Fluxionsmetoden i teori och praktik En presentation av fluxionsmetodens grunder och dess tillämpningar enligt Newtons The Method of Fluxions

Transkript

1 U.U.D.M. Project Report 2014:1 Fluxionsmetoden i teori och praktik En presentation av fluxionsmetodens grunder och dess tillämpningar enligt Newtons The Method of Fluxions Moa Eriksson Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare: Staffan Rodhe Examinator: Veronica Crispin Januari 2014 Department of Mathematics Uppsala University

2

3 Sammanfattning Som blivande gymnasielärare i matematik har jag ett stort intresse av att få en bättre kunskap om bakgrunden till bland annat differentialkalkylen; ett område som utgör en stor del av gymnasiematematiken. Isaac Newton kom under slutet av talet fram till en metod för att lösa kalkylens två problem; att bestämma tangenten till en kurva samt att hitta arean under kurvan. En metod gav han namnet fluxionsmetoden. Detta arbete kommer, med utgångspunkt från Newtons The Method of Fluxions från 1736, att undersöka utvecklingen av fem av Newtons problem kring fluxionsmetoden, från åren då Newton la grunden till metoden, fram till år 1671 då De Methodis Serierum et Fluxionum stod klart; Newtons fullständiga latinska verk som syftade till att presentera fluxionsmetoden. Arbetet kommer även jämföra Newtons fluxionsmetod med motsvarande teori i matematikundervisningen på gymnasiet samt att undersöka hur krökningsproblemet för kurvor skildrades av Newton och samtida matematiker. Genom detta arbete kan vi se att den främsta utvecklingen av fluxionsmetoden, från idé till färdig metod, har skett kring tillämpningar av grunderna till metoden; han har sedermera haft en klar bild kring sina principer från början. Man kan också i flertalet av de undersökta problemen se kopplingar till dagens matematikundervisning. Mest intressant är hur Newton söker förhållandet mellan fluxionerna, y/x, vilket vi kan jämföra med hur vi bestämmer derivatan idag; dy/dx. Vi kan alltså genom arbetet se att trots att fluxionsmetoden är över 300 år gammal, och kalkylen har utvecklats mycket sedan Newtons tid, är grundprinciperna fortfarande desamma. Tillkännagivanden Jag skulle med dessa rader främst vilja rikta ett stort tack till min handledare Staffan Rodhe som med stor entusiasm väglett mig genom detta arbete. Alla tips och råd du gett mig har varit ovärderliga! Jag vill även tacka mina vänner och familj, som trots att de inte varit insatta i ämnet, lyssnat när jag behövt råd och hjälpt mig att slutföra detta arbete. Nyckelord: Isaac Newton, fluxionsmetoden, fluxioner, matematikhistoria, differentialkalkyl, krökning

4 Innehållsförteckning 1 INLEDNING Syfte METOD BAKGRUND De Methodis Serierum et Fluxionum Influenser från andra matematiker Pierre de Fermat René Descartes Isaac Barrow Johann Hudde THE METHOD OF FLUXIONS AND INFINITE SERIES: WITH ITS APPLICATION TO THE GEOMETRY OF CURVE- LINES Metod 1: Den direkta fluxionsmetoden Metod 2: Den inversa fluxionsmetoden Disposition av The Method of Fluxions Colsons kommentarer till The Method of Fluxions NEWTONS PROBLEM I THE METHOD OF FLUXIONS Problem 1: Att hitta relationen mellan fluxionerna givet relationen mellan deras fluenter Huddes metod i problem Tidigare presentation Problem 2: Att hitta relationen mellan fluenterna givet relationen mellan deras fluxioner Huddes metod i problem Problem 3: Att bestämma maximum och minimum Huddes metod i problem Problem 4: Att rita tangenter till kurvor Tangentbestämning i The Method of Fluxions Influenser från Descartes Newtons tangentmetod från Jämförelse med Descartes tangentmetod och Fermat Newtons tangentmetod från Jämförelse med Fermats tangentmetod Reflektion kring tangenter Problem 5: Att hitta krökningen i en given punkt på kurvan Bestämning av krökning i The Method of Fluxions Presentation av krökning i The October 1666 Tract on Fluxions

5 5.5.3 Utveckling av problemet om bestämning av krökning Mer om krökning Vad andra matematiker har sagt om krökning DISKUSSION OM KVANTITETEN O SLUTSATS Möjligheter till fortsatt arbete i ämnet REFERENSLISTA Litteratur Tidskrifter Websidor

6 1 Inledning Mitt intresse för differentialkalkylens historia började med en kurs i matematikhistoria under våren Eftersom jag studerar för att bli gymnasielärare i matematik, visste jag tidigt att jag ville få en bättre förståelse samt kunskap om hur matematiken har utvecklats under åren. Det jag framförallt intresserade mig för var kalkylens historia, eftersom kalkylen tas upp i en väldigt stor del av gymnasiets matematikkurser. Jag tror mycket starkt på att en god kunskap om matematikens historia och utveckling är viktig för både intresset och förståelsen för matematik och hoppas att jag i framtiden har stor nytta av detta examensarbete för att öka intresset för framförallt kalkylen bland elever på gymnasiet. Att Isaac Newton är en av modern tids största matematiker håller nog de flesta med om. Att många av hans upptäckter återfinns i läroplanen i främst fysik är inte heller någon nyhet. Men, Newton har gjort många stora upptäckter inom matematiken som många idag tyvärr inte vet om. En av hans största upptäckter är de idéer, som tillsammans med teorier från bland annat Gottfried Wilhelm von Leibniz, skulle komma att samlas inom differentialkalkylen. Newtons bidrag till kalkylen kallas för fluxionsmetoden och är en genomarbetad metod för att undersöka egenskaper hos kurvor. Hans första samlade verk som innehöll teorierna kring fluxionsmetoden färdigställdes 1671 och fick namnet De Methodis Serierum et Fluxionum. Detta verk skrevs på latin och översattes inte till engelska förrän 1736 av John Colson och fick då det fullständiga namnet The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve- lines. I följande text kommer jag konsekvent att använda mig av det latinska namnet på verket, De Methodis, då jag pratar om Newtons outgivna original manuskript, samt den engelska titeln, The Method of Fluxions, då jag pratar om John Colsons översättning från Jag kommer inte göra några detaljerade jämförelser mellan The Method of Fluxions och De Methodis utan enbart studera detta i stora drag. Eftersom Colsons verk är en översättning är det möjligt att det finns vissa skillnader de emellan, men det är ingenting jag kommer titta på. Detta arbete kommer inledas med att ta upp mycket bakgrundsfakta till fluxionsmetodens uppkomst genom att se på hur samtida matematiker presenterade samma eller liknande problem som Newton gjorde. Därefter kommer en del av Newtons problem från The Method of Fluxions att genomgående förklaras både teoretiskt och genom exempel. Slutligen har jag valt att diskutera den oändligt lilla kvantitet o som Newton använder för att presentera fluxionsmetoden. 1.1 Syfte Detta examensarbete syftar till att undersöka Sir Isaac Newtons fluxionsmetod som är presenterad i verket The Method of Fluxions and Infinite Series från Jag kommer studera Newtons framställning av fluxionsmetoden samt att även jämföra detta med hur han har utvecklat metoden från tidigare presentationer. Arbetet syftar främst till att undersöka grunderna till fluxionsmetoden, den så kallade direkta respektive inversa fluxionsmetoden, men även att mer noggrant 3

