Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet.

Transkript

1 ns matematik Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet. Detta fortbildningsmaterial är framtaget för dig som arbetar i förskolan. Materialet är en del av en fortbildningsmodul inom Matematiklyftet. Modulen som helhet sträcker sig över tre terminer. Fortbildningen bygger på att ni som förskollärare arbetar kollegialt och diskuterar texter, filmer och erfarenheter samt planerar och följer upp aktiviteter som genomförs med barnen på förskolan. Modulen tar sin utgångspunkt i matematiska aktiviteter, det vill säga något som man gör som kan sägas vara matematiskt. Huvudsyftet med fortbildningen är att ni som arbetar på förskolan ska få en fördjupad förståelse för vad matematiska aktiviteter kan vara så att ni på ett medvetet sätt kan planera, iscensätta och följa upp verksamhet i förskolan som utvecklar barnens förmåga att aktivt delta i matematiska aktiviteter. Modulen är uppdelad i tolv delar med rubrikerna 1. Matematiska aktiviteter 2. Leka 3. Förklara 4. Dokumentera och fördjupa 5. Strukturera rummet 6. Lokalisera 7. Designa 8. Dokumentera och följ upp 9. Kvantifiera 10.Mäta 11. Räkna 12.Dokumentera och utveckla Delarna är grupperade i tre grupper med fyra i varje, en grupp för varje termin. Varje grupp om fyra delar har både en matematisk inriktning och ett pedagogiskt fokus. Den matematiska inriktningen kan ses i titlarna på delarna. Pedagogiskt fokus i de första fyra delarna, 1-4, ligger på barn. De följande fyra delarna, 5-8, fokuserar förskollärares agerande, och de fyra sista delarna, 9-12, fokuserar verksamheten. Eftersom dessa fokus inte kan separeras kommer dock alla tre att finnas med under hela modulen. Det är tänkt att ni ska kunna genomföra fyra delar per termin. Exakt hur det hela ska planeras är något som ni kommer överens om med er förskolechef. Vi hoppas att ni kommer att tycka att arbetet med modulen är roligt och lärorikt. Ansvariga för modulen Malmö högskola, i samarbete med Luleå tekniska universitet och Nationellt centrum för matematikutbildning. Revision: 2 Datum:

2 Del 7. Designa Den matematiska aktiviteten designa handlar om att uppmärksamma och förändra föremåls form och funktion. I designprocessen tar barnen sin utgångspunkt i konkreta föremål eller idéer om föremål och relaterar dem till någon önskvärd funktion eller önskvärt användningsområde. De får då möjlighet att uttrycka, undersöka och använda matematiska aktiviteter eftersom det blir viktigt att urskilja olika egenskaper hos föremålen, som t.ex. deras form och olika aspekter av formen. Genom att uttrycka sig om formerna (benämna) får de ett slags abstrakt liv och kan identifieras och användas i andra sammanhang. Du kommer i denna del läsa en text om att designa som också tar upp olika sätt att se på barns kunskap om rum och form. Du kommer att diskutera filmer som handlar om hur barn involverar former på olika sätt. Vidare kommer du att arbeta mer konkret med design, genom att hämta in saker från skogen som ska göras om till något nytt. Revision: 2 Datum:

3 Del 7: Moment A individuell förberedelse Syftet med detta moment är att du ska få fördjupa din förståelse om varför designa kan anses vara en matematisk aktivitet och hur den relaterar till olika sätt att urskilja, uttrycka, undersöka och använda form. Läs Läs texten Designa. Reflektera över: Hur den matematiska aktiviteten designa kan användas för att urskilja, undersöka, uttrycka och använda former och formers egenskaper. Hur olika teorier av barns förståelse för rum och form kan hjälpa dig att se vad barnen kan och hur sådan kännedom kan användas för att hitta nya utmaningar för barnen. Läs texten Grundstruktur för situationer med fokus på den matematiska aktiviteten designa inför planering av moment C. Se filmer Se filmerna Lära sig om former 1, 2, 3 och 4. Fundera på följande frågor och var beredd att utifrån dessa föra en diskussion med dina kollegor i moment B. I relation till van Hieles nivåer som du har läst om, vilka kunskaper om form kan du se att barnen i de olika filmerna har respektive inte har? I relation till del 3 och texten Förklara, på vilka sätt uttrycker barnen sina kunskaper? Kan du till exempel se spår av några teorier-i-handling? Titta speciellt på filmen Lära sig om former 4. I relation till del 5 och texten Strukturera rummet, fundera på vilken roll olika artefakter har i filmerna. I relation till del 5 och texten Strukturera rummet fundera på hur du skulle kunna utmana något av barnen i filmen Lära sig om former 4 att utveckla sin förståelse för form utöver det som de visar i filmen. Kan du både komma på en pedagogisk situation och en instrumentell situation (som t.ex. tar sin utgångspunkt i den matematiska aktiviteten designa)? Dokumentera Skriv ner dina observationer och tankar kring text och filmer. Lägg detta dokument i din portfolio tillsammans med punkter från läsningen av texten. Välj vad du vill dela med dina kollegor i moment B. Material Revision: 2 Datum:

4 Material Designa O. Helenius, M.L. Johansson, T. Lange, T. Meaney, E. Riesbeck och A. Wernberg Grundstruktur för situationer med fokus på den matematiska aktiviteten designa O. Helenius, M.L. Johansson, T. Lange, T. Meaney, E. Riesbeck och A. Wernberg Lära sig om former 1 Malmö högskola Filformatet kan inte skrivas ut Lära sig om former 2 Malmö högskola Filformatet kan inte skrivas ut Lära sig om former 3 Malmö högskola Filformatet kan inte skrivas ut Lära sig om former 4 Malmö högskola Filformatet kan inte skrivas ut Revision: 2 Datum:

5 Modul: Förskolans matematik Del 7: Designa Designa Ola Helenius, Maria L. Johansson, Troels Lange, Tamsin Meaney, Eva Riesbeck, Anna Wernberg, Malmö högskola, Luleå tekniska universitet, Örebro universitet & NCM I slutet av 80-talet arbetade Giacomo Rizzolatti och hans kollegor med ett experiment där man studerade hjärnor på apor för att lära sig mer om hur det motoriska systemet fungerar. Aporna fick utföra olika rörelser, till exempel att dricka vatten ur ett glas, och så studerade man signaler i hjärnan. Men av en slump upptäckte man att de neuroner (nervceller i hjärnan) som aktiverades då en viss rörelse utfördes också aktiverades då apan såg en annan apa eller en människa utföra samma rörelse (di Pellegrino, Fadiga, Fogassi, Gallese, & Rizzolatti, 1992) 1. Detta system, som kopplar ihop saker som vi kan göra med saker som vi kan se, kallas för spegelneuroner. Det kopplar också ihop ljud vi kan göra med ljud vi kan höra och anses även vara grundläggande för den empatiska förmågan. Även objekt som vi bara ser, till exempel ett glas, kan trigga signaler i kedjor av neuroner som vi använder när vi ska utföra själva handlingen att dricka ur glaset. Det verkar alltså finnas väldigt grundläggande kopplingar mellan den mentala bilden av olika saker och vad vi använder dessa saker till. Det här är intressant att tänka på när vi nu ska arbeta med form och formens matematik. Former verkar ju intuitivt vara något som vi borde kunna uppfatta på ett väldigt direkt sätt. Behöver vi verkligen träna oss på att se att ett hjul ser ut som en cirkel eller att en dörr ser ut som en rektangel? Ja, det visar sig att det som vi uppfattar av världen, hur den ser ut för oss, i själva verket är extremt beroende av vad vi har lärt oss att titta efter. Det är därför som det finns så många så kallade optiska illusioner som lurar ögat. I filmen om Damjan ( Lära sig om former 1 ) kan vi se hur han utvecklar sin förståelse för var de olika formerna passar, men att det är fortfarande en bit kvar tills att han kan stoppa i rätt form, vänd åt rätt håll, i rätt hål. I filmen berättar Damjans mamma om former och hjälper honom att sätta formerna i rätt hål så att de aktiverar ljus och ljud. Det här är inte bara en fråga om att utveckla sin motorik eller sin syn. Det handlar också om att utveckla sin uppmärksamhet och att identifiera att det objektet som man ska stoppa in i bollens hål faktiskt har en form. Att ett objektets form är en del av objektet som kan separeras från helheten och sedan matchas med hålet i bollen. När vi vuxna gör detta tänker vi inte längre på hur det går till, men när man observerar barns ansträngningar ser man att det är en avancerad process. Objektet som ska in i hålet är ju tredimensionellt, men det är bara dess kant sett från ett visst håll som ska passa in i bollens motsvarande hål. Det är till exempel ingen lätt uppgift att programmera en robot med syn och armar att utföra den här typen av uppgift. I filmen Lära sig om former 4 ser vi 1 En film där Rizzolatti berättar finns på YouTube (undertext finns) (14)

6 hur äldre barn lätt identifierar olika former och kan vrida och vända dem på rätt sätt så att det stämmer med ritningen. Det är en otrolig utveckling. I filmen på barnet som lägger pussel tillsammans med sin mamma ( Lära sig om former 2 ) ser vi att barnet kan skilja raka kanter från svängda, men inte utnyttjar detta karakteriserande drag hos vissa bitar i så hög grad som mamman vill. Vi kan se att barnets kompetens att både identifiera och använda olika formaspekter hos pusselbitarna samtidigt som hon lägger pusslet är under utveckling. Man kanske till och med anar hur hon utvecklar sin kompetens under filmens gång genom att hon tittar och lyssnar på sin mamma. Genom att arbeta med former, tänka på dem och prata om dem, så ökar hon sin känslighet för vilka aspekter av former som hon urskiljer. Den av Bishops aktiviteter som anknyter till form och formens matematik är designa. Designa är en intressant aktivitet som ligger lite mellan att tillverka något å ena sidan, och att observera något och fundera på hur det kan användas å andra sidan. Av estetiska eller praktiska skäl tänker vi oss att vi påverkar naturen eller något objekt i naturen för att det ska se ut eller fungera som vi vill. Kanske vill vi snida en häst av en träbit (genom att skära bort allt på träbiten som inte är en häst) eller så vill vi göra en käpp av en rak gren. I dessa två fall skiljer sig mängden av åverkan som vi måste göra på objektet åt, men en sak är samma: vi tänker oss att objektet (träbiten, käppen) ska få en annan funktion. Att designa handlar alltså om att göra åverkan på något, å ena sidan fysiskt, men lika mycket mentalt. Vi tänker oss att saken ska få en annan form och funktion och då väljer vi också att se saken på ett viss speciellt sätt. Sara Lidman har skrivit så här: Rönn. Varje gång ordet lät höra sig steg en av trädets egenskaper fram. (Lidman, 1980) Egenskaperna som träder fram beror på omständigheterna och den viktigaste egenskapen av dessa är antagligen den vi själva tänker på. Vilka planer vi har, vad vi vill se. En gren, till exempel, har många olika visuella och fysiska egenskaper som man kan se, känna eller urskilja. När vi tänker oss att designa en käpp, så är det bara vissa speciella egenskaper som framträder, till exempel om den är rak och kan stödja vår vikt. Bladens form och dess funktion att fånga ljus och koldioxid till trädet är i detta fall ingen egenskap som fokuseras. Låt oss titta lite på Bild 1 nedan, ritad av ett barn som är 4 år. 2 (14)

