REDOVISNINGSUPPGIFTER
|
|
- Sara Åberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 REDOVISNINGSUPPGIFTER Eleven får en mer omfattande uppgift som under eget ansvar ska analyseras, genomföras och redovisas, såväl muntligt som skriftligt. Uppgiften kräver kunskaper från olika områden av matematiken och svarar mot samtliga betygsnivåer. Den skriftliga rapporten bör innehålla: problemformulering beräkningar resultat diskussion källförteckning Följande kommer att bedömas: de matematiska beräkningarnas korrekthet resultatets rimlighet det matematiska språket i den skriftliga rapporten hur diskussionen knyts an till resultatet det muntliga framträdandet BETYGSKRITERIER Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att lösa uppgiften. Eleven genomför matematiska resonemang. Eleven använder matematiska termer och symboler samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl Godkänd krävs förutom Godkända kunskaper att Eleven visar kunnande som spänner över olika kunskapsområden som ingår i kursen. Eleven gör matematiska tolkningar och redovisar sitt arbete med logiskt resonemang. Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösningar av problemet. Kriterier för betyget Mycket Väl Godkänd krävs förutom att Väl Godkända kunskaper uppnåtts att Eleven närmar sig en vetenskaplig redovisning. Eleven väljer generella metoder och modeller för problemlösningen. Eleven genomför matematiska bevis. Eleven analyserar och tolkar resultatet.
2 Eleven bedömer slutsatsens rimlighet och giltighet. Eleven använder ett korrekt matematiskt språk. FÖRDELNING Namn Uppgift Redovisningstid Andrea 2/ kl 2:3-4 Caroline 2 5/ kl :3-2 LisaE 3 2/ kl 2:3-4 Sanjin 4 4/ kl 9-:3 Oscar 5 5/ kl 9-:3 ElinJ 6 2/ kl 2:3-4 ElinP 7 4/ kl 9-:3 JohannaD 8 4/ kl 9-:3 Cornelia 9 5/ kl 9-:3 Gustav 4/ kl :3-2 Klara 4/ kl 9-:3 Niklas 2 2/ kl 2:3-4 Anna 3 4/ kl :3-2 ElinT 4 4/ kl 9-:3 Puria 5 4/ kl :3-2 Amy 6 5/ kl :3-2 JohannaL 7 5/ kl 9-:3 Veronica 8 5/ kl :3-2 Johannes 9 4/ kl :3-2 Alexandra 2 5/ kl :3-2 Daniel 22 5/ kl :3-2 Matilda 23 5/ kl 9-:3 Victor 24 5/ kl 9-:3 Jonathan 25 5/ kl :3-2 Marcus 26 5/ kl 9-:3 Johan 27 2/ kl 2:3-4 Linn 28 4/ kl :3-2 Obligatorisk närvaro på det egna redovisningstillfället, frivilligt att delta på övriga redovisningar. Kursavslut den 6 januari kl 9 för samtliga, då är det även uppsamling för missade redovisningar. Skriftlig inlämning senast den 23 januari.
3 REDOVISNINGSUPPGIFT : REELLA RÖTTER Undersök sannolikheten för att andragradsekvationen x 2 + px + q = har reella rötter, om p och q väljs slumpvis som reella tal i intervallet a) mellan och b) mellan och 5 c) mellan och N, där N REDOVISNINGSUPPGIFT 2: CIRKELNS TANGENT En cirkel med medelpunkt i origo och radie 5 l.e. beskrivs av x 2 + y 2 = 5 2. Om man drar en tangent till cirkel, så blir denna alltid vinkelrät mot motsvarande radie (en s.k. normal). I punkten (4,3) på cirkeln dras en tangent. Bestäm tangentens riktningskoefficient! Dra istället en tangent i punkten (x,y). Vad blir tangentens riktningskoefficient? Visa detta dels genom att betrakta tangenten som en normal till radien, dels genom att ta fram derivatan y. REDOVISNINGSUPPGIFT 3: SKATEBOARDRAMP En skateboardramp har en profil som beskrivs av funktionen 2 f (x) = +,3x 2 där x och enhet motsvarar meter. Hur hög är rampen? Bestäm rampens lutning i grader för x = 2. Var är rampen som brantast? Hur ser rampen ut? a Undersök generellt rampen f (x) = + bx 2
4 REDOVISNINGSUPPGIFT 4: ASTROIDEN Figuren visar en s.k. astroid, som skär x- och y-axeln i punkten a respektive -a. Ekvationen för astroiden är x y 2 3 = a 2 3. Beräkna längden av hela astroidkurvan. Längden L av en kurva mellan x-värderna x och x 2 beräknas enligt formen x 2 ( ) 2 L = + y (x) x Härled formeln för L genom att utnyttja Pythagoras sats. dx REDOVISNINGSUPPGIFT 5: MÄTSTICKAN En familj har i sin villa en stor, liggande cylinderformad oljetank. Hela tanken rymmer 4, m 3. Diametern på tanken är,2 m. Tyvärr har mätstickan till tanken kommit bort Hur mycket olja finns kvar då oljedjupet är,45 meter? Hjälp familjen hur de ska gradera sin egentillverkade mätsticka!