7 undersöka problemet kring krökningen av en kurva; hur detta problem presenterades av både Newton och andra matematiker samt till viss del kopplingen till krökningsproblemet idag. Vid undersökningen av fluxionsmetodens grunder och uppbyggnad vill jag även jämföra Newtons presentation av problemen med hur dessa presenteras och löses i matematikkurser på gymnasiet. Jag vill alltså genom detta examensarbete besvara följande frågor: Hur stor utveckling av Newtons fluxionsmetod skedde från åren till färdigställandet av The Method of Fluxions 1671? Hur tydlig är kopplingen mellan undervisningen på gymnasiet och Newtons metoder med avseende på de problem jag tittar på? Från vilka matematiker hämtade Newton sin inspiration, och hur påverkade detta fluxionsmetoden? Hur skildrade Newton krökningsproblemet i The Method of Fluxions, samt hur såg andra matematiker på problemet? 2 Metod Då detta arbete främst syftar till att undersöka Newtons problem som de är beskrivna i The Method of Fluxions and Infinite Series, kommer detta verk vara min främsta informationskälla. Jag kommer utgå från denna för att undersöka hur Newton framställde problemen i dess slutgiltiga presentation. Jag kommer i arbetet koncentrera mig på att titta på de fem första problemen som presenteras i The Method of Fluxions. De fyra första av dessa problem ingår alla i gymnasiets matematikkurser, varför jag tror att man som läsare lättare kan relatera till och förstå såväl problemställningen som lösningen av dessa. Jag kommer vid studierna av dessa problem jämföra Newtons lösningar med hur dessa problem löses på gymnasiet med hjälp av den moderna kalkylen. Förutom att presentera Newtons lösningar till dessa fem problem som han beskrev i The Method of Fluxions, kommer jag att jämföra dessa lösningar med hur Newton presenterade problemen och lösningarna i tidigare skrifter. Jämförelsen med tidigare presentationer av respektive problem har jag valt att enbart göra med Newtons manuskript från 1665 och Det var under dessa år som Newton lade den största grunden till fluxionsmetoden. I de fall Newton har presenterat problemet i manuskript från 1665 eller 1666 kommer jag titta på utvecklingen av både problemformuleringen samt lösningen. Vid studierna kring hur fluxionsmetoden har uppkommit och varifrån Newton fick sin inspiration kommer jag studera modernare sekundärlitteratur som beskriver kalkylens ursprung. 4

8 3 Bakgrund Sir Isaac Newton är en av de största matematikerna genom alla tider och han har fått mycket uppskattning för det arbete han gjort inom naturvetenskapen. En av hans kanske största upptäckter inom matematiken var hans bidrag till differentialkalkylen; fluxionsmetoden. Fluxionsmetoden skulle däremot inte få ett så stort genomslag bland matematiker från början utan mottogs med en viss skepsis vid uppkomsten. Detta gjorde även att Newton skrev sitt kanske allra största verk, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, enbart med gamla metoder och använde alltså inte sin nyligen uppfunna fluxionsmetod. I början av Newtons matematiska karriär var de stora problemen för matematikerna att kunna bestämma tangenter till kurvor samt att bestämma arean under en kurva. Alltså de problem som vi senare skulle komma att betrakta som grunderna till kalkylen. Många matematiker före Newton hade jobbat med dessa problem, men utan att förstå hur de var kopplade till varandra. För att lösa de båda problemen, började Newton under talet att utveckla det som skulle komma att kallas fluxionsmetoden. Newtons tidiga idéer och utvecklingar av lösningar kring dessa två problem samlade han i det som vi idag har gett namnet The October 1666 Tract on Fluxions. 1 Detta är en samling av Newtons tankar och idéer kring fluxionsteorin, skrivna just 1666, men som aldrig blev publicerade. Tankarna och idéerna som återfinns i The October 1666 Tract on Fluxions tog Newton fram redan året innan, 1665, då han la den största grunden till sin metod. Trots mycket påtryckningar från olika håll vägrade Newton konstant att publicera sina resultat i fråga. I mitten av talet, när Gottfried Wilhelm von Leibniz började redovisa liknande resultat som Newton inom ämnet, började Newton presentera sina idéer i form av brev till olika matematiker runt om i Europa. Eftersom Newton gjorde sina upptäcker publika först efter att Leibniz publicerat sina egna resultat, var det många som tvivlade på att Newton verkligen hade varit först med lösningarna till kalkylens två problem. Trots att många tvivlade på Newton, och att hans metod inte blev fullt uppskattad i Europa, var det många som såg potentialen i metoden. Men först 1736, alltså nio år efter hans död, gavs The Method of Fluxions ut, som en översättning av Newtons manuskript, De Methodis Serierum et Fluxionum, från Problemet med att hitta arean under en kurva hade flera matematiker under talet jobbat med att försöka lösa. Bland de första att göra detta var Evangelista Torricelli 2 ( ) och Bonaventura Cavalieri 3 ( ). I mitten av talet började även John Wallis 4 ( ) intressera sig för problemet och utvecklade de båda tidigare nämndas teorier till sin egen. Vad som är gemensamt för de alla tre är att de på ett eller annat sätt försökt uttrycka arean under grafen som en summa av små areaelement. Wallis utvecklade till 1 Guiccardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus, Ibid, Ibid,

9 stor del Cavalieris teori och lyckades bestämma arean under en kvadratisk respektive en kubisk kurva med hjälp av en serieutveckling. John Wallis var kanske den matematiker som influerade Newton mest vid bestämning av arean under en kurva. Newton har själv sagt att han hämtade sin inspiration från sina tidiga studier av Wallis mest kända verk, Arithmetica Infinitorum. 5 Wallis hävdade att detta verk, som behandlade areaberäkningar genom användandet av oändligt smala linjer, inte var till för att skapa nya regler, men att hjälpa matematikerna att vidare utveckla matematiken De Methodis Serierum et Fluxionum Newtons första samlade manuskript om fluxionsteorin skrevs år och fick namnet De Methodis Serierum et Fluxionum. De Methodis innehöll Newtons samlade tankar kring sina främsta upptäckter i teorin om serier samt om fluxioner. De Methodis skapades ursprungligen som en utveckling av hans tidigare utgivna verk De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669), en liten skrift som tog upp de resultat kring serier och serieutveckling som Newton då kommit fram till. 7 Men Newton var inte helt nöjd med De Analysi, och ville inte publicera denna. Istället hade han redan planer på att expandera den och ge en mer omfattande bild av sin metod kring fluxioner. 8 Därför skapade Newton De Methodis som ett verk med betydelsen att studera hur kurvor beter sig, där han förutom serieutvecklingen från De Analysi även utvecklade sina tidigare arbeten kring tangenter och kvadratur som återfanns i både Newtons anteckningar från 1665 och i The October 1666 Tract on Fluxions. Från att inleda verket med teorin om serier, följde själva målet med skriften; att undersöka lösningar till problem kring kurvor som är tillämpade genom en rörelse i tiden. 9 Fluxionsmetoden kan delas upp i två olika delar vilka ger lösningarna till två olika problem som härstammar från den rationella (eller analytiska) mekaniken. 10 Newton kunde alltså dela upp sin metod i den direkta fluxionsmetoden (metod 1) samt den inversa fluxionsmetoden (metod 2). Den direkta fluxionsmetoden innebär i modernt språk att hitta derivatan av en funktion, medan den inversa metoden istället syftar till att hitta den primitiva funktionen. Mer om vad dessa metoder innebär och hur de fungerar förklaras kort i avsnitt respektive I De Methodis får vi definierat grunderna i Newtons nya metod. Han väljer att definiera de kvantiteter som genereras av tid för fluenter och de momentana hastigheterna av dessa kallar han för fluxioner. Fluenter är, vanligen hos Newton, alltså kvantiteterna x, y, z och så vidare. Så här skriver han i The Method of Fluxions: 5 Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus, Ibid, Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, Burton. The History of Mathematics, Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, Newton. The Method of Fluxions, xxi. 6