7 Bild 1. Ett barns ritning av sin familj Barnet har ritat sin familj. Sig själv, storebror, lillasyster, mamma och pappa. Människorna är ganska realistiska, de har huvud med näsa, mun och ögon, de har armar och fingrar, ben och fötter. Man kan också se att personerna är ordnade i storlek. Men en intressant detalj är att många av kroppsdelarna är konstruerade av rektanglar och cirklar. Barnet har antagligen inte ritat av familjen och tyckt att de faktiskt såg så där kantiga ut. Istället har hon använt vissa mentala objekt som redan fanns i hennes upplevda värld som byggstenar i teckningen. Cirkeln och rektangeln är former som hon känner till sedan tidigare, och kanske till och med har namn för. När hon ska rita familjemedlemmarna behöver hon alltså inte försöka att exakt tänka efter hur de verkligen ser ut. Hon kan bygga dem av färdiga bitar. Inte för att hon rent fysiskt har dessa bitar framför sig som modeller utan för att hon kan föreställa sig dem. Man skulle kunna kalla detta för mentala mallar (Bishop, 1988). Man kan tänka sig att barnet som ritade bilden genom att till exempel använda sig av mallen rektangel, lättare kunde få med så många detaljer när hon ritade familjemedlemmarna. Hon behövde inte i detalj fundera på hur var och en av kroppsdelar som överben och underben egentligen såg ut, bara att de fanns där och kunde illustreras som avlånga rektanglar. Den matematiska aktiviteten designa enligt Bishop Enligt Bishop (1988) avser aktiviteten designa tillverkning av föremål och teknologi som alla kulturer skapar för hemmet, handel, prydnad, krigsföring, spel och religionsutövning. Även hur den rumsliga omgivningen konstrueras, med hus, byar, trädgårdar, hagar, vägar och så vidare är ett resultat av aktiviteten designa. Aktiviteten designa kännetecknas som vi beskrev i inledningen av att någon del av naturen ändras och omvandlas till något annat. Men vad är det matematiska i designaktiviteten? Bishop beskriver det som att dra ut former från den naturliga omgivningen. Den slutgiltiga produkten är inte matematiskt viktig, medan den kan vara det när naturvetenskapliga idéer utvecklas, där man ofta är intresserad av faktiska egenskaper hos materia. Det viktiga för oss inom matematikutbildning är planen, strukturen, den tänkta 3 (14)

8 formen, det upplevda rumsliga förhållandet mellan objekt och syfte, den abstrakta formen och abstraktionsprocessen. (Bishop, 1988, s. 39) Att designa något handlar inte alltid om att direkt tillverka det. Kanske ritar vi det först i sand, på papper eller på datorn. Eller så bygger vi en modell. Sådana representationer har utvecklats för att göra det möjligt att studera och förutsäga olika aspekter av det som man vill tillverka redan innan man faktisk sätter igång på riktigt. För att förstå behovet av en sådan process räcker det att tänka sig väldigt stora föremål som hus, broar eller vägnät, eller objekt som ska göras av dyra eller ovanliga material som smycken av guld eller ädelstenar. Enligt Bishop är det just sådana situationer som har skapat en efterfrågan för matematiska idéer om form, storlek, skala, mått, och många andra geometriska begrepp (Bishop, 1988, s. 41; vår översättning). Han ser detta som ett exempel på hur frånvaron av det fysiska objektet har provocerat utvecklingen av symboliska idéer om designa, på samma sätt som behovet för idéer om lokalisering stimuleras av situationer där man inte kan se den plats man söker eller beskriver. Det verkar alltså som att matematiska idéer utvecklas när vi tvingas föreställa oss föremål eller situationer, det vill säga när vi tänker hypotetiskt. På många sätt liknar detta vad som skrevs i del 2, där hypotetiskt tänkande relaterades till lek. Läroplanen Den av läroplanens många mål som direkt pekar på den matematiska aktiviteten designa är att förskolan ska sträva efter att varje barn utvecklar sin förståelse för form Lpfö 98, s. 9-10). Emellertid lär barn sig om form med hela kroppen, alla sinnen och genom att kommunicera om sina upplevelser. Därför är många andra av målen aktiverade när verksamheten riktar sig mot barns utveckling av förståelse för rum och form. Till exempel tillägnar sig och nyanserar innebörden i begrepp, ser samband och upptäcker nya sätt att förstå sin omvärld utvecklar sin förståelse för rum, form, läge och riktning utvecklar sin förmåga att bygga, skapa och konstruera med hjälp av olika tekniker, material och redskap. ( Lpfö 98, s. 10) För vårt syfte i denna del är en speciell formulering från förskolans läroplan värd att fundera på nämligen Förskolan ska sträva efter att varje barn utvecklar sin förmåga att urskilja, uttrycka, undersöka och använda matematiska begrepp och samband mellan begrepp. Lpfö 98, s. 9-10) Hur gör man det? Och speciellt, hur gör men det redan innan man känner till några matematiska begrepp? Det kan tyckas vara en förutsättning att man först känner till de matematiska begreppen innan man börjar undersöka, uttrycka och använda dem. Men rent idémässigt behöver det inte alls vara så, och det är detta som ligger bakom den idé om matematiska aktiviteter som vi använder i den här fortbildningsmodulen. Designa är kanske den av aktiviteterna som allra bäst illustrerar detta. I texten i del 1, Matematiska aktiviteter beskrevs hur ett staket designades (eller byggdes) och hur begreppet längd kunde dyka upp ur denna process. På samma sätt kan andra matematiska begrepp dyka upp när man 4 (14)

