60 poäng. Maximalt 4 bonuspoäng från duggor gjorda under våren 2017 får tillgodoräknas vid denna ordinarie tentamen.

Transkript

1 Tentamen i termodynamik Provmoment: Ten01 Ladokkod: TT051A Tentamen ges för: Årskurs 1 7,5 högskolepoäng Tentamenskod: Tentamensdatum: Tid: Hjälpmedel: Tabeller och Formler (Liber), Lilla fysikhandboken (Sandtorp Consult eller Studentlitteratur), Valfri gymnasietabellsamling, Formel och tabellhäfte bifogat tentamen, Miniräknare (grafritande men ej symbolhanterande) Språklexikon Totalt antal poäng på tentamen: För att få respektive betyg krävs: 3: 30p 4: 40p 5: 50p 60 poäng Maximalt 4 bonuspoäng från duggor gjorda under våren 2017 får tillgodoräknas vid denna ordinarie tentamen. Allmänna anvisningar: Tentamen omfattar 7 uppgifter. Nästkommande tentamenstillfälle: Augusti 2017 Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller: Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Lycka till! Ansvarig lärare: Peter Ahlström Telefonnummer: ,

2 1. [7p] Mellan Ringhals och Göteborg hänger högspänningsledningar med en sträckning på 60 km. a. Hur mycket längre är högspänningsledningarna, som är av koppar, vid +30 C än vid -20 C? (Alla värden antas ha två siffrors noggrannhet; α koppar = 1, K -1 ) (3p) b. Kopparns densitet är 8960 kg/m 3 vid -20 C. Vad är den vid + 30 C? (4p) 2. [8p] I en dusch önskar man få ut 5,5 liter/minut av vatten med temperaturen 35 C a. Hur mycket varmvatten (temperatur 65 C) och kallvatten (temperatur 11 C) ska man använda per minut (4p) b. Varmvattnet värms i en elektrisk varmvattenberedare där 85% av den tillförda effekten går till att värma upp vattnet och 15% är förluster. Hur stor är elkostnaden för en 5,0 minuter lång dusch om elpriset är 1,12 kr/kwh? (4p) Värmeförluster kan försummas och vattnets densitet kan antas vara 1,0 kg dm [9p] 1,2 kg kvävgas värms upp från 17 C till 187 C. Beräkna a. hur mycket värme man måste tillföra om volymen är konstant (3p) b. hur mycket värme man måste tillföra om trycket är konstant (3p) c. hur mycket arbete gasen uträttar i de båda fallen (3p) 4. [11p] En husvägg är 3,00 m hög och 7,00 m lång och består av 12 cm tjocka tegelstenar (λ tegel = 0,60 W m -1 K -1 ). På väggens insida finns ett inre lager av 1,0 cm tjocka gipsskivor (λ gips = 0,25 W m -1 K -1 ) och utsidan finns ett 2,5 cm tjockt ytterlager av trä (λ trä = 0,14 W m -1 K -1 ), se figur nedan. Innetemperaturen i huset är 23 C och den omgivande utetemperaturen är 0 C. På insidan är värmeövergångstalet 7,0 W m -2 K -1 och på utsidan 12 W m -2 K -1. a. Beräkna husväggens U-värde. (3p) b. Bestäm värmeförlusten genom husväggen. (2p) För att minska värmeförlusten genom väggen fäster man ett 4,0 cm tjockt lager med frigolit (λ frigolit = 0,035 W m -1 K -1 ) på insidan av väggen. c. Vad blir värmeförlusten efter att man monterat på frigolitlagret och med hur många procent minskar värmeförlusterna? (3p) d. Beräkna temperaturen (T yta ) vid gränsytorna mellan gipsskivan och teglet när väggen är isolerad med frigolit. (3p) Figuren på nästa sida visar ett tvärsnitt av husväggen innan man monterar frigolit.

