Under mitt arbete som klassmorfar i
|
|
- Charlotta Jansson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 stig-a r n e e k h a l l Promenad i matematikens idévärld Hur ser vi på matematik? Är den säkert abstrakt och svårbegriplig? Eller är det en myt och värt att ifrågasätta? Här beskriver en matematiker som är klassmorfar hur han förhåller sig till dessa frågor och ger åskådliga exempel i en, två och tre dimensioner. Under mitt arbete som klassmorfar i Närlundaskolan, en FK 5-skola i Ekerö kommun, fick jag en dag för ett par år sedan en riktig tankeställare. På en matematiklektion diskuterade jag klockan med en elev. Problemet var så här: En dag kommer Oskar hem från skolan klockan Han ger sig iväg till fotbollsträning klockan Hur lång tid har han då varit hemma? Eleven såg bekymrad ut. Jag försökte på alla vis att inrikta eleven på ett lämpligt tänke- eller räknesätt men det gick inte. Nästan uppgiven sa jag då till eleven att låtsas att det inte var en mattelektion. Jaha, sade han och lyste upp och efter några sekunder kom svaret: En timme och 25 minuter. Senare har jag från olika håll hört liknande berättelser. Problem som bemästras i en annan situation kan ge oöverstigliga svårigheter på matematiklektioner. Uppenbarligen ger matematiken, dess symboler, begrepp och språk hämmande känslor hos många. Kan det finnas matematikfobi på samma sätt som man talar om spindelfobi, flygrädsla och liknande? Spindelfobi kan man bota med lämplig terapi. Då borde man även kunna bota eller åtminstone rejält lindra symtomen på matematikfobi. För att visa att matematiskt tänkesätt och dess formler har konkret motsvarighet i vårt dagliga liv och därför inte behöver skrämma någon, hade jag en halv studiedag hösten 2004 med personalen i den skola där jag arbetar. Rubriken var Pythagoras och Hypotenusan eller En promenad i matematikens idévärld. Syftet var alltså inte primärt att lära ut någon intressant del av matematiken. I seminariet deltog all personal: rektor, förskolepersonal, slöjd- och bildlärare, skolmåltidspersonal, vaktmästare, klass- och speciallärare, ca 25 personer. En del av seminariet har jag genomfört med deltagarna i en matematikverkstadskurs. Fotografierna i artikeln är tagna vid detta tillfälle. Platons idélära konkret och abstrakt Jag började seminariet med att ta ett exempel med rötter i Platons idélära (Platon levde f Kr). De stolar vi har runt omkring oss motsvarar idén stol, här betecknad med ordet stol : Stol 44 Nämnaren nr
2 Liknande relationer mellan fysiska föremål och abstrakta matematiska objekt har vi alla tillägnat oss utan att tänka på dess djupa innebörd. Tänk bara på de naturliga talen: och enkel sifferräkning: Ett körsbär + Två körsbär = Tre körsbär = 3 Nu går vi vidare och jämför en fysisk linje, ritad på tavlan, med en matematisk tallinje: Om vi förstorar strecket på tavlan blir det längre men även bredare. Efter ytterligare förstoring ser vi kritklumpar/bläckdroppar, härefter molekyler osv. Tallinjen däremot ändras inte alls hur många gånger vi än förstorar den. 3 3 ner ett litet tal, en miljondel, 1 / , så är det lätt att hitta många mindre tal, t ex 1 / eller det som är hälften så stort. Hur litet intervall vi än pekar ut på tallinjen finns det minst ett bråktal i det intervallet. Pythagoras sats och kvadratroten ur två Men kan det finnas andra tal än bråktalen? För att ta reda på det närmar vi oss nu Pythagoras sats. (Pythagoras dog ca 500 f Kr). Deltagarna fick, indelade i grupper om 2 5 personer, rita en kvadrat med sidan 1 dm och mäta diagonalen så noggrant som möjligt. Vi kom fram till att diagonalens längd ligger mellan 1,41 och 1,42. (Vi fick då ett närmevärde till kvadratroten ur 2, även om vi inte visste det på detta stadium.) Nu skall vi försöka beräkna exakt hur stort det tal är som mäter denna diagonals längd, sa jag. Då behöver vi Pythagoras sats. Nästa uppgift blev alltså att visa den. Vi använde den så kallade pusselmetoden. Varje grupp fick klippa: en rätvinklig triangel i åtta exemplar, två kvadrater med lika långa sidor som triangelns kateter, en kvadrat med lika lång sida som