TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN april 07 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Fredrik Bergholm, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma 4 poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift (4p) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) ln(5 ) b) (p) Bestäm inversen till funktionen f ( ) 5 + ln( + ) + c) (p) Beräkna gränsvärdet lim + cos d) (p) Beräkna gränsvärdet lim 0 ln( ) Uppgift (4p) Låt f ( ) a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf Uppgift (4p) i) Beräkna följande integraler + a) ln d b) d Uppgift 4 (p) Bestäm volymen av kroppen som uppstår då området som definieras av 0 π, 0 y sin roterar kring y-aeln Var god vänd
Uppgift 5 ( p) a) Bestäm Maclaurinpolynomet (Taylorpolynomet kring punkten a 0) av ordning för funktionen y + b) Beräkna approimativt med hjälp av polynomet i a-delen och uppskata felet ( n+ ) f ( c) n+ med hjälp av formeln för restterm: R ( a), där c är ett tal mellan a ( n + )! och Uppgift 6 (p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y y ( + ) som uppfyller y ( ) Uppgift 7 (p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + y + Uppgift 8 (p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + y + y 5 Uppgift 9 (p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L henry, resistansen R 0 ohm, kapacitansen C 000 farad och spänningen U 00 volt Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Lycka till
FACIT Uppgift (4p) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) ln(5 ) b) (p) Bestäm inversen till funktionen f ( ) 5 + ln( + ) + c) (p) Beräkna gränsvärdet lim + cos d) (p) Beräkna gränsvärdet lim 0 a) 5 > 0 (5 ) > 0 Härav (med hjälp av en teckentabell) får vi (0,5) y 5 y 5 y 5 b) y 5+ ln( + ) ln( + ) + e + e, y 5 därmed f ( y) + e (eller f ( ) + e ) + + / c) lim lim + + / cos 0 sin 0 cos d) lim (,L' Hospital) lim (,L' Hospital) lim 0 0 0 0 0 5 Svar: a) (0,5), b) f ( ) + e, c) Rättningsmall: Rätt eller fel p för varje del 5 d) ln( ) Uppgift (4p) Låt f ( ) a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf Funktionen är definierad om > 0 a) Stationära punkter: ln( ) ( ln ) f ( ) f ( ) 4 ln( ) f ( ) 0 0 ln( ) 0 ln( ) e e Eftersom f ( e) 0 < 0 är e en mapunkt 4 e y ln( e) f ( e) e e ma
Asymptoter Notera att funktionen är definierad om > 0 ln( ) b) Eftersom lim f ( ) lim 0+ 0+ har funktionen en vertikal asymptot 0 ln( ) Eftersom lim f ( ) lim (,L' Hospital) lim 0 ) har funktionen en höger horisontell asymptot ln( ) c) Funktionens graf: (Notera att f ( ) 0 om ) Rättningsmall: ap: p för stationära punkten mapunkt bp, cp Uppgift (4p) i) Beräkna följande integraler + a) ln d b) d e och p för att visa att punkten är en a) ln d (part integration: Part integration: ln d ln + C 4 u ln, u' /, v / b) + ( ) + d d + d ( ) (formelad) + ln + C + ln + C + + Svar: a) ln + C b) + ln + C 4 +
Rättningsmall: a) p för korrekt beräkning till ( + ) d b) p för korrekt val i partiell in: u ln, Ingen avdrag för utebliven konstant i svaret Uppgift 4 (p) Bestäm volymen av kroppen som uppstår då området som definieras av 0 π, 0 y sin roterar kring y-aeln b Vy π f ( ) d a π Vy π sin d Först beräknar vi 0 sin d cos + cos d cos + sin Part integration: u, sin u', v cos och därefter substituerar gränser: u, sin u', v cos Svar: Vy π Rättningsmall: a) p för korrekt till Uppgift 5 ( p) π π cos + sin π [ π 0] π 0 [ ] u, u', sin v cos a) Bestäm Maclaurinpolynomet (Taylorpolynomet kring punkten a 0) av ordning för funktionen y + b) Beräkna approimativt med hjälp av polynomet i a-delen och uppskata felet ( n+ ) f ( c) n+ med hjälp av formeln för restterm: R ( a), där c är ett tal mellan a ( n + )! och a) f ( ) +, ( ) / f ( + ), ( ) ( + ) 4 / f, f ( ) ( + ) 8 5 /
f ( 0), f ( 0), f ( 0), 4 ( c 8 5 / f ( c) + ) Maclaurinpolynomet : f (0) f (0) P( ) f (0) + +!! f (0) f (0) P ( )!! f (0) + + 8 + b) För att beräkna substituerar vi 0 i funktionen y +, som vi approimerar med polynomet P ( ) + 8 0 + P (0) + 0 0 095 8 För felet gäller : R ( n+ ) ( c) n+ f ( a) ( n + )!, där a0 och c är ett tal mellan a och alltså R f ( c)!, c är ett tal mellan 0 och 5 / ( c + ) f ( c) R 8! ()! 0 0 < 5 / 6 ( c + ) 0 00005 6 Svar a) P ( ) 8 + b) 095 där R < 0 0005 Rättningsmall: a) p för varje del Uppgift 6 (p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y y ( + ) som uppfyller y ( ) Vi separerar variabler dy ( + ) d och integrerar y dy ( + ) y d, y + + C
5 Från y ( ), har vi + + C C y 5 Därmed + eller y + 5 Rättningsmall: p för den allmänna lösningen, p om allt är korrekt Uppgift 7 (p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + y + Först P( ), Q ( ) + För att bestämma integrerande faktor F beräknar vi P( ) d Lägg märke till att en konstant C redan finns i formel () så att vi behöver endast en primitiv funktion P ( ) d d ln Vi betraktar > 0 (På liknande sätt gör man om man väljer < 0, men vi behöver endast en integrerande faktor och väljer den enklaste variant ) ln F e P( ) d e ln Den integrerande faktorn substituerar vi i formel () y( ) F ( C + F Q( ) d) och får y ( ) ( C + ( + ) d) y ( ) ( C + ( + ) d) y ( ) ( C + + ) C y + +
C Svar: y + + Rättningsmall: p för den integrerande faktor F, p om allt är korrekt Uppgift 8 (p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + y + y 5 Homogena delen: Den karakteristiska ekvationen r + r + 0 har lösningar r ± i Därmed Yh Ce sin + De cos En partikulär lösning får vi med hjälp av ansatsen y p A som ger 0 + 0 + A 5 A 5/ dvs y p 5/ Därmed y Y + y Ce sin + De cos + 5/ h p Svar: y Ce sin + De cos + 5/ Rättningsmall: p för homogena delen Y korrekt h Ce sin + De cos, p om allt är Uppgift 9 (p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L henry, resistansen R 0 ohm, kapacitansen C 000 farad och spänningen U 00 volt Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i(
q( Från kretsen får vi ekvationen L i ( + Ri( + U ( som vi deriverar och får C (notera att q ( i( ) i( L i ( + Ri ( + U ( och därmed (använd U ( 0 för U konstan C i ( + 0i ( + 000i( 0 Den karakteristiska ekv r + 0r + 000 0 ger r 0, r 00 och därmed i( c e 0t + c e 00t 0t 00t Svar: i( c e + c e (ampere) Rättningsmall: p om man kommer till ekv i ( + 0i ( + 000i( 0 p om allt är korrekt