3 Figur till uppgift 4 T yta Inne i huset Utanför huset Tegel Gipsskiva Trä 5. [6p] Professor Balthazar har uppfunnit en maskin som använder rödbetor som bränsle för producera arbete och röd rök. Man kan anta att den är helt ideal. Enligt näringstabeller har rödbetor ett energiinnehåll på 213 kj/100g. a. Motorn står utomhus (0,0 C) och uppnår som mest 498 C. Vilket är den största möjliga verkningsgraden för maskinen? (3p) b. Hur många kilogram rödbetor går det (minst) åt för att uträtta arbetet 14 MJ? (3p) 6. [10p] En ideal kylmaskin som innehåller köldmediet R134a har förångningstrycket 0,100 MPa och kondensationstrycket 1,000 MPa. Kretsprocessen betraktas som ideal. Kylmaskinen avger värme till vatten som passerar kondensorn. Vattnets temperatur före kondensorn är 13 C och efter kondensorn 24 C. Massflödet vatten är 0,300 kg/s. a. Rita in processen i något av de bifogade diagrammen. (2p) b. Bestäm köldmediets massflöde. (2p) c. Bestäm den till kompressorn tillförda arbetseffekten. (2p) d. Beräkna kylmaskinens COP R (köldfaktor, ε) (2p) e. Vad är kondensationstemperaturen och förångningstemperaturen? (2p) 7. [9p] En kalorimeter innehåller 100,0 g vatten med temperaturen 21,00 C. Ned i denna släpps 20,00 g okänt material med temperaturen 51,12 C. Sluttemperaturen blir 21,65 C. Kalorimeterns värmekapacitet, ej inräknat vattnet, är 41,9 J K -1. a. Bestäm den specifika värmekapaciteten för det okända materialet. (5p) b. Bestäm ändringen i entropi för det okända materialet, vattnet, och kalorimetern. (4p)

4 Formler och tabeller i termodynamik 2017 Peter Ahlström, Ingenjörshögskolan vid Högskolan i Borås 9 januari upplaga 3.0 Denna formelsamling är gjord för termodynamikkursen i årskurs 1 vid Högskolan i Borås och de övriga lärarna genom åren har alla bidragit till formelsamlingen. Vi tar tacksamt emot kommentarer och förbättringsförslag. I denna upplaga har bl.a. beteckningen för ämnesmängd genomgående satts till n 1 Några konventioner Oftast skrivs extensiva storheter (de som beror på systemets storlek) med stora bokstäver (versaler), t.ex. (systemets totala) värmekapacitet C (enhet J/K) och volym V medan intensiva storheter (som inte beror på systemets storlek) skrivs med små bokstäver (gemener), t.ex. specifik värmekapacitet c (enhet J/(K kg). Undantag är bl.a. temperatur (T ) och ofta tryck (P eller p) som skrivs med stora bokstäver fast de är intensiva storheter. Molära storheter kan skrivas med ett index m, t.ex. C m (molära värmekapaciteten, enhet J/(K mol)) men skrivs oftast inte med liten bokstav fast de är intensiva storheter. Tidsderivator och storheter per tidsenhet skrivs med en prick, exempel: Ẇ är arbetet per tidsenhet, d.v.s. arbetseffekten. 2 Konstanter Av pedagogiska skäl är definitionerna delvis omvända mot de vanligen använda (vanligen brukar t.ex. k b anses som mer grundläggande än R). Namn Beteckning = Värde Enhet Definition Allmänna gaskonstanten R = 8, J/(mol K) Avogadros tal N A = 6, mol 1 Boltzmanns konstant k b = 1, J/K k b = R/N A Konstanten i Stefan-Boltzmanns lag σ = 5, W/(m 2 K 4 ) Tyngdaccelerationen g = 9, m/s 2 (Paris) Tyngdaccelerationen g 9, 82 m/s 2 (Borås) Den absoluta temperaturen T mäts i kelvin och har mätetalet ϑ + 273, 15 där ϑ är mätetalet i C, d.v.s. den absoluta temperaturen vid 0 C är 273,15 K och vid 100 C är T = 373, 15K 1 bar = 10 5 Pa 1

5 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 2 3 Beckningar och definitioner Storhet Beteckning Alternativ Enhet Beskrivning/ beteckning definition Degenerationen Ω - Antal sätt ett visst tillstånd kan förverkligas på Entalpi H J U + pv Entropi S J/K k ln Ω Inre energi U J Köldfaktor ǫ COP R - Q K W tillförd = Q L W tillförd Längdutvidgningskoefficient α L K 1 Massa m kg Molmassa M kg/mol, g/mol Slutet system System utan materieutbyte med omgivningen Stationärt system System där den mekaniska energin för tyngdpunkten inte ändras Substansmängd n ν mol n = m M, antalet mol Tryck p P Pa = N/m 2 Tryckvolymarbete W W b J pdv Volym V m 3 Volymsutvidgningskoefficient α v K 1 Värme Q J allmän beteckning Värme Q v Q H, Q 1 J överfört vid den högre temperaturen Värme Q k Q L, Q 2 J överfört vid den lägre temperaturen OBS! Q v, Q k osv. definieras som positiva tal i ekvationerna Q Värmefaktor ǫ v COP HP - V W = Q H W tillförd tillförd Värmeflöde Q Φ W Värmekapacitet C p J/K Jfr avsnitt 5.2 nedan vid konstant tryck - Hela systemets värmekapacitet Värmekapacitet C v J/K Jfr avsnitt 5.2 nedan vid konstant volym - Hela systemets värmekapacitet C Värmekapacitetskvot γ κ, k - p C v = cp c v = Cp,m C v,m Värmekonduktivitet λ k W/(m K) Värmeledningsförmåga Värmeövergångs- α h W/(m 2 K) koefficient Öppet system 4 Molära och specifika storheter En molär storhet X m (enhet t.ex. J/mol) är relaterad till motsvarande specifika storhet x (enhet t.ex. J/kg) genom X m = x M (1) där M (enhet i detta exempel kg/mol) är ämnets molmassa. System med materieutbyte med omgivningen

6 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 3 5 Formler och ekvationer 5.1 Arbete Beräkning av tryckvolymsarbete ( boundary work ) W = pdv (2) Isobar process (p = konstant) W = V2 V 1 pdv = p(v 1 V 2 ) (3) Isokor process V = V 1 = V 2 konstant, alltså blir båda integrationsgränserna samma (V 1 ) och integralen =0 W = V1 V 1 pdv = p(v 1 V 1 ) = 0 (4) Adiabatisk sluten process (Q = 0 U = W ) W = C v T = mc v T = nc v,m T (5) Adiabatisk öppen process ( Q = 0 Ḣ = Ẇ ) Ẇ = Ḣ = ṁ h = ṁc p T = ṅc p,m T (6) eller om flera strömmar är inblandade Ẇ = i ṁ i h i = i ṁ i c pi T i = i ṅ i C p,mi T (7) 5.2 Värme Tillfört värme vid konstant tryck (med totala värmekapaciteten vid konstant tryck C p = nc p,m = mc p ) dq = C p dt = nc p,m dt = mc p dt (8) eller integrerat (med C p etc. som medelvärmekapaciteter) Q = C p T = nc p,m T = mc p T (9) Tillfört värme vid konstant volym (med totala värmekapaciteten vid konstant volym C v = nc v,m = mc v ) dq = C v dt = nc v,m dt = mc v dt (10) eller integrerat (med C v etc. som medelvärmekapaciteter) Vidare gäller alltid Q = C v T = nc v,m T = mc v T (11) du = C v dt = mc v dt = nc v,m dt (12) dh = C p dt = mc p dt = nc p,m dt (13)

7 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 4 eller om värmekapaciteten inte ändras i temperaturintervallet U = C v T (14) H = C p T (15) Specialfall: Kalorimetri i fast fas eller vätskefas Q = mc T + ml i (16) fasövergångar där c är ämnets specifika värmekapacitet, l i är specifika fasövergångsentalpin (specifika fasövergångsvärmet) för fasövergång i. OBS! Tecknet på l i beror på om värme upptas eller frigörs vid övergången. Vidare ändras c vid varje fasövergång varför man måste dela upp den första termen i flera. 5.3 Termodynamikens första huvudsats (energiprincipen) För slutna system Q + W = E = U + E kin + E pot (17) För stationära slutna system Q + W = U (18) För öppna system gäller kontinuitetsekvationen IN + PROD = UT + ACK (19) som för energi (utan ACK-term) blir ṁ i (h i + e kin,i + e pot,i ) + Q + Ẇ = ut in ṁ j (h j + e kin,j + e pot,j ) (20) där e kin,i = V2 i 2 och e pot,i = gy i med V i = strömningshastigheten, g tyngdaccelerationen, y flödets höjd över refernsnivån. 5.4 Entropi Definition där Ω är antalet sätt tillståndet kan förverkligas på. gäller S = k b ln Ω (21) Vid tillförsel av värme ds = dq rev + ds gen (22) T där Q rev är värmet som tillförs vid en reversibel process som ger samma tillståndsändring, ds gen är den entropi som produceras genom irreversibla processer i systemet. Om volymen ändras se avsnitt 5.6 om vad som gäller för ideala gaser.

8 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet Kondenserade faser I kondenserade faser (vätska, fast fas) är volymsändringarna oftast små och alltså C v C p C varför H U = C T (23) och S = mc av ln ( T2 T 1 ) (24) 5.6 Ideala gaser För ideala gaser gäller dessutom Gasernas allmänna tillståndslag ( allmänna gaslagen ) En variant kan skrivas pv = nrt nrt (25) pv = mr i T (26) där R i = R/M i är den ämnesspecifika gaskonstanten för ämne i som har molmassan M i. Inre energi för en ideal gas fås från ekvipartitionsprincipen vilken ger U = f 2 NkT = f nrt (27) 2 där N = antalet molekyler, f = antalet frihetsgrader i varje molekyl, f = 3 för enatomig gas, f = 5 för tvåatomig gas, f 3N atom för N atom atomig gas och därmed är C v,m = 3 2 R för en enatomig gas och C v,m = 5 2R för en tvåatomig gas. Vidare gäller för ideala gaser C p,m = C v,m + R Isoterm process V2 ( ) V1 W = pdv = nrt ln (28) V 1 V 2 Adiabatisk process för ideal gas p 1 V γ 1 = p 2 V γ 2 (29) T 1 V γ 1 1 = T 2 V γ 1 2 (30) T 1 T 2 = ( p1 p 2 ) ( γ 1 γ ) W = p 2V 2 p 1 V 1 γ 1 (31) (32) (33) Entropiändring för ideal gas ( ) T2 S = nc v,m ln + nr ln T 1 ( V2 V 1 ) = mc v ln ( T2 T 1 ) + mr i ln ( V2 V 1 ) (34)

9 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet Verkningsgrader Allmän definition η = nyttigt tillfört Motorer och andra värmemaskiner Kylmaskiner: köldfaktor (35) η = W nyttigt Q tillfört = Q 1 Q 2 Q 1 (36) ǫ = Värmepumpar: värmefaktor ǫ v = 5.8 Carnotprocesser Q k W tillfört = Q k Q v Q k (37) Q v W tillfört = Q v Q v Q k = ǫ + 1 (38) η Carnot = W nyttigt Q tillfört = Q 1 Q 2 Q 1 = T 1 T 2 T 1 (39) ǫ Carnot = ǫ v Carnot = 5.9 Ottomotorn där kompressionsförhållandet r = Vmax V min 5.10 Värmeöverföring Q k W tillfört = Q k = T k (40) Q v Q k T v T k Q v W tillfört = Q v = T v (41) Q v Q k T v T k η = 1 1 r γ 1 (42) och γ = C p /C v Strålning - Stefan-Boltzmanns lag Stålning från kropp med temperaturen T ges av Q = ǫaσt 4 (43) där ǫ är emissiviteten (0 < ǫ < 1), A arean, σ 5, W/(m 2 K 4 ). Om kroppen befinner sig i en omgivning med temperaturen T 0 fås nettostrålningen ur Q = ǫaσ(t 4 T 4 0 ) (44)

10 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet Värmegenomgång Q = AU T (45) där värmegenomgångskoefficienten U (skilj detta U från den inre energin!) ges av 1 U = L i (46) α 1 α 2 λ i lager där värmeledningsförmågan för lager i är λ i och dess tjocklek är L i. α 1 och α 2 är värmeövergångstalen mellan väggen och den omgivande luften, d.v.s. värmeöverföringen genom konvektion. (Om det bara är fråga om en form av värmeöverföring stryks de andra termerna) 5.11 Längdutvidgning, volymsutvidgning Längden L av en kropp med ursprungslängden L 0 till följd av en temperaturändring T ges av L = L 0 (1 + α L T ) (47) där α L är längdutvidgningskoefficienten. På samma sätt gäller för volymen V av en kropp med ursprungsvolymen V 0 V = V 0 (1 + α v T ) (48) där volymsutvidgningskoefficienten α v 3α L Referenser O. Beckman, G. Grimvall, B. Kjöllerström & T. Sundström, Energilära, Grundläggande termodynamik, Stockholm: Liber, Y.A. Çengel, Introduction to thermodynamics and heat transfer, 2nd ed., New York: McGraw-Hill, Desol, sys/ upload/data/201003/29/ pdf (hämtad ) C. Nordling, Jonny Österman, Physics Handbook for science and engineering, Lund: Studentlitteratur, A. Ölme m.fl., Tabeller och Formler, Stockholm: Liber, 2003.

11 Arbete definierat som positivt om det utförs på systemet 8 Ämne Formel Molmassa R i, specifik c v c p γ T k p k gaskonstant g/mol J/(kg K) kj/(kg K) K MPa Etan C 2 H 6 30,07 276,5 1,4897 1,7662 1, ,5 4,48 Helium He 4, ,9 3,1156 5,1926 1,667 5,3 0,23 Koldioxid CO 2 44,01 188,9 0,657 0,846 1, ,2 7,39 Luft 28,97 287,0 0,718 1,005 1, ,5 3,77 Kväve N 2 28, ,8 0,743 1,039 1, ,2 3,39 Metan CH 4 16, ,2 1,735 2,254 1, ,1 4,64 Propan C 3 H 8 44, ,5 1,4909 1,6794 1, ,26 Syre O 2 31, ,8 0,658 0,918 1, ,8 5,08 Vattenånga H 2 O 18, ,5 1,4108 1,8723 1, ,1 22,06 Väte H 2 2, ,183 14,307 1,405 33,3 1,3 Table 1: Egenskaper för utvalda gaser (Çengel, 2008), T k = kritiska temperaturen, p k = kritiska trycket Ämne Formel M T f l f T v l v c p λ α L el. α v kj W g/mol K kj/kg K kj/kg kg K m K 10 5 K 1 Aluminium Al 26, , ,4 L Betong 0,92 0,4-1,7 1,2 L Etanol C 2 H 5 OH 46,4 159, ,4 838,3 2,46 0, v Järn Fe 55, , ,2 L R134a C 2 F 4 H 2 173,5 147,0 247,0 1,43 Stål , ,15 L Trä(furu) 0,4 0,14 0,5-3 L Vatten H 2 O 18,02 273, , ,19 0,60 18 v Is (-4 C) H 2 O 18,02 273, , ,2 2,1 5,0 L Table 2: Egenskaper för utvalda vätskor och fasta ämnen. Om inget annat anges avses egenskaperna vid 20 C och 1 atm. T f =smältpunkt, l f = smältentalpi, T v =kokpunkt, l v = ångbildningsentalpi L=α L anges, v=α v anges; värmeledningsförmågan och värmekapaciteten avser fast fas eller vätskefas. (efter Ölme (2003), Çengel (2008), NIST samt Nordling och Österman (2004)) Fig 1 (nästa sida) p(h)-diagram för R134a från Desol (2013)

12 s = s = 1.95 s = 1.90 s = 1.85 s = 1.75 s = s = s = s = s = 2.15 s = 2.20 s = R134a Ref :D.P.Wilson & R.S.Basu, ASHRAE Transactions 1988, Vol. 94 part 2. x = s = Enthalpy [kj/kg] Pressure [Bar] DTU, Department of Energy Engineering s in [kj/(kg K)]. v in [m^3/kg]. T in [ 튏 ] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen v= v= v= v= v= v= v= v= v= v= v= v= v= 0.10 v= 0.15 v= 0.20

13