REDOVISNINGSUPPGIFTER

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "REDOVISNINGSUPPGIFTER"

Transkript

1 REDOVISNINGSUPPGIFTER Eleven får en mer omfattande uppgift som under eget ansvar ska analyseras, genomföras och redovisas, såväl muntligt som skriftligt. Uppgiften kräver kunskaper från olika områden av matematiken och svarar mot samtliga betygsnivåer. Den skriftliga rapporten ska innehålla: problemformulering beräkningar/resultat diskussion källförteckning Följande kommer att bedömas både i den muntliga och skriftliga redovisningen: dina matematiska beräkningars korrekthet hur generella metoder och modeller du använder hur utvecklat matematiskt språk du använder hur väl du motiverar/bevisar dina påståenden din analys och tolkning av resultatet hur strukturerat du redovisar din uppgift BETYGSKRITERIER Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att lösa uppgiften. Eleven genomför matematiska resonemang. Eleven använder matematiska termer och symboler samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl Godkänd krävs förutom Godkända kunskaper att Eleven visar kunnande som spänner över olika kunskapsområden som ingår i kursen. Eleven gör matematiska tolkningar och redovisar sitt arbete med logiskt resonemang. Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösningar av problemet. Kriterier för betyget Mycket Väl Godkänd krävs förutom att Väl Godkända kunskaper uppnåtts att Eleven närmar sig en vetenskaplig redovisning. Eleven väljer generella metoder och modeller för problemlösningen. Eleven genomför matematiska bevis. Eleven analyserar och tolkar resultatet. Eleven bedömer slutsatsens rimlighet och giltighet. Eleven använder ett korrekt matematiskt språk.

2 FÖRDELNING Namn Uppgift Redovisningstid Sofie 3/ kl 9:-:3 Sandra 7 3/ kl 9:-:3 Hampus 8 3/ kl 9:-:3 Victor 2 3/ kl 9:-:3 Henrik 5 3/ kl :3-:3 Klara 2 3/ kl :3-:3 Lisa 22 3/ kl :3-:3 Elisabeth 26 4/ kl 2:-3:3 Gustav 2 4/ kl 2:-3:3 Jenny 5 4/ kl 2:-3:3 Rebecka 28 4/ kl 2:-3:3 Frida 25 4/ kl 3:3-5: Johanna 24 4/ kl 3:3-5: Julia 3 4/ kl 3:3-5: Irwin 4 4/ kl 3:3-5: Alice 6 2/ kl 9:-:3 Cecilia 4 2/ kl 9:-:3 Sofia 7 2/ kl 9:-:3 Linnea 23 2/ kl 9:-:3 Jessica 6 2/ kl :3-:3 Björn 27 2/ kl :3-:3 Oliver 3 2/ kl :3-:3 Shayan 3 2/ kl 2:-3:3 Nathalie 8 2/ kl 2:-3:3 Sara 2 2/ kl 2:-3:3 Tim 9 2/ kl 2:-3:3 Agnes 9 2/ kl 3:3-5: William 2/ kl 3:3-5: Jonathan 6 2/ kl 3:3-5: Adrian 29 2/ kl 3:3-5: Obligatorisk närvaro på det egna redovisningstillfället, frivilligt att delta på övriga redovisningar. Skriftlig inlämning senast den 28 januari.

