Utmaningar inom matematikundervisningen

Transkript

1 Utmaningar inom matematikundervisningen 14 mars 2016 Madeleine Löwing

2 ! Varför är det viktigt att lära sig matematik?! Vad betyder matematiksvårigheter i utbildning vardag och arbete?! Vad säger forskningen om bakomliggande faktorer till generella matematiksvårigheter?! Betydelsen av kunskapskartläggning! Vad är viktigt i den grundläggande matematikundervisningen?! Hur kan man göra matematiken tillgänglig för alla?

3 Att våga se för att kunna ta ansvar Forskningsstudie vid Göteborgs Universitet Utkommer våren 2016 Konstruktion av bedömningsinstrument, Diamant och Brilliant Kunskapskartläggningar: Syftet är att komma ner på individnivå när det gäller specifikt och betydelsefullt innehåll. Synliggöra för tjänstemän på olika nivåer i utbildningssystemet orsakerna till de resultat som lyfts fram

4 Vad du bör tänka på i undervisningen för att eleverna ska utveckla sitt matematiska kunnande.! Det finns grundläggande kunskaper som är avgörande för den fortsatta förståelsen. En verktygslåda med beräkningar och begrepp! Hur en elev ska kunna detta innehåll. Vad det innebär att behärska.. Olika aspekter av begreppet! Vilka möjligheter ges eleven att visa sina kunskaper? Samtal, diagnoser.

5 Saknad förkunskap. För eleven är det helt avgörande att ha samtliga förkunskaper för att ha möjlighet att förstå ett nytt begrepp. Syftet med formativ bedömning är att sätta fingret på vad som gör att eleven lär sig / inte lär sig det som undervisas. Diagnoserna Diamant och Brilliant ger dig ett bra utgångsläge för undervisning i olika årskurser i grundskolan och vid starten av gymnasieskolan

6 Betydelsen av den kunskap individen redan behärskar Det som eleven redan kan och vet har avgörande betydelse för möjligheten att förstå och lära sig ett nytt innehåll. Aktuell forskning är överens om att ny kunskap utvecklas genom att man utgår från vad individen redan kan (Bransford, Brown & Cocking, 2000). The most important factor influencing learning is what the learner already knows. Ascertain this and teach him accordingly (Ausubel, 1968).!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

7 Elever som saknar grundläggande matematikkunskaper får svårt att lösa uppgifter/problem där dessa verktyg behövs. Dessutom krävs flyt i hanterandet av olika grundläggande verktyg. Det ska inte behövas mycket tankekraft för att använda rätt begrepp eller utföra beräkningar och förenklingar. Det är samma sak som att kunna läsa; När du läser en ny intressant artikel är du fokuserad på innehållet och inte på att du kan läsa eller hur man gör. Läsandet är endast ett redskap för att läsa texter och därigenom få ny information. För många elever upptar tankar kring begrepp och beräkningar så stor del av deras arbetsminne att deras möjligheter att lösa aktuell matematikuppgift eller problem blir små.

8 Kunskapssyn i Lgr 11 Den närmaste utvecklingszonen bildar utgångspunkt för pedagogisk praxis. Det sociala samspelet är betydelsefullt för barnets utveckling! Identifiera och utgå från den nivå som eleven befinner sig på och utifrån vilken hon ska utvecklas.! Sätt ribban, mot vilken lärandet syftar, lagom högt.! I undervisningen bör du använda elevernas närmaste utvecklingszon för att deras lärande ska bli så bra som möjligt. Vygotskij

9 .%%"/012'"03/ /7 E: Jag kan räkna multiplikation L: Vad är 2 3 E: 6 L: Men vad är 3 2 E: 6 så klart L: Det spelar ju ingen roll i vilken ordning siffrorna står. Vad är 3 5? E: Det är 15, och 5 3 är ju också 15 E: Fråga mej om något annat, 3 24 L: Ja, vet du vad det blir? E:.72, blir det de? L: Ja, hur tänkte du?

