Kapitel 6: Algebra. Detta kapitel är en översikt över grunderna i att använda algebraiska funktioner.

Transkript

1 Kapitel 6: Algebra 6 Översikt över algebra...84 Använda definierade eller odefinierade variabler...85 Använda Exact-, Approximate- och Auto-lägena...87 Automatisk förenkling...90 Fördröjd förenkling för vissa inbyggda funktioner...92 Substituera värden och ange restriktioner...93 Översikt över menyn Algebra...96 Vanliga algebraiska operationer...98 Översikt över menyn Calc Vanliga beräkningsoperationer Användardefinierade funktioner och symbolisk hantering Felmeddelande om att minnet håller på att ta slut Specialkonstanter som används i algebra Detta kapitel är en översikt över grunderna i att använda algebraiska funktioner. Du kan enkelt utföra symboliska beräkningar från grundfönstret. Kapitel 6: Algebra 83

2 Översikt över algebra Lös ekvationssystemet 2x ì 3y = 4 och ëx + 7y = ë12. Lös den första ekvationen så att x uttrycks i termer med y. Substituera uttrycket för x i den andra ekvationen och räkna ut värdet av y. Byt sedan tillbaka värdet y till den första ekvationen för att lösa x-värdet. Steg Tangenter Teckenfönster 1. Visa grundfönstret och rensa inmatningsraden. Lös ekvationen 2x ì 3y = 4 för x. Tryck på 1 för att välja solve( från menyn Algebra. Du kan också skriva solve( med tangentbordet. " MM 1 2X 3YÁ4 bxd 2. Börja med att lösa ekvationen ëx + 7y = ë12 för y, men tryck inte på än. 1 X «7YÁ 12bYd 3. Använd operatorn "with" (2 K) för att substituera uttrycket för x som beräknades från den första ekvationen. Detta ger y-värdet. Operatorn "with" visas som symbolen i fönstret. Använd den automatiska inklistringsfunktionen för att markera det sista svaret i historielistan och klistra in det på inmatningsraden. 2 K C 4. Markera ekvationen för x i historielistan. CCC 5. Klistra automatiskt in det markerade uttrycket på inmatningsraden. Substituera sedan y-värdet som räknades ut i den andra ekvationen. Lösningen är: x = ë8/11 och y = ë20/11 2 K C 84 Kapitel 6: Algebra

3 Använda definierade eller odefinierade variabler När du utför algebraiska operationer är det viktigt att du förstår innebörden av att använda odefinierade och definierade variabler. Annars finns det risk för att resultatet visas i ett tal i stället för ett algebraiskt uttryck, som du förväntade dig. Hur odefinierade och definierade variabler behandlas Tips! När du definierar en variabel bör du använda mer än ett tecken i namnet. Låt namn med ett tecken vara odefinierade för algebraiska uträkningar. När du matar in ett uttryck som innehåller en variabel behandlas variabeln på ett av två sätt. Om variabeln är odefinierad behandlas den som en algebraisk symbol. Om variabeln är definierad (även om den är definierad som 0), substituerar värdet variabeln. För att förstå varför detta är viktigt visas ett exempel där vi antar att du vill hitta första derivatan av xò med avseende på x. Om x är odefinierad visas resultatet antagligen på det sätt du förväntade dig. Om x är definierad kan resultatet visas på ett sätt som du inte förväntade dig. Resultatet 75 kan vara missvisande om du inte visste att 5 sparats i variabeln x förut. Avgöra om en variabel är odefinierad Metod: Skriv variabelnamnet. Exempel: Om den är definierad visas variabelns värde. Obs! Använd 2 för att visa en lista med definierade variabler, enligt beskrivningen i kapitel 18. Använd funktionen gettype. Om den är odefinierad visas variabelns namn. Om den är definierad visas variabelns typ. Om den är odefinierad visas "NONE". Kapitel 6: Algebra 85