5 REDOVISNINGSUPPGIFT 6: PARTIALBRÅKSUPPDELNING Det finns integraler som kan lösas med hjälp av partialbråksuppdelning. Ta reda på hur denna metod fungerar och lös följande integraler: 2x + x 2 + 3x + 2 dx x x 2 x 2 dx 8x 9 3x 2 5x 2 dx 3x 2 3x 4 x 3 4x 2 + 5x 2 dx 3x 2 3x 8 dx x 3 ( ) ( ) x 2 + REDOVISNINGSUPPGIFT 7: ELLIPSEN En ellips är en plan kurva med ekvationen x 2 a + y 2 2 b = 2 Beräkna ellipsens area. Bestäm volymen av den ellipsoid som uppstår om ellipsen roterar kring y-axeln. Jämför dina resultat med cirkelns area och klotets volym!
6 REDOVISNINGSUPPGIFT 8: HYPERBOLISKA FUNKTIONER De trigonometriska funktionerna kallas ibland för cirkulära (härleds ur enhetscirkeln). Det finns en annan grupp av funktioner som kallas hyperboliska. De tre viktigaste av dessa är cosinus hyperbolicus (cosh), sinus hyperbolicus (sinh) och tangens hyperbolicus (tanh). De defineras på följande sätt: cosht = et + e t 2 sinht = et e t 2 tanht = sinht cosht De hyperboliska funktionerna har tydligt släktskap med de cirkulära funktionerna. Finn så många likheter du kan! Studera också derivatan av de hyperboliska funktionerna. Bevisa motsvarigheten till den trigonometriska ettan, som kallas den hyperboliska ettan cosh 2 t sinh 2 t =. Visa att cosh 2 x + sinh 2 x = cosh2x och 2sinh x cosh x = sinh2x. Härled formler för cosh (x+y), sinh (x+y) och tanh (x+y). REDOVISNINGSUPPGIFT 9: DAGSLJUS Du ska beskriva hur antalet timmar med dagsljus beror på tiden, enligt funktionen y = A sink( x + v) där y är antalet timmar dag x (x = den januari). Gå in på för att få data för Göteborg. Bestäm A, k och v. Ta reda på vad begreppen vårdagjämning, höstdagjämning, vintersolstånd och sommarsolstånd innebär, samt ta reda med hjälp av din graf när detta inträffar. Vid vilka tidpunkter ökar respektive minskar antalet dagsljustimmar som mest?
7 REDOVISNINGSUPPGIFT : SYMMETRISKA EKVATIONER I ekvationen ax 5 bx 4 + cx 3 + cx 2 bx + a = är koefficienterna parvis lika. Utnyttja detta för att finna en rot till ekvationen. Visa att om ekvationen ax 4 + bx 3 + cx 2 bx + a = ( a ) har en rot x = r så är också x = r en lösning till ekvationen. Lös ekvationen 6x 4 35x x 2 35x + 6 = genom att dividera båda leden med x 2 samt sammanföra termer med samma koefficient och sätta x + x = y. Lös ekvationen x 6 3x 5 x 4 + 6x 3 x 2 3x += REDOVISNINGSUPPGIFT : FÖRÄNDRINGSHASTIGHET Arean av ett klot ökar med den konstanta hastigheten 32 cm 2 /min. Med vilken hastighet ökar klotets volym då radien är 5,5 cm? En upp och nedvänd kon med höjden 6 cm och bottenradien 2 cm är delvis fylld med vatten. Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnadshastigheten är cm 3 /min kommer vattenytan att sjunka med,6 cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm. Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara ifall man vill att vattenytan skall hålla sig konstant på en nivå? En annan upp och nedvänd kon med toppvinkeln 9 fylls med vatten med hastigheten q m 3 /s. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är y m? Hur ser uttrycket ut för en godtycklig toppvinkel α?