hypotenusan. Med dessa bitar la vi sedan pussel som skulle bli två lika stora kvadrater. b Vidare egenskaper hos tallinjen är att det varken finns något minsta eller största positiva tal och att det finns ett obegränsat antal heltal. Tar jag ett stort tal, kan du direkt nämna det som kommer därnäst Överallt kryllar det av rationella tal, bråk, dvs tal av formen p/q, där p och q är heltal, t ex 3 / 14. Om jag näma c b a b När vi sedan tar bort de åtta trianglarna, fyra från vardera kvadraten, är återstoden från de båda pusselkvadraterna fortfarande lika stora. Då ser man att kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadrat erna på kateterna, eller med symboler: a a + b b = c c eller a 2 + b 2 = c 2. Nämnaren nr
3 Låt oss nu gå tillbaka till diagonalen i kvadraten med sidan 1 (dm): Pythagoras sats ger: 1 1 x = x x 2 = x x Diagonalen i kvadraten med sidan ett är alltså ett tal som, multiplicerat med sig självt, blir lika med två. Deltagarna blev snart överens med mig om att ett kortare uttryck än ett tal som multiplicerat med sig självt blir två är lämpligt och vi införde 2. Tidigare har vi sett att 2 ligger mellan 1,41 och 1,42. Genom att multiplicera 1,410, 1,411, 1,412, 1,413, 1,414 och 1,415 i tur och ordning med sig själva får vi ett bättre närme värde. 2 ligger mellan 1,414 och 1,415. (Talen från 1,416 och uppåt behöver vi inte behandla.) Sedan kan vi bestämma fler och fler decimaler på samma sätt, decimalföljden tar aldrig slut. Vi kan bevisa eller åtminstone göra troligt att roten ur två inte är ett bråktal, se rutan. Pythagoras blev mycket förvånad när han kom på att det finns sådana tal. Han var tidigare övertygad om att varje tal kunde skrivas som kvoten mellan två heltal. Fler dimensioner För att ge exempel på åskådliga gestaltningar i matematik gick vi så över från tallinjen till att arbeta i ett plan, alltså i två dimensioner. Vi gick till ett rum med fri golvyta något större än fem gånger fem meter. Två långa måttband, lånade i gymnastiksalen, utgjorde x- respektive y-axel i ett konkret koordinatsystem. Deltagarna ställde sig på platser med heltalskoordinater (mellan ett och fem). Var och en antecknade på ett medhavt papper sina x- och y-koordinater. x-koordinaten är avståndet till y-axeln i meter. y-koordinaten är avståndet till x-axeln i meter. 2 är inte ett rationellt tal Antag att 2 = p/q, där p och q är positiva heltal och att bråket är förkortat så långt det går. Då är p 2 = 2q 2. Högerledet är jämnt, alltså är även vänsterledet det. p måste då vara jämnt, varför vänsterledet är delbart med 4. Då måste även q 2 och därmed även q vara delbart med 2. Alltså kan man förkorta p/q. Vi har kommit till en motsägelse. Det finns alltså inget bråktal som är lika med roten ur två. Sedan fick deltagarna räkna ut x + y med de värden på x respektive y som var och en hade på sitt papper. De som hade x + y = 6 fick stå kvar på sina positioner medan övriga fick sätta sig ner. Det visade sig att de stående befann sig på en rät linje. Alltså har vi motsvarigheten x + y = 6 en rät linje Sedan utvidgade vi våra gemensamma erfarenheter till tre dimensioner. Var och en av deltagarna beräknade z så att x + y + 2z = 7. x + y hade de redan räknat ut så resten var inte så svårt. Deltagarna kunde givetvis hjälpa varandra om det behövdes. Det gällde sedan att hålla papperslappen så högt ovan marken så att det motsvarade z-värdet i meter. Den som hade z = 2,5 ställde sig på en stol. De med z = 2 höll sina papper över huvudet, de med z = 1,5 stod vanligt, de med z = 1 stod på knä och de med z = 0,5 satt ner på marken. De som hade z = 0 lämnade sitt 46 Nämnaren nr
