Kalkylens och analys historia. Vladimir Tkatjev ht2015

Transkript

1 Kalkylens och analys historia Vladimir Tkatjev ht2015

2 Några motiveringar för framväxt 1. Beräkning av areor begränsade av kurvor, volymer begränsade av ytor, tyngdpunkters läge m.m. 2. Givet en funktion, finn dess maxima och minima. 3. Givet en kurva, finn i en given punkt på kurvan dess tangent. 4. Givet en kropps acceleration som funktion av tiden, finns dess läge och hastighet.

3 Viktigaste etapper in kalkylens utveckling Areaberäkningar och volymsberäkningar (Arkimedes, Eudoxes) Decimala positionssystem (Al-Khwarizmi, Al-Kashi, Stevin) Trigonometri och logaritmer (Hipparchus, Pitiscus m.m., Napier)

4 Viktigaste etapper in kalkylens utveckling Areaberäkningar och volymsberäkningar (Arkimedes, Eudoxes) Decimala positionssystem (Al-Khwarizmi, Al-Kashi, Stevin) Trigonometri och logaritmer (Hipparchus, Pitiscus m.m., Napier) Astronomiska observationer och lagar (Brahe, Kepler) Reella talen som ett begrepp (Stevin, Viète, Napier) Matematiska skriftliga språket utvecklas och förfinas (Viète, Descartes) Koordinatsystem (Appolonius, Descartes)

5 Viktigaste etapper in kalkylens utveckling Areaberäkningar och volymsberäkningar (Arkimedes, Eudoxes) Decimala positionssystem (Al-Khwarizmi, Al-Kashi, Stevin) Trigonometri och logaritmer (Hipparchus, Pitiscus m.m., Napier) Astronomiska observationer och lagar (Brahe, Kepler) Reella talen som ett begrepp (Stevin, Viète, Napier) Matematiska skriftliga språket utvecklas och förfinas (Viète, Descartes) Koordinatsystem (Appolonius, Descartes) Areaberäkningar (kvadraturer) och volymsberäkningar för godtyckliga kurvor och kroppar (Kepler, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Wallis) Likformigt accelererad rörelse (Galilei) Tangenter till kurvor och extremproblem (Fermat, Descartes, Barrow, Roberval)

6 Viktigaste etapper in kalkylens utveckling Areaberäkningar och volymsberäkningar (Arkimedes, Eudoxes) Decimala positionssystem (Al-Khwarizmi, Al-Kashi, Stevin) Trigonometri och logaritmer (Hipparchus, Pitiscus m.m., Napier) Astronomiska observationer och lagar (Brahe, Kepler) Reella talen som ett begrepp (Stevin, Viète, Napier) Matematiska skriftliga språket utvecklas och förfinas (Viète, Descartes) Koordinatsystem (Appolonius, Descartes) Areaberäkningar (kvadraturer) och volymsberäkningar för godtyckliga kurvor och kroppar (Kepler, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Wallis) Likformigt accelererad rörelse (Galilei) Tangenter till kurvor och extremproblem (Fermat, Descartes, Barrow, Roberval) Newtons Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica Infinitesimalkalkyl av Newton och Leibniz Bernoulli bröderna och Euler

7 Viktigaste etapper in kalkylens utveckling Demokritos härledning av pyramidens volym (ca 400 f.kr.) Arkimedes och Evdoxos använder infinitesimala metoder och uttömningsmetoden för att bestämma areor och volymer (ca 250 f.kr.) Eudoxus: Om man från en given storhet tar bort mer an hälften av den, sedan från återstoden tar bort mer an hälften o.s.v., har men efter ändligt många steg en rest som är mindre än varje annan förut given storhet. Arkimedes axiom: givet två sträckor a och b finns det ett heltal n så att na > b

8 Viktigaste etapper in kalkylens utveckling Parabelns kvadratur Arkimedes ( f.kr.) bestämde arean av ett parabelsegment genom att succesivt fylla ut segmentet med trianglar vars areor han kunde bestämma. Sats 24 i Parabolens kvadratur: Parabolbitens area är fyra tredjedelar så stor som grundtriangelns area. Idé: att visa att de två inskrivna trianglarna PRQ och Prq har det samma arean som är en åttondedel av grundtriangelns PQq area, och applicera geometriska summan: k = = 4 3 Motsvarande problem att finna arean under en kurva y = f(x) försökte man på 1600-talet lösa genom att finna metoder for att summera rektangelareor