10 E: Som du sa att två gånger är dubbelt och sedan la jag till 25. Alltså jag tänkte 25 först och sedan tog jag bort 3. L: Vad blir då 4 24 E:..(funderar länge) L: Du vet ju vad 2 25 är och 4 gånger blir ju dubbelt så mycket som 2 gånger. E: Nej, vad menar du? L: 4 är ju alltså dubbelt så mycket som 2 gånger. E: Jaha då är och då blir det 96. L: Javisst! E: Då blir 8 25, 200 och jag vet att 8 24 blir, jag ska ta bort 8, 192? Stämmer det? L: Visst!!!!

11 Researchers now have hard empirical evidence that learning does lead to higher achievement when using assessment. (Wiliam, 2008) Ramverk för formativ bedömning omfattar tre centrala processer nämligen att fastställa! var eleven befinner sig i sin kunskapsutveckling,! vilka målen är och! vilket innehåll eleven behöver förstå för att nå målen.!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

12 Diamant diagnos

13 Resultatschema; Diagnos AG1, åk 1 och åk 2 slutet av årskursen

14 Grundläggande aritmetik. AG1 89%:"'#$/;&+-0/2"'/&%%-<50$0"/$'/0"#/)%&2"/ 012'$)=$0"5&)'$0 C/D?/B/A3//C/D A/B/?/ )<4F,////!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

15 Landgren, C.J. (1866). Hufvudräkningskurs för folkskolelärareseminarier, Folkoch småskolor Stockholm: Hiertas förlagsexp.!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

16 Stöd för att bedöma förmågor Möjligheterna att bedöma de förmågor som beskrivs i kursplanen är helt beroende av elevens kunskaper inom det centrala innehållet. Eleverna måste behärska strategier för att kunna värdera dem. begrepp och se samband för att kunna analyser dem. olika metoder för att kunna resonera, argumentera om dem eller uttrycka dem. Att behärska det som beskrivs i centralt innehåll är alltså en förutsättning för att eleven ska kunna uttrycka, utveckla eller öva sina förmågor.!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

17 Diamant diagnos G9*&'+/:"'-"0&/AH7?

18 Resultatschema; Diagnos AG4 åk 3, åk 4 och åk 5 slutet av årskursen

19 Didaktisk ämnesanalys Didaktisk ämnesanalys av ett innehåll kan göras på olika nivåer, på hela områden eller på enskilda begrepp. Med hjälp av en didaktisk ämnesanalys av olika matematikinnehåll kan vi rita delar av kartan i matematiklandskapet och därigenom synliggöra förkunskapsstrukturer och progression. Denna typ av analys av ett innehåll synliggör vad eleverna ska lära sig, vilka aspekter de ska urskilja (få syn på) och vad du kan förväntas hjälpa dem med.

20 Arean av ett Parallelltrapets!"#$%&'I J550KL2/3/4"0&"M$% ($#&$.. /01-$"$2$+-%3&- %$4)&/*'5 R"0"%%$%%50"=$5<3/S&#"3/T9:#3/U)0!"%3/ V0&"'+%"03/W0$"3/X"<3/Y&'2$%0153/ >&"+)'"%3/R"0"%%$%%/)LZ/[[!&,61$6,**7+/*'.$&8 >$/;K0"/012'$<155$'/14$'/!$#/M062/ )LZ/#$L&!"%5"% Tänk igenom: Vilka svårigheter kan uppstå? Var brukar eleverna fastna? ($&)*+,+#'&-!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

21 Multiplikation 7 x 7 Emma i åk = = = = 49 Hon kan dela upp tal 7 = Intuitivt distributiva lagen 7 x ( )

22 Matematiska begrepp och elevers uppfattningar

23 Diagnos; Procent Gymnasiet åk 1 och åk 2 vid läsårsstart! Hur mycket är: 5% av 160 kr? b) 25% av 480 kr? c) 20% av 40 kr?! För att få en salladsdressing blandar man 3 dl olja och 1 dl vinäger. Hur många procent av blandningen består av vinäger?! I en by i Schweiz talar 452 personer franska, 800 personer tyska och 748 personer italienska. Hur många procent av alla i byn talar tyska?! Ett par jeans kostar 720 kr. Man får 15% rabatt. Hur mycket får man då betala?