4 Seminariedeltagare, gestaltande x + y + 2z = 7. Artikelförfattaren längst till vänster. papper på marken på sin position. De som hade negativa värden på z fick tillfälligt vara åskådare. Vi såg då att papperslapparna låg i ett plan som bildade en yta, ett snedtak. Vi fick alltså x + y + 2z = 7 (ett snett plan i rummet) ett snedtak Ja, det var linje och plan, men hur är det med en krokig linje, en cirkel till exempel? Vad har den för matematisk motsvarighet? Då gick vi tillbaka till klassrummet och jag arbetade vid tavlan. Cirkeln har radien 5. (x, y) Användning av Pythagoras sats på triangeln med kateterna x respektive y längdenheter och hypotenusan 5 ger: x 2 + y 2 = 25 5 x y För varje punkt (x, y) på cirkeln kan vi sätta upp detta samband och vi säger då att x 2 + y 2 = 25 är en cirkel med radien 5. I tre dimensioner är x 2 + y 2 + z 2 = 25 en boll, en sfär. Matematiska formler har alltså ofta konkreta motsvarigheter, vilket gör matematiken mindre mystisk. Descartes Den förste som behandlade geometri med räknemetoder som vi gjort ovan var den franske filosofen och matematikern René Descartes ( ). För sitt djärva sätt att resonera blev han beskylld för att förföra ungdomen och förvisades till Holland där han arbetade i flera år. Vår drottning Kristina inbjöd honom till Sverige dit han kom hösten Den ständigt kunskaps törstande drottningen såg till att han blev väckt i ottan för djupa samtal om höga ting. I den iskalla miljön fick han lunginflammation och dog redan i början av Descartes är även känd för devisen: Jag tänker, alltså finns jag till. Nämnaren nr
5 Oändligheten I mitt seminarium tämjde jag också oändligheten genom att berätta om Hilberts hotell med oändligt många rum, rita det i perspektiv på tavlan, dela en tårta i ett oändligt antal bitar, räkna upp de positiva bråktalen samt täcka dem med bitar av ett godtyckligt litet intervall. Tårtan som räcker för alla Om varje gäst tar hälften (eller mindre än hälften) av vad som återstår efter dem som tagit sina bitar innan, räcker tårtan till ett obegränsat antal gäster. 2 Hilberts hotell Detta märkliga hotell har oändligt många rum och har fått sitt namn efter den tyske matematikern David Hilbert ( ) Gäst nummer ett (en hungrig tonåring?) får hälften, nästa får en fjärdedel, så en åttondel till den tredje osv. I den fysiska världen blir det snart svårt. Bitarnas storlek kommer efter ett tag ner till atomnivå och då blir nog gästerna besvikna. Men i matematikens idévärld är 1/1024 lika aptitligt som 1/8, eller hur? Tänk om det är fullbelagt och det kommer ännu fler gäster, säg fem stycken! Inga problem. Man låter bara de som redan har installerat sig i hotellet flytta fem rum bort. Den som bott i t ex rum nr 8 flyttar till rum nummer 13. Då blir rum nummer 1, 2, 3, 4 och 5 lediga och de nya gästerna kan få de rummen. Inte nog med det. Till och med i ett fullbelagt hotell kan man efter en lämplig omflyttning bereda plats för ett obegränsat antal nya gäster. Låt de gamla hotellgästerna flytta till rum som har jämna nummer: 1 > 2, 2 > 4, 3 > 6, 4 > 8 osv. Då blir alla rum med udda nummer, 1, 3, 5, 7, 9... osv lediga för hur många nya gäster som helst. På samma sätt kan man frigöra halva hotellet för renovering utan att behöva förlora en enda gäst. Hilberts hotell har paradoxala och märkliga egenskaper. Men tankeleken visar att även oändligheten kan hanteras med konkreta motsvarigheter i vår vanliga fysiska värld. Oändligheten låter sig tämjas! Bråktalen hur många är de och hur stor plats tar de? Ett bråktal är ju ett heltal dividerat med ett annat. De är många, men vi kan räkna upp dem: 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6... 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6... 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6... 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 4/6... 5/1 5/2... Skriv först upp dem så här 1/1 1/2 2/1 1/3 2/2 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 2/4 3/3 4/2 5/1... och stryk dem som redan förekommit. Då får vi nedanstående talföljd, som vi kan räkna upp 1/1 1/2 2/1 1/3 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 5/ Nämnaren nr