3 REDOVISNINGSUPPGIFT : REELLA RÖTTER Undersök sannolikheten för att andragradsekvationen x 2 + px + q = har reella rötter, om p och q väljs slumpvis som reella tal i intervallet a) mellan och b) mellan och 5 c) mellan och N, där N REDOVISNINGSUPPGIFT 2: DIFFERENTIALEKVATIONER Inom naturvetenskapen formulerar man teorier utgående från observationer och experiment. Man tar fram matematiska modeller som beskriver olika förlopp, och med hjälp av dessa modeller kan man ofta dra slutsatser om verkligheten i nya situationer. Vanligtvis ingår differentialekvationer i de matematiska modellerna. Ta reda på vad en linjär differentialekvation innebär. Vad anger differentialekvationens ordning? Man skiljer mellan homogena och inhomogena differentialekvationer, vad är definitionen för detta? Antag att r är en reell rot till r 2 + ar + b =. Visa att y = Ce rx är en lösning till y + a y + by =. Visa att om r är en dubbelrot så är även Cxe rx en lösning till y + a y + by =. En kropp startar vid tiden t = från stillastående i origo och drivs i y-axelns riktning av den konstanta kraften k. Bromskraften är proportionell mot hastigheten med proportionalitetskonstanten p varigenom rörelsens differentialekvation blir d 2 y dt 2 + p dy dt = k Visa att differentialekvationen har lösningen y = k p 2 e pt ( ) + kt p

4 REDOVISNINGSUPPGIFT 3: SKATEBOARDRAMP En skateboardramp har en profil som beskrivs av funktionen 2 f (x) = +,3x 2 där x och enhet motsvarar meter. Hur hög är rampen? Bestäm rampens lutning i grader för x = 2. Var är rampen som brantast? Hur ser rampen ut? a Undersök generellt rampen f (x) = + bx 2 REDOVISNINGSUPPGIFT 4: ASTROIDEN Figuren visar en s.k. astroid, som skär x- och y-axeln i punkten a respektive -a. Ekvationen för astroiden är x y 2 3 = a 2 3. Beräkna längden av hela astroidkurvan. Längden L av en kurva mellan x-värderna x och x 2 beräknas enligt formen x 2 ( ) 2 L = + y (x) x Härled formeln för L genom att utnyttja Pythagoras sats. dx

5 REDOVISNINGSUPPGIFT 5: MacLaurins FORMEL En godtycklig funktion kan approximeras med MacLaurins formel, förutsatt att funktionen är deriverbar. Ta reda på hur formeln ser ut, och förklara varför den ger bättre och bättre uppskattningar ju fler termer man tar med. Bestäm MacLaurinserien för f(x) = cos x och jämför grafiskt cosinusfunktionen med MacLaurinpolynomet av grad, 2, 3 o.s.v. Gör detsamma för f(x) = e x cos(ax) Visa att lim x cos(bx) = a genom att MacLaurinutveckla. b REDOVISNINGSUPPGIFT 6: DAGSLJUS Du ska beskriva hur antalet timmar med dagsljus beror på tiden, enligt funktionen y = A sink( x + v) där y är antalet timmar dag x (x = den januari). Gå in på för att få data för Göteborg. Bestäm A, k och v. Ta reda på vad begreppen vårdagjämning, höstdagjämning, vintersolstånd och sommarsolstånd innebär, samt ta reda med hjälp av din graf när detta inträffar. Vid vilka tidpunkter ökar respektive minskar antalet dagsljustimmar som mest?

6 REDOVISNINGSUPPGIFT 7: PARTIALBRÅKSUPPDELNING Det finns integraler som kan lösas med hjälp av partialbråksuppdelning. Ta reda på hur denna metod fungerar och lös följande integraler: 2x + x 2 + 3x + 2 dx x x 2 x 2 dx 8x 9 3x 2 5x 2 dx 3x 2 3x 4 x 3 4x 2 + 5x 2 dx 3x 2 3x 8 dx x 3 ( ) ( ) x 2 + REDOVISNINGSUPPGIFT 8: ELLIPSEN En ellips är en plan kurva med ekvationen x 2 a + y 2 2 b = 2 Beräkna ellipsens area. Bestäm volymen av den ellipsoid som uppstår om ellipsen roterar kring y-axeln. Jämför dina resultat med cirkelns area och klotets volym!

