Tjugofyra koltrastar

Transkript

1 Tjugofyra koltrastar Detta är en övning som passar från åk 4 och uppåt. Den tränar addition, mönsterletning och problemlösning. Den tar mellan 1 3 lektioner. Sammanfattning: En morgon när drottningen öppnade sitt fönster så hörde hon koltrastarna sjunga. Hon tyckte att sången var så vacker så att hon ville höra den varje dag. Därför byggde hon små fågelbord där man kunde ge fåglarna mat. Fågelborden var åtta stycken och placerades så att det fanns ett bord i varje hörn samt ett bord på varje sidas mittpunkt av den rektangulära trädgården. Varje morgon när hon lyssnade på koltrastarna räknade hon till 24 stycken. Hon märkte också att de alltid satt på olika sätt på fågelborden. Dessutom märkte hon att summan av antalet fåglar alltid blev 9 utefter varje sida. Denna mattegömma går ut på att finna ut alla möjliga sätt som dessa 24 koltrastar kan sitta. Material: 24 stora koltrastar ( se bilaga ) Varje grupp behöver en trädgårdskarta ( se bilaga) och 24 markörer, gärna svarta, för att representera koltrastarna Utförande: 1. Undersök tillsammans i helklass hur fåglarna kan vara fördelade på borden. Arrangera gärna åtta bord i klassrummet som bilden av trädgården visar nedan. Man kan också med fördel vara på skolgården. Bryt när en lösning har hittats. 2. Låt eleverna nu gruppvis med hjälp av de små kartorna och markörerna komma på så många olika sätt som möjligt som ger summa 9 utefter varje sida och totalt 24 fåglar.. 3. Diskutera i helklass de olika lösningarna. 4. Försök hitta ett mönster bland de olika lösningarna. 5. Försök hitta alla lösningar. 6. Är det säkert att alla lösningar har hittats?

2 När eleverna har hittat flera lösningar kan man skriva upp några olika på tavlan och diskutera resultatet i helklass. Exempel på möjliga lösningar: Här berättar en lärare om sina erfarenheter: I fyra dagar höll vi på och letade efter olika lösningar. Vi använde cirka 15 minuter av varje mattelektion. Varje ny lösning antecknades på ett stort papper Mot slutet av veckan samlade jag klassen för en diskussion om lösningarna. Diskussion: Eventuellt så har eleverna upptäckt att: summan av de fyra hörnen är 12 summan av två motsatta tal är 6 Om ingen har upptäckt detta så kan läraren upplysa om det. Be eleverna ta 12 fåglar och placera dem på ett sätt som ej är gjort förut. Be eleverna nu att använda resten av fåglarna för att få summan 9 i varje rad. Om de nu hittar en ny lösning så be dem anteckna den på det gemensamma pappret. Be eleverna nu undersöka om summan 6 på motsatt mittental alltid stämmer. Nu återstår frågorna: Hur många lösningar finns det? Hur kan vi veta att vi har hittat alla? Uppmuntra eleverna att försöka göra en tabell över alla sätt att få summan 12 av de fyra hörnen. Två av exemplen ovan ger följande hörntal. Man utgår från övre högra hörnet och går motsols / 1 / 4 / 0 4 / 1 / 4 / 3 Att finna alla lösningar: Eftersom summan på varje rad ska vara 9 så kan inget hörn ha fler än 9 fåglar.

3 Högst upp till vänster = 9 Be grupperna försöka hitta alla lösningar för detta. Det finns bara en: / 0 / 3 / 0 Resten av fåglarna kan nu lätt placeras ut då det bara finns en möjlighet: Kolla igen om det stämmer att summan av motstående mittental blir 6. Dela nu ut resten av undersökningen bland grupperna. Be en grupp kolla alla möjligheter med 8 längst upp till vänster, en annan grupp kollar 7 högst upp till vänster, och så vidare. Följande lösningar finns: Högst upp till vänster = 8 8 / 0 / 4 / 0 8 / 0 / 3 / 1 8 / 1 / 2 / 1 Högst upp till vänster = 7 7 / 0 / 5 / 0 7 / 0 / 4 / 1 7 / 0 / 3 / 2 7 / 1 / 3 / 1 7 / 2 / 2 / 1 7 / 1 / 2 / 1 7 / 1 / 1 / 2 Högst upp till vänster = 6 6 / 0 / 6 / 0 6 / 0 / 5 / 1 6 / 0 / 4 / 2 6 / 2 / 3 / 1 6 / 2 / 1 / 3 6 / 1 / 2 / 3 6 / 3 / 0 / 3 6 / 3 / 3 / 0 6 / 2 / 2 / 2 Högst upp till vänster = 5 5 / 0 / 3 / 4 5 / 3 / 0 / 4 5 / 0 / 4 / 3 5 / 3 / 1 / 3 5 / 3 / 3 / 1 5 / 2 / 1 / 4 5 / 1 / 4 / 2 5 / 4 / 2 / 1 5 / 3 / 3 / 2 5 / 2 / 3 / 2 Högst upp till vänster = 4 4 / 0 / 4 / 4 4 / 4 / 0 / 4 4 / 3 / 1 / 4 4 / 1 / 3 / 4 4 / 4 / 3 / 1 4 / 2 / 4 / 2 4 / 2 / 2 / 4 4 / 3 / 2 / 3 4 / 3 / 3 / 2 Högst upp till vänster = 3 3 / 3 / 3 / 3 Bevisa att det inte finns fler lösningar:

4 Måste summan av hörnen vara just 12? Varför kan summan inte vara 10 eller 13 eller något annat? Om varje rad av 9 skulle adderas så får vi 36 fåglar men det finns bara 24 st. Om man adderar de fyra raderna måste några fåglar vara räknade två gånger och det måste vara 12 fåglar som blir räknade dubbelt = 36. De dubbelräknade fåglarna måste vara fåglarna i hörnen, där två linjer möts. Så de fyra hörnen måste ha summan 12. Men varför blir summan 6 av de två motstående mittentalen? Svaret är att eftersom det finns 12 fåglar i hörnen så finns det 12 fåglar kvar att placera på mittenborden. Summan av två motstående sidor är alltid av dem är i hörnen så det finns bara totalt 6 att placera ut på mittenborden. Så summan av de motstående mittentalen är alltid 6 C 1 M 4 C 4 M 1 M 3 C 2 M 2 C 3 En algebraisk lösning kan se ut så här: Vi börjar med att summan av hörnen alltid är 12 C 1 + C 2 + C 3 + C 4 = 12 och det faktum att alla fyra linjer har summan 9. Så den övre linjen har summan: C 1 + M 4 + C 4 = 9 och den nedre linjen har summan: C 2 + M 2 + C 3 = 9 Tillsammans blir summan 18, så: C 1 + M 4 + C 4 + C 2 + M 2 + C 3 = 18 Omflyttning ger: [C 1 + C 2 + C 3 + C 4 ] + M 4 + M 2 = 18 Summan inom parenteserna är 12 så detta visar att det är sant att: M 4 + M 2 = 6 och M 4 and M 2 är motsvarande mittental.

5