10 Now those Quantities that I consider as gradually and indefinitely increasing, I shall hereafter call Fluents, or Flowing quantities, and shall represent them by the final Letters of the Alphabet v, x, y and z [ ]. And the Velocities by which every Fluent is increased by its generating Motion, (which I may call Fluxions, or simply Velocities or Celerities,) I shall represent by the same Letters pointed thus v, x, y and z. 11 Men Newtons notation har ändrats flera gånger under utvecklingen av fluxionsmetoden. I de första presentationerna av metoden representerade han fluxionerna med hjälp av bokstäverna l, m, n och r. Det vill säga m var fluxionen för kvantiteten x, n fluxionen för y och så vidare. 12 Det var inte förrän år 1691 som Newton ändrade sin notation till de mer praktiska prickade notationerna. 13 Nu betecknades fluxionen för x med x och den för y med y. I De Methodis från 1671 använder Newton som förklarat ovan, bokstaven m som fluxionen av x samt bokstaven n för fluxionen av y. 14 Däremot används istället en notation där p representerar fluxionen av x och q fluxionen av y, i The October 1666 Tract on Fluxions från just Denna notation använder han även i sina texter från 1665 som innehåller Newtons första tankar om de problem som senare ska fulländas i De Methodis. Då representationen av fluxionerna lätt kan bli förvirrande, kommer jag för enkelhetens skull i detta arbete använda mig av den senare prickade notationen. 3.2 Influenser från andra matematiker Pierre de Fermat En av de allra främsta matematikerna under talet var den franska matematikern Pierre de Fermat ( ). Tyvärr var inte Fermat speciellt intresserad av att publicera sina upptäcker vilket har gjort att hans påverkan på matematikens utveckling inte var så stor som den borde varit. 15 Däremot lämnade han stora avtryck hos Newton som ska ha sagt att han hämtade sina egna idéer kring kalkylen direkt från Fermats metoder för att bestämma tangenter. 16 Fermats tangentmetod går ut på att först hitta subtangenten till kurvan för att sedan kunna ta fram tangenten. Enligt figur1, innebär det att vi vill hitta sträckan EC. Detta gör vi genom att titta på likformighet mellan de två trianglarna OIE samt BCE och sedan låta linjen OI röra sig mot BC. Punkten O och O kommer vara två olika punkter, förutom när OI sammanfaller med BC. När detta sker kommer skillnaden mellan I och C vara oändligt liten, varför Fermat inför en storhet, e, som han låter beteckna denna skillnad. 11 Newton. The Method of Fluxions, Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, Burton. The History of Mathematics, Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol III, Simmons. Calculus gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, Ibid, 98: [ ] from Fermat s way of drawing tangents. 7

11 Figur 1: Fermat bestämde tangenten BE genom att ta reda på subtangenten EC. ( ) Vad som är intressant med metoden är vad Fermat gör sedan. I slutskedet av metoden sätter Fermat storheten e till noll, vilket innebär att punkterna I och C nu är samma punkt. Detta kan jämföras med Newtons storhet o samt Leibniz dx. Vi kommer senare se en liknande metod även hos Isaac Barrow René Descartes René Descartes ( ) var en fransk matematiker som under talet lade grunden för den analytiska geometrin. På grund av detta har han fått namnge det cartesiska koordinatsystemet som vi använder oss av idag. 17 Descartes influerade Newton mycket framförallt i sina försök i att ta fram tangenten till en kurva. Figur 2: Descartes tog fram tangenten FC genom att först bestämma sträckan MP. (Lund 2002, s 15) I ett försök att skapa en ny metod för tangentframställning, tog Descartes fram en metod som, till skillnad från Fermat, sökte subnormalen till kurvan. Han försökte alltså hitta sträckan MP i figur 2. Bakgrunden till Descartes tangentmetod är att han inser att en cirkel med medelpunkt i P kommer skära kurvan en, två eller ingen gång. Om cirkeln endast skär kurvan en gång, det vill säga att den tangerar kurvan, har vi hittat punkten C. Det han gör är alltså att han söker en cirkel som tangerar kurvan i punkten C. 17 Nationalencyklopedin. René Descartes, descartes (Hämtad ). 8

12 3.2.3 Isaac Barrow Isaac Barrow ( ) 18, Newtons företrädare som professor i Cambridge, var mycket viktig för Newtons matematiska utveckling. Till skillnad från John Wallis som gärna ville införa nya idéer i matematiken, var Barrow väldigt konservativ i sina tankar och hans arbete anses därför vara direkta motsatsen till Wallis arbete. 19 Newton studerade matematik i Cambridge med Barrow som lärare och dessa fortsatte senare att ha kontakt och utbyta idéer kring framförallt kalkylens problem. 20 Barrows främsta utgivna verk var Lectiones Opticae (1669) samt Lectiones Geometricae (1670), där den sistnämnda till stor del behandlade problem kring tangenter samt kvadratur. I problemet med att ta fram tangenter menar Boyer 21 att Barrows metod till stor del liknade Cavalieris tangentmetod, men han skulle senare, med övertalning från Newton, presentera en metod som hade större likhet med Fermats teorier, se avsnitt Detta trots att Barrow aldrig nämner Fermat i sina texter. Dessa influenser fick han dock troligen från bland annat Cavalieri och Wallis. 22 I Lectiones Geometricae demonstrerar Barrow en tangentmetod där han inför två små kvantiteter a och e, kateterna i den triangel som fås av den oändligt lilla förflyttningen M på kurvan AM, figur 3. Han kallar MR för e och NR för a och säger att eftersom förhållandet mellan e och a är densamma som mellan TP och PM använder vi den ursprungliga funktionen för att ta reda på detta förhållande. Genom att uttrycka den ursprungliga funktionen med hjälp av x + e samt y + a och utveckla, får Barrow ett uttryck där alla termer innehåller antingen a eller e. Han bortser sedan från alla termer som innehåller a eller e av högre dimension än ett, förmodligen genom att inse att a och e är oändligt små. Slutligen, genom att substituera a och e med värdena för MP och TP kunde Barrow ta reda på tangenten. 23 Figur 3: Barrow kunde ta fram tangenten till kurvan AM genom att titta på den oändligt lilla triangeln MNR. (Boyer 1959, s 426) 18 Boyer. A History of Mathematics, Ibid, Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, Boyer. A History of Mathematics, Ibid, Ibid,

