Spektrala Transformer Fouriertransformer
Fourier Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor! Jean-Baptiste Fourier 768-830
Fouriertransformen Transformerar kontinuerliga signaler från tids- till frekvensdomän = skriver om dem som en summa av sinusar F och tillbaks från frekvens till tid jωt ( ω ) = f ( t) e dt forward f ( t) = F( ω) e j ω t dω 2π inverse
Fourierserier Specialfall: då f(t) är periodisk blir ω diskret vi samplar frekvensaxeln: ω = kω 0 där ω 0 =2π/T F(k" 0 ) = c k = T T $ 0 f (t)e # jk" 0t dt k= jkω0 f ( t) = c k e t
Fourierserier Om f(t) är reell gäller att c = c # k "k! f (t) = c + 2" c cos(k! t) + 2 c sin(k! t) 0 real,k 0 imag,k 0 k=! " k=! " k= [ ] f (t) = a 0 2 + a k cos(k! 0 t)+ b k sin(k! 0 t) a k = c k + c!k b k = j(c k! c!k )
Fourierseriens egenskaper Beloppet c k ger signalens spektrum Spektrumlutningen ger ett mått på jämnheten i signalen för fyrkantvåg avtar spektrum med /n för triangelvåg avtar spektrum med /n 2 Integrering i tidsdomänen ökar spektrumlutningen, derivering minskar den Diskontinuiteter i insignalen orsakar ringningar (Gibbs fenomen) 2f20 Spektrala Transformer för Media Jonas Beskow
Transformer i Fourier-familjen Tidsdomän Frekvensdomän Transform Periodisk Kontinuerlig Periodisk Diskret Aperiodisk Kontinuerlig Aperiodisk Diskret Diskret Aperiodisk Diskret Periodisk Kontinuerlig Aperiodisk Kontinuerlig Periodisk Fourierserie DFT (Diskret fouriertransform) Fouriertransform Z-transform
DFT Diskret Fouriertransform Fouriertransform av verkliga, samplade signaler inte bara matte: Spektral analys Spektrum & Spektrogram Filtrering & bildbehandling Snabb faltning av långa sekvenser/stora filterkärnor Kodning Spektralbaserad bildkodning (typ JPEG) Ljudkodning (typ MP3) Talteknologi Särdragsextraktion för taligenkänning mm Audio/musik Pitch-shift/time-stretch Och så vidare
DFT - domäner DFT transformerar signaler mellan diskret tidsdomän och diskret frekvensdomän punkter i tidsdomänen ger punkter i frekvensdomänen
DFT - domäner Tidsdomän 2 =8 Frekvensdomän 2 3 3 3π/4 π/2 π/4 4 n 0 4 π k ω = k2π/ 0 0 5 7 5-3π/4 -π/2 -π/4 7 6 6 n: 0 2 3 4 5 6 7 k: 0 2 3 4 5 6 7 ω: 0 π
DFT - basvektorer Basvektorerna är st. phasors b k ( n) = e jnk2π / 3 3π/4 2 π/2 π/4 4 π k ω = k2π/ 0 0 5-3π/4 -π/2 -π/4 7 6
DFT Tid Frekvens (DFT) Frekvens Tid (Invers DFT, IDFT) = = 0 / 2 ) ( ) ( k jnk e k X n x π = = 0 / 2 ) ( ) ( n jnk e n x k X π
DFT som en matris j j kn j j j e e e e e )/ )( ( 2 )/ ( 2 / 2 )/ ( 2 / 2 = π π π π π F kn j n f k e / 2, π =
DFT som en matris Tid Frekvens (DFT) X = Fx Frekvens Tid (Invers DFT, IDFT) X = F x
DFT för reella sekvenser Om x(n) är reell blir X(k) symmetrisk kring /2: X(-k) = X(k) *
ågra DFT-transformpar: impulser ur Steven W. Smith Digital Signal Processing
ågra DFT-transformpar: fyrkantpulser
ågra DFT-transformpar: pulser
ågra DFT-transformpar: gauss-funktioner
Ett praktiskt problem Vad innebär det att tidsdoänen blir cirkulär? Diskontinuiteter - påverkar spektrum! sidolober
Lösning: fönstring Signalen multipliceras med ett fönster som går mot noll i intervallets ändar! Undertrycker sidolober ågot försämrad upplösning i frekvensled
FFT Fast Fourier Transform FFT är en effektiv algoritm för att beräkna DFT FFT är helt avgörande för att många applikationer av DFT ska vara praktiskt möjliga! FFT fungerar genom att rekursivt dela upp problemet i mindre problem, s.k. söndra och härska (divide-and-conquer)-metodik
Beräkningshastighet Antal multiplikationer: DFT: ~ 2 FFT: ~ log() ggr förbättring 2 / log 64 5.3 256 46. 024 47.5 4096 492.
DFT/IDFT Kan vi snabba upp beräkningen av IDFT också? Ja! IDFT{X} = DFT{X * }/ FFT kan användas även för invers DFT
Sammanfattning Fouriertransformen uttrycker icke-periodiska signaler som kontinuerliga frekvensfunktioner En Fourierserie uttrycker periodiska signaler som en summa av diskreta frekvenskomponenter DFT transformerar mellan diskret tids-domän och diskret frekvensdomän FFT är en algoritm för att beräkna DFT FFT är fundamental i många DSP-tillämpningar