9 använder, undersöker och uttrycker sig om föremål. Och så småningom är det kanske inte längre själva föremålet man undersöker, använder och uttrycker sig om utan det matematiska begreppet. Utbildningsdepartementets (2010) bakgrundsdokument till förskolans läroplan utgår från Bishops sex matematiska aktiviteter som ett sätt att konkret närma sig läroplanens mål (s. 11). Den matematiska aktiviteten som Bishops benämner designa, kallas i Utbildningsdepartementets text konstruera: Konstruera Sortera och karakterisera objekt med tanke på egenskaper som storlek, form, mönster och samband. Formge och konstruera former och objekt med olika material. Utforska egenskaper hos geometriska objekt som t.ex. cirklar, trianglar, och rektanglar. Representera konstruktioner med avbildningar, ord och andra uttrycksformer. Resonera kring egenskaper, perspektiv och proportioner. (s. 11) Inom ramen för lek och vardag i förskolan finns rikliga möjligheter för barnen att upptäcka och utforska de geometriska grundformerna och att utveckla sin förståelse för begrepp som längd, bredd, höjd, area och volym. Form är en viktig egenskap hos föremål. Att kunna urskilja och känna igen former samt kunna relatera olika former till varandra är nödvändigt för att barnen ska kunna strukturera sin omvärld och är grundläggande för t.ex. skrivning och geometri. För att stödja och utmana barns matematiska lärande och utveckling kan såväl konkret material som olika medier användas. (s. 12) Konstruera och designa är två närbesläktade men inte helt synonyma begrepp. Å ena sidan antyder de olika saker. Designa kanske mer får oss att tänka på olika estetiska kvaliteter medan konstruktion snarare leder tankarna till olika funktionella kvaliteter. Å andra sidan finns det sådant som är gemensamt för de båda begreppen och det är denna gemensamma sida som gör dem till matematiska aktiviteter. Både designa och konstruera handlar om att förändra, förädla eller skapa något. De handlar inte i första hand om själva tillverkningen av föremål utan om den praktiska och mentala process som det innebär att komma underfund med vad det ska bli, hur det ska fungera och hur det ska se ut? Att utveckla uppfattningar om form Barns utveckling av rum och form beror på vilka erfarenheter de gör. Det är genom samtal och kommunikation som erfarenheter skapas av olika upplevelser. Ålder och mognad innebär inte automatiskt en medvetenhet om formers egenskaper. Utforska Barn behöver ges möjlighet att delta i problemlösande situationer som uppmuntrar dem att på ett informellt och undersökande sätt utforska ett så brett utbud av regelbundna och oregelbundna tvådimensionella och tredimensionella figurer. I Bild 2 tillverkar barnet en fjäril. 5 (14)

10 Bild 2. En fjäril gjort med färg och papper som viks Barnet lägger färg på ena sidan av papperet för att göra hälften av fjärilen. Därefter viker barnet papperet för att tillverka den andra halvan som en spegelvänd kopia av den första hälften. På detta sätt utforskar barnet enkla idéer om symmetri med oregelbundna tvådimensionella figurer. Det är ett relativt okomplicerat sätt för förskolläraren att möjliggöra för barn att utforska symmetri. Men att tillverka en bild där pappret viks två gånger kräver att barnen har en mental bild av hur vikningen kommer att påverka den slutliga produkten. För att utmana barnets teorier-i-handling så att de kan använda vad de vet från att tillverka fjärilen ovan till att utforma en mer komplex fjäril, behöver förskolläraren ge barn många olika möjligheter till att måla, klippa och vika papper. Begreppsliggöra Bild 3. Utmaningen att arbeta med ett komplext mönster Bild 3 visar barn som lägger ett komplext mönster. För att barn ska kunna designa och konstruera mer komplexa former och mönster, behöver de en förståelse om till exempel 6 (14)

11 parallellförflyttning (glidning), reflektion (vändning) och rotation (vridning). I Figur 1 kan man se en rektangel (med ett avskuret hörn) som har blivit glidit, reflekterat och roterat. Parallellförflyttning Reflektion (spegling) Rotation 45 grader Figur 1. Parallellförflyttning, reflektion och rotation När man utmanar barns teorier-i-handling utmanar man deras begreppsliga förståelse. Att ha kunskap om barns begreppsliga förståelse kan hjälpa förskollärare att utveckla situationer som utmanar deras teorier-i-handling. Pierre van Hiele (1959/2004) klassificerade barns begreppsliga förståelse om former i olika nivåer medan Dina van Hiele-Geldorf (1957) utvecklade situationer som skulle kunna stödja barn i att utveckla sin begreppsliga förståelse om former till högre nivåer. För att förstå vad detta handlar om börjar vi med ett exempel. Tsamir, Tirosh and Levenson (2010) bad förskolebarn (4-6 år) i Israel att förklara om en viss form var en femhörning (pentagon) eller ej. Barnen fick se sex kort, fyra med bilder på femhörningar och två med bilder på icke-femhörningar (se Figur 2). Till varje bild fick barnen två frågor. 1) Är det här en pentagon? 2.)Varför? Figur 2. En femhörning (pentagon) och en icke-femhörning (non-pentagon) Här är några av barnens svar frågorna till formerna i Figur 2. (Barnen är anonymiserade och kallas B1, B2 osv.) B14: Det är en femhörning för att det ser ut som en femhörning. B15: Det är inte en femhörning för att det ser ut som en tand. B17: Det är ingen femhörning för att det ser ut som en cirkus (tält). Det intressanta här är inte i första hand om barnen svarar rätt eller inte utan hur de väljer att argumentera för sina svar. Alla barnen ovan refererar till helheten av bilden, hur den på det stora hela ser ut, möjligen jämfört med något annat känt objekt. Här är några andra barns svar. 7 (14)

