Komplex Analys Datorlaboration 1 av Sven Spanne Reviderad ht 2005 av Anders Holst
Inledning Syftet med datorövningen Övningens ändamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem kan användas för att att lösa problem med summation samt med komplex räkning och differentialkalkyl. En del av innehållet kan ses som en repetition av kurserna i analys i en och flera variabler. Maple är ett kraftfullt men därför också komplicerat program. Därför innehåller övningen ganska mycket förberedelser, innan du börjar lösa riktiga problem. Programmet för övningen innehåller många moment, och det kan vara svårt att hinna med allt. Gör du inte det, så försök att slutföra övningen på egen hand vid annat tillfälle. Övningarna går också att utföra på andra system där det finns en någorlunda modern version av Maple tillgängligt. Det är viktigt att du tar dig tid att begrunda vad du ser. För att du skall få en viss kontroll av om du uppfattat rätt finns på några ställen tomma rader där du förväntas skriva ned dina resultat eller svar. Under laborationens gång kommer handledaren i mån av tid att kontrollera dina svar. Datoralgebrasystem Ett modernt datoralgebrasystem har som huvudfunktion att genomföra symboliska beräkningar (i motsats till numeriska). Det kan utföra algebraiska manipulationer och förenklingar, lösa ekvationssystem, integrera och derivera symboliskt och lösa differentialekvationer. Dessutom kan de flesta sådana system också utföra numeriska beräkningar och har kraftfulla grafiska funktioner, även om numeriska uppgifter av stor omfattning bör överlämnas till på numerik specialinriktade system som Matlab eller till specialskrivna program. Maple är ett av de ledande datoralgebrasystemen. Några av de starkaste konkurrenterna är Mathematica, Macsyma och Reduce. LTH har en generell licens för Maple, och systemet bör därför finnas tillgängligt på alla institutioner och på skolans elevdatorer. Det kan köras på de flesta vanliga operativsystem. Förberedelser Läs igenom detta häfte, så att du får en uppfattning om vad som kommer att hända under övningen. Tag med läroboken (Konkret Analys, nedan citerad med KoA) samt övningshäftet. Vi skall pröva Maple på en del exempel som du redan löst för hand. Introduktion till Maple I denna övning skall vi närmast använda Maple som en oerhört kraftfull räknedosa för symboliska beräkningar. Beskrivningen nedan av hur man kan använda Maple är inte 1
hela sanningen. Mer information om Maple kan man finna i det inbyggda hjälpsystemet samt i en större antal skrifter och böcker. På institutionen har utgivits en trevlig introduktion (mest avsedd för envariabelanalys), Maplehandboken av Carl-Gustav Werner, Matematikcentrum 2002. Den finns att köpa på studerandeexpeditionen för Matematik NF, rum MH456. Det finns också större böcker, t ex A. Heck Introduction to Maple, Springer 2003. Kommandon och aritmetiska beräkningar 1.1 Maple startas på olika sätt beroende på vilket operativsystem du använder. På Windowsdatorerna i MH144 startar du, såvida det inte finns en Mapleikon på skrivbordet, via startmeny; välj inte alternativet online command. På unixdatorerna i MH233 och MH258B klickar du på skrivbordet med vänster musknapp. Då kommer ett fönster (Root Menu) upp. Peka på Math och klick sedan på Maple 8. Du går ur Maple genom att välja Exit i File-menyn. Fungerar inte ovanstående kan du skriva maple -x på en kommandorad. I Maplefönstret hittar du en prompt >. Den betyder att Maple väntar på ett kommando. Skriv in 7+5; efter prompten och tryck på Enter. Observera att varje kommando till Maple måste avslutas med ett semikolon ;, innan dess händer ingenting. Detta gör att man kan slå in långa formler som inte får plats på en rad. Den som är van vid Pascal eller Simula känner på många punkter igen sig i Maple. Maple kan också räkna med rationella tal (allmänna bråk). 