4 Använda odefinierade och definierade variabler (fortsättning) Ta bort en definierad variabel Du kan "odefiniera" en definierad variabel genom att ta bort den. Om du vill ta bort: En eller flera angivna variabler Gör du följande: Använd funktionen DelVar. Obs! Information om mappar finns i kapitel 10. Alla variabler med en bokstav som namn (a z) i den aktuella mappen Du kan också ta bort variabler genom att använda fönstret VAR-LINK ( 2 ), enligt beskrivning i kapitel 18. Tryck på ˆ Clear a-z från grundfönstret. Du blir uppmanad att trycka på för att bekräfta raderingen. Tillfälligt åsidosätta en variabel Genom att använda 2 K för att skriva operatorn "with" ( ) kan du göra följande: Tillfälligt åsidosätta en variabels definierade värde. Obs! Mer information om operatorn finns på sidan 93. Tillfälligt definiera ett värde för en odefinierad variabel. 86 Kapitel 6: Algebra

5 Använda Exact-, Approximate- och Auto-lägena Lägesinställningarna Exact/Approx, som beskrivs kortfattat i kapitel 2, påverkar direkt den precision och noggrannhet med vilken räknaren beräknar ett resultat. I det här avsnittet beskrivs dessa inställningar, eftersom de har att göra med algebra. EXACT När Exact/Approx = EXACT, används exakt rationell aritmik med upp till 614 siffror i täljaren och 614 siffror i nämnaren. Med inställningen EXACT gör du följande: Omvandlar irrationella tal till standardformat så långt det är möjligt utan att avrunda dem. Exempelvis omvandlas 12 till 2 3 och ln(1000) omvandlas till 3 ln(10). Konverterar decimaltal till rationella tal. Exempelvis omvandlas 0,25 till 1/4. Funktionerna solve, csolve, zeros, czeros, factor,, fmin och fmax använder bara exakta symboliska algoritmer. Dessa funktioner beräknar inte uppskattade resultat i inställningen EXACT. Vissa ekvationer, exempelvis 2 x = x, har lösningar som inte kan beskrivas av funktioner och operatorer på TI-92. Med denna typ av ekvation räknar inte EXACT ut avrundade lösningar. Exempelvis har 2 x = x den avrundade lösningen x , men den visas inte med inställningen EXACT. Fördelar Resultaten är exakta. Nackdelar När du använder mer komplicerade rationella tal och irrationella konstanter kan beräkningarna: Använda mer minne, vilket kan göra att minnet tar slut innan lösningen är klar. Ta längre tid. Skapa skrymmande resultat som är svårare att förstå än ett decimaltal. Om du använder funktionerna solve, csolve, zeros, czeros, factor,, fmin eller fmax visas bara de exakta lösningarna. Om ett resultat inte kan visas exakt visas i stället ett närmevärde. Kapitel 6: Algebra 87

6 Använda Exact-, Approximate- och Auto-lägena (fortsättning) APPROXIMATE När Exact/Approx = APPROXIMATE omvandlas rationella tal och irrationella konstanter till decimaltal. Följande undantag finns dock: Vissa inbyggda funktioner som förväntar sig att ett av sina argument ska vara heltal kommer att omvandla det talet till ett heltal, om det är möjligt. Exempelvis omvandlas d(y(x), x, 2.0) till d(y(x), x, 2). Hela decimaltalsexponenter omvandlas till heltal. Exempelvis omvandlas x 2.0 till x 2, även i inställningen APPROXIMATE. Funktioner som exempelvis solve och (integrate) kan använda både exakt symboliska och ungefärliga numeriska tekniker. Dessa funktioner hoppar över alla eller en del av sina exakta symboltekniker med inställningen APPROXIMATE. Fördelar Om du inte behöver exakta resultat kan detta spara tid och/eller använda mindre minne än inställningen EXACT. Ungefärliga resultat är ibland mer kompakta och förståeliga än exakta resultat. Om du inte planerar att använda symboliska beräkningar liknar ungefärliga resultat bekanta, vanliga numeriska räknare. Nackdelar Resultat med odefinierade variabler eller funktioner visas ofta som ofullständiga lösningar. En koefficient som exempelvis borde bli 0 kanske i stället visas som ett litet tal, t ex E-11. Symboliska åtgärder, som exempelvis gränsvärden och integration, har mindre chans att ge tillfredsställande resultat med inställningen APPROXIMATE. Ungefärliga resultat är ibland mindre kompakta och förståeliga än exakta resultat. Du kanske exempelvis föredrar att visa 1/7 i stället för Kapitel 6: Algebra