12 B10: Den har fem hörn, det är en sluten form, den har fem raka linjer. B11: Det är inte en femhörning. Vi kollar. (Barnet räknar hörnen.) Det är en femhörning för att den har fem sidor och fem hörn och den är sluten. Dessa barn pratar inte bara om helheten utan uttrycker sig om figurens olika delar och deras utseende och relaterar det till olika egenskaper, såsom hörn och raka sidor, som de vet att femhörning ska ha. Därför är detta sätt att uttrycka sig om former på en högre nivå, och det är ett sätt att prata om former som man inte lär sig av sig själv om man inte deltar i sammanhang där man aktivt exponeras för det. Båda dessa poänger är grundläggande i van Hieles teorier. Sättet att resonera kan vara av olika slag och för att komma från en nivå till en annan behövs undervisning. Van Hiele beskrev fyra ordnade nivåer av sätt att resonera om former. Den första gruppen av barn (B14, B15 och B17) ger exempel på resonemang av nivå 0. Här handlar det om att känna igen och beskriva former utifrån helheten och karakterisera formerna i relation till någon prototypform. På nivå 0 kan barn som får höra att de två figurerna i mitten på Figur 3 (den röda och den gröna) kallas trianglar ofta dra slutsatsen att också de två figurer till vänster är trianglar medan de tre till höger inte är trianglar. När det handlar om rotation, reflektion och parallellförflyttning, skulle barnen på denna nivå kunna namnge förändring, till exempel den vänder sig men inte ge information om vad som vänder eller hur mycket det vänder. Detta skulle innebära att barnen skulle se att formerna var orienterade i olika riktningar i mönstret i Bild 3 men inte vet hur man vänder de former så att de låg i rätt riktning. Trianglar Inte trianglar Figur 3. Trianglar och icke-trianglar På denna nivå, är det svårt för barn att kopiera mönster som en förskollärare gjort. Swoboda (2010) fann i sin forskning med 4-åriga polska barn, att många barn kämpat för att reproducera ett mönster utifrån mönsterkort som en lärare tillverkat (se Figur 4 och Figur 5). 8 (14)

13 Figur 4. Förskollärarens mönster Figur 5. Ett barns försök att reproducera förskollärarens mönster Eftersom barnen på denna nivå endast ser hela formen och inte urskiljer de enskilda aspekterna i formen, är det svårt för dem att föreställa sig hur de ska rotera korten så att de ser ut som lärarens mönster. Barnen, B10 och B11 i Tsamir m.fl. (2010) exemplifierar hur nivå 1 handlar om att identifiera och beskriva egenskaper hos geometriska figurer. Det kan till exempel handla om att beskriva antalet sidor eller att vissa sidor är raka och vissa krökta. Et annat barn i Swobodas (2010) forskning började på samma sätt som barnet i Figur 5 men var sen mer framgångsrik, se Figur 6. Figur 6. Ett barns försök att reproducera lärarens mönster Som Figur 6 visar, provar barnet olika möjligheter för att hitta samma mönster som förskolläraren har lagt. Genom att förskolläraren erbjuder barnet denna situation och sedan uppmuntra barnet att fortsätta att försöka, utmanas barnets teorier-i-handling och detta kan i sin tur möjligöra en utveckling mot nästa nivå, i detta fall från nivå 0 till nivå 1. Nivå 2-4 handlar sedan om logiskt och resonemangsmässigt mer avancerade sätt att relatera figurer till varandra i olika grupper, att kunna urskilja att vissa egenskaper följer av andra egenskaper, och om att på ett mer formellt sätt kunna hantera figurer och klasser av figurer. Om vi tänker tillbaka på fjärilen i Bild 2, och tänker oss att ett barn kunde förklara i ord hur de skapar en fjäril när ett papper viks två gånger skulle det betyda att de använde den kompetens och kunskap från dessa högre nivåer. 9 (14)

14 Vi kan också återigen tänka på filmen Lära sig om former 2 i denna del med flickan som pusslar. Vi har redan konstaterat att hon har förmåga att uppfatta skillnaden mellan raka och krökta linjer. I relation till van Hieles klassifikationer så är det intressant att lägga märke till hur mamman uppmärksammar barnet på de raka kanterna och på deras funktion i själva pusslandet. Att kunna uttrycka att vissa bitar är lämpliga att börja med när man pusslar för att en (eller två) av deras kanter har ett visst utseende (är raka) är ett exempel på van Hieles nivå 1. Med hjälp av sin mamma fokuserar flickan aspekter som hon inte tidigare urskilt. Mamman utmanar hennes teorier-i-handling. Representation som tidig symbolisering Symbolisera kan betraktas som ett gemensamt visuellt språk. Liksom med det verbala språket behöver barn lära sig att skapa och tolka symboler. I Del 6 när barnen ritade kartor, ritade de inte vad de såg framför sig utan snarare representationer av saker i sin omgivning. Eftersom de var tvungna att förklara vad de hade ritat på sina kartor, kan dessa representationer inte vara symboler. Men allt eftersom barn är engagerade i flera olika situationer att tillverka kartor kommer de att upptäcka vitsen med att använda sig av allmängiltiga symboler snarare än privata representationer. När det handlar om den matematiska aktiviteten designa, utvecklar barn sin förståelse genom en rörelse mellan olika stadier när de representerar aspekter av sin omvärld. För att illustrera denna utveckling kommer vi att använda teckningar som exempel. Bild 4. Ett barns teckning av sig själv och sin mamma Teckningen (Bild 4) visar mamma och barn ritat av ett litet barn. Det finns en viss känsla för proportioner men inte alla kroppsdelar, till exempel armar och ben ingår. Detta betyder att det lilla barnet uppfattar vissa grundläggande drag hos objekt som storlek och kontur på ett väldigt generellt sätt, till exempel att mammans ögon finns inne i huvudformen och 10 (14)