9 Viktigaste etapper in kalkylens utveckling Astronomi Tycho Brahes observations av planeten Mars (1500-talet): planeter rör sig längs elliptiska planetbanor Keplers lagar (1500-talet): solen ligger in ellipsens brännpunkt samt gäller det att förhållande T2 3 ger samma konstant för alla planeter: Period (jordens dagar) Varför just ellipsen?... r Mercury Venus Jorden Mars Jupiter Saturnus Radie (10 6 km) T 2 r 3 0,0398 0,0400 0,0395 0,0398 0,0398 0,0397 Newtons gravitationslagen (1687): nya matematiken krävdes!

10 Bonaventura Cavalieri ( ) Italiensk matematiker, verksam i Bolonga Geometria Indivisibilibus (1635): Cavalieri princip: Alla plana figurer som konstrueras mellan samma parallella linjer, inuti vilka godtyckliga linjer som är dragna på konstant avstånd från de parallella linjerna är lika stora i de delar som innesluts av figurerna, kommer att vara lika stora. Samma princip gäller volymer:

11 Grupparbete Visa att halvklotets volym är lika med volymen av konens komplementet inuti omskrivna cylinder:

12 Kvadraturer Evangelista Torricelli ( ) visade att en oändligt lång kropp vid rotation kunde generera en ändlig volym. Exempel: rotera y = 1 för x > 1 kring x-axeln. x Gilles de Roberval ( ): kvadraturen av cykloid (en kurva som bildas av en punkt på en rullande cirkel) m.m. en cykloid: Rene Descartes ( ): löste geometriska problem med algebra och omvänt, löste algebraiska ekvationer geometriskt. Löste bl.a. tangent och subnormalproblem

13 Räkna med Fermat (adaequalitas) Vi söker det största värdet av uttrycket ax x 2. Fermat visste från Euklides att det största värdet är a2 a2. Alltså finns det exakt två rötter till ekvationen för alla värde c som mindre än, 4 4 se bilden. Idén går tillbaka till Viète: antar att x 1 och x 2 är rötter av andragradsekvationen ax x 2 = c, d.v.s. ax 1 x 1 2 = ax 2 x 2 2 Konjugatregeln ger ax 1 ax 2 = x 2 2 x 1 2 = x 2 x 1 x 2 + x 1 och efterföljande division med x 2 x 1 ger x 2 + x 1 = a. När c närmar sig det största värde, de två rötterna sammanfaller, d.v.s. x 2 = x 1 = a/2 vilket ger det största värdet a2 4. Det gav Fermat en metod för att studera enklaste extremproblem. I den moderna formuleringen handlar det om kritiska punkter, dvs derivatornas nollställe.

14 Räkna med Fermat (adaequalitas) Metoden byggs på att man likställer f(x) och f(x + e). Fermat använder ett latinskt ord adequate ( to equal ). Till exempel, vi söker extrempunkter hus kurvan f x = 2x x 2. Adequate: 2x x 2 = 2(x + e) (x + e) 2 2e 2xe e 2 = 0 2 2x e = 0 vilket ger x = 1. Med hjälp av samma metod bestämmer Fermat även tangentens ekvation. Men det orsakade ett klurigt metodologiskt problem om division med noll.

15 Räkna med Fermat: kvadraturer Kvadratur (areaberäkningar): Räkna arean under kurvan y = x 3 där x = 0 a. Den moderna beteckningen a 0 x 3 dx. Fermat delar intervallet med hjälp av en geometrisk talföljd: där q 1 ger arean (se figuren). 0 < < q 3 a < q 2 a < qa < a Rektanglarnas area över kurvan räknas då som a 3 a aq + aq 3 (aq aq 2 ) + aq 2 3 (aq 2 aq 3 ) + = a 4 1 q 1 + q 4 + q 8 + = a4 (1 q) 1 q 4 = a q + q 2 + q 3 a4 4