7 AUTO När Exact/Approx = AUTO används exakt rationell aritmetik överallt där operanderna är rationella tal. Annars används decimaltalsaritmetik efter att rationella operander har omvandlats till decimaltal. Decimaltal är med andra ord "bestämmande". Exempel: 1/2 1/3 görs om till 1/6 men 0.5 1/3 görs om till Detta decimaltalsövertagande överlappar inte barriärer som exempelvis odefinierade variabler eller mellan element i listor eller matriser. Exempel: (1/2-1/3) x + (0.5 1/3) y görs om till x/ y och {1/2-1/3, 0.5 1/3} görs om till {1/6, } I inställningen AUTO räknar funktioner, som exempelvis solve, ut så många lösningar som möjligt exakt och använder sedan de ungefärliga numeriska metoderna om det behövs för att räkna ut ytterligare lösningar. På liknande sätt använder (integral) ungefärliga numeriska metoder när exakta symboliska metoder inte fungerar. Fördelar Exakta resultat visas när det är praktiskt och ungefärliga numeriska resultat visas när exakta resultat är opraktiska Du kan ofta styra formatet för ett resultat genom att ange några koefficienter som antingen rationella tal eller som decimaltal. Nackdelar Om du bara är intresserad av exakta resultat kan det vara bortkastad tid att söka efter ungefärliga resultat. Om du bara är intresserad av ungefärliga resultat kan det vara bortkastad tid att söka efter exakta resultat. Dessutom kanske minnet tar slut när du söker efter dessa exakta resultat. Kapitel 6: Algebra 89

8 Automatisk förenkling När du matar in ett uttryck på inmatningsraden och trycker på, förenklas automatiskt uttrycket enligt reglerna för uttryckets standardförenkling. Regler för standardförenkling Alla av de följande reglerna tillämpas automatiskt. Du ser inte mellanresultaten. Om en variabel har ett definierat värde substituerar det värdet variabeln. Om variabeln definieras av en annan variabel, substitueras variabeln med denna variabels värde. Obs! Information om mappar finns i kapitel 10. Obs! Se "Fördröjd förenkling för vissa inbyggda funktioner" på sidan 92. Standardförenkling ändrar inte variabler som använder sökvägsnamn för att ange en mapp. Exempelvis förenklas inte x+class\x till 2x. För funktioner: Argumenten förenklas. (Vissa inbyggda funktioner fördröjer förenkling av vissa av deras argument.) Om funktionen är inbyggd eller användardefinierad tillämpas funktionsdefinitionen på de förenklade argumenten. Därefter substitueras funktionsformen med detta resultat. Numeriska uttryck kombineras. Produkter och summor sorteras i ordning. Produkter och summor som involverar odefinierade variabler sorteras efter den första bokstaven i variabelnamnet. Odefinierade variabler från r till och med z antas vara verkliga variabler och placeras i alfabetisk ordning i början av summan. Odefinierade variabler från a till och med q antas motsvara konstanter och placeras i alfabetisk ordning i slutet av summan (men före tal). Liknande faktorer och liknande termer samlas ihop. 90 Kapitel 6: Algebra

9 Identiteter med nollor och ettor förkortas. Detta decimaltal gör att resultatet visas som ett decimaltal. Om ett helt decimaltal anges som exponent, används det som ett heltal (och resultatet blir sålunda inte ett decimaltal). Polynomets största gemensamma nämnare bryts ut och förkortas. Polynomet utvecklas så att det inte kan förkortas mer. Ingen förkortning Gemensamma nämnare används om de inte kan förkortas. Ingen förkortning Funktionsidentiteter förkortas. Exempel: ln(2x) = ln(2) + ln(x) och sin(x)ñ + cos(x)ñ = 1 Hur lång tid tar förenklingsprocessen? Beroende på komplexiteten hos en inmatning, ett resultat eller ett mellanled, kan det ta lång tid att utveckla ett uttryck och ta bort den gemensamma nämnaren som behövs för förenkling. Du kan avbryta en förenklingsprocess som tar för lång tid genom att trycka på. Du kan därefter pröva med att förenkla endast en del av uttrycket. (Klistra in hela uttrycket automatiskt på inmatningsraden och ta sedan bort de delar som inte ska vara med.) Kapitel 6: Algebra 91