6 0, , nr Trots att bråktalen är så många fler än heltalen kan vi åstadkomma en motsvarighet mellan dem; vi kan räkna upp dem. Vi säger att bråktalen har samma mäktighet som heltalen. Hela tiden avses de positiva bråktalen och de positiva heltalen. Efter den inledande övningen med Hilberts hotell är vi kanske inte så förvånade. Hur stor plats tar bråktalen på tallinjen? Vi använder tekniken från tårtdelningen. Deltagarna i seminariet fick ange längden på ett mycket litet stycke av tallinjen och så delade vi upp det, först i två lika stora delar. Den högra av dem delade vi i två och så vidare. Sedan numrerade vi de ännu mindre bitarna, se bilden ovan. Med den första biten täckte vi bråktal nummer 1 i vår uppräkning, med den andra täckte vi nr 2 och så vidare. Trots att bråktalen är så många och att de finns i vilket intervall som helst på tallinjen, kan man täcka allihop med bitarna från ett mycket litet stycke av linjen, ja egentligen hur litet som helst. Vi har nu kommit ännu något högre i abstrak tionsnivå. Bråktalen är många fler än heltalen men ändå på något sätt lika många (lika mäktighet). De finns överallt, godtyckligt nära varandra men de tar hur liten plats som helst. Trots det kan de behandlas med tankeverktyg som ligger nära vår dagliga värld. Sammanfattande reflektioner Jag försökte att så långt möjligt undvika att införa nya ord för nya begrepp. Jag kallade t ex rationella tal för bråktal. Huvud syftet med den beskrivna dagen var ju att visa att matematiska symboler och formler (om de inte är alltför avancerade) har konkreta motsvarigheter i vår vanliga vardag. Som verktyg för problemlösning är de egentligen inte mer märkvärdiga än en borrmaskin eller en symaskin. Stämningen blev ganska uppsluppen så det blev dessutom en demonstration av att matematik kan vara ganska rolig. Det visade också den enkla utvärdering som vi gjorde under seminariets fem sista minuter. Jag menar att mina erfarenheter och mitt försök visar att vi kan förmedla att matematiken inte är så märkvärdig som många tror. Men det krävs nog att den som leder seminariet har så pass mycket kunskaper i ämnet att han/hon känner sig trygg i matematikens värld med dess språk, symboler och formler. Och att man har en positiv och lyssnande inställning till dem som tar emot budskapet, förstås! Vad är en klassmorfar? Klassmorfar för barnen är en ideell förening och ett socialt stödprojekt i grundskolan. Syftet är att främja barnens utveckling och berika deras liv under val språket Alla barn är våra barn. Klassmorfar är antingen pensionär eller tidigare långtidsarbetslös man över 50 år. Han är inte lärare och konkurrerar heller inte med andra yrkeskategorier i skolan. Nyligen har man även öppnat för kvinnor. Läs mer på Nämnaren nr
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merMatematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal
Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att
Läs merTema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg
Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras
Läs merLärarhandledning. Bråk från början. en tredjedel ISBN 978-91-86611-44-6
Lärarhandledning Bråk från början en tredjedel ISBN ---- Innehåll Arbeta med bråk............................. Sidorna -................... Sidorna -................... Sidorna 0-................. Sidorna
Läs merExplorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A
Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Första delen av övningen handlar om begreppet funktion. Syftet är att bekanta sig med funktionsbegreppet som en parbildning. Vi koncentrerar oss på tre viktiga
Läs merLokala mål i matematik
Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal
Läs merStudieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning
Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:
Läs merSammanfattningar Matematikboken X
Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för
Läs merGeometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data
Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,
Läs mermarkera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE FYRA FYRA klart
PLANERING MATEMATIK - ÅR 9 Bok: Z (fjärde upplagan) Kapitel : 3 Geometri Kapitel : 4 Samband och förändring Elevens namn: markera med kryss vilka uppgifter du gjort Avsnitt: sidor ETT ETT TVÅ TVÅ TRE TRE
Läs merFinaltävling i Lund den 19 november 2016
SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka
Läs merMålkriterier Beskrivning Exempel Eleven kan tolka elevnära information med matematiskt innehåll.
