Kontinuerliga system vt 2015 Datorövning 2 Inledning Syftet med denna datorövning är att du med hjälp av Maple skall få ökad förståelse av vissa begrepp presenterade i kapitel H. Exempelvis behandlas skalärprodukt, norm, projektionssatsen, ortogonalpolynom och singulära Sturm-Liouvilleoperatorer. Övningen är avsedd att hinnas med under en timme men hinner du inte med alla uppgifterna under den handledda övningen, så genomför de återstående momenten på egen hand, antingen på LTH:s datorer eller på egen Förberedelser - Tag med lärobok och övningshäfte till övningen. - Läs igenom denna handledning. - Fyll före övningenen i svaren på frågorna på sidan 5 i denna handledning. Skalärprodukter, normer och projektioner Starta Maple. Vi kommer att beräkna många skalärprodukter och det är därför lämpligt att definiera skalärprodukten som en funktion av två variabler f och g. Låt oss kalla denna skal. Skriv skal := (f,g) -> int(f*g*w,x=x0..x1); Innan denna används måste man specificera viktsfunktionen w och integrationsgränserna x 0 och x 1. 2.1. Börja med en återblick på förberedelsefråga 1 sidan 5. Gör en cosinusutvecklingen av en funktion f (x) på intervallet [0, L], det vill säga välj {φ k (x)} 0 = {cos kπx/l} 0 och bestäm koefficienterna med kommandot skal. Starta med att sätta w:=1; x0:=0; x1:=l; Tala därefter om att k och j är heltal genom att skriva assume(k,integer, j, integer);. Kontrollera ortogonaliteten genom att skriva skal(cos(k*pi*x/l),cos(j*pi*x/l)); Pröva också fallet med j = k och speciellt j = k = 0. Definiera koefficienterna c k i cosinusutvecklingen som c := k->skal(cos(k*pi*x/l),f(x))/skal(cos(k*pi*x/l),cos(k*x*pi/l)); 1
Skriv c(k); för att få en integralformel för c k. Vad fick du? Vad blev c(0);? (När det finns villkor på k markerar Maple det med ett efter variabeln, se?assume.) Hur överensstämmer detta med formlerna för koefficienterna i cosinusutvecklingen på sidan 62 i boken? Händer något speciellt för k = 0? I så fall vad och varför? Testa svaret i övning 3.2 a genom att välja f (x) = x och L = 1. Skriv f := x -> x; för att definiera funktionen. 2.2. Vi skall nu lösa uppgift H.22 i övningshäftet med hjälp av Maple. Studera förberedelseuppgift 2 på sidan 5. Ge viktfunktionen w det värde som är relevant i denna uppgift. Tilldela även x 0 och x 1 rätt värden. Definiera sen L0 := 1; L1 := 1-x; L2 := x*x-4*x+2; f := exp(-alpha*x); Plotta de tre polynomen i samma figur. Kontrollera med hjälp av skal att de är ortogonala i L 2 (w, [x 0, x 1 ]). Prova att beräkna till exempel skal(l0,f);. Maple vill inte beräkna integralen (varför?). Man måste ställa krav på α för att integralen skall vara konvergent. Skriv därför assume(alpha>-1/2); Kan du beräkna skal(l0,f); nu? Beräkna koefficienterna c 0, c 1, c 2, till exempel c0 := skal(l0,f)/skal(l0,l0); Jämför med facit till övning H.22. Beräkna sedan p = c 0 L 0 + c 1 L 1 + c 2 L 2 genom att skriva p := c0*l0+c1*l1+c2*l2; Plotta funktionen och approximationen för några olika värden på α, till exempel plot(subs(alpha=1,[f,p]),x=0..10, color=[red,blue], thickness=2); I vilken mening är p en bra approximation av e α x? Ortogonalpolynom I Maple finns flera typer av ortogonalpolynom i ett särskilt package. För att få tillgång till dem, skriv with(orthopoly); 2