1.2 Låt Maple räkna ut 1/7 + 1/5. Beräkna också 2 20 som i Maple skrivs 2^20 och 2 20 som skrivs 2^(-20). Se också efter vad 10! (i Maple 10!) blir. Faktorisera detta tal med kommandot ifactor(10!);. Här kan man utnyttja att Maple tar fram det senast beräknade resultatet om man skriver % och i det här fallet går det alltså att i stället skriva ifactor(%);. För att visa vad Maple (eller snarare dagens datorer) orkar med utan ansträngning så beräkna även 1000!. Hjälp 1.3 Maple har ett omfattande inbyggt hjälpsystem. Om man klickar på Help i menyraden, så får man tillgång bl a till en Help browser.denna fungerar på lite olika sätt, beroende på vilken Mapleversion man kör, men fungerar på ett ganska naturligt sätt. Försök att hitta hjälpen för kommandot plot. Man kan också få hjälp direkt från prompten > genom att ange ett sökord föregånget av ett frågetecken. Försök t ex att skriva?plot (här behövs ej ;). I slutet på varje hjälptext finns hänvisningar till andra kommandon som kan vara av nytta. Om Du är van vid någon tidigare version av Maple så titta på What s New i hjälpmenyn. 2
Variabler Maple kan inte bara räkna med tal utan också med variabler och med funktioner. Detta gör att ett Maplesystem blir större och ofta mer invecklat att programmera än ett vanligt programmeringspråk, men också oerhört mycket mera kraftfullt. 1.4 Ge kommandot (x+1)^3;. Maple svarar med samma sak. Som svar på expand(%); så utvecklar Maple uttrycket (enligt binomialteoremet). Försök även med expand((x+1)^3+(x-1)^3); Resultat: expand((a-b)*(a+b)); Resultat: Maple gör vissa typer av förenklingar automatiskt, medan andra måste beställas med kommandot simplify. Det är ofta besvärligt att få Maple att skriva om ett uttryck på den form man önskar. Försök t ex med kommandona simplify, expand och collect. Även normal kan vara av nytta, och i vissa fall factor. Tilldelningssatser 1.5 Man kan tilldela en variabel ett värde, numeriskt eller symboliskt. Tilldelningssymbolen är liksom i Pascal och Simula :=. Försök med x:=2;. Kommandot x; ger nu värdet av variabeln x. Ge också kommandot (x+1)^2;. En variabel som fått ett värde behåller detta tills man går ur Maple eller ger den ett annat värde. För att helt ta bort värdet kan man använda kommandot x:= x. Det är lätt att glömma bort att man gett en variabel ett värde tidigare, vilket kan leda till obegripliga resultat av räkningar. (Genom kommandot restart; kan man återställa Maple till starttillståndet. Detta är dock ofta en lite väl drastisk åtgärd.) 1.6 Variabler kan förutom numeriska värden även ha Mapleuttryck som värden. Genom att ge tilldelningskommandot f:=(x+1)^3; så sätter vi f lika med (x + 1) 3. (Blir svaret 27 så tag bort det tidigare värdet från x och försök igen.) Nu ger expand(f); ett utvecklat polynom, och vi kan få en annan form på f med f:=expand(f);. Försök även med f^2 och expand(f^2);. Känner ni igen det senaste uttrycket? Derivation och integration Maple kan derivera och även bestämma primitiva funktioner, oftast bättre än de flesta matematiker. 1.7 Med diff(f,x); deriverar vi uttrycket f = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 ovan, och med int(f,x); finner vi en primitiv funktion (integrationskonstanten får vi själva lägga till). 3