24 ! Lisas månadslön är kr. När skatten är dragen har Lisa kr kvar. Hur många procent av lönen betalar hon i skatt?! En dator kostar kr utan moms. Man får också betala 25% moms. Hur mycket kostar datorn när momsen är inräknad?! Priset på en skjorta som tidigare kostat 400 kr höjs med 15%. På det priset får Erik 15% rabatt. Hur mycket får Erik betala?! Priset på en jacka är 250 kr. Först höjs priset med 20% och sedan sänks det med 10%. Vad blir det slutliga priset?

25 Resultatschema; Procent Gymnasiet åk 1 och åk 2 vid läsårsstart

26 Läraren har en viktig roll i undervisningen John Hattie (2009) lägger med devisen Know thy impact var medveten om din påverkan över ansvaret för elevernas resultat på lärarna. Kilpatrick m.fl (2001) framhåller på motsvarande sätt att What is learned depends on what is taught Niss (1994) betonar lärarens viktiga roll i skolans matematikundervisning: As the learning of mathematics does not take place spontaneously and automatically, mathematics needs to be taught.

27 Riktlinjer för undervisningen är läroplanen och kursplanen Dessa styrdokument ska du tolka och planera undervisningen utifrån. Tydliga mål och kunskapskrav har visat sig vara avgörande för elevers lärande, och utgör grunden för dig för att kunna ge relevant återkoppling. Några faktorer som är betydelsefulla för undervisningen är:! tolkningen av matematikinnehållet i kursplanen,! planeringen, undervisningen och bedömningen och dessa ska vara i linje med varandra. Formativ bedömning av elevers kunskaper är en central del i matematikundervisningen och är därför beroende av de undervisningsmål du satt upp och den planering du gjort.!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

28 9$"01&:;$<- =*2'6,0+$& \$'50"%5/&''$Z6%% ]/60<2-0</O/D ^ F$24"5&)'$0/&/<&5-"5&)'$0/ <)!/10/0$%$4"'5"/;90/ $%$4$' _$5)#$0/;90/$'2$%/ $24"5&)'<%9<'&'+ ]/60<2-0</`/D a ]''$M90#$'/ "4/4"0&"M$%b M$+0$==$5/ )LZ/#$<</ "'41'#'&'+/ &//"%+$M0"&<2"/ -550KL23/;)0!%$0/)LZ/ $24"5&)'$0 F$24"5&)'$0/&/<&5-"5&)'$0/ <)!/10/0$%$4"'5"/;90/ $%$4$' _$5)#$0/;90/ $24"5&)'<%9<'&'+ G9*&'+/AH7O

29 Det krävs djupa ämneskunskap för att bedöma en individs prestation.!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

30 Utvärdering - diagnostik The teachers should use assessment to keep learning on track An assessment;! monitors learning to the extent that it provides information about whether the student, class, school or system is learning or not,! is diagnostic to the extent that it provides information about what is going wrong and! is formative to the extent that it provides information about what to do about it. To be formative, feedback needs to contain an implicit or explicit recipe for future action Researchers now have hard empirical evidence that learning does lead to higher achievement when using assessment. (Dylan Wiliam, 2008)!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

31 DIAMANT >"?&)'$%%" &/ A'5$!"5&2.55/#&"+')<!"5$0&"%/&/!"5$!"5&2/ ;90/<2)%60$'/60<2-0</8b a// W'="<<"5/5&%%/G+0/77 BRILLIANT ***,<2)%4$02$5,<$c#&"!"'5.55/#&+&5"%5/#&"+')<&'<50-!$'5/&/!"5$!"5&2/;90/+K!'"<&$<2)%"', X0&%%&"'5d0-'# #&"+')<$0/eY&#/<5"05$'/"4/+K!'"<&$<2)%"'e,/////// ***,!"55$#&"+')<,<$

