Ψ(x) = e ikx + re ikx. Ψ(x) = te ik x

Transkript

1 SVAR OCH LÖSNINGSANVISNINGAR TILL TENTAMEN I KVANTFYSIK del (5A34 och 5A45) samt KVANTMEKANIK (5A3) Freddagen den 5 december 6 kl HJÄLPMEDEL: Formelsamling i Fysik (teoretisk fysik KTH), matematiska tabeller, dock ej tabeller med fysikinnehåll samt räknedosa. EXAMINATOR: Olle Edholm tel , oed@kth.se RESULTATLISTAN: Anslås senast den december på Fysiks anslagstavla, Fysikcentrum, Roslagstullsbacken. För godkänt krävs poäng. Komplettering för den som uppnått minst 8 poäng äger rum måndag den 8 januari på sätt som anslås på kursens hemsida. KURSVÄRDERING: Besök och tyck till!. En elektron kan röra sig fritt innuti en metall och utanför denna i luft eller vakum. Innuti metallen är den potentiella energin V = ev lägre än utanför. Betrakta ett endimensionellt problem där elektroner med den kinetiska energin E=, ev sprids från luft eller vakum mot en metallyta och bestäm reflektionskoefficienten! Lägg metallytan (potentialsteget) i x = och låt vågen komma från vänster. För x har vi vågfunktionen: där k = Ψ(x) = e ikx + re ikx me/ h. För x finns bara en transmitterad våg: Ψ(x) = te ik x där k = m(e + V )/ h. Konstanterna r och t bestäms nu ur villkoret att vågfunktionen och dess derivata skall vara kontinuerlig i x =. Det ger ekvationerna: + r = t samt ik( r) = ik t ut vilka r kan bestämmas: Andelen reflekterade partiklar blir då: r = k k k + k R = r = ( k k E + V E k + k ) = ( E + V + E ) = V ( E + V + E) = 4 ( E/V + + E/V ) 4 För E/V =, ger detta reflektionskoefficienten, 67. Heisenbergs obestämbarhetsrelation säger att σ xσ p = (x x ) (p p ) ( h ). Bestäm σxσ p för energiegentillstånden hos en partikel i en oändlig kvantbrunn (V (x) = för L/ x L/ och oändlig för övrigt)! Hur väl är obestämbarhetsrelationen uppfylld? Hur beror resultatet av partikelns massa (m), potentialgropens bredd (L) och energinivåns nummer?

2 Genom att potentialbrunnen ligger symmetriskt kring x = vet vi att x =. p är också noll (på grund av att den kinetiska energin är symmetrisk i p kring noll). Räkningarna utförs sedan enklast i ett translaterat koordinatsystem där potentialbrunnen ligger mellan noll och L. Egenfunktionerna blir då (se t.ex.griffiths): Vi får då x = L L Ψ n (y) = (x L/) sin nπx L dx = L nπy sin L L. L (x L/) ( cos nπx L )dx = = L / L cos nπ y cos (nπy) = (part. int.) = L / ( 6 n π ). För rörelsemängden blir resultatet p = h L Detta ger slutresultatet: Ψ (x) d h L Ψ(x)dx = dx L (nπ L ) sin nπx dx = (nπ h L L ) σ xσ p = h 4 (π 3 n ) som inte beror av m och L, men som växer med n och för n = är, 3 h vilket bara är lite större än den gräns, 5 h som Heisenbergs obestämbarhetsrelation sätter. 3. En endimensionell harmonisk oscillator med massa m och vinkelfrekvens ω beskrivs vid tiden t = av en superposition av grundtillståndsvågfunktionen, φ (x) och det första exciterade tillståndets vågfunktion, φ (x) (energi 3 hω/): Φ(x) = (φ (x) + iφ (x)). Bestäm väntevärdet av den kinetiska energin som funktion av tiden! Den tidsberoende vågfunktionen ges av: Ψ(x, t) = (φ (x)e iωt/ + iφ (x)e 3iωt/ ). Väntevärdet av den kinetiska energin blir då: E kin = p m = hω 4 Ψ (x, t) (a a + ) Ψ(x, t) = = hω 8 (φ (x) + iφ (x)e iωt ) (a + (a + ) aa + a + a)(φ (x) + iφ (x)e iωt ). Utnyttja nu att FS 5.9 och 5. samt egenefunktionenernas ortogonalitet: E kin = hω 8 (φ (x) + iφ (x)e iωt ) (φ (x) + iφ (x)e 3iωt ) = hω, vilket är tidsoberoende och lika med halva totalenergin.