16 Isaac Newton ( ) Det mest produktiva perioden när han vistades på landet (Woolsthorpe) Lärare: Isaac Barrow Halleys komet 1684 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687) Binomialteoremet för 1 x a oändliga serier differentialkalkylen (fluxionsmetod) gravitationslagen Bl.a. Differentialen (momenta) Lemma 2 ger produktregeln för derivata

17 Isaac Newton ( ) Binomialsatsen: x + y n = n i=0 n i x n y n Även för reella n, t.ex. 1 x Newtons rörelselagar 1 1/ 2 k 0 k / 2 k 1 x x F = m dv dt = ma

18 Isaac Newton ( ) Se även Newtons manuskript

19 Gottfrid Wilhelm Leibniz ( ) Tysk matematiker, filosof Leibniz är den som använde de beteckningar i analys vi använder idag dy dx, dy, ds, dx, d 2 y dx 2, ydx Karakteristiska triangel (sidor dx, dy, ds) År 1675: för första gången skrivet Partiell integration som vi skriver i dag ydx, kallad summa. Leibniz hade inte den dynamiska syn som Newton, som betraktade fluenter som varierade med tiden. Där Newton såg hastigheter och sträckor såg Leibniz differenser och summor. Kalkylen upptäcktes oberoende av dem, de var lika lite rigorösa och en del missuppfattningar kom att orsaka en dispyt med långvariga efterdyningar.

20 Analys efter Newton och Leibniz Bernoulli: Schweizisk familj som producerat flera framstående matematiker. Bl.a. Jakob Bernoulli (grundarna till matematisk analys, isoperimetriskt problem, sannolikhetslära, kombinatorik, Bernoullifördelning, Bernoullital) Johann Bernoulli (tillämpad matematik, en ekvation för kedjekurvan, partialbråksuppdelning) Daniel Bernoulli ( svängande strängen med hjälp av trigonometriska serier, hydrodynamik, Bernoullis princip, sannolikhetslära)

21 Analys efter Newton och Leibniz Leonhard Euler ( ), schweizisk matematiker som var verksam i Berlin och Sankt Petersburg. En elev till Johann Bernoulli. De första verken som använde kalkylen för att studera funktioner som allmänt begrepp (och inte kurvor) skrevs av Euler, tidernas mest produktive matematiker och problemlösare (under 60 år skrev 800(!) sidor om året). För Euler var integration det invers till derivering, inte att räkna ut en area. Introductio in analysin infinitorum (1748) och Institutiones calculi differentialis (1755) Komplexa tal och deras betydelse för analys Eulers formel 1769 presenterar Euler begreppet dubbelintegral och gör variabelbyten. ζ-funktionen, bl.a. ett berömt samband (Baselproblemet) ζ 2 Elliptiska funktioner m.m. = = π2 topologi: ett förhållande som gäller för alla konvexa polyedrar: H K + S = 2, där H står för antalet hörn, K antalet kanter och S antalet sidor. 6

22 Analys efter Newton och Leibniz Rigorösa definitioner Bernhard Bolzano ( ) och Augustine Cauchy ( ) gav goda definitioner av de svåra begreppen gränsvärde, kontinuitet, derivata och integral. Att de inte är vad vi har i dag beror på att man inte hade någon definition av begreppet reellt tal. Konvergens och likformig konvergens var länge problematiska och många misstag gjordes vid gränsövergångar och omsummeringar. Först 1858 kunde Richard Dedekind ( ) definiera reella tal med s k snitt. Komplex analys Cauchy och C.F. Gauss ( ) Från ca 1820 utvecklades analysen med komplexvärda funktioner av komplexa variabler av bl. a. Cauchy och Gauss. Den senares doktorsavhandling 1799 är ett bevis för algebrans fundamentalsats som säger att varje polynom har ett nollställe.

23 Referenser T. Hall, Matematikens utveckling, Gleerups, 1970 B.G. Johansson, Matematikens historia, Studentlitteratur, 2004 J. Thompson, Matematiken i historien, Studentlitteratur, 1996 S. Kaijser, Den kurviga vägen till kalkylen, 2010 B. Sjöberg, Från Euklides till Hilbert, Åbo Akademi, 2001 O. Axling, Analysens och kalkylens historia, föreläsningsanteckningar Wikipedia