7 REDOVISNINGSUPPGIFT 9: FÖRÄNDRINGSHASTIGHET Arean av ett klot ökar med den konstanta hastigheten 32 cm 2 /min. Med vilken hastighet ökar klotets volym då radien är 5,5 cm? En upp och nedvänd kon med höjden 6 cm och bottenradien 2 cm är delvis fylld med vatten. Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnadshastigheten är cm 3 /min kommer vattenytan att sjunka med,6 cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm. Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara ifall man vill att vattenytan skall hålla sig konstant på en nivå? En annan upp och nedvänd kon med toppvinkeln 9 fylls med vatten med hastigheten q m 3 /s. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är y m? Hur ser uttrycket ut för en godtycklig toppvinkel α? REDOVISNINGSUPPGIFT : HYPERBOLISKA FUNKTIONER De trigonometriska funktionerna kallas ibland för cirkulära (härleds ur enhetscirkeln). Det finns en annan grupp av funktioner som kallas hyperboliska. De tre viktigaste av dessa är cosinus hyperbolicus (cosh), sinus hyperbolicus (sinh) och tangens hyperbolicus (tanh). De defineras på följande sätt: cosh x = ex + e x 2 sinh x = ex e x 2 tanh x = sinh x cosh x De hyperboliska funktionerna har tydligt släktskap med de cirkulära funktionerna. Finn så många likheter du kan! Studera också derivatan av de hyperboliska funktionerna. Bevisa motsvarigheten till den trigonometriska ettan, som kallas den hyperboliska ettan cosh 2 x sinh 2 x =. Visa att cosh 2 x + sinh 2 x = cosh2x och 2sinh x cosh x = sinh2x. Härled formler för cosh (x+y), sinh (x+y) och tanh (x+y).

8 REDOVISNINGSUPPGIFT : CYKLOMETRISKA FUNKTIONER De inversa funktionerna till de trigonometriska funktionerna kallas arcussin x, arcuscosinus x och arcustangens x. Ett gemensamt namn för dessa funktioner är cyklometriska funktioner. Studera hur graferna till de cyklometriska funktionerna ser ut. Förklara varför de ser ut som de gör! Bestäm definitions- och värdemängd för funktionerna. Visa att arcsin x = arccos x 2 för x. Visa att arcsin x = arctan x för < x <. x 2 Härled derivatan till de cyklometriska funktionerna samt ange deras definitionsmängd. Bestäm andraderivatan och tredjederivatan för y = arctan x. REDOVISNINGSUPPGIFT 2: TÄLTET Ett tält har formen av en halv sfär med en regelbunden sexhörning som basyta. Dela tältet i ett antal skivor som får en regelbunden sexhörning som basyta. Bestäm sedan volymen genom integration. Vilka mått får tältet för olika volymer mellan,5 m 3 och 2, m 3? REDOVISNINGSUPPGIFT 3: POTENSFUNKTIONER Figuren föreställer grafen till funktionen y = x n, x, där n är ett reellt tal större än noll. Från den punkt på kurvan där x-koordinaten är c (där c är en positiv konstant) dras linjer parallellt med de båda koordinataxlarna. Dessa linjer avgränsar tillsammans med koordinataxlarna och grafen två områden med areorna A och A 2.

9 Sätt n = 2 och undersök för olika värden på c vad kvoten slutsats! Visa att denna slutsats gäller för alla värden på c när n = 2. Sätt c = och undersök för olika värden på n vad kvoten slutsats! Visa att denna slutsats gäller för alla värden på n när c =. A A 2 A A 2 blir. Formulera en blir. Formulera en Låt nu både c och n variera. Formulera en slutsats om kvoten slutsats gäller för alla värden på c och n. A A 2 och visa att din REDOVISNINGSUPPGIFT 4: MÄTSTICKAN En familj har en liggande cylindrisk tank med volymen 4.m 3 i vilken de förvarar olja för uppvärmning. Tankens diameter är.2m. Indikatorn som sitter utanpå tanken har gått sönder, så man kan inte se hur mycket olja som är kvar. Dottern i huset är naturvetare och gör en matematisk modell som beskriver oljevolymen som funktion av oljedjupet, så att man kan gradera en trästav som man sticker ned i toppen på tanken vinkelrätt mot oljeytan. Hur graderar dottern trästaven? Hur ser det funktionella sambandet ut? Hur mycket olja finns kvar när oljedjupet är.45 meter? REDOVISNINGSUPPGIFT 5: FYSIKALISKT PUMPANDE En konisk tank med radien 3m och djupet 4m är fylld med vätska med densiteten arbete uträttas om allt vatten pumpas ut ur tanken [över kanten]? ρ. Hur stort