8 REDOVISNINGSUPPGIFT 2: TÄLTET Ett tält har formen av en halv sfär med en regelbunden sexhörning som basyta. Dela tältet i ett antal skivor som får en regelbunden sexhörning som basyta. Bestäm sedan volymen genom integration. Vilka mått får tältet för olika volymer mellan,5 m 3 och 2, m 3? REDOVISNINGSUPPGIFT 3: SINUSKVADRATICUS De vanliga trigonometriska funktionerna sin v och cos v definieras som bekant av enhetscirkeln. Byt ut enhetscirkeln mot en kvadrat och definiera de nya funktionerna sink v (sinuskvadraticus) och cosk v (cosinuskvadraticus). y - x - Din uppgift blir att undersöka de nya funktionerna! Hur beräkna man funktionsvärdena? T.ex. sink och cosk 75. Hur ser graferna ut? Är funktionerna periodiska och i så fall vad är perioden? Hur löser man ekvationer av typen sink v = och cosk v =,8? Har t.ex. trigonometriska ettan och formlerna för dubbla vinkeln någon motsvarighet för de nya funktionerna? Går det att göra ett program som ger funktionsvärdet då vinkeln är given och omvänt ger vinkeln då funktionsvärdet är givet?
9 REDOVISNINGSUPPGIFT 4: PARABOLISKA SEGMENTET En vågrät linje skär en andragradskurva i punkterna A och B. Linjen AB och andragradskurvan innesluter ett område. Detta område kallas ett paraboliskt segment. Den tangent till kurvan som är parallell med kordan AB tangerar kurvan i C. Den grekiske matematikern, fysikern och uppfinnaren Arkimedes ( f.kr.) upptäckte att arean av triangeln ABC och arean av det paraboliska segmentet alltid har samma förhållande. Undersök vilket förhållandet är genom att beräkna det paraboliska segmentet och den inskrivna triangeln som begränsas av funktionen y = x 2 + 2x samt x-axeln. Visa att sambandet gäller generellt. Andragradsfunktionen y = x 2 skärs av linjen y = kx + m i punkterna A och B. Sträckan AB är en korda till andragradsfunktionen. Punkten C bestäms som ovan av att tangenten till andragradsfunktionen i C ska vara parallell med kordan AB. Undersök om Arkimedes samband gäller även då kordan inte är parallell med x-axeln.
10 REDOVISNINGSUPPGIFT 5: HÖGAKUSTENBRON En kedja som hänger mellan två punkter får formen av en kedjelinje som har den allmänna ekvationen f (x) = A cosh x A + B + C där cosh kallas för cosinus hyperbolicus och definieras av cosh x = ex + e x. 2 Högakustenbron norr om Härnösand i Ångermanland är en av världens längsta hängbroar. Kablarna bildar en kurva som approximativt kan beskrivas med funktionsuttrycket x y =36 cosh 36, där x är horisontella avståndet från ena tornet och y är höjden över vattenytan. Vilken definitionsmängd har funktionen? Hur långt är det mellan brotornen? Beräkna hur högt upp kablarnas upphängningspunkter ligger. Uppskatta den segelfria höjden. Vilket motsvarande funktionsuttryck får brokablarna till Golden Gate bron i San Fransisco där avståndet mellan brotornen är 28 m, tornens höjd är 227 m och den segelfria höjden är 67 m? Jämför kablarnas längder i de båda broarna. Formeln för längden L av grafen till f(x) ( ) 2 från x = a och x = b ges av formeln L = + f (x) b a dx. REDOVISNINGSUPPGIFT 6: CYKLOMETRISKA FUNKTIONER De inversa funktionerna till de trigonometriska funktionerna kallas arcussin x, arcuscosinus x och arcustangens x. Ett gemensamt namn för dessa funktioner är cyklometriska funktioner. Studera hur graferna till de cyklometriska funktionerna ser ut. Förklara varför de ser ut som de gör! Bestäm definitions- och värdemängd för funktionerna. Visa att arcsin x = arccos x 2 för x. Visa att arcsin x = arctan x för < x <. x 2 Härled derivatan till de cyklometriska funktionerna samt ange deras definitionsmängd. Bestäm andraderivatan och tredjederivatan för y = arctan x.