10 Fördröjd förenkling för vissa inbyggda funktioner Vanligtvis förenklas variabler automatiskt till sin lägsta möjliga nivå innan de används i en funktion. För vissa funktioner fördröjs dock fullständig förenkling tills funktionen har utförts. Funktioner som använder fördröjd förenkling Funktioner som använder fördröjd förenkling har ett var-argument som är obligatoriskt och som utför funktionen med avseende på en variabel. Dessa funktioner har minst två argument med den allmänna formen: funktion(uttryck, var [,... ]) Obs! Det är inte alla funktioner som använder ett var-argument som använder fördröjd förenkling. Exempel: solve(x^2ìxì2=0,x) d(x^2ìxì2,x) (x^2ìxì2,x) limit(xñìxì2,x,5) Obs! Du kan definiera ett numeriskt värde för var om du vill, beroende på situationen. För en funktion som använder fördröjd förenkling: 1. Variabeln var förenklas till den lägsta nivå där variabeln fortfarande är en variabel (även om den fortfarande kan förenklas till ett icke-variabelvärde, t ex 5). 2. Funktionen utförs med hjälp av variabeln. 3. Om var kan förenklas ytterligare ersätts i så fall det värdet i resultatet. Exempel: x kan inte förenklas. Obs! I exemplet till höger beräknas derivatan av xò då x=5. Om xò ursprungligen förenklades till 75 skulle du få derivatan av 75, vilket inte är det du vill ha. x är inte förenklad. Funktionen använder xò och substituerar x med 5. x förenklas till t. Funktionen använder tò. x förenklas till t. Funktionen använder tò och substituerar t med Kapitel 6: Algebra

11 Substituera värden och ange restriktioner Med operatorn "with" ( ) kan du tillfälligt substituera värden i ett uttryck eller ange restriktioner. Skriva med operatorn "with" Om du vill skriva operatorn "with" ( ), skriver du 2 K på tangentbordet. Substituera en variabel För varje förekomst av en angiven variabel kan du substituera den med ett numeriskt värde eller uttryck. Första derivatan av xò med x = 5 Om du vill substituera flera variabler på samma gång använder du den booleska operatorn and. Substituera ett enkelt uttryck För varje förekomst av ett enkelt uttryck kan du substituera det med en variabel, ett numeriskt värde eller ett annat uttryck. Genom att substituera en ofta använd (eller lång) term, kan du visa resultat i en mer kompakt form. Substitution av sin(x) med s visar att uttrycket är ett polynom med avseende på sin(x). Substituera komplexa värden Du kan substituera komplexa värden precis som med andra värden. Obs! Översikt över komplexa tal finns i bilaga B. Tips! För att få den imaginära enheten i, trycker du på 2 ). Skriv inte bara I på tangentbordet. Alla odefinierade variabler behandlas som verkliga tal i symboliska beräkningar. För att kunna utföra komplexa symboliska analyser måste du definiera en komplex variabel. Exempel: x+yi!z Du kan därefter använda z som en komplex variabel. Kapitel 6: Algebra 93

12 Substituera värden och ange restriktioner (fortsättning) Gränser för substitueringar Substitueringar uppstår bara om det finns en exakt matchning för ersättningen. Endast x 2 substituerades, inte x 4. Ange substitutionen i enklare termer för att få en fullständig substitution. Oändlig rekursion kan endast inträffa när du definierar en substitueringsvariabel uttryckt i sig själv. sin(x) x=x+1 sin(x) x=y and y=x Substituerar sin(x+1), sin(x+1+1), sin(x+1+1+1) osv. Substituerar sin(y), sin(x), sin(y), sin(x) upprepningsvis. När du anger en substitution som orsakar en oändlig rekursion: Visas ett felmeddelande. När du trycker på N visas ett fel i historielistan. Internt sorteras ett uttryck enligt reglerna för den automatiska förenklingen. Av den anledningen kanske inte produkter och summor matchar den ordning s om du skrev dem i. Tips! Använd funktionen solve för att få hjälp med att avgöra hur substitutionen ska se ut. Som en allmän regel bör du substituera mot en enstaka variabel. Att substituera mot mer allmänna uttryck (antingen møcñ=e eller cñøm=e) kanske inte fungerar så som du hade tänkt dig. Ingen matchning för substitution 94 Kapitel 6: Algebra