Allmänt får man intervallet a x b i Maple genom a..b. Detta har vissa likheter med Matlabs a:b, men fungerar både för diskreta och kontinuerliga variabler. En integral med gränser får vi genom att ange integrationsvariabelns gränser med.. emellan, till exempel fås 3 2 (x 3 + 3x 2 + 3x + 1) dx genom int(f,x=-2..3);. Gränserna får gärna innehålla variabler, försök t ex med int(f,x=-y..(z+1));. 1.8 Repetera nu de enkla primitiva funktionerna från envariabelanalysen genom att integrera cos x (med kommandot int(cos(x),x);), sin y, e t 1 (skrivet exp(t)), cos 2 t, 1 1 + x och 2 1 1 z 2 sqrt. med avseende på respektive variabel. Kvadratrotfunktionen kan t ex fås med Om det inte finns någon elementär primitiv funktion, så svarar i regel Maple genom att ge tillbaka det man stoppat in, stiligt formaterat. Försök med int(1/sqrt(1+x+x^5),x); så får du tillbaka 1 dx. 1 + x + x 5 För en del funktioner som t ex int(exp(-(x^2)),x);, som är en viktig funktion t ex i sannolikhetskalkylen och teorin för diffusion, har Maple speciella namn. Även då Maple inte kan beräkna en integral exakt så kan det bestämma ett närmevärde med önskad noggrannhet. För att exempelvis beräkna integralen 0 1 1 + x + x 5 dx skriver man evalf(int(1/sqrt(1+x+x^5),x=0..infinity)); Värde:. Notera den stora bokstaven i Int. Om den bytes mot en liten försöker Maple först beräkna integralen exakt. Summation Maple har också fått lära sig att beräkna en mängd summor. Syntaxen för summation n är naturlig, a k fås genom Maplekommandot sum(a(k),k=m..n). k=m 1.9 Beräkna potenssummorna n k och k=0 med hjälp av kommandona sum(k,k=0..n), sum(k^2,k=0..n). Förenkla med simplify (eller factor) och jämför med läroboken. Svar: n k=0 k 2 4
1.10 Lös uppgift 1.19 i övningshäftet med Maple. Glöm inte att förenkla. Maple är också ganska bra på teleskopsummor. 1.11 Försök att lösa uppgifterna 1.15,16,17 med Maple. Dubbelsummor är inte heller omöjliga. Dubbelsumman i uppgift 1.23, i Maple med kommandot sum(sum(j,k=j..n),j=1..n). 1.12 Lös uppgift 1.24 med Maple. Snygga till svaret med simplify(%). n n j, fås j=1 k=j Enkel kurvritning 1.13 Med kommandot plot ritar man tvådimensionella figurer med Maple, t ex funktionskurvor. Ge kommandot plot((x+1)^3,x=-4..3); Antingen dyker det upp ett nytt fönster med en funktionsgraf eller också ritas grafen i det fönster Du arbetar i. Du kan ställa om beteendet genom att via arkivmenyn (File) gå till Preferences:Plotting och välja mellan Inline och Window. Vi kan också återanvända gamla uttryck. Vad ger plot(f,x=-3..3);? Rita även upp några exponentialkurvor, logaritmkurvor och trigonometriska kurvor. Funktioner i Maple Funktioner Maple kan hantera inte bara uttryck som ovan utan även funktioner. Dessa kan definieras på flera olika sätt. Det för våra ändamål enklaste påminner om beteckningen x f(x), vilken ju används i matematiken som synonym till y = f(x). 1.14 Ge kommandot f:= x-> exp(x)-sin(x); Beräkna först f(0), f(1) och f(2) genom att ge kommandona f(0);,f(1); och f(2);. Försök sedan med f(a); och f(y+z);. 1.15 Lägg här märke till en viktig skillnad. Om vi ger ett värde till f genom tilldelningen f:=exp(x)-sin(x); så är värdet av f ett uttryck med variabeln x inbyggt. Gör detta och beräkna diff(f,x); respektive diff(f,y);. Om vi i stället ger f ett värde genom f:=x->exp(x)-sin(x); så är värdet en funktion. Försök nu med diff(f(x),x); och diff(f(y),y); samt diff(f,x);. Se även vad diff(f,y) nu ger för resultat. 5