11 REDOVISNINGSUPPGIFT 7: PARTIALINTEGRATION Omvändningen av produktregeln vid derivering används när man gör s.k. partialintegration: f (x)g(x)dx = F(x)g(x) F(x) g (x)dx Härled denna formel och använd metoden för att göra följande integralberäkningar (svara exakt): 2 x 2 ln x dx π x 2 sin( 2x) dx 2 x e 2x dx REDOVISNINGSUPPGIFT 8: BRÅKIGA VINKLAR En vinkel α är bråkig om både sin α och cos α kan skrivas i bråkform. Visa att om α är bråkig så är även komplementvinkeln bråkig. Visa att om α är bråkig så är även α/2 bråkig. Visa att om α är bråkig så är även 2α bråkig. Visa att om α och β är bråkiga så är även α+β och α-β bråkig. Visa att det inte finns en minsta bråkig vinkel. En konvex månghörning (alla vinklar är mindre än 8 ) är bråkig om alla dess vinklar är bråkiga. Visa att om sidorna i en triangel kan skrivas i bråkform så är triangelns alla vinklar bråkiga.
12 REDOVISNINGSUPPGIFT 9: KONVERGENT OCH DIVERGENT Om en integral är integrerbar över ett viss intervall och ett gränsvärde existerar säger man att integralen är konvergent. Om däremot gränsvärdet inte existerar säger man att integralen är divergent. Visa följande satser: dx är konvergent om α >. x α dx är konvergent om α <. x α Visa att följande integraler är konvergenta samt beräkna dess värde: e x dx x e x 2 dx Visa att följande integraler är divergenta: 2x + x 2 dx sin x dx
13 REDOVISNINGSUPPGIFT 2: LOGISTISK TILLVÄXT En population av en djurart inom ett avgränsat område växer till en början exponentiellt. Men blir tillgången på näring sämre är inte längre förändringsfaktorn konstant. Då börjar tillväxttakten att avta och når till slut värdet när miljöns bärförmåga har uppnåtts. Tillväxten kan beskrivas med den logistiska ekvationen x n + = k x n ( x n ) Konstanten k sammanfattar egenskaper som bestämmer populationens utveckling. Det gäller dessutom att x n = N(n) N max vilket betyder att x n är antalet individer, N, vid tidsenheten n dividerat med det möjliga antalet individer N max. Ta reda på historien bakom logistisk populationstillväxt vem formulerade lagen? Undersök hur olika värden på k och x bestämmer hur tillväxten kommer att utvecklas. För vissa värden på k sker förändringar i det sätt på vilket populationen utvecklas. Försök att bestämma några av dessa k-värden. REDOVISNINGSUPPGIFT 2: LOGARITMISK DERIVERING Härled deriveringsregeln för f (x) = ln( g(x) ). Derivera funktionen f (x) = x x. Har funktionen några extrempunkter? Motivera! Härled deriveringsregeln för f (x) = log a x Bestäm andraderivatan till funktionen f (x) = lg x. Visa att den primitiva funktionen till f (x) = ln x är F(x) = x ln x x + C. Använd detta för att bestämma a så att ln x dx =. a Ta fram den primitiva funktionen till f (x) = tan x. Bestäm också definitionsmängden.
