Maximalt 4 bonuspoäng från duggor gjorda under våren 2016 får tillgodoräknas vid denna ordinarie tentamen.

Transkript

1 Tentamen i termodynamik Provmoment: Ten01 Ladokkod: TT051A Tentamen ges för: Årskurs 1 7,5 högskolepoäng Tentamenskod: Tentamensdatum: Tid: Hjälpmedel: Tabeller och Formler (Liber), Lilla fysikhandboken (Sandtorp Consult eller Studentlitteratur), Valfri gymnasietabellsamling, Formel och tabellhäfte bifogat tentamen, Miniräknare (grafritande men ej symbolhanterande) Språklexikon Totalt antal poäng på tentamen: För att få respektive betyg krävs: 3: 30p 4: 40p 5: 50p 60 poäng Maximalt 4 bonuspoäng från duggor gjorda under våren 2016 får tillgodoräknas vid denna ordinarie tentamen. Allmänna anvisningar: Nästkommande tentamenstillfälle: Augusti 2016 Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Lycka till! Ansvarig lärare: Peter Ahlström Telefonnummer: ,

2 Tentamen i termodynamik TT051A Högskolan i Borås Torsdag , Akademin för textil. teknik och ekonomi Examinator Peter Ahlström ( ) Rättande lärare: Patrik Lennartsson, Tomas Wahnström och Peter Ahlström Tentamen kan maximalt ge 60 poäng fördelade på 8 uppgifter. För att bli godkänd krävs minst totalt 30 poäng. För betyget 4 fordras totalt 40 poäng och för betyget 5 fordras 50 poäng inklusive ev. bonuspoäng från duggor. Hjälpmedel vid tentamen är Tabeller och Formler (Liber) eller Lilla fysikhandboken (Sandtorp Consult), formel- och tabellhäfte bifogat tentamen samt miniräknare (grafritande men ej symbolhanterande). Formel- och tabellhäfte bifogas tentamenstesen. Lösningarna skall vara tydliga och uppställda ekvationer väl motiverade. Då konstanter och formler hämtas från formelsamlingen skall detta anges. Fyll i skrivningsomslaget tydligt med tentamenskod, vilka uppgifter som är lösta etc. och LYCKA TILL!!! 1. [8p] En husvägg består av (utifrån räknat) 32 cm betong (λ=1,1 W/(m K)), 16 cm mineralull (λ=0,038 W/(m K)) och 3,0 cm (furu)trä. Värmeövergångstalet på insidan kan sättas till 8,0 W/(m 2 K) och på utsidan till 25 W/(m 2 K) a. Beräkna väggens U-värde! (3p) b. Hur stor är värmeförlusten per dygn och m 2 om yttertemperaturen är -5,0 C och innertemperaturen + 20,0 C (2p) c. Hur stor är kostnaden per dygn för uppvärmning om ett hus har 183 m 2 väggar av denna typ och värms med hjälp av en eldriven luftvärmepump med värmefaktorn 2,4. Antag att elpriset är 0,95 kr/kwh! (3p) 2. [6p] Burj Khalifa خ ل ي فة ب رج) Burǧ Ḫalīfah) är världens högsta byggnad. Den är belägen i Dubai i förenade Arabemiraten och dess höjd brukar anges till 828 m. Byggnaden är gjord i betong upp till 591 m höjd och därovanför av stål. Antag att byggnadens yttertemperatur varierar mellan 20 C och 55 C! a. Hur mycket varierar höjden beroende på temperaturen? (Ange skillnaden i höjd!) (3p) b. Ange skillnaden i densitet för betongen mellan dessa två temperaturer. (3p) 3. [6p] I en process utvidgas en viss mängd kvävgas av av 0,100 MPa och 27 C från 3,0 m 3 till 4,0 m 3 på tre olika sätt. Beräkna a. vilket arbete gasen uträttar om volymsändringsprocessen är isobarisk (2p) b. vilket arbete gasen uträttar om volymsändringsprocessen är isotermisk (2p) c. vad temperaturen blir om volymsändringen i stället sker utan värmeutbyte med omgivningarna (2p) 2