ÖREBRO MATEMATIK, ÅR 3 1(5) Eleven kan tolka elevnära information med matematiskt innehåll Eleven kan uttrycka sig muntligt, skriftligt och i handling på ett begripligt sätt med hjälp av vardagligt språk,
Läs mer8-6 Andragradsekvationer. Namn:..
8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9
Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 3. Ekvationer och geometri. Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera
Läs merBo skola 1 Matematikmål år F-3 Skriftligt omdöme/kunskapsinformation
Bo skola Matematikmål år - Namn: Strävansmål: Vi strävar efter att varje elev ska Utveckla goda baskunskaper i de fyra räknesätten Utvecklar en god förståelse för matematik och matematiska begrepp att
Läs mer7F Ma Planering v2-7: Geometri
7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs mer4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..
Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs mer8F Ma Planering v2-7 - Geometri
8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs merKunskapsmål och betygskriterier för matematik
1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under
Läs merKängurutävlingen Matematikens hopp 2009 Benjamin för elever i åk 5, 6 och 7
Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 2009 Benjamin för elever i åk 5, 6 och 7 Kängurutävlingen genomförs 19 mars. Om den dagen inte passar kan hela veckan 20 27 mars användas,
Läs merLokal planering i Matematik, fskkl Moment Lokalt mål Strävansmål Metod
Lokal planering i Matematik, fskkl. 080415 Grundläggande taluppfattning 1-10, talkamrater 1-10. Träna begrepp som före/efter, mer/mindre, hälften/dubbelt. Parbildning. Ordningstal Längd meter. Vikt kg.
Läs merÄmnesplan i matematik för Häggenås, Bringåsen och Treälven
Ämnesplan i matematik för Häggenås, Bringåsen och Treälven (2009-05-14) Namn Utarbetad under läsåret 08/09 Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik
Läs mer9E Ma Planering v2-7 - Geometri
9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar
Läs merTal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal
Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, Bråkform i vardagssituationer Stambråk, bråkuttryck med 1
Läs merPROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER
PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER ADDERA RÄTT 1. Bestäm vilka siffror bokstäverna A, B, C, och D bör bytas ut mot i additionen nedan för att additionen ska vara riktig. A 6 3 7 B 2 + 5 8 C D 0 4 2 2. Gör ett eget
Läs merSödervångskolans mål i matematik
Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merLathund, geometri, åk 9
Lathund, geometri, åk 9 I årskurs 7 och 8 räknade ni med sträckor och ytor i en dimension (1D) respektive två dimensioner (2D). Nu i årskurs 9 har ni istället börjat räkna volymer av geometriska kroppar
Läs merUtforska cirkelns ekvation
Utforska cirkelns ekvation Målet med denna aktivitet är att eleverna förstår definitionen av en cirkel som en uppsättning av punkter som är lika långt från en given punkt. eleverna förstår att koordinaterna
Läs merLokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass
Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik
Läs merTal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal
Att förstå tal Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, 4 Bråkform i vardagssituationer 4 Stambråk,
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs merTorskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning
Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som
Läs merKänguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6
Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6 NAMN KLASS/GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara
Läs merOm undervisningen. Att förstå tal. Förstå och använda tal en handbok
Om undervisningen Inledningsvis kan man nöja sig med att uttrycka bråk muntligt. Vi bör uppmuntra eleverna att använda de språkliga uttrycken halv och fjärdedel när de delar i två eller fyra lika delar.
Läs mer4-8 Cirklar. Inledning
Namn: 4-8 Cirklar Inledning Du har arbetat med fyrhörningar (parallellogrammer) och trehörningar (trianglar). Nu skall du studera en figur som saknar hörn, och som består av en böjd linje. Den kallas för
Läs merLÄRARHANDLEDNING EN NATT I FEBRUARI. Mittiprickteatern Box 6071, 102 31 Stockholm 08-15 33 12 info@mittiprickteatern.se www.mittiprickteatern.