10 REDOVISNINGSUPPGIFT 6: PARABOLISKA SEGMENTET En vågrät linje skär en andragradskurva i punkterna A och B. Linjen AB och andragradskurvan innesluter ett område. Detta område kallas ett paraboliskt segment. Den tangent till kurvan som är parallell med kordan AB tangerar kurvan i C. Den grekiske matematikern, fysikern och uppfinnaren Arkimedes ( f.kr.) upptäckte att arean av triangeln ABC och arean av det paraboliska segmentet alltid har samma förhållande. Undersök vilket förhållandet är genom att beräkna det paraboliska segmentet och den inskrivna triangeln som begränsas av funktionen y = x 2 + 2x samt x-axeln. Visa att sambandet gäller generellt med funktionen y = - x 2 +px samt x-axeln. Andragradsfunktionen y = x 2 +px skärs av linjen y = x i punkterna A och B. Sträckan AB är en korda till andragradsfunktionen. Punkten C bestäms som ovan av att tangenten till andragradsfunktionen i C ska vara parallell med kordan AB. Undersök om Arkimedes samband gäller även då kordan inte är parallell med x-axeln.

11 REDOVISNINGSUPPGIFT 7: HÖGAKUSTENBRON En kedja som hänger mellan två punkter får formen av en kedjelinje som har den allmänna ekvationen f (x) = A cosh x A + B + C där cosh kallas för cosinus hyperbolicus och definieras av cosh x = ex + e x. 2 Högakustenbron norr om Härnösand i Ångermanland är en av världens längsta hängbroar. Kablarna bildar en kurva som approximativt kan beskrivas med funktionsuttrycket x y =36 cosh 36, där x är horisontella avståndet från ena tornet och y är höjden över vattenytan. Vilken definitionsmängd har funktionen? Hur långt är det mellan brotornen? Beräkna hur högt upp kablarnas upphängningspunkter ligger. Uppskatta den segelfria höjden. Vilket motsvarande funktionsuttryck får brokablarna till Golden Gate bron i San Fransisco där avståndet mellan brotornen är 28 m, tornens höjd är 227 m och den segelfria höjden är 67 m? Jämför kablarnas längder i de båda broarna. Formeln för längden L av grafen till f(x) från x = a och x = b ges av formeln b ( ) 2 L = + f (x) a dx. Bevisa även denna formel. REDOVISNINGSUPPGIFT 8: PARTIELL INTEGRATION Omvändningen av produktregeln vid derivering används när man gör s.k. partiell integration. x 2 ln x dx g [ ] f (x)g(x)dx = F(x)g(x) a a a b b F(x) g (x)dx Härled denna formel och använd metoden för att göra följande integralberäkningar exakt: 2 π x 2 sin( 2x) dx 2 x e 2x dx Bestäm funktionen f då och.

