TENTAMEN 7-Okt-4, HF6 och HF8 Moment: TEN (Linjär algebra, 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF8, Linjär algebra och anals HF6 Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 8-, Plats: Campus Flemingsberg Lärare: Niclas Hjelm, Erik Melander och Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betgsgränser: Mapoäng 4 För betg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, respektive 9 poäng. Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betg F. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endast på en sida av papperet. Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tdligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på omslaget. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgift. (4p (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift. a (p Lös ekvationen 4 b (p Beräkna omkretsen av triangeln ABC där A(,,, B(,,, C(,,. Uppgift (p Låt A vara skärningspunkten mellan linjen (,, ( t, t, t och planet. Beräkna avståndet mellan punkten A och punkten B(,,. Uppgift. (p Låt F (,, och a (,, Bestäm två vinkelräta (ortogonala vektorer u och v så att F u v och att u blir parallell med a ( se figuren nedan. Var god vänd.
Uppgift 4 (4p Två rmdskepp med namn Rmdfarare och Rmdfarare åker samtidigt från Jorden, vilken anses har koordinaterna (,,. Efter t månader har Rmdfarare positionen (t, 4t, 4t och Rmdfarare har positionen (5t, t, 4t. a (p Vilket av rmdskeppen är längst från Jorden efter t månader? b (p Efter en månad monterar man i Rmdfarare en svag laser som skall peka mot Rmdfarare. I vilken riktning skall lasern peka? c (p Hur stor blir arean av den triangel som har Jorden och rmdskeppen i sina hörn efter t månader? Uppgift 5 (4p ( i( i i a (p Skriv om talet e π på formen abi. i b (p Rita ut i det komplea talplanet de tal som uppfller dels att Re( > samt att och att π/4<arg(<7π/4. c (p Ekvationen 8, har en lösning i. Bestäm alla lösningar. Uppgift 6. (4p a (p Lös matrisekvationen A X BX C (med avseende på X där A, B, C. b (p Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen M. 4 Uppgift 7. (p Ekvationen i i beskriver en rät linje i det komplea talplanet. Sätt i och skriv ekvationen på formen k m. Uppgift 8. (p Låt, och vara heltal. Visa att determinanten 5 5 75 är delbart med (. Lcka till!
FACIT: Uppgift. (4p (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift. a (p Lös ekvationen 4 b (p Beräkna omkretsen av triangeln ABC där A(,,, B(,,, C(,,. a Definitionen av absolutbelopp ger: ( < 4 4 ( 4 < Den givna ekvationen 4 övergår alltså i tre ekvationer att lösa i olika intervall, vilka visas i figuren nedan - ( ( 4 4 7 7 Ligger i intervallet,d v s tillåten lösning ( 4 4 5 5 Detta värde på tillhör inte det aktuella intervallet och måste förkastas 4 Ligger i intervallet,d v s tillåten lösning Svar a : Ekvationen har lösningarna 7,. b O AB BC CA O (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, ( ( ( 5 Svar b Omkretsen är 5
Rättningsmall: a Korrekt metod och en lösningp. Allt korrektp. b Korrekt en sidas längd p. Allt korrektp. Uppgift (p Låt A vara skärningspunkten mellan linjen (,, ( t, t, t och planet. Beräkna avståndet mellan punkten A och punkten B(,,.. Skärningspunkten mellan linjen och planet ges av t t t Härav t t t 5t 5 t Skärningspunkten A fås alltså då t sätts in i linjens ekvation: A ( (, (, ( (,, Avståndet mellan A och B fås med hjälp av avståndsformeln: d ( A, B AB (,, (,, (,, ( Svar: Avståndet mellan punkterna A och B är Rättningsmall: Korrekt t ger p. Allt korrekt p. Uppgift. (p Låt F (,, och a (,, Bestäm två vinkelräta (ortogonala vektorer u och v så att F u v och att u blir parallell med a ( se figuren nedan.