13 Ange restriktioner Många identiteter och transformationer är endast giltiga inom ett begränsat definitionsområde. Exempel: ln(xùy) = ln(x) + ln(y) sinê(sin(q)) = q bara om x och/eller y inte är negativa bara om q ëp/2 och q p/2 radianer Använd operatorn "with" för att ange restriktioner. Tips! Mata in ln(xùy) i stället för ln(xy); annars tolkas xy som en enstaka variabel med namnet xy. Tips! För eller, skriver du >= eller <= på tangentbordet. Du kan också använda 2 I 8 eller 2 2 för att välja dem från en meny. 2 Q Eftersom ln(xùy) = ln(x) + ln(y) inte alltid är giltiga, kombineras inte logaritmerna. Med en restriktion är identiteten giltig och uttrycket förenklas. Eftersom sinê(sin(q)) = q inte alltid är giltig, förenklas inte uttrycket. Med en restriktion kan uttrycket förenklas. Använda substitutioner eller definiera en variabel Ofta kan du nå samma resultat som vid substitution genom att definiera variabeln. Substitution är dock att föredra i de flesta fall eftersom variabeln endast definieras för den aktuella beräkningen och påverkar inte efterföljande beräkningar. Substitution av x=1 påverkar inte nästa beräkning. Varning! När x är definierad kan det påverka alla beräkningar som involverar x (tills du tar bort x). Sparar du 1!x påverkar det efterföljande beräkningar. Kapitel 6: Algebra 95

14 Översikt över menyn Algebra Du kan använda menyn Algebra för att välja de senast använda algebraiska funktionerna. Menyn Algebra Från grundfönstret trycker du på för att visa: Obs! I bilaga A finns en fullständig beskrivning av varje funktion och dess syntax. Denna meny är även tillgänglig från menyn MATH. Tryck på 2 I och välj sedan 9:Algebra. Menyalternativ solve factor expand zeros approx comdenom propfrac nsolve Beskrivning Löser ett uttryck med avseende på en angiven variabel. Detta returnerar endast verkliga lösningar, oavsett lägesinställningen Complex Format. (För komplexa lösningar väljer du A:Complex på menyn Algebra.) Faktoruppdelar ett uttryck med avseende på alla dess variabler eller med avseende på endast en variabel. Utvecklar ett uttryck med avseende på alla dess variabler eller med avseende på en variabel. Anger värdet för en variabel som gör ett uttryck lika med noll. Beräknar ett uttryck med hjälp av decimaltalsaritmetik, så långt det är möjligt. Detta är det samma som att använda 3 för att ange Exact/Approx = APPROXIMATE (eller använda för att beräkna ett uttryck). Beräknar en gemensam nämnare för alla termer i ett uttryck, förenklar uttrycket och anger det i bråkform. Förenklar ett uttryck som ett egentligt bråk. Beräknar en enstaka lösning för en ekvation som ett decimaltal (till skillnad från solve, som kan visa flera lösningar i ett rationellt eller symbolisk format). 96 Kapitel 6: Algebra

15 Menyalternativ Trig Beskrivning Visar undermenyn: Complex texpand tcollect Visar undermenyn: Expanderar trigonometriska uttryck med vinkelsummor och multipla vinklar. Samlar produkten av heltalsexponenter av trigonometriska funktioner i vinkelsummor och multipla vinklar. tcollect är inversen till texpand. Dessa funktioner är de samma som solve, factor och zeros, men de beräknar också komplexa resultat. Extract Visar undermenyn: Obs! Funktionerna left och right används också för att returnera en angivet antal element eller tecken från den vänstra eller högra sidan i en lista eller teckensträng. getnum Tillämpar comdenom och returnerar sedan den resulterande täljaren. getdenom Tillämpar comdenom och returnerar sedan den resulterande nämnaren. left right Returnerar den vänstra sidan av en ekvation eller olikhet. Returnerar den högra sidan av en ekvation eller olikhet. Kapitel 6: Algebra 97