32 _"5$!"5&2$'</< _"5$!"5&2/M$<560/&'5$/"4/$'/0"#/%9<5 <"!!"';)+"#$/!)!$'5,/_)!$'5$'/10/ &<51%%$5/<"!!"'%1'2"#$/)LZ/MK++$0/=6/ $55/"'5"%/+$!$'<"!!"/012'$%"+"03/ 012'$0$+%$0 )LZ/M$+0$== Y"0:$/!)!$'5/2"'/&/"%%!1'Z$5/ M$Z"'#%"</=6/)%&2"/<155/)LZ/;90<56</=6/ )%&2"/2)+'&5&4"/'&46$0,/_$'/!6%$53/#$5/ <)!/<2"%%/"M<50"Z$0"<3/10/#$5<"!!", T-0/#$/)%&2"/#&"+')<$0'"/10/2)==%"#$/ 5&%%/4"0"'#0"/;0"!+60/"4/#$/ < <LZ$!"'/<)!/&'%$#$0/ 0$<=$25&4$/)!06#$/)LZ/#$%)!06#$,!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

33 Nationellt Bedömningsstöd Avgränsningar: Diamant mäter inte elevens problemlösningsförmåga. Diagnoserna testar den verktygslåda eleven har i form av grundläggande begrepp och metoder för beräkningar alltså förutsättningarna för att kunna lösa matematiska problem. Mitt motto är: När en diagnos genomförs ska alltid resultatet vara utgångspunkt för åtgärdsarbete.!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

34 Utformning av diagnoser och koppling till fortsatt arbete Messick menar att validitet hos ett test är en sammanvägd bedömning av i vilken grad teoretiska motiveringar och empiriska bevis stödjer kvaliteten i de slutsatser som kan dras av resultatet. För att bedöma ett materials validitet krävs att man samtidigt bedömer såväl konstruktionen av mätinstrumentet som vilka konsekvenser resultatet ger.

35 T-0/%9<$0/#-/#$/Z10/ -==+&;5$0'"[/ 7,2 + 7,9 = 7,2 3,9 = 0,54 + 0,52 = 1,56 0,57 = 9 1,5 = 0,7 50 = 10,05 / 5 = 5 / 0,1 =

36 G9<'&'+<;90<%"+ff 7,2 + 7,9 = (7,1+0,1)+7,9 = 7,1+(0,1+7,9) = 7,1+8 Uppdelning av tal, associativa lagen 7,2 3,9 = Lika tillägg, differensen samma (7,2 + 0,1) (3, ) = 7,3-4 0,54 + 0,52 = 54 hundradelar + 52 hundradelar = 106 hundradelar = 1,06 9 1,5 = 9 (1 + 0,5) = 9 + 4,5 Distributiva lagen 10,05 / 5 = Delningsdivision (10 + 0,05) / 5 = 10/5 + 0,05/5 = 2+0,01 1,56 0,57 = Uppdelning av tal 1,56 (0,56 + 0,01) = 1,56 0,56 0,01 = 1 0,01 = 0,99 0,7 50 = Uppdelning av tal, kommutativa- och associativa lagen. 0,7 (5 10) = 0,7 (10 5) = (0,7 10) 5 = / 0,1 = Innehållsdivision 1 / 0,1 = = 50!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

37 Addition och subtraktion av tal i decimalform Ca 2500 elever grundskolan, 1500 elever i gymnasiet Lösningsfrekvensen ökar inte Det eleven inte lärt sig när innehållet presenterats lär de sig inte senare utan undervisning

38 Språkliga utmaningar Att läsa tal i decimalform Beräkna! av 0,16 Läser man noll komma sexton så blir svaret ofta 0,4 Läser man sexton hundradelar så blir svaret fyra hundradelar alltså 0,04 Under en och samma lektion lästes talet 2,385 som!två komma tre åtta fem!två komma trehundraåttiofem!två hela och trehundraåttiofem tusendelar Vid jämförelse måste talen uttryckas på samma form. Vilket tal som är störst 2,9 eller 2,10