12 REDOVISNINGSUPPGIFT 9: LOGARITMISK DERIVERING Härled deriveringsregeln för f (x) = ln( g(x) ). Derivera funktionen Härled deriveringsregeln för Bestäm andraderivatan till funktionen Visa att den primitiva funktionen till att bestämma a så att f (x) = x x. Har funktionen några extrempunkter? Motivera! ln x dx =. f (x) = log a x Ta fram den primitiva funktionen till a f (x) = lg x. f (x) = ln x är F(x) = x ln x x + C. Använd detta för f (x) = tan x. Bestäm också definitionsmängden. REDOVISNINGSUPPGIFT 2: KONVERGENT OCH DIVERGENT Om en integral är integrerbar över ett viss intervall och ett gränsvärde existerar säger man att integralen är konvergent. Om däremot gränsvärdet inte existerar säger man att integralen är divergent. Visa följande två satser: dx är konvergent om α >. x α dx är konvergent om α <. x α Visa att följande integraler är konvergenta samt beräkna dess värde: e x dx x e x 2 dx Visa att följande integraler är divergenta: 2x + x 2 dx sin x dx

13 REDOVISNINGSUPPGIFT 2: NUMERISKA METODER Ekvationen ln x = 2 x kan inte lösas algebraiskt. Använd den numeriska metoden Newton- Raphson för att lösa problemet. Förklara hur metoden går till och förklara iterationsformeln x n + = x n f (x n) f (x n ). Hur kan Newton Raphson s metod användas med miniräknaren? Använd Simpsons formel för att beräkna integralen uppbyggd! 2 x 2 + dx. Förklara hur metoden är Finns några brister i Newton-Raphson och Simpsons formel? REDOVISNINGSUPPGIFT 22: HERONS FORMEL Den grekiske matematikern Heron (ca e Kr) har fått ge namn åt en formel för beräkning av en triangels area A om man vet sidornas längder a, b och c. A = s( s a) ( s b) ( s c) där s = ( a + b + c) /2. Bevisa denna formel och undersök om den kan generaliseras till fyrhörningar. REDOVISNINGSUPPGIFT 23: LJUSSTAKE För att få en välsvarvad ljusstake kan man låta funktionen i intervallet. Vilken blir ljusstakens volym? Vilken blir volymen då man generellt låter rotera kring x-axeln? rotera kring x-axeln

14 REDOVISNINGSUPPGIFT 24: VARIABELSUBSTITUTION För att lösa vissa typer av integraler behöver man göra s.k. variabelsubstitution. Anta att man önskar beräkna integralen b b a β f (x) dx. Om g(α) = a och g(β) = b så gäller att f (x) dx = f ( g(t) ) g (t) dt a α Förklara vad metoden innebär! Lös integralen x 2 dx genom att ersätta x = sin t. Lös integralen 4 x + x dx genom att ersätta x = t 2. Lös följande integraler genom lämplig variabelsubstitution: 3 8 x 2 + 4x dx 3 cos( + x ) dx + x REDOVISNINGSUPPGIFT 25: VÄXANDE FUNKTION Tabellen visar funktionsvärden till en växande funktion y = f(x) för vilken man vet att den är deriverbar och f (x),5 för x. Bestäm ett så litet värde b som du kan för vilket säkert gäller att 3 f (x)dx < b

15 REDOVISNINGSUPPGIFT 26: SYMMETRISKA EKVATIONER I ekvationen ax 5 bx 4 + cx 3 + cx 2 bx + a = är koefficienterna parvis lika. Utnyttja detta för att finna en rot till ekvationen. Visa att om ekvationen ax 4 + bx 3 + cx 2 bx + a = ( a ) har en rot x = r så är också Lös ekvationen x = r en lösning till ekvationen. 6x 4 35x x 2 35x + 6 = genom att dividera båda leden med x 2 samt sammanföra termer med samma koefficient och sätta x + x = y. Lös ekvationen x 6 3x 5 x 4 + 6x 3 x 2 3x += REDOVISNINGSUPPGIFT 27: ACCELERATION I reklamen för en ny bilmodell anges att accelerationen vid omkörning är anmärkningsvärt bra. Bilen uppges kunna accelerera från 6 km/h (6,7 m/s) till km/h (27,8 m/s) på sekunder på fjärde växeln. Anta att hastigheten v m/s vid olika tidpunkter under accelerationen kan beskrivas med uttrycket v(t) = a t + b, där a och b är konstanter och t sekunder är den tid som bilen accelererat. Bestäm konstanterna a och b. Hur lång sträcka behövs enligt denna modell för en omkörning som tar sekunder, om du från början kör 6 km/h? En sådan bil ligger bakom en lastbil som kör 6 km/h och föraren ska köra om på en rak väg med god sikt. Hur lång tid tar omkörningen om den sker enligt bilderna nedan? Hur lång tid tar motsvarande omkörningen om lastbilen istället kör i z km/h? Diskutera styrkor och svagheter med denna modell.