16 Vanliga algebraiska operationer I det här avsnittet finns exempel som visar några av de funktioner som finns på verktygsmenyn Algebra. Utförlig information om olika funktioner finns i bilaga A. Vissa algebraiska operationer kräver ingen specialfunktion. Addera och dividera polynom Du kan addera eller dividera polynom direkt, utan att använda en specialfunktion. Faktoruppdela och utveckla polynom Använd funktionerna factor ( 2) och expand ( 3). factor(uttryck [,var]) faktoruppdelning med avseende på en variabel expand(uttryck [,var]) För partiell utveckling med avseende på en variabel Faktoruppdela x 5 ì 1. Utveckla sedan resultatet. Lägg märke till att factor och expand utför inversa operationer. Söka efter primtalsfaktorer av ett tal Med funktionen factor ( 2) kan du göra mer än bara faktoruppdela ett algebraiskt polynom. Du kan söka efter primtalsfaktorer i ett rationellt tal (antingen ett heltal eller bråk med heltal). Söka efter en partiell utveckling Med den valfria var-variabeln som hör till funktionen expand ( 3), kan du göra en partiell utveckling som samlar variabler med samma exponent. Utveckla (xñ ì x) (yñ ì y) fullständigt med avseende på alla variabler. Gör sedan en partiell utveckling med avseende på x. 98 Kapitel 6: Algebra

17 Lösa en ekvation Använd funktionen solve ( 1) för att lösa en ekvation med avseende på en angiven variabel. solve(ekvation, var) Lös x + y ì 4 = 2x ì 5y för x. Lägg märke till att solve endast visar det slutliga resultatet. Om du vill se mellanleden kan du manuellt lösa ekvationen steg för steg. Obs! En åtgärd som 2 X subtraherar 2x från båda sidor. 2 X Y «4 p 1 Lägg märke till att resultatet i detta exempel automatiskt omvandlas till x = 2 (3y ì 2). Du kan använda expand för att erhålla x = 6y ì 4. Lösa ett linjärt ekvationssystem Obs! Matrisfunktionerna simult och rref finns inte på menyn Algebra. Använd 2 I 4 eller 2 ½. Tänk dig två uppsättningar ekvationer med två obekanta 2x ì 3y = 4 ëx + 7y = ë12 Lös detta ekvationssystem med någon av följande metoder. Metod Använd funktionen solve med substitutionen ( ). Använd funktionen simult med en matris. Exempel Se översikten i början av detta kapitel, där x = ë8/11 och y = ë20/11 löstes. Mata in koefficienterna i en matris och resultatet som en konstant kolumnmatris. Använd funktionen rref med en matris. Mata in koefficienterna i en utvidgad matris. Kapitel 6: Algebra 99

18 Vanliga algebraiska operationer (fortsättning) Söka efter nollvärden i ett uttryck Tips! För eller skriver du >= eller <= på tangentbordet. Du kan också använda 2 I 8 eller 2 2 för att välja dem på en meny. Använd funktionen zeros ( 4). zeros(uttryck, var) Använd uttrycket x ù sin(x) + cos(x). Sök efter nollställen med avseende på x i intervallet 0 x 3. Använd operatorn "with" (2 K) för att ange intervallet. Söka efter egentliga bråk och gemensamma nämnare Obs! Du kan använda comdenom med ett uttryck, en lista eller en matris. Använd funktionerna propfrac ( 7) och comdenom ( 6). propfrac(rationellt uttryck [,var]) comdenom(uttryck [,var]) Sök ett egentligt bråk för uttrycket (x 4 ì2xñ+ x) / (2xñ+ x + 4). Omvandla sedan resultatet till ett bråk med fullständigt utvecklad täljare och en fullständigt utvecklad nämnare. Lägg märke till att propfrac och comdenom utför inversa operationer. I detta exempel: 31 x xñ 2 ì x ì 15/8 är kvoten. 4 för egentliga bråk med avseende på en variabel för gemensamma nämnare som samlar lika exponenter av en variabel Om du utför denna operation på räknaren, rullar funktionen propfrac ut från fönstret. är återstoden av x 4 ì2xñ+x dividerat med 2xñ+x Kapitel 6: Algebra