15 hennes hjärta inuti kroppen. Barnet vet att de finns där och har därför representerat dem, oavsett om de kunde ses av någon som tittar på mamman. Det viktiga för barnet är att de är där. Denna bild exemplifierar de fyra begrepp som Piaget och Inhelder (1948/1967) identifierade i barns första ritningar där människor kan kännas igen. Dessa var: närhet av objekt och händelser i förhållande till andre objekt och händelser ordning av objekt och händelser enligt egenskaper som storlek och färg åtskillnad (separation), dvs. att ett objekt eller en händelse kommer mellan andra objekt eller händelser slutenhet, dvs. att ett objekt eller händelser omges av andra objekt eller händelser och idéer om innanför, utanför och emellan. En enkel sluten kurva som till exempel en cirkel eller en fyrhörning är exempel på en slutenhet. Denna idé hjälper förklara varför mycket små barn uppfattar former som cirklar, kvadrat och trianglar som essentiellt samma figur, särskilt när de ritar dem själva (Way, n.d.b, avsnitt 3; vår översättning). Bild 5. Att kasta en boll Bild 5 är ritad av samma barn då hon var lite äldre och visar två barn som kastar och fångar en boll. I denna ritning visar barnet att hon nu kan förstå att båda benen inte alltid ses när de är uppradade mot varandra och att endast ett öga är synligt när ett ansikte ses från sidan. Barnet börjar uppfatta och representera föremål från olika synvinklar och barnets teckningar innehåller idéer om perspektiv. Placeringen av anletsdrag eller objekt i förhållande till varandra och beaktande av vertikala och horisontella relationer blir en del av barnets sätt att se på världen (Way, n.d.a) (14)

16 Bild 6. Ett piratskepp Bild 6 visar användningen av geometriska former för att representera ett fartyg med segel, ventiler och piratbesättning. Barnet skiljer mellan raka och böjda linjer, specifika former (som kvadrater och cirklar), känsla för antal sidor samt längd och vinklar. Dessa mätningsrelaterade begrepp gör det möjligt för barn att representera relativa förhållanden mellan objekt och delar i sina teckningar (Way, n.d.b). Solem och Reikeås (2004, s. 92ff) berättar om barn i en förstaklass som håller på att utveckla sin uppfattning om trianglars och fyrkanters 2 egenskaper, i detta fall om sammanhangen mellan kanter 3 och hörn. Barnen hade hittat dessa former i omgivningen, ritad, vikt och klippt dem. De fick nu frågan om en triangel, en trekant, alltid har tre hörn. Kan man göra en med två eller fyra hörn? Går det att rita tvåkanter? Eller varför inte enkanter och nollkanter. För ett barn som fokuserade hörn var figuren en tvåkant ( tvåhörning ), figuren ^ var en enkant och figuren O en nollkant, medan ett annat barn som fokuserade kanter så figuren < som en tvåkant och figuren som en enkant. Klassen diskuterade fram och tillbaka. Vem hade bestämt hur en triangel skulle se ut? Vem hade bestämt namnen? Kunde de inte lika gärna använda de figurer som de själva ritat? Var det viktigt att alla ritade samma tvåkant? En sådan diskussion om och argumentation för innehållet i ett begrepp ökar förståelsen av och insikten om begreppet ifråga. Det leder till matematisk tänkande, både hos barn och vuxna. (s. 94) 2 Boken är översatt från norska och figuren har där benämning som fyrkant. En bättre översättning hade varit fyrhörning eller rektangel. 3 Utifrån föregående fotnot borde översättningen vara sida (14)