39 Tal i bråkform Bråkets olika aspekter! ett tal,! en del av en hel,! en del av ett antal,! en andel,! en proportion,! ett förhållande,! skala. Förkunskaper för att kunna börja att operera med bråk! Nämnarens innebörd! Täljarens innebörd! Varje tal i bråkform kan skrivas på oändligt många sätt. Dessutom bör eleverna behärska de fyra räknesätten och räknelagarna

40 !"#$%$&'$(%)*&'+,$-

41 Resultatschema; Diagnos RB1, åk 4 och åk 5!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

42 .%$4$0/&/62/A/"0M$5"0/$;5$0/"55/Z"/ 5)%2"5/;092$'</+$')!+6'+!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

43 Brilliant diagnos Gymnasiet!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

44 g$<-%5"5<lz$!"h R)5$'<$0/+K!'"<&$5 i2/7/%1<60<<5"05!"#$%$&'$(%)*&'+,$-

45 Håll fokus på matematikinnehållet i undervisningen Tvåans multiplikationstabell Dubbelt Dubbelt Dubbelt Dubbelt osv.

46 Matematikens språk är ett exempel på en genre e inom språk eller ett ämnesspråk Det är ett vetenskapligt språk där såväl termer som ett speciellt skriftspråk är avgörande för att tolka och kommunicera ett innehåll. Man talar om Matematikens register. Ett av målen med skolans matematikundervisning är att eleven ska förstå vikten av att behärska matematikens uttrycksformer för att kommunicera i vidare studier eller i vardag och arbetsliv. Med tanke på elever med invandrarbakgrund bör det i skolan uppmärksammas att det finns kulturella skillnader som råder i vardagen och i skolan avseende t.ex. talens uppbyggnad och undervisningsspråket.

47 Matematikens språkliga dimensioner Talspråk: Hur långt är det till? Hur bred är vägen? Hur högt är huset? Formaliserat språk: Vilken längd har? Vilken är vägens bredd? Vilken höjd har huset? Konventioner: En triangel är inskriven i en cirkel. betyder inte en särskild triangel utan vilken triangel som helst En godtycklig punkt på grafen betyder inte att man kan välja en punkt. Det betyder alla punkter på grafen. Relationer mellan olika begrepp uttrycks i formler. Till exempel A = l. b och V = l. b. h. En elev som inte har förstått den elementära grammatiken för det matematiska formelspråket, kan inte utläsa uttryck som 3(2+5) eller! r 2 och har därmed ingen chans att göra ens de enklaste räkneuppgifter Matematiskt fackspråk: produkt, dividera, funktion, kontinuerlig, bråk, relation, ben, volym, tal, etc. har inom matematiken betydelser som kan skilja sig från allmänspråket

48 Kultur och matematikundervisning Andelen elever med invandrarbakgrund ökar i våra klasser. Undervisningen i matematik och kraven på elevernas kunskaper, ser olika ut i olika kulturer. Dessa elever lyckas betydligt sämre i matematik än elever med svensk bakgrund. (Skolverkets statistik)! Varför?! Vad kan vi göra? Vid kulturmöten i matematikundervisningen är det två aspekter som är viktiga! att våga se dem! att inte se dem utifrån sin egen kultur

49 B7"67&/*,""+';$&

50 Vad betyder en?

51 För invandrade - elever är tolkning ett centralt begrepp Hjärnan arbetar under ett ständigt högtryck för att tolka signalerna och budskapen, och ändå blir mycket oförklarat. Man vet inte om man förstått det någon säger, för man vet inte vad det är man borde eller skulle förstå (Wellros, 1998). Talens språkliga uppbyggnad, metoderna för skriftlig räkning, hur bråk uttryckes, tid m.m. skiljer sig avsevärt från språk till språk.

52 Se bara till att eleverna lär sig svenska så kommer allt att fungera Det tar lång tid för en elev att, utan hjälp av sitt modersmål, bygga upp ett andraspråk med vars hjälp man på ett effektivt sätt kan lära nya begrepp i matematikundervisningen (Hyltenstam &Toumela,1996). Under tiden är det viktigt att eleven kan fortsätta sin begreppsutveckling på modersmålet, som är elevens instrument för att erinra sig och kommunicera alla tidigare, formella som informella, erfarenheter av matematik.