LÄRARHANDLEDNING EN NATT I FEBRUARI Mittiprickteatern Box 6071, 102 31 Stockholm 08-15 33 12 info@mittiprickteatern.se www.mittiprickteatern. En natt i februari av Staffan Göthe Lärarhandledning Syftet
Läs merTjugofyra koltrastar
Tjugofyra koltrastar Detta är en övning som passar från åk 4 och uppåt. Den tränar addition, mönsterletning och problemlösning. Den tar mellan 1 3 lektioner. Sammanfattning: En morgon när drottningen öppnade
Läs merMatematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer
Matematik Steg: Bas ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i talområdet 0-10 bråk- och decimalform ordningstal upp till 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna
Läs merNÄMNARENs. problemavdelning
NÄMNARENs problemavdelning För problemavdelningen svarar denna gång Bernt Leonardsson och Bo Söderberg från Örebro. Problemen är snarare kluriga än svåra så ge inte upp i tron att du inte kan matematik.
Läs merOrdlista 5A:1. term. faktor. täljare. nämnare. Dessa ord ska du träna. Öva orden
Ordlista 5A:1 Öva orden Dessa ord ska du träna term Talen som du räknar med i en addition eller subtraktion kallas termer. faktor Talen som du räknar med i en multiplikation kallas faktorer. täljare Talet
Läs merNästan allt omkring dig har underliggande matematik. En del anser att den bara ligger där och väntar
Matematikplanering 7B Läsår 15/16 Nästan allt omkring dig har underliggande matematik. En del anser att den bara ligger där och väntar på att bli upptäckt. Mönster, statistik, överlevnad, evolution, mopeder
Läs mer2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merBråkräkning uppfattas av många elever som svårt, särskilt vid beräkningar
Britt Holmberg & Cecilia Kilhamn Addition med bråk på tallinjen I sin tredje artikel om tallinjen beskriver författarna hur den används för att utveckla elevers förståelse för addition med oliknämniga
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merArbeta vidare med Milou 2008
Arbeta vidare med Vi hoppas att problemen i Milou väckte intresse och lust att arbeta vidare. Nu kan ni kontrollera lösningarna genom att pröva konkret, klippa och bygga. Variera också problemen genom
Läs merKvalificeringstävling den 29 september 2009
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 29 september 2009 Förslag till lösningar Problem Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 7 positiva heltal som endast
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik
ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband
Läs merBagarmossens skolas kravnivåer beträffande tal och talens beteckningar som eleven ska ha uppnått efter:
Matematik 1-5 Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
Läs merAnpassning av problem
Modul: Problemlösning Del 7: Anpassning av problem Anpassning av problem Kerstin Hagland och Eva Taflin Detta är en något omarbetad text från boken: Hagland, K., Hedrén R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska
Läs merARBETSPLAN MATEMATIK
ARBETSPLAN MATEMATIK Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera
Läs merMatematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping
Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att
Läs mergeometri ma B 2009-08-26
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4
Läs merMATEMATIK ÅK 9 TAL. Matematik - Måldokument Lena Folkebrant
Matematik - Måldokument MATEMATIK ÅK 9 TAL Talet nio anses i många kulturer vara ett mystiskt och ibland också ett heligt tal. Innan kristendomen infördes i Norden ansågs talet 9 vara det mest heliga talet.
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH
Analys 60 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Om de reella talen Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om de reella talen () Introduktion Den matematiska analysen är intimt förenad
Läs merSpråkstart Matematik Facit. Matematik för nyanlända. Jöran Petersson
Språkstart Matematik Facit Matematik för nyanlända Jöran Petersson Positionssystem hela tal s. 4-5 3. Skriv med siffror. 52 502 5002 65 665 6665 31 131 3131 4. Skriv hur mycket siffran är värd. 300 4 1000
Läs merKänguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet
Känguru 2012 Student sid 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara den frågan. Felaktigt
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2014
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2014 1. Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna,
Läs merHögstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag
Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Vi börjar med att notera att delbarhet med 6 betyder att N är delbart med 2 och 3. Om N är delbart
Läs mer9A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
9A Ma: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier
Läs merSkolmatematiktenta 1 LPGG06 Kreativ Matematik Delkurs 1 4 december 2015 kl
Skolmatematiktenta 1 LPGG06 Kreativ Matematik Delkurs 1 4 december 2015 kl. 8.15-13.15 Ansvarig lärare: Maria Lindström 054-7002146, Kristina Wallin 054-7002316 På omslagsbladet står att ni måste använda
Läs merkan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt
Lokal pedagogisk planering Matematik år 2 Syfte Undervisningen i matematikämnet ska syfta till att eleverna ska utveckla kunskaper om matematik och visa intresse och tilltro till sin förmåga att använda
Läs mer9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:
9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merStavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper.
Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Lokala mål Tala och lyssna: Jag kan lyssna och förstå
Läs merProblemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F
På jakt efter förmågor i undervisningen Problemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F Aktivitetens namn: Triangelmatte Syfte Undervisningen ska
Läs merKommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9
Kommunövergripande Mål i matematik, åk 1-9 Många skolor har lagt ner mycket tid på att omforma de mål som anges på nationell nivå till undervisningsmål på den egna skolan. Tanken är att vi nu ska kunna
Läs merProblembanken - utmanande problem. Gymnasieskolan, modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning
Problembanken - utmanande problem Gymnasieskolan, modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Problembank Utmanande problem Vissa problem kan användas
Läs merSidor i boken Figur 1:
Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan
Läs merLokal studieplan matematik åk 1-3
Lokal studieplan matematik åk 1-3 Kunskaps område Taluppfat tning och tals användni ng Centralt Innehåll Kunskapskrav Moment Åk1 Moment Åk2 Moment Åk3 Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen
Läs merSvar och arbeta vidare med Benjamin 2008
Svar och arbeta vidare med Det finns många intressanta idéer i årets Känguru och problemen kan säkert ge idéer för undervisning under många lektioner. Här ger vi några förslag att arbeta vidare med. Problemen
Läs merSKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
Läs merVi människor föds in i en tredimensionell värld som vi accepterar och
Güner Ahmet & Thomas Lingefjärd Symbolen π och tredimensionellt arbete med Geogebra I grundskolans geometriundervisning möter elever oftast tvådimensionella former trots att de har störst vardagserfarenhet
Läs merSvar och arbeta vidare med Cadet 2008
Svar och arbeta vidare med Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att arbeta vidare med. Känguruproblemen
Läs mery º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32
6 Trigonometri 6. Dagens Teori Vi startar med att repetera lite av det som ingått i tidigare kurser angående trigonometri. Här följer en och samma rätvinkliga triangel tre gånger. Med en sida och en vinkel
Läs merSidor i boken 8-9, 90-93
Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta
Läs merInledning. Polydronmaterialet. Tio områden. Lgr11-koppling
Inledning Polydronmaterialet De färgglada bitarna i Polydronmaterialet har länge lockat till byggen av alla möjliga slag. Den geometriska funktionen är tydlig och möjligheterna till många matematiska upptäckter
Läs merOm LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.
Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt
Läs merKänguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet
Känguru 2012 Junior sivu 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara den frågan. Felaktigt
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merOm LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.
Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merGeometriska konstruktioner
Stockholms Matematiska Cirkel Geometriska konstruktioner Lisa Nicklasson Gustav Zickert Institutionen för matematik KTH och Matematiska institutionen Stockholms universitet 2017 2018 Innehåll 1 Vad är
Läs merAvdelning 1, trepoängsproblem
Avdelning 1, trepoängsproblem 1. Vilket är ett jämnt tal? A: 2009 B: 2 + 0 + 0 + 9 C: 200 9 D: 200 9 E: 200 + 9 Frankrike 2. Var är kängurun? A: I cirkeln och i triangeln, men inte i kvadraten. B: I cirkeln
Läs merSammanfattningar Matematikboken Z
Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform
Läs merOm LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.
Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt
Läs mermattetankar Reflektion kring de olika svaren
Reflektion kring de olika svaren Taluppfattning och tals användning 15 Skriv trehundrasju Reflektion: 31007 tyder på att eleven tolkar talet som 3, 100, 7 3007 tyder på att eleven tolkar talet som 300,
Läs merMatematik Uppnående mål för år 6
Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merKängurutävlingen Matematikens hopp
Kängurutävlingen Matematikens hopp Student 2017, svar och lösningar Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. Ett underlag till hjälp
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merReflektion efter tillverkande av skalenlig modell
Reflektion efter tillverkande av skalenlig modell De förkunskaper som krävs vid tillverkandet av en skalenlig modell är först och främst vad som definierar begreppet skala. Hela objektet ska förändras
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs mer