2.3. Kontrollera med hjälpfunktionen att de ortogonalpolynom som finns nämnda i läroboken sidorna 271 273 också finns i Maple. För att få ett explicit uttryck för till exempel Legendrepolynomet P 4 skriver man P(4,x); och för att få Laguerrepolynymet L 2 skriver man L(2,x);. Jämför Maples Laguerrepolynom med dem som finns i övning H.22 och i uppgift 2 i denna övning. Finns någon skillnad? Beräkna några skalärprodukter med skal, till exempel skal(l(2,x),l(3,x));.(har du rätt värden på w, x0 och x1?) Kommentar: Plotta några ortogonalpolynom, tex plot([p(3,x),p(4,x),p(5,x)], x=-1..1); Detta kan också skrivas plot([p(n,x)$n=3..5], x=-1..1); Kan man med hjälp av figurerna avgöra om det är rimligt att polynomen är ortogonala? Detta är lättare att bedöma om man tittar på produkterna P 4 P 5 och P 3 P 5, i intervallet [ 1, 1]. Undersök ortogonaliteten med hjälp av skal. (Tänk på att först ange rätt viktsfunktion och integrationsgränser.) 2.4. Utveckla funktionen f = sin(10x) med avseende på Legendrepolynom över intervallet 1 x 1. Sätt f := sin(10*x); Här är det praktiskt att definiera koefficienterna i ortogonalutvecklingen som en funktion av k, c := k -> skal(p(k,x),f) / skal(p(k,x),p(k,x)); Sedan kan delsumman q n av ortogonalutvecklingen skrivas q := n -> sum(c(k)*p(k,x), k=0..n); Plotta sedan f och delsummor q n i samma diagram med till exempel plot([f,q(5)], x=-1..1); för några olika värden på n, till exempel n = 5, 7, 11, 13. Varför föreslås bara udda n? 1 Titta också på storleken av koefficienterna för några värden på n, till exempel evalf(c(10)); evalf(c(11)); evalf(c(20)); evalf(c(21));. Upprepa med sin(10x) utbytt mot stegfunktionen f:=heaviside(x);. Tag n = 5, 11, 25. Varför föreslås bara udda n? Observera att liksom för Fourierserier uppkommer här ett Gibbsfenomen. Titta på storleken av koefficienterna med evalf. Kan man göra några iakttagelser om koefficienternas storlek i de båda fallen? 1 Legendrepolynomen P(n,x) är udda om n är udda och jämna om n är jämnt. Se Exempel H.14 eller Rodrigues formel sidan 273 i läroboken eller sidan 5 i formelsamlingen! 3
Singulära Sturm-Liouvilleoperatorer Vi vet från sidan 293 att en operator A på Hilbertrummet H kallas symmetrisk om (u Av) = (Au v) för alla u, v H. För Sturm-Liouvilleoperatorn A, som ges av Au = 1 ( d ( du) ) p(x) + q(x)u w(x) dx dx nederst på sidan 302, visas i sats H.15 sidan 304 att A är symmetrisk. Skalärprodukten är i det fallet den vi normalt förknippar med L 2 (w, I), dvs (u v) = u(x)v(x)w(x) dx I 2.5. (I mån av tid.) Betrakta nu den singulära Sturm-Liouvilleoperatorn A i övning H.50. Definiera den i Maple via A := u -> -sqrt(1-xˆ2)*diff(sqrt(1-xˆ2)*diff(u(x),x),x); Visa med hjälp av Maple att operatorn är symmetrisk på ( ) 1 L 2, ( 1, 1). 1 x 2 För att förenkla situationen förutsätter vi att ingående funktioner är reellvärda. Anpassa din skalärprodukt till rådande situation. Skriv x0:=-1; x1:= 1; w:=1/sqrt(1-xˆ2); I övning H.50 använde du partiell integration. Med kommandot with(student) har kommandot intparts blivit tillgängligt i Maple. Kontrollera med?intparts hur kommandot fungerar. Räkna nu på (Au v). Skriv intparts(skal(a(u),v(x)),v(x)); åtföljt av simplify(%). Gör motsvarande räkning för (u Av). Slutsats? Ger räkningarna någon information, som kan användas för att visa att operatorn är positivt semidefinit? 4
Förberedelser 1. Antag att ortogonalutveckligen f = c k φ k k=1 gäller. Beskriv (se sidan 276) Fourierkoefficienterna c k med hjälp av skalärprodukt c k = Hur ser skalärprodukten i L 2 ([0, L]) ut? Se sidan 258! 2. Från övningshäftet hämtar vi övning H.22. Laguerrepolynomen L n (x) är ortogonala i L 2 (w, I), där I = [0, ) och w(x) = e x. De tre första är L 0 (x) = 1, L 1 (x) = 1 x, L 2 (x) = x 2 4x + 2. Bestäm med hjälp härav det polynom p = p α av andra graden som minimerar integralen 0 (e α x p(x)) 2 e x dx, där konstanten α > 1/2. Du behöver inte lösa problemet för hand. Besvara bara följande frågor. 1. Skriv upp en i övning H.22 användbar skalärprodukt. (f g) = 2. Skriv med projektionsformeln (se sidan 262) upp en formel för p, p = 5