Funktioner är mycket mer flexibla, men ibland något mer svårhanterliga än enkla uttryck. Det finns lyckligtvis ett enkelt sätt att göra om ett uttryck till en funktion, nämligen genom att använda unapply. 1.16 Antag till exempel att vi vill ha en funktion som beräknar potenssumman S 4 n = n k=1 k4. Det kan vi få genom potsum4 := sum(k^4,k=1..n); potsum4 := simplify(potsum4); potsum4 := unapply(potsum4,n); (Blir det protester, så beror det förmodligen på att variabeln k fått ett värde vid någon tidigare operation. Ge i så fall kommandot k:= k ; för att ta bort detta värde.) Det går nu att skriva potsum4(7), men vi kan även sätta in symboliska variabler, potsum4(j) eller potsum4(n+m). Lägg märke till att potsum4 byter typ från uttryck till funktion utan några som helst protester. Maple klarar också funktioner av flera variabler. 1.17 Definiera funktionen f(x, y) = x 2 y 3 + xy i Maple på följande sätt: f := (x,y) -> x^2-y^3+x*y; Vad ger f(0,0) och f(3, 2)? Svar:. 1.18 Beräkna Partiella derivator är inte heller svårt. f x och f y för funktionen ovan genom kommandona diff(f(x,y),x) resp diff(f(x,y),y). Komplexa svängningar. Logaritmer och sinus av komplexa tal Vi skall nu se på den komplexa svängingar f(t) = e st från olika synvinklar. 1.19 Definiera funktionen genom f := t -> exp(s*t); s := sigma + I*omega; evalc(f(t)); assume(sigma, real); assume(omega, real);assume(t,real); Re(f(t)); Im(f(t)); 6
Här är I den imaginära enheten, dvs I^2=-1. Funktionen evalc (evaluate complex) försöker dela upp sitt argument i real- och imaginärdel, varvid den antar att alla variabler som inte har ett värde är reella. Det framgår hur man tar fram realdel och imaginärdel. Andra operationer kan inte veta om t ex σ, ω och t är reella eller ej, men man kan tala om det med assume. (Notera ovan att ingen beräkning av realdelen Re(f(t)) ägde rum innan assume.) Variabler om vilka man gjort en förutsättning med assume visas av Maple upp med ett tilde, ~. Om man glömt vilka antaganden som man gjort angående en viss variabel kan man använda about, t ex about(sigma). Vi skall nu rita figurer liknande dem på sidan 53 i läroboken. För att kunna rita måste vi ge σ och ω numeriska värden. Med kommandot plot kan man rita såväl parameterkurvor som funktionskurvor. 1.20 Slå in kommandona sigma := -0.3; omega := 5; plot([re(f(t)),im(f(t)),t=0..10],scaling=constrained); plot([t,re(f(t)),t=0..10],scaling=constrained); plot([t,im(f(t)),t=0..10],scaling=constrained); (scaling=constrained medför att Maple använder samma skala på horisontell och vertikal axel. Utelämnar man det kan kurvan bli felskalad. Man kan också ändra detta i menyn i bildfönstret under Projection.) För att kunna rita tredimensionella figurer måste man ladda in en grafikmodul i Maple. Detta görs med kommandot with(plots); i vilket plots är modulens namn. 1.21 Rita en rymdkurva med kommandona with(plots); spacecurve([t,re(f(t)),im(f(t)),t=0..10],scaling=constrained); Det blir lättare att tolka kurvan om man ritar in ett koordinatsystem. Detta gör man lämpligen genom att välja t ex boxed under högerknappsmenyn Axes. Lägg märke till att man kan vrida de tredimensionella figurerna i bildfönstret; håll vänsterknappen nedtryckt i bildfönstret och flytta musen. Bilden ritas om då man trycker på mittknappen. Vill du ha en mindre kantig kurva så lägg till numpoints=100, innan scaling. Vi ska nu studera real- och imaginärdelen samt absolutbeloppet av sinusfunktionen. Notera att beloppet av sinusfunktionen, sin z, för komplexa z inte längre är uppåt begränsat av 1. Är det begränsat av någon annan konstant? 1.22 Knappa in kommandona assume(x,real,y,real); z:=x+i*y; plot3d(re(sin(z)),x=0..13,y=0..2,orientation=[-112,68],axes=normal); plot3d(im(sin(z)),x=0..13,y=0..2,orientation=[-112,68],axes=normal); 7