13 Vi ser alltså att Barrow, i likhet med Fermat ovan, använder sig av oändligt små kvantiteter i bestämningen av tangenten TM, och kan jämföra Fermats kvantitet e med Barrows två kvantiteter a och e Johann Hudde En matematiker som ofta omnämns i Newtons verk är den holländska matematikern Johann Hudde ( ). Hudde arbetade bland annat med att studera Descartes La Géometrié samt att studera problem med maximum och minimum. 24 För att lösa dessa problem utvecklade han, i mitten av århundradet, en regel för att ta fram multipla rötter till en ekvation. En metod som senare skulle användas flitigt av bland andra Newton. År 1659, i ett appendix till La Géometrié, beskrev Hudde sin metod så här: If in an equation two roots are equal and if it be multiplied by any arithmetical progression, i.e. the first term by the first term of the progression, the second by the second term of the progression, and so on: I say that the equation found by the sum of these products shall have a root in common with the original equation. 25 Huddes metod säger alltså att om en funktion har en dubbelrot i säg r, kommer r även vara rot till samma funktion multiplicerad med en aritmetisk talföljd. Denna regel använder Hudde sedan för att bestämma en maximi eller minimi punkt till en kurva. Med modern notation kan vi uttrycka Huddes bestämning av maximi och minimipunkter så här: Om x = a är ett maximum eller minimum till funktionen kommer a vara rot till f x = a! x! + a! x!!! + + a!!! x! + a!!! x + a! na! x! + n 1 a! x!!! + + 2a!!! x! + a!!! x = 0 där man har multiplicerat funktionen f(x) med den aritmetiska talföljden n, n 1, n 2,, 2, 1, 0 och låter detta vara lika med noll. Vi kommer senare i avsnitt 5.1.1, 5.2.1och demonstrera hur Huddes metod kunde användas för att lösa problemen i The Method of Fluxions. 4 The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-Lines Som tidigare nämnts är The Method of Fluxions en översättning gjord på Newtons manuskript, De Methodis Serierum et Fluxionum, från John Colson, en av Newtons efterträdare som matematikprofessor vid Cambridge University, översatte De Methodis till engelska 1736 och publicerade denna för första gången samma år. 26 Newton hade själv försökt att få De Methodis publicerad, men utan resultat då det vid denna tid var ekonomiskt osäkert att ge ut matematik- 24 Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus, Ibid, Lucasian Chair. John Colson. (Hämtad ). 10

14 böcker. 27 Alltså blev Newtons främsta verk kring fluxionsmetoden publicerat först 65 år efter att det färdigställdes. Colson gör redan på titelsidan läsaren uppmärksam på att The Method of Fluxions är en översättning av Newtons latinska original manuskript som aldrig publicerades. 28 Han fortsätter sedan med att göra läsaren uppmärksam på att det i slutet av detta verk dessutom återfinns genomgående kommentarer på Newtons originalverk, som innehåller både illustrationer och tillägg Metod 1: Den direkta fluxionsmetoden Som nämnt i avsnitt 3.1 delade Newton in fluxionsmetoden i den direkta respektive inversa metoden. Den direkta fluxionsmetoden ( The Direct Method of Fluxions ) arbetade Newton sig fram till för att kunna lösa följande problem: The Length of the Space described being continually [ ] given; to find the Velocity of the Motion at any Time proposed 29. Vi skulle med vår moderna terminologi idag definiera detta problem som att hitta derivatan av en funktion. Metod 1 används för att behandla det första (avsnitt 5.1), tredje (avsnitt 5.3), fjärde (avsnitt 5.4) och femte (avsnitt 5.5) av de fem första problemen i The Method of Fluxions Metod 2: Den inversa fluxionsmetoden Den inversa fluxionsmetoden ( The Inverse Method of Fluxions ) är, enligt Newton, ett mycket svårare problem och här antar han att du som läsare är insatt i teorin 30. Metoden är framtagen för att lösa problemet som Newton definierade som The Velocity of the Motion being continually given; to find the Length of the Space described at any Time proposed 31. Med hjälp av moderna termer, identifierar vi detta problem som att hitta den primitiva funktionen till en given funktion. Det problem som Newton löser med hjälp av den inversa fluxionsmetoden är problem 2 (avsnitt 5.2). 4.2 Disposition av The Method of Fluxions Colsons engelska översättning av De Methodis är uppbyggd på samma sätt som originalet och inleder alltså med en utökad presentation av serieutveckling, lång division, rotutdragningar samt lösningar av så kallade affected equations 32 som återfinns i De Analysi. 33 Härefter följer de tolv problem som behandlar fluxionsmetoden och som Newton söker lösningarna på för att få en bättre bild av kurvors natur. 27 Burton. The History of Mathematics, Newton. The Method of Fluxions, i: Translated from the author s latin original not yet made publick. 29 Ibid, Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, Newton. The Method of Fluxions, affected equations: ekvationer där y är implicit definierad i termer av x genom en polynom ekvation, exempelvis y! + axy + a! y x! 2a! = Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method,

15 Prob. 1. Prob. 2. Prob. 3. Prob. 4. Prob. 5. From the given Fluents to find the Fluxions. From the given Fluxions to find the Fluents. To determine the Maxima and Minima of Quantities. To draw Tangents to Curves. To find the Quantity of Curvature in any Curve. Tabell 1: Tabellen visar de fem första problemen Newton presenterade i The Method of Fluxions, och är även de som kommer studeras i detta arbete. (Newton 1736, xxiv) Det är, som tidigare nämnt, de fem första problemen i The Method of Fluxions som jag kommer studera närmare i detta arbete. För en presentation av dessa se tabell 1. Problem 1-4 återfinns i dagens matematikkurser på gymnasiet men vi skulle använda en annan terminologi för att beskriva dem. Det första och andra problemet representerar det vi skulle beskriva med att hitta derivatan respektive att hitta den primitiva funktionen till en viss funktion. Newton var själv väldigt noga med att poängtera att det, framförallt i problem ett och två, var relationen mellan fluxionerna (respektive fluenterna) han sökte. Att söka denna relation gör vi även idag då vi till exempel bestämmer derivatan av funktionen f(x) = y som dy/dx. Det tredje och fjärde problemet innebär precis som namnen beskriver, att vi söker maximi och minimi punkter till en funktion respektive att vi vill rita tangenten till en punkt på kurvan. Båda dessa problem tas tidigt upp i undervisningen om differentialkalkylen på gymnasiet. Problem nummer fem är till skillnad från de tidigare fyra problemen, inte representerat i gymnasiets matematikkurser. Däremot kan vi finna det i kalkylkurser på högskolan. Problemet innebär att man vill hitta krökningen ( the curvature ) i en given punkt på kurvan, det vill säga att bestämma hur mycket en kurva är böjd i en viss punkt. Problemet med en kurvas krökning hade länge förts med ett resonemang där man använde sig av kontaktvinkeln, alltså vinkeln mellan cirkeln som tangerar kurvan i punkten (den oskulerande cirkeln) och tangenten till kurvan i den punkten. Men efter att Newton tagit fram en metod för att bestämma krökningen med hjälp av krökningsradien började en ny period och man gick ifrån de tidigare idéerna med att titta på kontaktvinkeln. 34 Förutom de fem problem som nämnts ovan behandlar Newton ytterligare sju problem som alla kretsar kring kurvor (tabell 2). Detta arbete kommer inte ta upp dessa sju problem men presenteras för att få en tydligare bild av innehållet i The Method of Fluxions. 34 Villa Nova University. Dan Margalit, The History of Curvature. (Hämtad ). 12