19 Översikt över menyn Calc Du kan använda menyn Calc för att välja beräkningsfunktioner som du ofta använder. Menyn Calc Från grundfönstret trycker du på för att visa: Obs! En fullständig beskrivning av varje funktion och dess syntax finns i bilaga A. Denna meny är även tillgänglig på menyn MATH. Tryck på 2 I och välj sedan A:Calculus. Obs! Symbolen d för derivatan är en specialsymbol. Det är inte samma symbol du får genom att skriva D på tangentbordet. Menyalternativ d differentiate Beskrivning Deriverar ett uttryck med avseende på en variabel. integrate Integrerar ett uttryck med avseende på en variabel. limit G sum Π product fmin fmax arclen taylor nderiv nint Beräknar gränsvärdet av ett uttryck med avseende på en variabel. Beräknar ett uttryck med diskreta variabelvärden inom ett intervall och beräknar sedan summan. Beräknar ett uttryck med diskreta variabelvärden inom ett intervall och beräknar sedan produkten. Söker efter värden på en angiven variabel där ett uttryck har minimum. Söker efter värden på en angiven variabel där ett uttryck har maximum Beräknar båglängden av ett uttryck med avseende på en variabel. Beräknar Taylors polynomapproximation till ett uttryck med avseende på en variabel. Beräknar den numeriska derivatan av ett uttryck med avseende på en variabel. Beräknar en integral som ett decimaltal med Gauss kvadraturformel (en approximering med vägt medelvärde av integrandernas värden). Kapitel 6: Algebra 101

20 Vanliga beräkningsoperationer I det här avsnittet finns exempel som beskriver en del av de funktioner som finns på menyn Calc. I bilaga A finns utförlig information om alla funktioner. Integration och derivering Använd funktionerna integrate ( 2) och d differentiate ( 1). (uttryck, var [,undre] [,övre]) d (uttryck, var [,ordning]) låter dig ange gränsvärden eller en integrationskonstant Obs! Du kan endast integrera ett uttryck, du kan derivera ett uttryck, lista eller matris. Integrera xñùsin(x) med avseende på x. Derivera resultatet med avseende på x. För att få d, använd 1. Skriv inte D med tangentbordet. Söka ett gränsvärde Använd funktionen limit ( 3). limit(uttryck, var, punkt [,riktning]) negativt = från vänster positivt = från höger uteslutet eller 0 = båda Obs! Du kan söka efter ett gränsvärde för ett uttryck, en lista eller matris. Söka efter ett gränsvärde för sin(3x) / x då x går mot 0. Söka efter ett Taylor-polynom Använd funktionen taylor ( 9). taylor(uttryck, var, ordning [,punkt]) Om denna utesluts, är expansionspunkten 0 Sök efter ett 6:e ordningens Taylorpolynom för sin(x) med avseende på x. Spara resultatet som en användardefinierad funktion med namnet tf(x). Plotta sedan sin(x) och Taylor-polynomet. Graph sin(x):graph tf(x) 102 Kapitel 6: Algebra

21 Användardefinierade funktioner och symbolisk hantering Du kan använda en användardefinierad funktion som ett argument för de inbyggda algebraiska funktionerna och beräkningsfunktionerna. Information om hur du skapar en användardefinierad funktion Se följande avsnitt: "Skapa och beräkna användardefinierade funktioner" i kapitel 10. "Plotta en funktion som är definierad i grundfönstret " och "Plotta en funktion som består av flera delar " i kapitel 15. "Översikt över att mata in en funktion" i kapitel 17. Odefinierade funktioner Tips! Du väljer d på menyn Calc genom att trycka på 1. Du kan använda funktioner som exempelvis f(x), g(t), r(q) osv, som inte har tilldelats en definition. Dessa "odefinierade" funktioner ger symboliska resultat. Exempel: Använd DelVar för att försäkra att f(x) och g(x) inte är definierade. Sök sedan derivatan av f(x)ùg(x) med avseende på x. Funktioner bestående av ett uttryck Tips! Du väljer limit på menyn Calc genom att trycka på 3. Du kan använda användardefinierade funktioner som består av ett enda uttryck. Exempel: Använd för att skapa en användardefinierad sekansfunktion där: 1 sec(x) = cos(x) Sök sedan gränsvärdet för sec(x) då x går mot p/4. Använd Define för att skapa en användardefinierad funktion h(x) där: Tips! Du väljer på menyn Calc genom att trycka på 2. Du väljer taylor genom att trycka på 9. h(x)= sin(t) / t Sök sedan den 5:e ordningens Taylorpolynom för h(x) med avseende på x. Definiera h(x)= (sin(t)/t,t,0,x). Kapitel 6: Algebra 103

