Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 Lektion 1 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet 4 april 2013 Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 1 / 17
Kursinformation m.m. Examinator: Lennart Karlberg. Lärare: Staffan Lundberg. Telefon: 0920-49 18 69. Rum: E882. E-post: lund@ltu.se Kurshemsida: http://staff.www.ltu.se/ lund/ Kursen är indelad i tre block: Komplexa tal, Differentialekvationer, Vektoralgebra. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 2 / 17
Mål/Förväntat studieresultat Efter avslutad kurs skall man ha 1 fördjupad kunskap och förtrogenhet med centrala matematiska begrepp, metoder och logiska strukturer 2 kunskaper som gör matematiken till ett effektivt verktyg vid fortsatta studier i matematik, naturvetenskap, teknik och ekonomi. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 3 / 17
Mål/Förväntat studieresultat Efter avslutad kurs skall man ha 1 fördjupad kunskap och förtrogenhet med centrala matematiska begrepp, metoder och logiska strukturer 2 kunskaper som gör matematiken till ett effektivt verktyg vid fortsatta studier i matematik, naturvetenskap, teknik och ekonomi. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 3 / 17
Kurslitteratur, omfattning I M0024M används Adams, Robert A: Calculus, A Complete Course, Addison-Wesley, senaste upplagan., Dunkels m fl: Särtryck ur derivator och integraler och sånt... Kapitel 1, 9 och 10, Studentlitteratur, senaste upplagan., Lektioner: 8 pass (om vardera 90 min.). Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 4 / 17
Examination Skriftlig tentamen. Sex uppgifter á 5 poäng. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 5 / 17
Komplexa tal Redan för ungefär 3500 år sedan kände babylonierna till hur man kan lösa en andragradsekvation med hjälp av rotutdragning. Däremot behärskade de inte tekniken för att lösa en tredjegradsekvation. Detta problem löste den italienske läkaren och matematikern Geronimo Cardano (1501-1576) i mitten på 1500- talet. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 6 / 17
Ett av Cardanos exempel bestod i att lösa ekvationen x 3 15x = 4, eller i hans terminologi: Låt kuben minus 15 gånger sidan vara lika med 4. Cardano fick så småningom fram att x = 3 2+ 121+ 2 3 121. Han visste emellertid, att ekvationen har reella roten x = 4. För att kunna gå vidare i sin kalkyl, införde han det fiktiva talet. Cardano skriver: Jag förstår inte min kalkyl, vilken är lika raffinerad som oanvändbar. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 7 / 17
Cardanos tal kom senare (Renatus Cartesius på 1600-talet) att kallas imaginära tal. Anledningen till Cartesius (1596-1650) benämning var, att dessa tal inte fanns, dvs de gick inte att tolka på ett konkret sätt. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 8 / 17
Mystiken kring de komplexa talen skulle inte skingras förrän C. F. Gauss (1777-1855) kunde ge en geometrisk tolkning av de komplexa talen och deras räkneregler. Gauss publicerade på 1830-talet en uppsats där han påstår att de komplexa talen motsvarar punkterna i ett plan. De komplexa talen, som i början ansågs vara fantasifoster, används idag inom många tillämpningar, exemplelvis mekanik och elektricitetslära. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 9 / 17
Definition Ett komplext tal z är ett uttryck på formen z = (a,b) = a+bi där a och b är reella tal och i = 1 kallas den imaginära enheten. Anmärkning a = Re z kallas realdelen av z, b = Im z kallas imaginärdelen av z. Man räknar med de komplexa talen på samma sätt som med de reella, men kom ihåg att i 2 = 1. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 10 / 17
Räkneregler Summa Denna operation svarar geometriskt mot vektoraddition (parallellogramregeln). Differens Subtraktionen z w mellan de komplexa talen z och w är z w = z +( 1)w. Produkt I Produkt mellan ett komplext tal z och ett reellt tal c har en omedelbar ekvivalens i att multiplicera en vektor med en skalär. Produkt II Produkten zw mellan de komplexa talen z = (a,b) = a+bi och w = (c,d) = c +di definieras som det komplexa talet zw = (ac bd,ad +bc) = ac bd +i(ad +bc). Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 11 / 17
Exempel Antag att z 1,z 2,z 3 resp. w är komplexa tal. 1 z 1 = 3+4i, z 2 = 4+i, z 3 = 3 i, z 4 = 2 i. Beräkna z1 +z 2, z1 z 3, z1 z 4 z 2 3, 2 w = a+bi. Beräkna i w. Geometrisk tolkning? Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 12 / 17
Konjugat, absolutbelopp Definition Om z = a+bi, så kallas z = (a, b) = a bi konjugatet till z. För konjugering av komplexa talen z och w gäller: 1 (z) = z, 2 z z = a 2 +b 2 = z 2, (Användbar regel) 3 z +w = z +w, 4 z w = z w, ( z 5 = w) z w. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 13 / 17
Definition Om z = a+bi, så kallas z = a 2 +b 2 absolutbeloppet av z. För godtyckliga komplexa tal z och w gäller: 1 z 0, 2 z z = z 2, (Användbar regel) 3 z +w z + w, 4 z w z +w z + w, 5 z w = z w, 6 z/w = z / w. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 14 / 17
Exempel Antag att z,w resp. u är komplexa tal. 1 z = 2 3i, w = 1 2i. Bestäm z och w, zw, z, z w. Geometrisk tolkning? 2 Tolka geometriskt mängden av alla punkter u i det komplexa talplanet som uppfyller villkoret u 3i = 2. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 15 / 17
Division Definition Låt z = a+bi och w = c +di, där w 0 vara komplexa tal. Med kvoten z w menas det komplexa talet z w = w z w w = w z w 2. Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 16 / 17
Avslutande exempel Beräkna 2+3i 1 1+2i 4 i 2 2+3i 3+5i 3 4 3i samt 3+5i 4 3i Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 17 / 17