plot3d(abs(sin(z)),x=0..13,y=0..2,orientation=[-112,68],axes=normal, grid=[30,30]); Peka gärna på bilderna med musen. Håll vänster musknapp nedtryckt och rör på musen. Med höger musknapp nedtryckt kommer du åt flera inställningar. Vi ska nu studera logaritmfunktionen och försöka se vilken gren som Maple använder. 1.23 Skriv följande kommandon assume(r,real,t,real); x:=r*cos(t);y:=r*sin(t); z:=x+i*y; plot3d([x,y,re(log(z))],r=0..1,t=-pi..pi,axes=normal); plot3d([x,y,im(log(z))],r=0..1,t=-pi+0.001..pi-0.001,axes=normal, orientation=[-52,55],shading=zhue); plot3d([x,y,argument(z)],r=0..1,t=-pi+0.001..pi-0.001,axes=normal, orientation=[-52,55],shading=zhue); Vilken gren använder Maple? Svar:. Komplexa funktioner Vi skall nu låta Maple kontrollera om ett antal funktioner är analytiska. Metoden är att använda Cauchy-Riemanns differentialekvationer. 1.24 Sätt f(z) = z 3 2z och beräkna u = Re f och v = Im f. x:= x ; y:= y ; assume(x,real,y,real); f := z->z^3-2*z; evalc(f(x+i*y)); # Läs av real- och imaginärdel u := unapply(re(f(x+i*y)),x,y); v := unapply(im(f(x+i*y)),x,y); Kontrollera om f är analytisk genom diff(u(x,y),x)-diff(v(x,y),y); diff(v(x,y),x)+diff(u(x,y),y); Åtminstone efter simplify(%) så blir resultatet 0. Vi kan nu upprepa proceduren med ett antal funktioner av z. 1.25 Kontrollera om f(z) = sin(z), f(z) = 1/(z 2 2z + 3), f(z) = z (med conjugate) och f(z) = z 3 är analytiska. Se efter vilka u och v blir. (Återanvänd kommandoraderna från föregående uppgift.) Svar: Funktionerna är analytiska. 8
Två slumpvis valda funktioner u(x, y) och v(x, y) ger praktiskt taget aldrig en analytisk funktion u + iv. 1.26 Välj några funktionspar u(x, y), v(x, y) och låt Maple testa om de uppfyller Cauchy- Riemanns ekvationer. Enligt teorin är en funktion u(x, y) (definierad på ett öppen, enkelt sammanhängande område i planet) realdel (eller imaginärdel) till en analytisk funktion precis då den är en harmonisk funktion. I så fall kan man genom att lösa Cauchy-Riemanns ekvationer för v bestämma motsvarande analytiska funktion. (Funktionen v är entydigt bestämd så när som på en (reell) konstant.) 1.27 Låt u(x, y) = 3x 2 y y 3. Kontrollera med Maple att u xx + u yy = 0. Bestäm sedan v genom att lösa { vx = u y v y = u x genom att integrera den första ekvationen med avseende på x och sätta in i den andra. Vid denna integration skall man få en integrationskonstant (här kallad h(y)) som beror på y. Detta klarar Maple inte av, utan man måste själv lägga till den. Till slut får vi en differentialekvation för h(y), som vi kan låta Maple lösa. Kommandona blir (kommentarerna behöver så klart ej skrivas in) u:=(x,y) -> 3*x^2*y-y^3; # definiera u v:=int(-diff(u(x,y),y),x); # lös v_x = -u_y v:=v+h(y); # lägg till integrationskonstanten v:=unapply(v,x,y); # gör v till funktion diffekv:=diff(v(x,y),y)-diff(u(x,y),x)=0; # sätt in i v_y-u_x=0 solution:=dsolve(diffekv,h(y)); # bestäm h solution; # Vad är användbart i solution h:=unapply(rhs(solution),y); # sätt h lika med lösningen. # rhs står för Right Hand Side v(x,y); # kolla 1.28 Sätt sedan f = u + iv och bestäm f som funktion av z med knepet i boken. Man skulle gärna vilja automatisera detta. 9