3 4. [7p] Vid kalorimetri kan man mäta temperaturen som funktion av tillförd värmemängd. a. Rita ungefär hur temperaturkurvan ser ut när man värmer aluminium från rumstemperatur (20 C) till 800 C. (2p) b. Vid en temperatur får kurvan en platå (d.v.s. temperaturen förblir konstant medan värme tillförs. Vilken temperatur handlar det om och vad händer vid denna temperatur? (2p) c. Hur mycket värme måste tillföras till ett aluminiumföremål med massan 780g innan temperaturen börjar öka efter platån? (2p) d. Ökar temperaturen snabbare eller långsammare efter platån jämfört med före platån? (om värmeeffekten är oförändrad under hela försöket) varför? (god motivering krävs för poäng!) (1p) 5. [9p] I en ideal Ottocykel är trycket och temperaturen vid kompressionens början 20 C och 1,0 bar. Kompressionsförhållandet är 8,0 och cykelns högsta temperatur är 1200 C. Arbetsmediet är luft. a. Beräkna temperaturen direkt efter kompressionen. (2p) b. Beräkna temperaturen direkt efter expansionen. (2p) c. Beräkna värmetillförseln per kg luft. (2p) d. Beräkna nettoarbetet per kg luft. (2p) e. Beräkna motorns verkningsgrad. (1p) 6. [7p] Strålning är ofta en viktig källa för energiförluster genom fönster. a. Beräkna hur mycket nettoeffekt som strålas ut av ett föremål med arean 1,2 m 2 som håller 25,0 C om omgivningarna håller 1,0 C. Antag att föremålet kan betraktas som en svart kropp (3p) b. Enligt svensk standard kan värmeövergångstalet genom konvektion sättas till 8,0 W/(m 2 K). Beräkna värmeövergången genom konvektion för samma föremål som i a.-uppgiften! (2p) c. Vad blir nettostålningseffekten om omgivningarna i stället håller 2,73 K (den kosmiska bakgrundstemperaturen), d.v.s. om föremålet strålar ut mot en klar himmel utan reflektererande moln e.dyl. (2p) 7. [8p] I en duschblandare blandas kallvatten som håller 12 C med varmvatten som håller 61 C. Önskad temperatur på vattnet är 38 C och önskat totalt vattenflöde 5,0 dm 3 /minut. Vattnets densitet kan sättas till 1,0 kg/dm 3. a. Beräkna kallvattenflöde respektive varmvattenflöde! (3p) b. Beräkna hur stor elektrisk effekt som behövs för att värma vattnet! (2p) c. Beräkna entropiproduktionen i blandaren för vardera vattenströmmen och totalt om man bortser från blandningsentropin (3p) 8. [9p] En frysanläggning arbetar mellan temperaturerna -20 C och +58 C. a. Beräkna Carnot-köldfaktorn. (2p) Frysanläggningen använder R134a som köldmedium och köldmedieflödet är 200 kg/h. Köldmediet är torrt och mättat före kompressorn. Det sker ingen underkylning av köldmediet i kondensorn. Kretsprocessen kan betraktas som ideal (förlustfri), därför kan också entropin beräknas som konstant vid kompressionen. b. Rita processen i något av de bifogade diagrammen (1p) c. Bestäm köldfaktorn (ε eller COP R ) (2p) d. Bestäm kyleffekten hos anläggningen. (2p) e. Antag att kompressionen inte sker vid konstant entropi utan att den specifika entropin ökar med 0,10 kj/(kg K) under kompressionen. Vad blir då köldfaktorn?(2p) 3

4 Formler och tabeller i termodynamik 2013 Peter Ahlström, Ingenjörshögskolan vid Högskolan i Borås 3 januari upplaga 2.5 Denna formelsamling är gjord för termodynamikkursen i årskurs 1 vid Ingenjörshögskolan i Borås och de övriga lärarna (Edvin Erdtman, Kamran Rousta och Jim Arlebrink) har alla bidragit till formelsamlingen. Vi tar tacksamt emot kommentarer och förbättringsförslag. I denna upplaga har ombrytningsfel rättats. 1 Några konventioner Oftast skrivs extensiva storheter (de som beror på systemets storlek) med stora bokstäver (versaler), t.ex. (systemets totala) värmekapacitet C (enhet J/K) och volym V medan intensiva storheter (som inte beror på systemets storlek) skrivs med små bokstäver (gemener), t.ex. specifik värmekapacitet c (enhet J/(K kg). Undantag är bl.a. temperatur (T ) och ofta tryck (P eller p) som skrivs med stora bokstäver fast de är intensiva storheter. Molära storheter kan skrivas med ett index m, t.ex. C m (molära värmekapaciteten, enhet J/(K mol)) men skrivs oftast inte med liten bokstav fast de är intensiva storheter. Tidsderivator och storheter per tidsenhet skrivs med en prick, exempel: Ẇ är arbetet per tidsenhet, d.v.s. arbetseffekten. 2 Konstanter Av pedagogiska skäl är definitionerna delvis omvända mot de vanligen använda (vanligen brukar t.ex. k b anses som mer grundläggande än R). Namn Beteckning = Värde Enhet Definition Allmänna gaskonstanten R = 8, J/(mol K) Avogadros tal N A = 6, mol 1 Boltzmanns konstant k b = 1, J/K k b = R/N A Konstanten i Stefan-Boltzmanns lag σ = 5, W/(m 2 K 4 ) Tyngdaccelerationen g = 9, m/s 2 (Paris) Tyngdaccelerationen g 9, 82 m/s 2 (Borås) Den absoluta temperaturen T mäts i kelvin och har mätetalet ϑ + 273, 15 där ϑ är mätetalet i C, d.v.s. den absoluta temperaturen vid 0 C är 273,15 K och vid 100 C är T = 373, 15K 1 bar = 10 5 Pa 1