16 Prob. 6. Prob. 7. Prob. 8. Prob. 9. Prob. 10. Prob. 11. Prob. 12. To find the Quality of Curvature in any Curve. To find any number of Quadrable Curves. To find Curves whose Areas may be compared to those of the Conic Sections. To find the Quadrature of any Curve assign d. To find any number of rectifiable Curves. To find Curves whose Lines may be compared with any Curve- lines assign d. To rectify any Curve- lines assign d. Tabell 2: Tabellen visar de avslutande sju problem som återfinns i The Method of Fluxions. (Newton 1736, xxiv) Av dessa sju avslutande problem i The Method of Fluxions är det främst problem 9 som vi känner igen från gymnasiets kurser i differentialkalkylen. Detta representerar problemet med att hitta arean under en kurva (alltså att integrera). Problem 12 återfinns inte i gymnasiets kursplaner, men är däremot representerat i kurser på högskolan. Detta problem innebär att vi vill hitta längden av en given kurva. Efter de 12 olika problemen börjar den tredje delen av The Method of Fluxions. På de följande sidorna har Colson samlat sina kommentarer kring Newtons metod och inleder denna del med orden: The method of fluxions and infinite series; or a perpetual comment upon the foregoing treatise 35. Colson har samlat sina kommentarer i tre delar som behandlar Newtons inledande kapitel om serieutveckling samt fluxionsmetodens problem 1 respektive problem Colsons kommentarer till The Method of Fluxions Som Colson var noga med att poängtera på titelsidan till The Method of Fluxions, återfinns flera kommentarer längst bak i boken. Han har i den avslutande delen valt att kommentera tre delar av The Method of Fluxions; Newtons serieutvecklingsmetod samt den direkta respektive inversa fluxionsmetoden. Allra sist av dessa kommentarer har han samlat sina egna slutsatser kring verket och ger dessutom en kort repetition av dess innehåll. 36 Jag kommer i detta arbete inte gå in i detalj på detta avslutande kapitel utan har valt att endast kort ta upp några av Colsons kommentarer. I den avslutande delen av kommentarerna har Colson motiverat för läsaren hans mening med att införa egna, utförliga kommentarer på Newtons verk. 37 Han förklarar att han strävat efter att beskriva och förklara metoden på det enklaste 35 Newton. The Method of Fluxions, Ibid, Ibid,

17 och mest naturliga sättet, på ett sätt som han själv skulle ha velat få metoden förklarat för sig när han stötte på dessa idéer första gången. Problem som är enkla och triviala har han behandlat med en viss kritik, men med svårare problem, förklarar han, har han ansett sig vara tvungen att vara tydligare och mer utförlig. Han fortsätter med att förklara att, vad han tror kommer skapa de största svårigheterna är förklaringen av [ ] Moments, vanishing quantities, infinitely little quantities, and the like [ ] 38 som Newton använder sig av för att ta fram fluxionsmetoden. Colson vill förtydliga vad detta innebär eftersom han påpekar att det har funnits flera oklarheter kring dessa kvantiteters natur och vad de ska kallas. 39 Colson poängterar att Newton endast använder bokstaven o för att beteckna denna försvinnande kvantitet. En kvantitet som till att börja med har en ändlig storlek, men sedan upphör att existera genom att kontinuerligt minskas. Colson gör här en intressant notering; att när kvantiteten minskar, kommer den vara lika stor som försvinnande kvantiteter av alla storlekar. Han säger att den alltså inte kan gå från att ha ett ändligt värde till att försvinna, utan måste minska kontinuerligt. Colson avslutar denna diskussion med att hävda att vi inte ska behöva bry oss om vad dessa kvantiteter heter, utan vad de har för egenskaper och hur vi kan använda dem. För de är introducerade för att ge oss bättre förståelse för andra kvantiteters natur. 5 Newtons problem i The Method of Fluxions 5.1 Problem 1: Att hitta relationen mellan fluxionerna givet relationen mellan deras fluenter 40 Newton börjar med att gå direkt på lösningen av problemet, utan att berätta hur han kommer fram till denna. För att lösa problemet med att hitta relationen mellan fluenterna börjar han med att ordna termerna i ekvationen efter dimensionen på först x och sedan y. Multiplicera sedan alla termer innehållande x med någon aritmetisk talföljd och därefter med x/x. Gör sedan på samma sätt för alla termer med y. Sätt summan av termerna lika med noll och vi har fått den sökta relationen mellan fluxionerna. Algoritmen tydliggörs med hjälp av ett exempel: 41 Newton låter relationen mellan x och y vara x! ax! + axy y! = 0. Efter att ha ordnat alla termer enligt dimensionen av x (respektive y), multiplicerat med en aritmetisk talföljd samt med x/x (respektive y/y) enligt figur 4, får han slutligen summan 3xx! 2axx + axy 3yy! + ayx = 0. Notera att termerna 38 Newton. The Method of Fluxions, 335f. 39 Ibid, The relation of the flowing quantities to one another being given, to determine the relation of their fluxions. 41 Newton. The Method of Fluxions,

18 Figur 4: Newton visar algoritmen för att lösa problem 1 genom att ställa upp tabellen i figuren. (Newton 1736, s 21) axy + axy tillsammans representerar derivatan av produkten axy. Detta resultat känner vi igen från den moderna produktregeln för derivering. Det är även intressant att titta på uppställningen som Newton gör i figur 4. Den mittersta raden, där Newton explicit visar att han multiplicerar termerna med respektive term i den aritmetiska talföljden, visar stora likheter med hur vi kan anta att Hudde (se avsnitt 3.2.4) ställde upp sina problem. Vi ser exempel på detta hos Suzuki som visar ett exempel med Huddes metod där han vill hitta rötterna till polynomet f x = x! 4x! + 5x 2 genom att ställa upp följande tabell: 42 x! 4x! + 5x x! 8x! + 5x Vi ser alltså att Newton var inspirerad av Hudde både i teorin och i praktiken för att lösa detta problem. Newton går nu över till att demonstrera den analytiska versionen av metoden. Vi vet sedan tidigare, se avsnitt 1.1, att ökningarna av de matematiska kvantiteterna betecknas x, y etc och är hastigheten av ökningen. Newton introducerar nu momentet av dessa ökningar, som dess ökning multiplicerat med ett oändligt kort tidsintervall, o. Vi får alltså momentet av x, y som xo, yo osv. Vi kan då dra slutsatsen att momentet helt enkelt är en kort ökning av den ursprungliga kvantiteten. Detta kan vi verifiera genom att notera att x är en hastighet, och o ett tidsintervall, vilket, enligt fysikens lagar, multiplicerat med varandra ger en sträcka. Detta nya värde på vår kvantitet, x + xo, kan vi nu substituera i den ursprungliga relationen mellan x och y, så att ekvationen kommer uttrycka samma relation mellan x + xo och y+yo som mellan x och y. Newton substituerar x + xo samt y + yo i ekvationen och binomialutvecklar. Han inser sedan att den ursprungliga ekvationen fortfarande gäller, eftersom även de nya värdena på kvantiteterna kommer ligga på kurvan, varför vi nu kan stryka dessa termer. Dividera därefter alla kvarvarande termer med kvantiteten o. Newton noterar nu i det sista steget att eftersom o är en oändligt liten kvantitet, så kommer den vara försvinnande liten jämfört med alla övriga termer, termerna innehållande o kan därför tas bort. Vi slutar med samma resultat som vi fick i början av presentationen av metoden. 42 Suzuki. The Lost Calculus,