u fås som projektionen av F på a : F u Därefter kan v beräknas: (,, (,, ( u (,, (,, (,, (,, (,,,, F u v v F u v (,,,,,, Svar: u,,, v,, Rättningsmall: Korrekt u ger p, korrekt v ger p. Uppgift 4 (4p Två rmdskepp med namn Rmdfarare och Rmdfarare åker samtidigt från Jorden, vilken anses har koordinaterna (,,. Efter t månader har Rmdfarare positionen (t, 4t, 4t och Rmdfarare har positionen (5t, t, 4t. a (p Vilket av rmdskeppen är längst från Jorden efter t månader? b (p Efter en månad monterar man i Rmdfarare en svag laser som skall peka mot Rmdfarare. I vilken riktning skall lasern peka? c (p Hur stor blir arean av den triangel som har Jorden och rmdskeppen i sina hörn efter t månader? a Avståndet dd från Jorden till Rmdfarare är dd (tt (4tt (4tt 4tt och avståndet dd från Jorden till Rmdfarare är dd (5tt (tt (4tt 4tt Vi kan se att oavsett värde på t så har vi att dd < dd Svar: Rmdfarare Rättningsmall: Allt rätt: p b Rmdfarare :s position när t är RR (,4,4och Rmdfarare :s position är då RR (5,,4. Sökt riktning blir nu RR RR (5,,4 (,4,4 (,,
Svar: I riktningen (,,. Rättningsmall: Allt rätt: p c Låt uu och tt vv vara tt vektorerna från Jorden till Rmdfarare respektive Rmdfarare. Sökt area AA tt blir nu Svar: 497tt AA tt uu tt vv tt ee ee ee tt 4tt 4tt (tt, 8tt, 7tt 497tt 5tt tt 4tt Rättningsmall: Rätt vektorer och rätt formel: p samt rätt uträkning: p Uppgift 5 (4p ( i( i i a (p Skriv om talet e π på formen abi. i b (p Rita ut i det komplea talplanet de tal som uppfller dels att Re( > samt att och att π/4<arg(<7π/4. c (p Ekvationen 8, har en lösning i. Bestäm alla lösningar. a Vi har att ee ππππ cos(ππ iiiiiiii(ππ och ( ii( ii ii ii ii ( ii ii ii ii ( ii( ii 4ii (ii 5 så vi får att ( ii( ii ee ππππ ( 4ii( 4ii ii Svar: 4i Rättningsmall: Rätt omskrivning p b Vi har en kombination av tre områden: ger området på eller mellan cirklarna med radie och centrerade kring origo. π/4 <arg(<7π/4 ger området med alla komplea tal med vinkel större än ππ men mindre än 4 7ππ. 4 Re(> ger området med alla komplea tal där realdelen är större än, vilket är området till höger om den lodräta linjen i bilden nedan.
Det som söks är den del som ligger i alla tre områdena, vilket är de rödmarkerade områdena i bilden: c I och med att i är ett komplet nollställe till ett reellt polnom är även konjugatet i det. Vi har då att -i och i är faktorer till polnomet och vi får att det finns ett polnom q( sådant att 8 ( ii( iiqq( ( 4qq(. Vi har alltså att qq( 8. Polnomdivision ger 4 ( ( ( ( 8 8 /( 4 Alltså är qq(. Detta ger att den tredje roten till polnomet är Svar: i, i och /. Rättningsmall: Rätt metod och en av rötterna -i eller -/ ger p. Allt korrektp. Uppgift 6. (4p a (p Lös matrisekvationen A X BX C (med avseende på X där A, B, C. b (p Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen M. 4
Från C X B A C BX X A (. Beteckna B A D. Eftersom det( D är D inverterbar. D. Från C D X C DX Svar a X Rättningsmall: Korrekt till inversen D ger p. Allt korret p b Först löser vi ekvationen det( I M dvs (4 ( eller 5 4 (4 ( som ger två egenvärden, och. 5 För varje löser vi vektorekvationen ( v I M dvs. (4 (. i ger 4 som vi skriver som sstem 4 (oändligt många lösningar t, t ( där t är ett godtckligt reellt tal och därmed t v, t (notera att nollvektorn ej räknas som en egenvektor. ii 5 ger 4 som vi skriver som sstem 4 (oändligt många lösningar
t, t och därmed / v t, t. Svar b : med motsvarande egenvektorer v t, t R, t / och 5 med motsvarande egenvektorer v t, t R, t Rättningsmall: Korrekta två egenvärden p. Korrekt ett egenvärde och tillhörande egenvektorer p. Allt korrektp. Uppgift 7. (p Ekvationen i i beskriver en rät linje i det komplea talplanet. Sätt i och skriv ekvationen på formen k m. Vi substituerar i i ekvationen och får i i i i ( ( i ( ( ( ( efter kvadrering ( ( ( 4 4 (förenkla. Svar c Rättningsmall: Korrekt till ( ( gerp. Allt korrektp. ( Uppgift 8. (p Låt, och vara heltal. Visa att determinanten 5 5 75 är delbart med (. Vi använder räkneregler för determinanter och får
75 5 5 (brta ut 5 ur första raden 5 ( lägg till rad summan av rad och rad ( ( ( 5 (brta ut ( ur sista raden ( 5, som visar påståendet. Rättningsmall: Brta ut 5 ur första raden ger p. Allt korrektp.