5 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 2 3 Beckningar och definitioner Storhet Beteckning Alternativ Enhet Beskrivning/ beteckning definition Degenerationen Ω - Antal sätt ett visst tillstånd kan förverkligas på Entalpi H J U + pv Entropi S J/K k ln Ω Inre energi U J Köldfaktor ɛ COP R - Q K W tillförd = Q L W tillförd Längdutvidgningskoefficient α L K 1 Massa m kg Molmassa M kg/mol, g/mol Slutet system System utan materieutbyte med omgivningen Stationärt system System där den mekaniska energin för tyngdpunkten inte ändras Substansmängd ν n mol ν = m M, antalet mol Tryck p P Pa = N/m 2 Tryckvolymarbete W W b J pdv Volym V m 3 Volymsutvidgningskoefficient α v K 1 Värme Q J allmän beteckning Värme Q v Q H, Q 1 J överfört vid den högre temperaturen Värme Q k Q L, Q 2 J överfört vid den lägre temperaturen OBS! Q v, Q k osv. definieras som positiva tal i ekvationerna Q Värmefaktor ɛ v COP HP - V W = Q H W tillförd tillförd Värmeflöde Q Φ W Värmekapacitet C p J/K Jfr avsnitt 5.2 nedan vid konstant tryck - Hela systemets värmekapacitet Värmekapacitet C v J/K Jfr avsnitt 5.2 nedan vid konstant volym - Hela systemets värmekapacitet C Värmekapacitetskvot γ κ, k - p C v = cp c v = Cp,m C v,m Värmekonduktivitet λ k W/(m K) Värmeledningsförmåga Värmeövergångs- α h W/(m 2 K) koefficient Öppet system 4 Molära och specifika storheter En molär storhet X m (enhet t.ex. J/mol) är relaterad till motsvarande specifika storhet x (enhet t.ex. J/kg) genom X m = x M (1) där M (enhet i detta exempel kg/mol) är ämnets molmassa. System med materieutbyte med omgivningen

6 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 3 5 Formler och ekvationer 5.1 Arbete Beräkning av tryckvolymsarbete ( boundary work ) W = pdv (2) Isobar process (p = konstant) W = V2 V 1 pdv = p(v 1 V 2 ) (3) Isokor process V = V 1 = V 2 konstant, alltså blir båda integrationsgränserna samma (V 1 ) och integralen =0 W = V1 V 1 pdv = p(v 1 V 1 ) = 0 (4) Adiabatisk sluten process (Q = 0 U = W ) W = C v T = mc v T = νc v,m T (5) Adiabatisk öppen process ( Q = 0 Ḣ = Ẇ ) Ẇ = Ḣ = ṁ h = ṁc p T = νc p,m T (6) eller om flera strömmar är inblandade Ẇ = i ṁ i h i = i ṁ i c pi T i = i ν i C p,mi T (7) 5.2 Värme Tillfört värme vid konstant tryck (med totala värmekapaciteten vid konstant tryck C p = νc p,m = mc p ) dq = C p dt = νc p,m dt = mc p dt (8) eller integrerat (med C p etc. som medelvärmekapaciteter) Q = C p T = νc p,m T = mc p T (9) Tillfört värme vid konstant volym (med totala värmekapaciteten vid konstant volym C v = νc v,m = mc v ) dq = C v dt = νc v,m dt = mc v dt (10) eller integrerat (med C v etc. som medelvärmekapaciteter) Vidare gäller alltid Q = C v T = νc v,m T = mc v T (11) du = C v dt = mc v dt = νc v,m dt (12) dh = C p dt = mc p dt = νc p,m dt (13)

7 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 4 eller om värmekapaciteten inte ändras i temperaturintervallet U = C v T (14) H = C p T (15) Specialfall: Kalorimetri i fast fas eller vätskefas Q = mc T + ml i (16) fasövergångar där c är ämnets specifika värmekapacitet, l i är specifika fasövergångsentalpin (specifika fasövergångsvärmet) för fasövergång i. OBS! Tecknet på l i beror på om värme upptas eller frigörs vid övergången. Vidare ändras c vid varje fasövergång varför man måste dela upp den första termen i flera. 5.3 Termodynamikens första huvudsats (energiprincipen) För slutna system Q + W = E = U + E kin + E pot (17) För stationära slutna system Q + W = U (18) För öppna system gäller kontinuitetsekvationen IN + PROD = UT + ACK (19) som för energi (utan ACK-term) blir ṁ i (h i + e kin,i + e pot,i ) + Q + Ẇ = ut in ṁ j (h j + e kin,j + e pot,j ) (20) där e kin,i = V2 i 2 och e pot,i = gy i med V i = strömningshastigheten, g tyngdaccelerationen, y flödets höjd över refernsnivån. 5.4 Entropi Definition där Ω är antalet sätt tillståndet kan förverkligas på. gäller S = k b ln Ω (21) Vid tillförsel av värme ds = dq rev + ds gen (22) T där Q rev är värmet som tillförs vid en reversibel process som ger samma tillståndsändring, ds gen är den entropi som produceras genom irreversibla processer i systemet. Om volymen ändras se avsnitt 5.6 om vad som gäller för ideala gaser.

8 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet Kondenserade faser I kondenserade faser (vätska, fast fas) är volymsändringarna oftast små och alltså C v C p C varför H U = C T (23) och S = mc av ln ( T2 T 1 ) (24) 5.6 Ideala gaser För ideala gaser gäller dessutom Gasernas allmänna tillståndslag ( allmänna gaslagen ) En variant kan skrivas pv = νrt nrt (25) pv = mr i T (26) där R i = R/M i är den ämnesspecifika gaskonstanten för ämne i som har molmassan M i. Inre energi för en ideal gas fås från ekvipartitionsprincipen vilken ger U = f 2 NkT = f νrt (27) 2 där N = antalet molekyler, f = antalet frihetsgrader i varje molekyl, f = 3 för enatomig gas, f = 5 för tvåatomig gas, f 3N atom för N atom atomig gas och därmed är C v,m = 3 2 R för en enatomig gas och C v,m = 5 2R för en tvåatomig gas. Vidare gäller för ideala gaser C p,m = C v,m + R Isoterm process V2 ( ) V1 W = pdv = nrt ln (28) Adiabatisk process för ideal gas V 1 V 2 p 1 V γ 1 = p 2 V γ 2 (29) T 1 V γ 1 1 = T 2 V γ 1 2 (30) ( ) T 1 p1 ( γ 1 γ ) = (31) T 2 p 2 W = p 2V 2 p 1 V 1 γ 1 (32) (33) Entropiändring för ideal gas ( ) T2 S = νc v,m ln + νr ln T 1 ( V2 V 1 ) = mc v ln ( T2 T 1 ) + mr i ln ( V2 V 1 ) (34)

9 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet Verkningsgrader Allmän definition η = nyttigt tillfört Motorer och andra värmemaskiner Kylmaskiner: köldfaktor (35) η = W nyttigt Q tillfört = Q 1 Q 2 Q 1 (36) ɛ = Värmepumpar: värmefaktor ɛ v = 5.8 Carnotprocesser Q k W tillfört = Q k Q v Q k (37) Q v W tillfört = Q v Q v Q k = ɛ + 1 (38) η Carnot = W nyttigt Q tillfört = Q 1 Q 2 Q 1 = T 1 T 2 T 1 (39) ɛ Carnot = ɛ v Carnot = 5.9 Ottomotorn där kompressionsförhållandet r = Vmax V min 5.10 Värmeöverföring Q k W tillfört = Q k = T k (40) Q v Q k T v T k Q v W tillfört = Q v = T v (41) Q v Q k T v T k η = 1 1 r γ 1 (42) och γ = C p /C v Strålning - Stefan-Boltzmanns lag Stålning från kropp med temperaturen T ges av Q = ɛaσt 4 (43) där ɛ är emissiviteten (0 < ɛ < 1), A arean, σ 5, W/(m 2 K 4 ). Om kroppen befinner sig i en omgivning med temperaturen T 0 fås nettostrålningen ur Q = ɛaσ(t 4 T 4 0 ) (44)