19 5.1.1 Huddes metod i problem 1 Som vi nämner i avsnitt var Hudde en stor inspirationskälla för Newton och han använde sig mycket av Huddes regel. Vi kan tydligt se att Newton var påverkad av detta i sin lösning av problem 1. Vi kan alltså lösa problem 1 genom att använda Huddes regel först med avseende på x, och sedan med avseende på y. Vi får (med avseende på x): 3 x! 2 ax! + 1 axy 0 y! 3x! 2ax! + axy (5.1.1) Och sedan med avseende på y: 3 y! y! 1 axy + 0 ( x! + ax! ) 3y! + axy (5.1.2) Låt oss jämföra ekvation (5.1.1) och (5.1.2) med nedersta raden i Newtons tabell i figur 4. Skillnaderna dessa emellan är att Newton, i sina ekvationer i figur 4, har bytt ut ett x respektive ett y mot x och y. Newton ersätter alltså kvantiteterna x respektive y med deras rörelser x och y. Om vi nu jämför Huddes metod ovan med vår moderna derivering inser vi att Hudde, i ekvation (5.1.1) och (5.1.2), får en extra dimension av kvantiteterna x och y, som inte fås vid modern derivering. Denna dimension dividerar Newton bort direkt enligt den andra raden i figur 4 och ersätter denna extra dimension med x och y istället. Även om Hudde alltså hade en fungerande metod för tillämpningar av derivering, ser vi att Newtons tillvägagångssätt har större likhet med vår moderna derivering Tidigare presentation Problemet ovan som Newton presenterar år 1671 är en relativt färdigarbetad version av problem 1. För att förstå hur metoden har uppkommit är det intressant att ta reda på hur denna har utvecklats under de närmsta åren innan den färdiga versionen. En av de tidigaste presentationerna av problemet är från Detta är en tidig version av samma problem som Newton också presenterade i The October 1666 Tract on Fluxions. I likhet med lösningen till problemet från 1671, ställer Newton upp lösningen på samma sätt vid de tidigare presentationerna från 1665 och 1666, Vi har alltså två, eller fler, linjer och vill uttrycka förhållandet mellan de hastigheter med vilka punkter på linjen beskriver deras rörelse. Vi kan däremot notera skillnader i presentationen av den oändligt lilla kvantiteten o. Vi kommer ihåg, från problemet år 1671, att o betecknar ett oändligt litet tidsintervall. Men om vi studerar Newtons anteckningar från 1665 samt The October 1666 Tract on Fluxions ser vi att Newton inte alltid har haft denna representation. I november 1665 skriver Newton att en punkt med hastighet p, på en linje beskriver den oändligt korta sträckan o under ett kort tidsintervall. 43 Alltså kan vår kvantitet vara x vid en tidpunkt, och x + o i nästa. 43 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I, 385: [ ] y e body A w th y e velocity p describe y e infinitely little line o in one moment. 16

20 Ett år senare, i oktober 1666 beskriver Newton samma fenomen på ett annorlunda sätt. Nu säger Newton att en linje med hastighet p, beskriver den oändligt korta linjen p o under ett kort tidsintervall. 44 I och med detta, förklarar Newton, kommer linjen att kunna representeras av x vid en tidpunkt och x + po en oändligt kort tid efteråt. Vi ser då att o, i detta fall, representerar tid, och inte en sträcka som var fallet bara ett år tidigare. Vi ser alltså att Newton går från att representera o som en oändligt kort sträcka, år 1665, till att låta o vara en oändligt kort tidsperiod, från och med år Varför Newton gjorde denna förändring av representationen av kvantiteten o är svårt att säga. En förklaring som jag anser vara möjlig till detta är att Newton ville förklara problemet mer fysikaliskt. Kanske ville han förklara hur läget för en kropp i punkten x ändrades med hjälp av dess momentana hastighet p. Med andra ord, Newton var bekant med att hastighet multiplicerat med tid ger en sträcka, och ville alltså beskriva punktens rörelse med hjälp av dess hastighet istället för att beskriva läget med hjälp av en obestämd sträcka. 5.2 Problem 2: Att hitta relationen mellan fluenterna givet relationen mellan deras fluxioner 45 Att från relationen mellan fluxionerna hitta relationen mellan fluenterna, är det inversa problemet till problem 1. Alltså, säger Newton, måste vi gå tillväga som förra problemet, men baklänges. Problemet innebär att Newton söker lösningen på ekvationer som vi idag kallar differentialekvationer. Algoritmen för lösningen av problemet beskriver Newton så här: Dividera först de termer som innehåller x med x/x och sedan med dimensionen av x (eller en aritmetisk talföljd). Gör på samma sätt för alla givna kvantiteter i ekvationen. När detta är gjort, sätt summan av alla dessa termer lika med noll. Men för att få den sökta relationen måste vi, påpekar Newton, förkasta alla överflödiga termer. Han noterar alltså att oavsett om samma term återfinns flera gånger i summan, tas den bara med en gång i det slutgiltiga uttrycket. För att förtydliga algoritmen visar Newton den med ett exempel: Antag att den givna ekvationen är 3xx! 2axx + axy 3yy! + ayx = 0 (5.2.1) Börja med att följa algoritmen för x. Dividera därför alla termer som innehåller x med x/x:!!!!!/!!!!!!! +!!!!! = 3x! 2ax! + axy Dividera sedan med talföljden vilket ger: x! ax! + axy (5.2.2) Gör nu på samma sätt för kvantiteten y, vilket först ger: 44 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I, 414: [ ] y e body A w th y e velocity p describe y e infinitely little line [ ] p o in one moment. 45 An equation being proposed, including the fluxions of quantities, to find the relations of those quantities to one another. 17