3 4. Bestäm kommutatorn [ˆx, ˆL x ]. ( p.) [ˆxˆL x ] = [x, yp z zp y ] = eftersom koordinater och rörelsemängder i olika koordinatriktningar kommuterar. 5. Vilket är det totala elektronspinnet i heliums grundtillstånd? ( p.) Eftersom den totala rumsvågfunktionen är symmetrisk så måste spinnvågfunktionen vara antisymmetrisk (χ + ()χ () χ ()χ + ()) vilket ger totalt spinn. 6. En atom av väteisotopen tritium( 3 H) kan genom spontant radioaktivt sönderfall övergå till en helium-3 jon ( 3 He + ). Processen, som involverar kärnan, innebär att kärnladdningen ändras från + till + vid oförändrad massa och är så snabb att elektronvågfunktionen kan betraktas som oförändrad. Bestäm sannolikheterna för att hitta helium-3 jonen i tillstånden (s), (s) och (p) om tritiumatomen befann sig i sitt grundtillstånd! Observera att Bohrradien a = a /Z där Z är kärnladdningen och a Bohrradien för en atom med kärnladdning. ( p.) Grundtillståndsvågfunktionen (s) för vätelika atomer är (FS 5.7) är för Z = och : Ψ H s = π ( a ) 3/ e r/a samt Ψ He s = π ( a ) 3/ e r/a där a är Bohrradien. För He blir (s)-vågfunktionen (FS 5.8): Ψ He s = π ( a ) 3/ ( r a )e r/a Direkt efter sönderfallet förblir vågfunktionen i vätes (s) tillstånd. Sannolikheten för att hitta jonen i He + jonens tillstånd n (med n=s, s eller p) är då För (s) tillståndet får vi: Ψ He s Ψ H s = π ( ) 3 a P rob(n) = Ψ He n Ψ H s. 4πr e 3r/a dr = 4 7 3/ x e x dx = 6 7 vilket ger P rob(s) = (6/7) =, 7. För (s)-tillståndet blir integralen: Ψ He s Ψ H s = π ( a ) 3 4πr ( r )e r/a dr = 4 x ( x)e x dx = a vilket ger P rob(s) = (/) =, 5. Sannoliheten för att befinna sig i (p)-tillståndet är noll eftersom vågfunktionen är sfäriskt symmetrisk. 7. En elektronstråle separeras i en Stern-Gerlach uppställning i två strålar med spinnen 3

4 pekande i positiv respektive negativ y-led. Bestäm spinnvågfunktionerna för elektronerna i de två strålarna! ( p.) Om spinnets y-komponent skall vara + h/ så krävs att: σ y χ = ( i i ) = χ vilket ger χ = ( i På samma sätt fås för den andra elektronstrålen: ( ) i σ y χ = = χ i vilket ger χ = ( i som också kan bestämmas ur att den måste vara ortogonal mot χ. (Här kan spinorerna multipliceras med en godtycklig komplex fasfaktor.) 8. Hamiltonoperatorn för de två elektronerna hos helium är: Ĥ = h m ( + ) e 4πɛ [ r + r ) r r ] För att bestämma energin hos heliums grundtillstånd kan man använda sig av olika approximationer. Om man helt försummar repulsionen mellan de två elektronerna blir energin 8E där E = 3, 6 ev är gundtillståndets energi hos väte. Störningsräkning på elektron-elektron repulsionen ger ett positivt bidrag till energin som är 5E /. Resultatet kan dock förbättras ytterligare om man ansätter vätelika vågfunktioner, Ψ(r, r ) = Ne Z(r +r )/a, där Z är en variationsparameter. Genomför detta med den givna Hamiltonoperatorn och bestäm det Z som minimerar den totala energin samt vad denna blir. De energier som är givna ovan får utnyttjas utan härledning. Du får också utan härledning utnyttja att elektron- elektronrepulsionen blir 5E Z/4 med ovanstående vågfunktion. Se Griffiths p Räkningarna underlätts om man skriver om Hamiltonoperatorn som: Ĥ = h m ( + ) e 4πɛ ( r + r r r ) = = h m ( + ) e ( Z + Z ) + e ( Z + Z + 4πɛ r r 4πɛ r r r r ) = Ĥ(Z) + Ĥ(Z), där Ĥ(Z) är Hamiltonoperatorn för en ensam elektronen i en atom med kärnladdning +Z. Vi har då i störningsräkning på Ĥ: Ĥ = Ĥ(Z) + Ĥ = Z E + (Z ) e 4πɛ r 5Z 4 E Här kan vi antingen direkt beräkna /r eller uttnyttja att den potentiella energin är dubbla totalenergin hos ett grundtillståndet i en vätelik atom. Detta ger: Ĥ = Z E (Z ) Z Z E 5Z 4 E = E ( Z Z). ), 4

