t a t a 1 z...... t a t a t a 1 t a 0 0 () För att få bort tredjegradstermen sätter vi a t () Ekvationen reduceras nu till formen z z z r 0 (5) 6/8
där vi har 6 t a t a a a 8 (6) t a t 11 a t a 1 a a a a 1 (7) 6 r t a t a t a a a a 1 a a 1 t a 0 a 0 (8) 16 56 En av de tidigaste i Euroa som diskuterade algebraiska lösningar till fjärdegradsekvation var Luca Pacioli runt år 1500. Det verkar dock ha resenterats lösningar redan långt tidgare. I öst ger till exemel Al-Khwarizimi (800-talet) geometeriska bevis för lösningsmetoder, och Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (Savasorda) ubliserar år 115 sin bok "Liber embadorum", som bla. innehåller en fullkomlig usättning av lösningar till fjärdegrads ekvationer. Fjärdegradsekvationen verkar man alltså ha löst innan tredjegradsekvationen, även om man å den tiden motiverade lösningarna geometriskt. Algebraiska bevis var ännu bristfälliga, eller så gavs inga. Det kan vara intressant att se hur man skrev matematisk text å 1000-talet. Till exemel 6..R.10 betyder 6 10, och 18.m.R.90 skriver vi numera 18 90. Skrivsättet som användes då skulle assat vår tids datoriserad symbolisk behandling mycket bättre än vår nuvarande matematiska skrivsätt. Cardans elev Lodovico Ferrari gav en elegant algebraisk härledning, baserad å tredjegrads ekvationen, som alltså å hans tid redan var löst. Följande metod följer Ferraris tankegångar. Vi kan nu alltså begränsa oss att lösa ekvationer av ty: z z z r (9) Vilket kan skrivas så att vi kvadrat-komletterar vänstersidan till binomiaform z z z z z r (0) Här kommer ett smart drag: för ett valt värde y kan vi skriva ekvationen så, att den fortvarande är kvadratisk till vänster z z z y y y z z r z y y y (1) z y y z z r y y () Men nu kan vi välja y så att också högra sidan kan skrivas som kvadrat. Detta krav ufylls om andragrads ekvationen som vi får från högra sidan har två identiska rötter, dvs om dess diskriminant är noll. Det var den ursrungliga tankegången, fast det låter kanske lite krågligt. Vi gör det något mer överskådligt genom att betrakta binomialkvadraten, som är lätt atta "gissa" från högra sidan av (): yz r y y () Denna blir lika med högersidan av (), om vi har ufyllt r y y y (5) 7/8
vilket ger kvadrerat r y y y 0 () Det blir i själva verket samma villkor som från den avsedda diskriminanten. Vad vi vinner med att göra å det här sättet är att vi också direkt ser hur kvadraten å högersidan ser ut (). Här är () nu en ekvation som ger oss y. Vi kan skriva om den r16 y 0 y 8 y 8 ry0 r 8 ry16 y 0 y 8 y 0 r 8 r y 0 y 8 y 0 y 5 y r r y 0 (5) 8 Det är en tredjegradsekvation av y, vilken vi redan vet hur man löser. För varje lösning y kan vi nu skriva, genom att ta roten av båda sidorna å (), med högersidan ersatt med () z y yz r y y (6) Och vi får z yz r y y y (7) Därmed kan vi sammanfatta lösningen till (1) x yz r y y y t (8) a a 8 11 a a a a 1 6 r a a 16 a 56 a 1 a a 0 a t där y är en lösning till y 5 y r r y 0 8 - o - 8/8