22 Funktioner bestående av flera respektive ett uttryck Användardefinierade funktioner som består av flera uttryck bör endast användas som ett argument för numeriska funktioner (exempelvis nderiv och nint). I vissa fall kan du dock skapa en ekvivalent funktion som består av ett uttryck. Tänk dig en delad funktion med två delar. När: x < 0 Använder du uttrycket: ëx x 0 5 cos(x) Skapa en användardefinierad funktion som består av flera uttryck som ser ut så här: Func If x<0 Then Return ëx Else Return 5cos(x) EndIf EndFunc Definiera y1(x)=func:if x<0 Then:... :EndFunc Tips! Du väljer nint på menyn Calc genom att trycka på B. Integrera sedan numeriskt y1(x) med avseende på x. Skapa en ekvivalent användardefinierad funktion som består av ett uttryck. Använd den inbyggda funktionen when. Definiera y1(x)=when(x<0,ëx, 5cos(x)) Tips! Du väljer på menyn Calc genom att trycka på 2. Integrera sedan y1(x) med avseende på x. Tryck på för ett decimaltalsresultat. 104 Kapitel 6: Algebra

23 Felmeddelande om att minnet håller på att ta slut Mellanled sparas i minnet och tas sedan bort när uträkningen är klar. Beroende på hur komplex beräkningen är kan minnet ta slut innan resultatet kan beräknas. Frigöra minne Ta bort variabler som inte behövs, särskilt de som är stora. Använd 2 enligt beskrivningen i kapitel 18 för att visa och ta bort variabler. I grundfönstret: Rensa historielistan (ƒ 8) eller ta bort historiepar som inte behövs. Du kan också använda ƒ 9 för att minska antalet historiepar som sparas. Använd 3 för att ange Exact/Approx = APPROXIMATE. (När det gäller resultat med fler siffror används på detta sätt mindre minne än med AUTO eller EXACT. När det gäller resultat som bara har några få siffror används på detta sätt mer minne.) Förenkla problem Dela upp problemet i mindre delar. Dela upp solve(aùb=0,var ) i solve(a=0,var ) och solve(b=0,var ). Lös varje del och kombinera resultaten. Om flera odefinierade variabler uppstår endast i en viss kombination kan du substituera den kombinationen med en enskild variabel. Om m och c endast uppstår som mùcñ, substituerar du mùcñ med e. I uttrycket (a+b)ñ + (a+b)ñ substituerar du (a+b) med c och 1 ì (a+b)ñ använder cñ + cñ. I lösningen substituerar du c med (a+b). 1 ì cñ För uttryck som kombinerats över en gemensam nämnare, substituerar du summor i nämnaren med unika, nya, odefinierade variabler. x I uttrycket añ+bñ + c + y substituerar du d med añ+bñ + c añ+bñ + c och använder x d + y. I lösningen substituerar du d d med añ+bñ + c. Substituera kända numeriska värden med odefinierade variabler i ett tidigare skede, särskilt om de är enkla heltal eller bråktal. Formulera om ett problem för att undvika exponenter i bråkform. Utelämna relativt små termer för att finna en approximation. Kapitel 6: Algebra 105

24 Specialkonstanter som används i algebra Resultatet av en beräkning kan inkludera en av de specialkonstanter som beskrivs i detta avsnitt. I vissa fall måste du också ange en konstant som en del av inmatningen. true, false Dessa anger resultatet av en identitet eller ett booleskt uttryck. x=x är sant för alla värden på x. 5<3 Tips! skriver du genom att trycka på 2 R. Denna notation anger ett godtyckligt heltal. När ett godtyckligt heltal inträffar flera gånger i samma session numreras varje förekomst i ordningsföljd. En lösning finns för varje heltalsmultipel av p. representerar ett godtyckligt heltal men notationen identifierar oberoende godtyckliga heltal. ˆ, e Tips! Tecknet ˆ skriver du genom att trycka på 2 * (samma som 2 J ). Tips! Tecknet e skriver du genom att trycka på 2 s. Detta är inte det samma som att skriva E med tangentbordet. ˆ motsvarar oändligheten och e motsvarar konstanten (basen på den naturliga logaritmen). Dessa konstanter används ofta i både inmatningar och resultat. undef Detta anger att resultatet är odefinierat. Matematiskt odefinierat ˆ (obestämt tecken) Inte ett unikt gränsvärde 106 Kapitel 6: Algebra