17 Dessa barn har arbetat på med att utveckla sin uppmärksamhet och förståelse inom den matematiska aktiviteten designa, i detta fall genom att studera egenskaper hos trianglar genom delaktighet i den matematiska aktiviteten förklara (se del 3). Sammanfattning Liksom när det gäller lokalisera behöver barn ges möjligheter att utforska, begreppsliggöra och representera sina idéer för att sedan kunna utveckla sin kunskap i att förstå och använda symboler. Förskollärarens roll är viktig eftersom deras val av situationer och de problem de presenterar för barnen är katalysatorer som bidrar till att utmana barnens teorier-ihandling. Som tidigare diskuterades i del 5, är valet av artefakter i situationerna också viktiga. Artefakter såsom mönsterkorten i Swobodas (2010) forskning kräver att barnen provar många olika sätt att lösa problemet. Solem och Reikeås (2004) beskrivning av barns diskussion om former illustrerar hur artefakter framställda av barn (t.ex. ritningar av enkanter och tvåkanter ) också kan stimulera till reflekterande samtal. Arbete med former i förskolan finns dokumenterat i många olika svenska publikationer. Mycket av detta arbete relaterar till Bishops matematiska aktivitet designa även om det inte så ofta uttrycks explicit. Exempel på detta är bygglek där det handlar om att titta på, rita eller på andra sätt dokumentera byggnadsverk. I kap 9 i Små barns matematik (Sterner, 2006) finns fler exempel. Referenser Bishop, A. J. (1988). Mathematical enculturation: A cultural perspective on mathematics education. Dordrecht: Kluwer. di Pellegrino, G., Fadiga, L., Fogassi, L., Gallese, V., & Rizzolatti, G. (1992). Understanding motor events: a neurophysiological study. Experimental Brain Research, 91(1), Lidman, S. (1980). Varje löv är ett öga. Stockholm: Bonniers. Piaget, J., & Inhelder, B. (1948/1967). The child's conception of space. New York: The Norton Library. Skolverket. Läroplan för förskolan Lpfö 98. Stockholm. Solem, I. H., & Reikeås, E. K. L. (2004). Det matematiska barnet. Stockholm: Natur och kultur. Sterner, G. (2006). I lek utvecklar barn rumsuppfattning och språk. I E. Doverborg & G. Emanuelsson (red.), Små barns matematik (s ). Göteborg: NCM Göteborgs Universitet. Swoboda, E. (2010). Natural differentiation in a pattern environment (4 year old children make patterns). In V. Durand-Guerrier, S. Soury-Lavergne, & F. Arzarello (Eds.), Proceedings of the Sixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Educa (14)

18 tion.january 28th-February 1st 2009, Lyon (France), (pp ). Institut National de Recherche Pédagogique. Available from Tsamir, P., Tirosh, D., & Levenson, E. (2010). Exploring the relationship between justification and monitoring among kindergarten children. In V. Durand-Guerrier, S. Soury- Lavergne, & F. Arzarello (Eds.), Proceedings of the Sixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education.January 28th-February 1st 2009, Lyon (France), (pp ). Available from Utbildningsdepartementet (2010). Förskola i utveckling - bakgrund till ändringar i förskolans läroplan. Stockholm: Regeringskansliet. Tillgänglig från van Hiele, P. M. (1959 /2004). The child's thought and geometry. I T. P. Carpenter, J. A. Dossey, & J. L. Koehler (red.), Classics in mathematics education research (s ). NCTM. van Hiele-Geldorf, D. (1957). De didaktiek van de meetkunde in de eerste klas van het V.H.M.O. Unpublished doctoral dissertation, University of Utrecht. Way, J. (n.d.a). The development of spatial and geometric thinking: coordinating space in drawings. NRICH. Hämtad 31 Oct. 2010a, från: Way, J. (n.d.b). The development of spatial and geometric thinking: the early years. NRICH. Hämtad 31 Oct. 2010b, från: (14)

19 Modul: Förskola Del 7: Designa Grundstruktur för situationer med fokus på den matematiska aktiviteten designa Ola Helenius, Maria L. Johansson, Troels Lange, Tamsin Meaney, Eva Riesbeck, Anna Wernberg; Malmö högskola, Luleå tekniska universitet, Örebro universitet & NCM I moment C i del 7 är syftet att använda typiska förskolesituationer, men explicit koppla dem till grunderna i aktiviteten designa i två steg. Båda stegen innefattar att gå ut (skogen, parken osv.) och plocka med något föremål till förskolan. Det kan vara nästan vad som helst: en sten, en gren, löv och så vidare. Första gången är avsikten att ta med föremål utan att i förväg tänka på vad de ska användas till. När ni är tillbaka på förskolan, undersök och prata om föremålen och deras form. Vad har vi tagit med? Hur ser det ut? Liknar det något annat? Finns det några delar eller komponenter av föremålen som liknar något annat? Försök utmana barnen att se och uttrycka nya saker med hjälp av idéer och teorier i texten Designa. Gör sedan något med föremålen, det vill säga låt dem få en ny roll. Kanske kan en sten sättas i en ram och bli en tavla? En gren kanske kan bli ett metspö. Löv kan bli täcke till en docka. När ni pratar om och dokumenterar vad föremålen har blivit, relatera återigen till deras form och specifikt vilka aspekter av formen som användes i föremålens nya roll. Föremålen är en dokumentation i sig, men försök också att dokumentera processen och låt gärna barnen rita av de nya föremålen. Inför steg 2, återvänd till de tillverkade föremålen och till dokumentationen och prata om processen. Uppgiften nu är att hämta hem nya föremål, men den här gången skall ni planera i förväg vad ni ska ha föremålen till, inspirerade av vad ni gjorde förra gången. Gör gärna ritningar, modeller eller andra planer för vad ni vill bygga eller skapa. Prata speciellt om vilka egenskaper (form, storlek mm) som de råmaterial som ni skall leta efter ute måste ha. Tillbaka på förskolan, använd ritningar och planer och låt föremålen få sin nya roll. Som tidigare, prata specifikt om föremålen former och utmana barnen att se och uttrycka sig om olika aspekter av föremålens form. I denna process börjar ni alltså med att undersöka och använda föremål. Olika aspekter av föremålens form uttrycks i tal, med gester och med hjälp av bilder. När föremålen får nya roller öppnas ytterligare möjligheter att uppmärksamma och prata om föremålens former och egenskaper. Dokumentationen av denna process används sedan när processen repeteras, men nu i en mer hypotetisk form. Den här gången behöver barnen först föreställa sig en funktion och vilka former och andra egenskaper som behövs. Först därefter går man ut och letar efter konkreta föremål som har eller efter bearbetning kan få den formen. Alan Bishop skriver så här: Grundstruktur för situationer med fokus på den matematiska aktiviteten designa Maj (2)