21 !!!!!!! +!!!!! = 3y! + axy och sedan genom division: y! + axy (5.2.3) Om vi tittar på termerna i ekvation (5.2.2) och (5.2.3) noterar vi att termen axy förekommer i båda ekvationerna. Newtons algoritm säger att vi endast ska ta med denna term en gång. Vi summerar alltså termerna och sätter detta lika med noll och får slutligen: x! ax! + axy y! = 0 (5.2.4) Hur Newton själv kommer fram till relationen mellan fluenterna kan vi se i tabellen i figur 5. Detta kan vi jämföra med ekvation (5.2.2) samt (5.2.3) som vi hittar i tabellens nedersta rad. Figur 5: Newton presenterar metoden för att lösa problem 2 i en tabell. (Newton 1736, s 26) Ekvation (5.2.4) är alltså den sökta relationen mellan fluenterna x och y. Med modernt språk säger vi att denna ekvation är den primitiva funktionen till ekvation (5.2.1). Vi kan jämföra Newtons algoritm med hur vi idag på gymnasiet förklarar metoden för att hitta en primitiv funktion. Vi minns från gymnasiets kurser att vi behöver dividera med dimensionen av exempelvis kvantiteten x för att få fram den primitiva funktionen. Detta ser vi är precis det som Newton gör i rad tre av figur 5. Newton påpekar här för läsaren att vi enkelt kan se om vi har gjort rätt. 46 Utgå från ekvationen du tog fram enligt ovan och genom lösningen till problem 1, ta fram relationen mellan fluxionerna. Jämför nu denna relation med den ursprungliga relationen vi hade. Är det likadana har vi gjort rätt, annars har vi gjort fel. Dessutom poängterar Newton att vi inte vill lägga för mycket vikt vid ovanstående lösning, eftersom du inte alltid kan använda dig av denna metod för att lösa detta problem. 47 Därför förbereder han nu läsaren för den generella lösningen av problemet. Den generella lösningen går ut på att reducera den ursprungliga ekvationen med hjälp av det inledande kapitlet av The Method of Fluxions, serieutveckling, för att kunna uttrycka ekvationen som en relation mellan y och x. Han särskiljer tre olika fall och avslutar problem 2 med att lösa dessa: 46 Newton. The Method of Fluxions, Ibid, 26: [ ] for it would be needless to dwell too long upon this matter, because the Problem cannot always be solved by this Artifice. 18

22 1. Ekvationer som innehåller två kvantiteters fluxioner, men bara en av de två fluenterna 2. Ekvationer som innehåller både de två kvantiteternas fluxioner och deras fluenter. 3. Ekvationer som innehåller två eller fler kvantiteters fluxioner. 48 Exempel på dessa ekvationer i respektive fall är: 1. y! xy x! x! = 0 2. yax xxy ax = x + ay z = Huddes metod i problem 2 Vi har tidigare sett hur Newton kunde använda Huddes regel i lösningen till problem 1 (avsnitt 5.1.1) och kommer se detta även i problem 3 (avsnitt 5.3.1). Vi ska nu se hur han kunde använda sig av metoden för att lösa problem 2. I figur 5 ser vi tydligt att Newton dividerar med talföljden både på vänster och höger del av tabellen. Om vi påminner oss om att Huddes metod innebär att vi vill multiplicera termerna i ekvationen med en talföljd (exempelvis ) kan vi se att Newtons algoritm för problem 2 tar hjälp av Huddes regel, fast baklänges. Detta stämmer väl överens med Newtons kommentar om att detta problem kan lösas på samma sätt som problem 1 men baklänges, som han påpekade i början av problem Problem 3: Att bestämma maximum och minimum 49 Det tredje problemet Newton presenterar i The Method of Fluxions är problemet med att hitta en kvantitets maximum eller minimum. Att vi har ett maxima eller minima förklarar Newton som att då är den sökta kvantiteten det största eller minsta som den kan vara; den flödar varken framåt eller bakåt, den har alltså ingen lutning. För att hitta denna punkt, förklarar Newton, behöver vi alltså först hitta relationen mellan fluxionerna genom lösningsmetoden för problem 1 och därefter sätta denna relation till noll. 50 Newton demonstrerar sin lösningsmetod genom ett exempel: Tag ekvationen x! ax! + axy y! = 0. Hitta fluxionerna genom problem 1, och sätt summan av dem lika med noll. 3xx! 2axx + axy + ayx 3yy! = 0 (5.3.1) Sätt nu också x till noll, eftersom vi inte vill att kvantiteten x flödar. Vi får då 3yy! = ayx 48 Newton. The Method of Fluxions, To determine the maxima and minima of quantities. 50 Newton. The Method of Fluxions, 44: When a Quantity is the greatest or the least that it can be, at that moment it neither flows backwards or forwards. For if it flows forwards, or increases, that proves it was less, and will presently be greater than it is. And the contrary if it flows backwards, or decreases. Wherefore find its Fluxion, by Prob 1. and suppose it to be nothing. 19

23 3y! = ax (5.3.2) Genom att först substituera detta i den ursprungliga ekvationen och lösa ut en av kvantiteterna, säg y, kan vi sedan använda detta värde för att ta reda på den andra Huddes metod i problem 3 Vad som är intressant att notera är att, efter att Newton har demonstrerat ovanstående exempel på hur man hittar en maximi- eller minimipunkt, påminner han läsaren om att samma resultat kan fås genom att använda Huddes regel. Newton skriver: This Operation is the same, as if you had multiply d the Terms of the proposed Equation by the number of the Dimensions of the other flowing Quantity y. From whence we may derive the famous Rule of Huddenius [ ]. 51 Med hjälp av kapitel ser vi hur vi kan använda Huddes regel i ovanstående problem. För att använda Huddes regel ordnar vi termerna i ekvationen efter dimensionen av y; y! axy + (ax! x! ) = 0. Notera att konstanten framför y! är noll, och multiplicera sedan alla termer med talföljden , 3 y! y! + 1 axy + 0 ax! x! = 0 (5.3.3) 3y! axy = 0 3y! = ax (5.3.4) vilket, som väntat, ger samma resultat som ekvation (5.3.2). Newton var alltså, som vi kan se i detta och många fler problem, väl införstådd i Huddes regel och hur den kunde användas. 5.4 Problem 4: Att rita tangenter till kurvor 52 Det problem jag tycker Newton visar på det mest eleganta sättet är det fjärde problemet i The Method of Fluxions; problemet att rita tangenter till kurvor. Newton visar här hela nio olika sätt att dra en tangent på. Dessa nio metoder att dra tangenter på behandlar de flesta kurvor, både parabler, cirklar, spiraler, ellipser med flera, som dåtidens matematiker var intresserade av att arbeta med. Jag har valt att titta närmare på Newtons första metod för tangentbestämning. Det är också intressant att undersöka utvecklingen av denna tangentmetod, samt varifrån Newton har fått sin inspiration till denna Tangentbestämning i The Method of Fluxions Börja med att titta på kurvan ED, figur 6, som är uppbyggd av abskissan AB och ordinatan BD. Vi vill nu hitta tangenten till kurvan i punkten D. 51 Newton. The Method of Fluxions, 44f. 52 To draw tangents to curves 20

24 Figur 6: Newton förklarar en metod för att kunna dra tangenten TD till kurvan ED i punkten D. (Newton 1736, s 46) Låt BD röra sig längs AB till bd, då kommer momentet, alltså den momentana förändringen, av BD vara cd, medan momentet av AB kommer vara Bb. Newton drar nu den räta linjen ddt, där T ligger på förlängningen av AB. För att ställa upp ett förhållande mellan de två trianglarna vi nu har fått använder han sig nu av likformighet, som i så många andra problem. Eftersom Dc är parallell med AB, och cd parallell med BD, får vi att TB/BD = Dc/cd. Eftersom vi genom ekvationen för kurvan, som beskriver förhållandet mellan x och y, också kan få fram förhållandet mellan x + xo och y + yo, alltså kvantiteternas värde då AB har ökat med Bb = Dc = xo, samt BD har ökat med cd = yo, kan vi bestämma TB som TB = BD x/y Influenser från Descartes För att se hur Newton har influerats av andra matematiker, behöver vi också titta närmare på hur han beskrev sin tangentmetod tidigare. Nedanstående metod är från Newtons tangentmetod från 1665 För att visa på hur Newton skapar tangenter ställer han upp ett exempel som visar hur metoden fungerar. 53 Antag att du har kurvan ax + x! = y! som figur 7 visar. Vårt mål är att dra tangenten ge. Metoden går ut på att hitta subnormalen bd till punkten e. För att göra detta söker Newton den streckade cirkel som tangerar kurvan i e, och har medelpunkt i d. För enkelhetens skull namnger han sträckorna i figuren enligt följande: ab = x, eb = y, bd = v, bc = o, cf = z samt noterar att ed = df då dessa är radie i cirkeln. Om punkten f ligger på kurvan får vi att: a x + o + x + o! = z! (5.4.1) ax + ao + x! + 2xo + o! = z! (5.4.2) Med hjälp av Pythagoras sats kan vi dessutom skriva v! + y! = (ed)! = fd! = z! + cd! (5.4.3) 53 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I,

25 Figur 7: Newton kan bestämma tangenten ge genom att först ta fram subnormalen bd till punkten e. (Westfall 1980, 129) Då cd = v o och med hjälp av ekvation (5.4.3) ovan får vi nu v! + y! = z! + v! 2vo + o! = = ax + ao + x! + 2xo + o! + v! 2vo + o! (5.4.4) Eftersom y! = ax + x! enligt ursprungliga ekvationen kan vi snygga till ekvation (5.4.4): v! = ao + 2xo + 2o! 2vo + v! 0 = ao + 2xo + 2o! 2vo 0 = a + 2x + 2o 2v (5.4.5) Newton konstaterar nu att eftersom vi vill att den sökta tangenten i e ska vara vinkelrät mot ed så måste e och f gå samman och bli en och samma punkt, då både e och f enligt antagande ska ligga på kurvan. Detta inträffar endast då bc = o blir noll. Han försummar alltså de termer som innehåller o, och ekvation (5.4.5) kan då skrivas som 0 = a + 2x 2v 2v = a + 2x v =! a + x (5.4.6)! Då vi nu har hittat subnormalen bd = v kan vi använda kända metoder för att bestämma normalen och senare tangenten till kurvan Jämförelse med Descartes tangentmetod Vi har redan i kapitel presenterat hur Descartes arbetade för att ta fram tangenten till en kurva. Jag vill därför nu titta på hur Newton eventuellt har influerats av denna metod då han själv tog fram sin tangentmetod från I likhet med Descartes använder sig Newton av antagandet att vi kan hitta en cirkel, med krökningscentrum i d, som tangerar kurvan i den givna punkten. Däremot ser vi en klar skillnad mellan deras metoder då Newton inför en oändligt kort sträcka o, för att kunna beskriva tangenten med hjälp av en oändligt kort förflyttning. Denna oändligt korta sträcka arbetade Descartes inte med då han bestämde tangenten. Istället tittade han på likheterna mellan representationerna av kurvans respektive cirkelns ekvationer. 22

26 Descartes kunde alltså, utan att använda sig av oändligt små sträckor eller förändringar, ta fram tangenten, det vill säga lutningen, i en punkt. Att Descartes inte använde sig av infinitesimaler, tror jag var mycket uppskattat av matematiker runt om i Europa. Detta eftersom man ännu inte kunde acceptera att man räknade med storheter som var oändligt små. Frågan man nu kan ställa sig är hur Newton började intressera sig för Descartes metod för bestämning av tangenter. Westfall anser att detta intresse kan ha uppkommit i samband med att Newton kom i kontakt med de metoder John Wallis använde där han jobbade med infinitesimaler. 54 Med hjälp av infinitesimala ökningar, försökte Newton förbättra Descartes metod för att bestämma tangenten genom subnormalen. Men denna representation slutade ofta i komplicerade ekvationer. Newton insåg då att om han kunde använda sig av en oändligt liten triangel efr, se figur 8, så skulle han kunna bestämma tangenten utan hjälp av Descartes cirkel. Detta innebar också att han inte skulle behöva bestämma subnormalen, men istället bestämma tangenten genom subtangenten. Denna lilla triangel efr som Newton använde för att ta reda på tangenten återfinns även i Leibniz differentialkalkyl. Leibniz kallade denna triangel den karaktäristiska triangeln och han hämtade antagligen inspiration till denna från Blaise Pascal. 55 I avsnitt ser vi att denna triangel även påträffas i Barrows metod för tangentbestämning och Fermat Figur 8: Den tänkta triangeln efr som Newton använde sig av då han arbetade för att förbättra Descartes tangentmetod (Westfall 1980, s 130) Det var inte bara Descartes som under talet försökte lösa problemet med att rita tangenter till kurvor. En annan stor matematiker som jobbade med detta var Fermat, som vi sett i avsnitt Låt oss börja med att titta på hur Newton presenterar sin tangentmetod år Westfall. Never at Rest: A Biography of Isaac Newton, Boyer. The History of the Calculus and its Conceptual Development, Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I,

27 Newtons tangentmetod från 1666 Följande metod för att bestämma tangenten till en punkt på kurvan är beskriven år 1666 i The October 1666 Tract on Fluxions. Newton definierar lösningen på problemet som att vi vill hitta rörelsen till de räta linjer vilka spänner upp kurvan och den hastighet med vilken de ökar eller minskar, kommer ge oss rörelsen av punkten som beskriver kurvan, vars rörelse är på tangenten 57. Figur 9: År 1666 presenterade Newton sin tangentmetod som problemet att ta fram subntangenten hb. (Whiteside 1967, s 417) Återigen demonstrerar Newton en lösning på problemet genom ett exempel. Tag ekvationen x! 3yx! + ayx! 2y! x + a! + 10a y! = 0, som beskriver förhållandet mellan de räta linjerna ab och bc enligt figur 9, där cb ad och dc ab och ab = x samt bc = y. Newton förklarar nu att för att dra tangenten hcr tittar vi på punkten c, och låter den röra sig mot punkten e, längs en rät linje ce parallell med ab, samt låter också c samtidigt röra sig mot punkten g, längs en rät linje cg parallell med ad. Vi kan nu dra linjerna ce och cg enligt förhållandet mellan hastigheterna för dessa rörelser. Då kommer diagonalen cr ligga längs tangenten. Eftersom, låt kalla hastigheten av linjen cb för p, och hastigheten för linjen cd för q, då kommer ce/gc = p/q = ce/er = hb/cb. Vi verifierar detta genom att titta på de likformiga trianglarna hbc samt cer. Eftersom p och q kan bestämmas ur kurvans ekvation har vi att hb = cb p/q (5.4.7) där hb är subtangenten. Då vi har bestämt subtangenten, och den punkt där tangenten kommer skära x- axeln, kan vi nu bestämma tangenten hcr Jämförelse med Fermats tangentmetod I The October 1666 Tract on Fluxions, demonstrerar Newton en metod för att hitta tangenten på ett annorlunda sätt mot vad han gjorde bara ett år tidigare. 57 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I, 416: Seeke [ ] y e motions of those streight lines to w ch y e crooked line is cheifly referred, &c w th what velocity they increase or decrease, & they shall give [ ] y e motion of y e point describing y e crooked line; w ch motion is in its tangent. 24