14 REDOVISNINGSUPPGIFT 22: NUMERISKA METODER Ekvationen ln x = 2 x kan inte lösas algebraiskt. Använd den numeriska metoden Newton- Raphson för att lösa problemet. Förklara hur metoden går till och förklara iterationsformeln x n + = x n f (x n) f (x n ). Hur kan Newton Raphson s metod användas med miniräknaren? Använd Simpsons formel för att beräkna integralen x 2 + dx. Förklara hur metoden är uppbyggd! 2 REDOVISNINGSUPPGIFT 23: ANTAL RÖTTER Undersök algebraiskt antalet rötter till ekvationen x 2 = a ex x + för olika värden på konstanten a. REDOVISNINGSUPPGIFT 24: LJUSSTAKE För att få en välsvarvad ljusstake kan man låta funktionen i intervallet. Vilken blir ljusstakens volym? Vilken blir volymen då man generellt låter rotera kring x-axeln? rotera kring x-axeln
15 REDOVISNINGSUPPGIFT 25: VARIABELSUBSTITUTION För att lösa vissa typer av integraler behöver man göra s.k. variabelsubstitution. Anta att man önskar beräkna integralen b b a β f (x) dx. Om g(α) = a och g(β) = b så gäller att f (x) dx = f ( g(t) ) g (t) dt a α Förklara vad metoden innebär! Lös integralen x 2 dx genom att ersätta x = sin t. Lös integralen 4 x + x dx genom att ersätta x = t 2. Lös följande integraler genom lämplig variabelsubstitution: 3 8 x 2 + 4x 3 dx cos( + x ) dx + x
16 REDOVISNINGSUPPGIFT 26: POTENSFUNKTIONER Figuren föreställer grafen till funktionen y = x n, x, där n är ett reellt tal större än noll. Från den punkt på kurvan där x-koordinaten är c (där c är en positiv konstant) dras linjer parallellt med de båda koordinataxlarna. Dessa linjer avgränsar tillsammans med koordinataxlarna och grafen två områden med areorna A och A 2. Sätt n = 2 och undersök för olika värden på c vad kvoten A slutsats! Visa att denna slutsats gäller för alla värden på c när n = 2. Sätt c = och undersök för olika värden på n vad kvoten A slutsats! Visa att denna slutsats gäller för alla värden på n när c =. A 2 A 2 blir. Formulera en blir. Formulera en Låt nu både c och n variera. Formulera en slutsats om kvoten A slutsats gäller för alla värden på c och n. A 2 och visa att din REDOVISNINGSUPPGIFT 27: MacLaurins FORMEL En godtycklig funktion kan approximeras med MacLaurins formel, förutsatt att funktionen är deriverbar. - Ta reda på hur formeln ser ut, och förklara varför den ger bättre och bättre uppskattningar ju fler termer man tar med. - Bestäm MacLaurinserien för f(x) = cos x och jämför grafiskt cosinusfunktionen med MacLaurinpolynomet av grad, 2, 3 o.s.v. - Gör detsamma för f(x) = e x
17 REDOVISNINGSUPPGIFT 28: DIFFERENTIALEKVATIONER Inom naturvetenskapen formulerar man teorier utgående från observationer och experiment. Man tar fram matematiska modeller som beskriver olika förlopp, och med hjälp av dessa modeller kan man ofta dra slutsatser om verkligheten i nya situationer. Vanligtvis ingår differentialekvationer i de matematiska modellerna. Ta reda på vad en linjär differentialekvation innebär. Vad anger differentialekvationens ordning? Man skiljer mellan homogena och inhomogena differentialekvationer, vad är definitionen för detta? Antag att r är en reell rot till r 2 + ar + b =. Visa att y = Ce rx är en lösning till y + a y + by =. Visa att om r är en dubbelrot så är även Cxe rx en lösning till y + a y + by =. En kropp startar vid tiden t = från stillastående i origo och drivs i y-axelns riktning av den konstanta kraften k. Bromskraften är proportionell mot hastigheten med proportionalitetskonstanten p varigenom rörelsens differentialekvation blir d 2 y dt 2 + p dy dt = k Visa att differentialekvationen har lösningen y = k p 2 e pt ( ) + kt p
REDOVISNINGSUPPGIFTER
REDOVISNINGSUPPGIFTER Eleven får en mer omfattande uppgift som under eget ansvar ska analyseras, genomföras och redovisas, såväl muntligt som skriftligt. Uppgiften kräver kunskaper från olika områden av
Läs merPRÖVNINGSANVISNINGAR
PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merMer om generaliserad integral
Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merx 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7
TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merNpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.
NpMaD ht 000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 010. Anvisningar
Läs merLösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson
, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merRepetitionsuppgifter i matematik
Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs merNpMa3c vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,
Läs mer1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller
Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merPoincarés modell för den hyperboliska geometrin
Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1998. Anvisningar
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merMATMAT01b (Matematik 1b)
Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merHF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng
Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Examinator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgränser: TENTAMEN HF0021 Matematik för basår I TEN2 Tekniskt basår Marina Arakelyan, Jonass Stenholm
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 005. Anvisningar NATIONELLT
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merEkvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska
Läs merMatematik C (MA1203)
Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs mer6.2 Implicit derivering
6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merIntroduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs mer