20 Designen av föremål skapar möjligheten till tänkt form och mönster i omgivningen. Det är när former ritas, tillverkas och designas som formen själv blir fokus för uppmärksamheten. (Bishop, 1988, s. 40) Vi hoppas att de situationer vi föreslår kan stimulera ett sådant fokus. Nedan följer en kort summering av hur situationerna är tänkta att genomföras. 1. a) I samband med besök i skogen (eller liknande) ta med föremål tillbaka till skolan. b) Prata om dessa föremål. Hur de ser ut, hur de känns och så vidare. Efter en stund för in diskussionen på om ni kan göra något annat av föremålen. Kanske måste de modifieras (en pinne kan med hjälp av ett snöre bli en pilbåge). Kanske kan de användas mer direkt (en fin sten kan bli en prydnad). c) Diskutera och dokumentera de nya föremålen med speciellt fokus på deras form och vilka aspekter av formen som gjorde att de passade i sin nya roll. 2. a) Planera att återigen gå ut och hämta några föremål, men börja nu med att prata om vad föremålen ska bli. Vad ska designas? Prata speciellt om vilka formegenskaper som det som ska hämtas behöver ha (t.ex. om någon hämta en ny prydnadssten, fråga om storlek, form, färg osv.). b) Gör planer, ritningar modeller och så vidare av det som ska tillverkas. Diskutera även dessa, med fokus på hur den tilltänkta funktionen som föremålen ska ha relaterar till formen. c) Gå ut och leta upp lämpliga föremål. d) Tillverka det som planerats. Diskutera och dokumentera. Grundstruktur för situationer med fokus på den matematiska aktiviteten designa Maj (2)

21 Del 7: Moment B kollegialt arbete Diskutera Diskutera utifrån era anteckningar om texten Designa och filmerna i moment A. Låt var och en ta upp något i texten som var överraskande och berätta också varför det var överraskande? Låt var och en säga något om en av filmerna och frågorna från moment A: I relation till van Hieles nivåer som ni har läst om, vilka kunskaper om form kan ni se att barnen i de olika filmerna har respektive inte har? I relation till del 3 och texten om Förklara, på vilka sätt uttrycker barnen sina kunskaper? Kan ni till exempel se spår av några teorier-i-handling? I relation till del 5 och texten Strukturera rummet, fundera på vilken roll olika artefakter har i filmerna. I relation till del 5 och texten Strukturera rummet fundera på hur ni skulle kunna utmana något av barnen i filmerna att utveckla sin förståelse för form. Kan ni både komma på en pedagogisk situation och en instrumentell situation (som t.ex. tar sin utgångspunkt i den matematiska aktiviteten designa)? Planera Texten Grundstruktur för situationer med fokus på den matematiska aktiviteten designa beskriver hur den matematiska aktiviteten designa i två steg kan användas för att utmana och utveckla barns uppfattningar av form. Detta ger en grundstruktur för det ni genomför i moment C. Ni ska använda typiska situationer i förskolan men explicit koppla dem till grunderna i den matematiska aktiviteten designa i syfte att utmana och utveckla barns uppfattningar av form. Diskutera hur situationerna kan anpassas till olika barngrupper, planera dessa och fundera över hur ni vill dokumentera dem. Dokumentera i moment C Dokumentera föremålen som ni tog med till förskolan och vad som sedan skapades utifrån de medtagna föremålen. Dokumentera också olika barns deltagande i processen och de olika diskussionerna. Lägg speciellt märke till om någon eller några barn inte deltar (inte vill vara med) eller inte urskiljer och uttrycker sig om föremålens form i den utsträckning ni förväntar er. Gör anteckningar om Vilka aspekter av designa som en matematisk aktivitet visade barnen? Vilken var din roll i utvecklingen av dessa aspekter? Material Revision: 2 Datum:

22 Del 7: Moment C aktivitet I detta moment är syftet att använda typiska situationer i din förskola och koppla dem till grunderna i den matematiska aktiviteten designa i syfte att utmana och utveckla barns uppfattningar av form. Genomföra och dokumentera situationer som du planerade i moment B. Material Revision: 2 Datum:

23 Del 7: Moment D gemensam uppföljning Diskutera Diskutera med varandra om de situationer som ni dokumenterade i moment C. Var och en berättar om de två designsituationerna som ni genomförde i moment C. Gick situationerna som ni hade planerat? Kan ni utifrån era reflektioner diskutera varför eller varför inte det blev som planerat? Vilka aspekter av designa som en matematisk aktivitet visade barnen? Vilken var er roll i utvecklingen av dessa aspekter? Vilka andra matematiska aktiviteter fanns med eller uppstod i situationen och speciellt, kunde ni se uttryck av de matematiska aktiviteterna leka och förklara? Var alla barn engagerade i situationen? Varför tror ni att vissa barn inte deltog i samma utsträckning som andra? Vilka alternativa pedagogiska handlingar skulle ha uppmuntrat dem att delta? Diskutera med varandra hur ni dokumenterade vad varje barn gjorde när de deltog i situationerna? Hur kan ni använda dokumentationen som hjälp vid planering och genomförande vid senare tillfälle så att barnens uppfattningar om form och olika sätt att uttrycka sig om form fortsätter att utmanas? Dokumentera Spara alla dokumentationer och anteckningar från denna del. Anteckna i din portfolio Tankar och reflektioner från den gemensamma uppföljningen Reflektera över din förståelse av att designa. Är den förändrad? Vad har i så fall förändrats och varför? Material Revision: 2 Datum: