Maximalt 4 bonuspoäng från duggor gjorda under våren 2018 får tillgodoräknas vid denna ordinarie tentamen.

Transkript

1 Tentamen i termodynamik Provmoment: Ten01 Ladokkod: TT051A Tentamen ges för: Årskurs 1 7,5 högskolepoäng Tentamenskod: Tentamensdatum: Tid: Hjälpmedel: Tabeller och Formler Liber), Lilla fysikhandboken Sandtorp Consult eller Studentlitteratur), Valfri gymnasietabellsamling, Formel och tabellhäfte bifogat tentamen, Miniräknare grafritande men ej symbolhanterande) Språklexikon Totalt antal poäng på tentamen: För att få respektive betyg krävs: 3: 30p 4: 40p 5: 50p 60 poäng Maximalt 4 bonuspoäng från duggor gjorda under våren 2018 får tillgodoräknas vid denna ordinarie tentamen. Allmänna anvisningar: Tentamen omfattar 7 uppgifter. Nästkommande tentamenstillfälle: Augusti 2018 Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, d.v.s.resultatet kommer senast Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Lycka till! Ansvarig lärare: Telefonnummer:

2 T C) 1. [7p] En reaktor producerar 1000 MW el och har en verkningsgrad på 35 %. Bestäm a. Producerad spillvärmeeffekt 3) b. Kylvattenflödet som behövs om vattnet max får hettas upp 5,0 C. 4) 2. [6p] En bro av betong är 17,0 m lång vid +10 C. a. Hur stor spalt måste bron ha vid -10 C om den ska klara av att hettas upp till +35 C. 4) b. Betongen har volymen 15m 3 vid +10 C. Hur mycket ändras dess massa vid upphettningen i deluppgift a.? 2) 3. [8p] En grupp studenter har fått i uppgift att analysera ett mystiskt fast ämne. De placerar 10,0 g av ämnet i en kalorimeter vid -10 C och börjar tillföra värme. De får följande T-Q-diagram: Q J) Bestäm a) Ämnets smältpunkt 2) b) Ämnets specifika värmekapacitet i fast fas 2) c) Ämnets specifika värmekapacitet i flytande fas 2) d) Ämnets specifika smältentalpi 2) 4. [9p] 1,5 kg luft upphettas från 11,4 ºC till 28,7 ºC vid det konstanta trycket 0,10 MPa. a. Beräkna hur mycket värme som måste tillföras 3) b. Beräkna arbetet vid processen! Ange också om arbetet uträttas av systemet eller omgivningarna! 3) c. Hur mycket värme hade man behövt tillföra om kärlet varit slutet och haft en konstant volym med samma temperaturändring? 3)

3 5. [10p] Galne Gunnar har byggt en betongbunker för att skydda sig mot rymdvarelser. Bunkerväggarna är 1,0 m tjocka och den betong som har använts har λ = 0,50 W m -1 K -1. Värmeövergångskoefficienten på insidan är 8,0 W m -2 K -1 och på utsidan 11 W m -2 K -1. Temperaturen inne i bunkern är 21 C och ute är det -2 C. a. Hur stora är värmeförlusterna per m 2 genom väggarna? 5) b. Gunnar funderar nu på att tilläggsisolera sin bunker med 1,0 dm mineralull 0,045 W m -1 K -1 ). Med hur många procent skulle värmeförlusterna minska om Gunnar lägger till isoleringen? 5) 6. [9p] En bil drivs med en bensinmotor Ottomotor). Arbetsmediet kan beskrivas som luft. Cylindervolymen är 600 cm 3. I det mest komprimerade läget är gasvolymen 63,2 cm 3. Processen tar in luft av 17,0ºC och 100 kpa och man tillför värmet 0,650 kj vid den isokora förbränningen. a. Skissa processen i ett pv)-diagram. 2) b. Vad är den teoretiska verkningsgraden om det är fråga om en ideal Ottoprocess. 2) c. Beräkna den högsta temperaturen och det högsta trycket i cykeln 5) Ledning: En Ottocykel består av två isokora processer och två adiabatiska processer. 7. [11p] Efter att ha klarat tentan i termodynamik bestämmer sig en student för att slå på stort och fira med ett glas kallt vatten. a. Hur stor massa is direkt från frysen -18 C) behöver studenten tillsätta för att kyla ner 150 g kranvatten 12 C) till 4,0 C? 5) b. Hur mycket entropi produceras minst) vid denna nedkylning? 6)

4 Formler och tabeller i termodynamik 2018 Peter Ahlström, Ingenjörshögskolan vid Högskolan i Borås 10 januari upplaga 4.2 Denna formelsamling är gjord för termodynamikkursen i årskurs 1 vid Högskolan i Borås och de övriga lärarna genom åren har alla bidragit till formelsamlingen. Vi tar tacksamt emot kommentarer och förbättringsförslag. I denna upplaga har bl.a. beteckningen för ämnesmängd genomgående satts till n 1 Några konventioner Oftast skrivs extensiva storheter de som beror på systemets storlek) med stora bokstäver versaler), t.ex. systemets totala) värmekapacitet C enhet J/K) och volym V medan intensiva storheter som inte beror på systemets storlek) skrivs med små bokstäver gemener), t.ex. specifik värmekapacitet c enhet J/K kg). Undantag är bl.a. temperatur T ) och ofta tryck P eller p) som skrivs med stora bokstäver fast de är intensiva storheter. Molära storheter kan skrivas med ett index m, t.ex. C m molära värmekapaciteten, enhet J/K mol)) men skrivs oftast inte med liten bokstav fast de är intensiva storheter. Tidsderivator och storheter per tidsenhet skrivs med en prick, exempel: Ẇ är arbetet per tidsenhet, d.v.s. arbetseffekten. 2 Konstanter Av pedagogiska skäl är definitionerna delvis omvända mot de vanligen använda vanligen brukar t.ex. k b anses som mer grundläggande än R). Namn Beteckning = Värde Enhet Definition Allmänna gaskonstanten R = 8, J/mol K) Avogadros tal N A = 6, mol 1 Boltzmanns konstant k b = 1, J/K k b = R/N A Konstanten i Stefan-Boltzmanns lag σ = 5, W/m 2 K 4 ) Tyngdaccelerationen g = 9, m/s 2 Paris) Tyngdaccelerationen g 9, 82 m/s 2 Borås) Den absoluta temperaturen T mäts i kelvin och har mätetalet ϑ + 273, 15 där ϑ är mätetalet i C, d.v.s. den absoluta temperaturen vid 0 C är 273,15 K och vid 100 C är T = 373, 15K 1 bar = 10 5 Pa NTP betecknar ett tillstånd med T = 273, 15K och p = 1atm = Pa. 1

5 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 2 3 Beckningar och definitioner Storhet Beteckning Alternativ Enhet Beskrivning/ beteckning definition Degenerationen Ω - Antal sätt ett visst tillstånd kan förverkligas på Entalpi H J U + pv Entropi S J/K k ln Ω Inre energi U J Köldfaktor ǫ COP R - Q K W tillförd = Q L W tillförd Längdutvidgningskoefficient α L K 1 Massa m kg Molmassa M kg/mol, g/mol Slutet system System utan materieutbyte med omgivningen Stationärt system System där den mekaniska energin för tyngdpunkten inte ändras Substansmängd n ν mol n = m M, antalet mol Tryck p P Pa = N/m 2 Tryckvolymarbete W W b J pdv Volym V m 3 Volymsutvidgningskoefficient α v K 1 Värme Q J allmän beteckning Värme Q v Q H, Q 1 J överfört vid den högre temperaturen Värme Q k Q L, Q 2 J överfört vid den lägre temperaturen OBS! Q v, Q k osv. definieras som positiva tal i ekvationerna Q Värmefaktor ǫ v COP HP - V W = Q H W tillförd tillförd Värmeflöde Q Φ W Värmekapacitet C p J/K Jfr avsnitt 5.2 nedan vid konstant tryck - Hela systemets värmekapacitet Värmekapacitet C v J/K Jfr avsnitt 5.2 nedan vid konstant volym - Hela systemets värmekapacitet C Värmekapacitetskvot γ κ, k - p C v = cp c v = Cp,m C v,m Värmekonduktivitet λ k W/m K) Värmeledningsförmåga Värmeövergångs- α h W/m 2 K) koefficient Öppet system 4 Molära och specifika storheter En molär storhet X m enhet t.ex. J/mol) är relaterad till motsvarande specifika storhet x enhet t.ex. J/kg) genom X m = x M 1) där M enhet i detta exempel kg/mol) är ämnets molmassa. System med materieutbyte med omgivningen

6 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 3 5 Formler och ekvationer 5.1 Arbete Beräkning av tryckvolymsarbete boundary work ) W = pdv 2) Isobar process p = konstant) V2 W = pdv = pv 2 V 1 ) = pv 1 V 2 ) 3) V 1 Isokor process V = V 1 = V 2 konstant, alltså blir båda integrationsgränserna samma V 1 ) och integralen =0 V1 W = pdv = pv 1 V 1 ) = 0 4) V 1 Isoterm process för ideal gas V2 W = pdv = nrt ln V 1 V1 V 2 ) 5) Adiabatisk sluten process Q = 0 U = W ) Adiabatisk process för ideal gas W = C v T = mc v T = nc v,m T 6) W = p 2V 2 p 1 V 1 γ 1 7) Adiabatisk öppen process Q = 0 Ḣ = Ẇ ) eller om flera strömmar är inblandade Ẇ = Ḣ = ṁ h = ṁc p T = ṅc p,m T 8) Ẇ = i ṁ i h i = i ṁ i c pi T i = i ṅ i C p,mi T 9) 5.2 Värme Tillfört värme vid konstant tryck med totala värmekapaciteten vid konstant tryck C p = nc p,m = mc p ) dq = C p dt = nc p,m dt = mc p dt 10) eller integrerat med C p etc. som medelvärmekapaciteter) Q = C p T = nc p,m T = mc p T 11)

7 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 4 Tillfört värme vid konstant volym med totala värmekapaciteten vid konstant volym C v = nc v,m = mc v ) dq = C v dt = nc v,m dt = mc v dt 12) eller integrerat med C v etc. som medelvärmekapaciteter) Vidare gäller alltid Q = C v T = nc v,m T = mc v T 13) du = C v dt = mc v dt = nc v,m dt 14) dh = C p dt = mc p dt = nc p,m dt 15) eller om värmekapaciteten inte ändras i temperaturintervallet U = C v T 16) H = C p T 17) Specialfall: Kalorimetri i fast fas eller vätskefas Q = mc T + ml i 18) fasövergångar där c är ämnets specifika värmekapacitet, l i är specifika fasövergångsentalpin specifika fasövergångsvärmet) för fasövergång i. OBS! Tecknet på l i beror på om värme upptas eller frigörs vid övergången. Vidare ändras c vid varje fasövergång varför man måste dela upp den första termen i flera. 5.3 Termodynamikens första huvudsats energiprincipen) För slutna system För stationära slutna system Q + W = E = U + E kin + E pot 19) För öppna system gäller kontinuitetsekvationen Q + W = U 20) IN + PROD = UT + ACK 21) som för energi utan ACK-term) blir ṁ i h i + e kin,i + e pot,i ) + Q + Ẇ = ut in ṁ j h j + e kin,j + e pot,j ) 22) där e kin,i = V2 i 2 och e pot,i = gy i med V i = strömningshastigheten, g tyngdaccelerationen, y flödets höjd över refernsnivån.

8 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet Entropi Definition där Ω är antalet sätt tillståndet kan förverkligas på. gäller S = k b ln Ω 23) Vid tillförsel av värme ds = dq rev + ds gen 24) T där Q rev är värmet som tillförs vid en reversibel process som ger samma tillståndsändring, ds gen är den entropi som produceras genom irreversibla processer i systemet. Om volymen ändras se avsnitt 5.6 om vad som gäller för ideala gaser. 5.5 Kondenserade faser I kondenserade faser vätska, fast fas) är volymsändringarna oftast små och alltså C v C p C varför och 5.6 Ideala gaser H U = C T 25) S = mc av ln T2 För ideala gaser gäller dessutom Gasernas allmänna tillståndslag allmänna gaslagen ) En variant kan skrivas T 1 ) 26) pv = nrt νrt 27) pv = mr i T 28) där R i = R/M i är den ämnesspecifika gaskonstanten för ämne i som har molmassan M i. Inre energi för en ideal gas fås från ekvipartitionsprincipen vilken ger U = f 2 NkT = f nrt 29) 2 där N = antalet molekyler, f = antalet frihetsgrader i varje molekyl, f = 3 för enatomig gas, f = 5 för tvåatomig gas, f 3N atom för N atom atomig gas och därmed är C v,m = 3 2 R för en enatomig gas och C v,m = 5 2R för en tvåatomig gas. Vidare gäller för ideala gaser C p,m = C v,m + R Adiabatisk process för ideal gas p 1 V γ 1 = p 2 V γ 2 30) T 1 V γ 1 1 = T 2 V γ ) T 1 T 2 = p1 p 2 ) γ 1 γ ) W = p 2V 2 p 1 V 1 γ 1 32) 33) 34)

9 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 6 Entropiändring för ideal gas ) T2 S = nc v,m ln + nr ln T 1 V2 V 1 ) = mc v ln T2 T 1 ) + mr i ln V2 V 1 ) 35) 5.7 Verkningsgrader Allmän definition η = nyttigt tillfört Motorer och andra värmemaskiner Kylmaskiner: köldfaktor η = W nyttigt Q tillfört ǫ = Värmepumpar: värmefaktor ǫ v = 36) = Q v Q k Q v 37) Q k W tillfört = Q k Q v Q k 38) Q v W tillfört = Q v Q v Q k = ǫ ) 5.8 Carnotprocesser η Carnot = W nyttigt Q tillfört = Q v Q k Q v = T v T k T v 40) ǫ Carnot = ǫ v Carnot = 5.9 Ottomotorn där kompressionsförhållandet r = Vmax V min 5.10 Värmeöverföring Q k W tillfört = Q k = T k 41) Q v Q k T v T k Q v W tillfört = Q v = T v 42) Q v Q k T v T k η = 1 1 r γ 1 43) och γ = C p /C v Strålning - Stefan-Boltzmanns lag Stålning från kropp med temperaturen T ges av Q = ǫaσt 4 44) där ǫ är emissiviteten 0 < ǫ < 1), A arean, σ 5, W/m 2 K 4 ). Om kroppen befinner sig i en omgivning med temperaturen T 0 fås nettostrålningen ur Q = ǫaσt 4 T 4 0 ) 45)

10 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet Värmeledning I ett enkelt material med tjocklek d och tvärsnittsarea A fås Q = A λ T 46) d Värmegenomgång Q = AU T 47) där värmegenomgångskoefficienten U skilj detta U från den inre energin!) ges av 1 U = d i 48) α 1 α 2 λ i lager där värmeledningsförmågan för lager i är λ i och dess tjocklek är d i. α 1 och α 2 är värmeövergångstalen mellan väggen och den omgivande luften, d.v.s. värmeöverföringen genom konvektion. Om det bara är fråga om en form av värmeöverföring stryks de andra termerna) 5.11 Längdutvidgning, volymsutvidgning Längden L av en kropp med ursprungslängden L 0 till följd av en temperaturändring T ges av L = L α L T ) 49) där α L är längdutvidgningskoefficienten. På samma sätt gäller för volymen V av en kropp med ursprungsvolymen V 0 V = V α v T ) 50) där volymsutvidgningskoefficienten α v 3α L Referenser O. Beckman, G. Grimvall, B. Kjöllerström & T. Sundström, Energilära, Grundläggande termodynamik, Stockholm: Liber, Y.A. Çengel, Introduction to thermodynamics and heat transfer, 2nd ed., New York: McGraw-Hill, C. Nordling, Jonny Österman, Physics Handbook for science and engineering, Lund: Studentlitteratur, Swep, u.å) [hämtad ] A. Ölme m.fl., Tabeller och Formler, Stockholm: Liber, 2003.

11 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 8 Ämne Formel Molmassa R i, specifik c v c p γ T k p k gaskonstant g/mol J/kg K) kj/kg K) K MPa Etan C 2 H 6 30,07 276,5 1,4897 1,7662 1, ,5 4,48 Helium He 4, ,9 3,1156 5,1926 1,667 5,3 0,23 Koldioxid CO 2 44,01 188,9 0,657 0,846 1, ,2 7,39 Luft 28,97 287,0 0,718 1,005 1, ,5 3,77 Kväve N 2 28, ,8 0,743 1,039 1, ,2 3,39 Metan CH 4 16, ,2 1,735 2,254 1, ,1 4,64 Neon Ne ,9 0,6179 1,0299 1,667 44,3 2,72 Propan C 3 H 8 44, ,5 1,4909 1,6794 1, ,26 Syre O 2 31, ,8 0,658 0,918 1, ,8 5,08 Vattenånga H 2 O 18, ,5 1,4108 1,8723 1, ,1 22,06 Väte H 2 2, ,183 14,307 1,405 33,3 1,3 Table 1: Egenskaper för utvalda gaser Çengel, 2008), T k = kritiska temperaturen, p k = kritiska trycket Ämne Formel M T f l f T v l v c p λ α L el. α v kj W g/mol K kj/kg K kj/kg kg K m K 10 5 K 1 Aluminium Al 26, , ,4 L Betong 0,92 0,4-1,7 1,2 L Bly Pb 207, , , ,89 L Etanol C 2 H 5 OH 46,4 159, ,4 838,3 2,46 0, v Järn Fe 55, , ,2 L Koppar Cu 63, , ,68 L R134a C 2 F 4 H 2 173,5 147,0 247,0 1,43 Stål , ,15 L Träfuru) 0,4 0,14 0,5-3 L Vatten H 2 O 18,02 273, , ,19 0,60 18 v Is -4 C) H 2 O 18,02 273, , ,2 2,1 5,0 L Table 2: Egenskaper för utvalda vätskor och fasta ämnen. Om inget annat anges avses egenskaperna vid 20 C och 1 atm. T f =smältpunkt, l f = smältentalpi, T v =kokpunkt, l v = ångbildningsentalpi L=α L anges, v=α v anges; värmeledningsförmågan och värmekapaciteten avser fast fas eller vätskefas. efter Ölme 2003), Çengel 2008), NIST samt Nordling och Österman 2004))