16 REDOVISNINGSUPPGIFT 28: KRISTALLGLASET En formgivare har designat kristallglas med de former som figurerna nedan visar. Glasen består av en kupa och en fot. Du skall hjälpa formgivaren med att beräkna lämpliga mått på glasen. a) Kupan för glaset i figur har den form som uppkommer då parabeln y = kx 2 roterar kring y-axeln. Bestäm konstanten k då h =, cm och r = 4, cm. Beräkna sedan glasets volym. b) Ute i handeln är 75 cm 3, 2 cm 3 respektive 3 cm 3 vanliga värden för kupornas volym. Beräkna lämpliga dimensioner (h och r) för att ett glas som figur skall få en volym som stämmer med en av de angivna volymerna. c) Formgivaren vill också göra glas av den typ som avbildas i figur 2. Kupan ska ha harmoniska proportioner mellan h och r som bygger på det gyllene snittet. Välj en ny potensfunktion y = k x p för att beskriva en kupa som i figur 2. Bestäm dimensionerna (h och r) för ett sådant glas med harmoniska proportioner och volymen 75 cm 3. d) Gör generella beräkningar för figur och 2 då du önskar volymen V cm 3. REDOVISNINGSUPPGIFT 29: ANTAL RÖTTER Undersök algebraiskt antalet rötter till ekvationen x 2 = a ex x + för olika värden på konstanten a.

17 REDOVISNINGSUPPGIFT 3: TREDJEGRADSEKVATIONEN Visa att ekvationen x 3 + ax 2 + bx + c = () övergår i x 3 + px + q = (2) om x ersätts med x a 3. När har ekvationen () tre reella rötter som är olika stora? Visa i ett pq-system de områden där ekvation (2) har en, två respektive tre reella rötter.

REDOVISNINGSUPPGIFTER

REDOVISNINGSUPPGIFTER REDOVISNINGSUPPGIFTER Eleven får en mer omfattande uppgift som under eget ansvar ska analyseras, genomföras och redovisas, såväl muntligt som skriftligt. Uppgiften kräver kunskaper från olika områden av

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x. Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1998. Anvisningar

Läs mer

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning

Läs mer

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.

Läs mer

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E. NpMaD ht 000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 010. Anvisningar

Läs mer

Mer om generaliserad integral

Mer om generaliserad integral Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden

SF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891 KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf. TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

NpMa3c vt Kravgränser

NpMa3c vt Kravgränser Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Tidsbunden del

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av april 999. NATIONELLT KURSPROV

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018 Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel

Läs mer

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int. Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid: HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

Meningslöst nonsens. December 14, 2014 December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x. Lösningar till MVE6 Matematisk analys i en variabel för I 7-4-. a Division ger yy + y x. Ekvationen är alltså separabel. Integration av vänstra ledet ger y + y dy ln + y Efter integration blir det alltså

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 005. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

Sidor i boken KB 6, 66

Sidor i boken KB 6, 66 Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6825 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Carl Lundholm 5325 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E ht Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5

Kursprov i matematik, kurs E ht Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaE ht999 för Ma4 (7) Innehåll Förord Kursprov i matematik, kurs E ht999 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 5 Förord Kom ihåg Matematik är att vara tydlig

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 73 88 34 LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.

Läs mer