53 Vad kan kulturella och språkliga skillnader innebära? En felaktig transfer från modersmålet kan leda till en övergeneralisering i andraspråket (Hammarberg, 2004). Lyfta fram likheter och skillnader i de båda språkens strukturella uppbyggnad när det gäller matematik. Det här kräver att elevens lärare är medvetna om de matematiska begreppens språkliga struktur på båda språken. 53

54 Negativ transfer från arabiska På arabiska skrivs subtraktionen 14 9 = 5 så här 14 heter arbaat ashar alltså fyra-tio, läst från höger. När eleven lärt sig att likahetstecknet skall stå till höger kan det bli 9 14 = 5 54

55 Svenska noll ett två tre fyra fem sex sju åtta nio tio elva tolv tretton fjorton femton sexton sjutton arton nitton tjugo tjugoett tjugotvå trettio fyrtio femtio sextio sjuttio åttio nittio 100 etthundra 101 etthundraett 200 tvåhundra 1000 ettusen 1100 ettusenetthundra 2000 tvåtusen

56 Y&$5'"!$<&<2" H///Zj'+ 7!k5 A///Z"&?///M" O///Ml' C///'m! ^///<n- `///MoK p///5n! a///lzq' 7H///!rs& 77///!rs&!k5 7A///!rs& Z"& 7?///!rs& M" 7O///!rs& Ml' 7C///!rs& 'm! 7^///!rs& <n- 7`///!rs& MoK 7p///!rs& 5n! 7a///!rs& LZq'!"###$%& '()&!*###$%& '()& '+,!! $%& '()& $%& -".% '()& /"###.01 '()& 2"###13' '()& 4"###567 '()& 8"###.9: '()& ;"###,6' '()& <"###=$>1 '()&

57 VK<2" "###17?? 2###FG1F ;###%=$, *!###ABH?F 2"###FG1FA&I ;"###%=$,A&I

58 W0"M&<2" ! " # $ % & ' ( ) * siffr wahed ithnan thalatha arbaa khamsa sita sàbaa thamania tisaa "! "" "# "$ "% "& "' "( ") "* ashraa ahda ashar ithna ashar thalathat ashar arbaat ashar khamsat ashar sitat ashar sabaat ashar thamaniat ashar tisaat ashar #! #" ## $! %! &! '! (! )! *! ishroon wahed wa ishroon ithnan wa ishroon thalathoon arbaoon khamsoon sittoon sabboon thamanoon tissoon

59 Subtraktionsuppställning %6'$!$5)# 7H C/O b A/p// O//7O/// C/O b A/p// lika tillägg -5;K%%'"#<!$5)# 7H C/O b A/p// O//// C/O b A/p// 7 C/O// b A/p// ^/O b?/p//

60 Subtraktionsuppställningen W0"M&<2" CO V"!&% CO/b G6'$!$5)# Ap//b G6'$!$5)# Ap/B 80"'<2" G&2"/5&%%1++ CO b Ap VZ"&%1'#<2" G6'$!$5)# CO Ap R)%<2" G6'$!$5)# CO/b Ap/B gk<2" G6'$!$5)# CO b Ap 60

61 T":$0!$'"0/"55 Lärarna litar på att ett begripligt inflöde räcker för att lära sig ett nytt språk och nya begrepp. Lärarna ger inte eleverna tillfälle att själva producera nya språkliga element genom att tala och skriva. Detta i sin tur leder till att det inte heller finns tillfälle att ge eleverna återkoppling till hur de formulerar sig så att de kan förbättra sitt språk och ställa upp nya hypoteser.

62 Att arbeta språkutvecklande i matematik Språkutvecklande undervisning innebär att såväl de ämnesmässiga målen och språkfärdighetsmålen är explicita. Undervisningen mot dessa mål är fylld av förtydliganden av begrepp,kontextrik, full av rika möjligheter till interaktion och innehåller språklig stöttning

63 Madeleine Löwing