5 Derivering med avseende på Z ger Z = 7/6 =, 6875 som ger energin: Ĥ = E ( Z + 7 Z) = (7 4 6 ) E = 5, 695E = 77, 5 ev Alternativt så går det naturligtvis att genomföra räkningarna direkt utan omskrivning av Hamiltonoperatorn. Resultatet blir detsamma efter mer omfattande räkningar. 9. En tvåatomig molekyl (t.ex. HCl) har ett elektriskt dipolmoment p och tröghetsmoment I och roterar som en stel kropp i två dimensioner. Det betyder att det klassiska rotationstillståndet beskrivs av en enda vinkel ϕ och att egenfunktionerna till Hamiltonoperatorn i frånvaro av elektriskt fält är: Ψ m (ϕ) = π e imϕ, där m är ett heltal (positivt eller negativt). Lägg nu på ett svagt konstant elektriskt fält Ē. Den elektriska energin blir då p Ē. Bestäm i lägsta ordningens icke försvinnande störningsräkning den elektrostatiska korrektionernen till rotationsenerginivåerna! (3 p. Energiegenvärdena för det ostörda problemet blir E m = m h /I. Om koordinatsystemet väljs så att det elektriska fältet pekar parallellt med x-axeln så blir störhamiltonoperatorn pe cos ϕ. Trots att egenvärdena till det ostörda problemet är tvåfaldigt degenererade fungerar den vanliga formalismen för odegenererad störningsräkning. (Orsaken är att egenfunktionerna även är egenfunktioner till ˆL z som kommuterar med Hamiltonoperatorn och då med olika egenvärden ±m h.) I första ordningen får vi: E = π eimϕ pe cos ϕ e imϕ = pe π cos ϕdϕ = π I nästa ordning får vi (FS 5.6): Vi har vilket ger E = ( pe e ikϕ cos ϕ e imϕ π ) k m E m E k e ikϕ cos ϕ e imϕ = π = ( pe e ikϕ cos ϕ e imϕ π ) k m m h k h I I [e i(m k+)ϕ + e i(m k )ϕ ]dϕ = π[δ k,m+ + δ k,m ] E = I(pE) h [ m (m + ) + m (m ) ] = I(pE) h 4m. Hamiltonoperatorn för två växelverkande spinn / i ett konstant magnetfält som pekar i z-led kan skrivas: Ĥ = AŜ() Ŝ() + B(Ŝ() z + Ŝ() z ) där A och B är konstanter. Bestäm energiegenvärdena! Två spinn / kan adderas till totalt spinn eller. Om vi inför den totala spinnoperatorn Ŝ = Ŝ() + Ŝ() och utnyttjar att: Ŝ = (Ŝ() + Ŝ() ) = (Ŝ() ) + (Ŝ() ) + Ŝ() Ŝ() 5

6 så kan Hamiltonoperatorn skrivas Ĥ = A (Ŝ (Ŝ() ) (Ŝ() ) ) + BŜz De spinnvågfunktioner som är egenfunktioner till Ŝ, (Ŝ() ), (Ŝ() ), och Ŝz är även egenfunktioner till Hamiltonoperatorn. Utnyttja sedan att egenvärdena till Ŝ och Ŝz är s(s + ) h respektive m s h och de fyra energiegenvärdena blir: E(s =, m s = ) = A h 3A h ( 3/4 3/4) + = 4 E(s =, m s = ) = A h A h ( 3/4 3/4) + = 4 E(s =, m s = ) = A h A h ( 3/4 3/4) + B h = 4 + B h E(s =, m s = ) = A h A h ( 3/4 3/4) B h = 4 B h Lycka till! 6