10 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet Värmegenomgång Q = AU T (45) där värmegenomgångskoefficienten U (skilj detta U från den inre energin!) ges av 1 U = L i (46) α 1 α 2 λ i lager där värmeledningsförmågan för lager i är λ i och dess tjocklek är L i. α 1 och α 2 är värmeövergångstalen mellan väggen och den omgivande luften, d.v.s. värmeöverföringen genom konvektion. (Om det bara är fråga om en form av värmeöverföring stryks de andra termerna) 5.11 Längdutvidgning, volymsutvidgning Längden L av en kropp med ursprungslängden L 0 till följd av en temperaturändring T ges av L = L 0 (1 + α L T ) (47) där α L är längdutvidgningskoefficienten. På samma sätt gäller för volymen V av en kropp med ursprungsvolymen V 0 V = V 0 (1 + α v T ) (48) där volymsutvidgningskoefficienten α v 3α L Referenser O. Beckman, G. Grimvall, B. Kjöllerström & T. Sundström, Energilära, Grundläggande termodynamik, Stockholm: Liber, Y.A. Çengel, Introduction to thermodynamics and heat transfer, 2nd ed., New York: McGraw-Hill, Desol, sys/ upload/data/201003/29/ pdf (hämtad ) C. Nordling, Jonny Österman, Physics Handbook for science and engineering, Lund: Studentlitteratur, A. Ölme m.fl., Tabeller och Formler, Stockholm: Liber, 2003.

11 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 8 Ämne Formel Molmassa R i, specifik c v c p γ T k p k gaskonstant g/mol J/(kg K) kj/(kg K) K MPa Etan C 2 H 6 30,07 276,5 1,4897 1,7662 1, ,5 4,48 Helium He 4, ,9 3,1156 5,1926 1,667 5,3 0,23 Koldioxid CO 2 44,01 188,9 0,657 0,846 1, ,2 7,39 Luft 28,97 287,0 0,718 1,005 1, ,5 3,77 Kväve N 2 28, ,8 0,743 1,039 1, ,2 3,39 Metan CH 4 16, ,2 1,735 2,254 1, ,1 4,64 Propan C 3 H 8 44, ,5 1,4909 1,6794 1, ,26 Syre O 2 31, ,8 0,658 0,918 1, ,8 5,08 Vattenånga H 2 O 18, ,5 1,4108 1,8723 1, ,1 22,06 Väte H 2 2, ,183 14,307 1,405 33,3 1,3 Table 1: Egenskaper för utvalda gaser (Çengel, 2008), T k = kritiska temperaturen, p k = kritiska trycket Ämne Formel M T f l f T v l v c p λ α L el. α v kj W g/mol K kj/kg K kj/kg kg K m K 10 5 K 1 Aluminium Al 26, , ,4 L Betong 0,92 0,4-1,7 1,2 L Etanol C 2 H 5 OH 46,4 159, ,4 838,3 2,46 0, v Järn Fe 55, , ,2 L R134a C 2 F 4 H 2 173,5 147,0 247,0 1,43 Stål , ,15 L Trä(furu) 0,4 0,14 0,5-3 L Vatten H 2 O 18,02 273, , ,19 0,60 18 v Is (-4 C) H 2 O 18,02 273, , ,2 2,1 5,0 L Table 2: Egenskaper för utvalda vätskor och fasta ämnen. Om inget annat anges avses egenskaperna vid 20 C och 1 atm. T f =smältpunkt, l f = smältentalpi, T v =kokpunkt, l v = ångbildningsentalpi L=α L anges, v=α v anges; värmeledningsförmågan och värmekapaciteten avser fast fas eller vätskefas. (efter Ölme (2003), Çengel (2008), NIST samt Nordling och Österman (2004)) Fig 1 (nästa sida) p(h)-diagram för R134a från Desol (2013)

12 s = s = 1.95 s = 1.90 s = 1.85 s = 1.75 s = s = s = s = s = 2.15 s = 2.20 s = R134a Ref :D.P.Wilson & R.S.Basu, ASHRAE Transactions 1988, Vol. 94 part 2. x = s = Enthalpy [kj/kg] Pressure [Bar] DTU, Department of Energy Engineering s in [kj/(kg K)]. v in [m^3/kg]. T in [ 튏 ] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen v= v= v= v= v= v= v= v= v= v= v= v= v= 0.10 v= 0.15 v= 0.20

13