Glimtar ur matematikens historia
|
|
- Ellen Ström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Glimtar ur matematikens historia HARRY LINDHOLM I tidigare nummer av Nämnaren har det förekommit artiklar, som behandlat gångna tiders matematik. Nu senast har Jan Thompson givit svar på frågan "Vad kan vi lära av matematikens historia?". Vi har bett Harry Lindholm, nyligen pensionerad lektor vid Malmö latinskola, att ge sin version av matematikens historia. Här följer en redogörelse för den långa tiden före grekernas intåg på arenan 600 f Kr. Matematiken har utvecklats ur praktiska behov, men det tycks redan för tiotusentals år sedan ha funnits människor, som fascinerats av matematiska problem utan praktisk anknytning och som givit sig tid att syssla med dem. Fynd av brända lerkärl visar att man mycket långt tillbaka i tiden prytt sina nyttoprodukter med punkter, streck, båglinjer och vinklar. Vid vävning har arbetet med mönster lett till en djupare förståelse av sambandet mellan form och tal: antalet trådar bestämde mönstrets utseende. Att de jämna talen givits en speciell innebörd, kanske magisk, kan bl a hällristningarna i bronsåldersgraven i Kivik från tiden f Kr tyda på. Det tycks inte vara enbart en önskan om symmetri som gör att man har grupper om två, fyra, sex och åtta. Talbegreppet Utvecklingen av talbegreppet har säkert skett gradvis. Nomadiserande stammar i Afrika, Australien och Sydamerika, vars språk undersöktes för hundra år sedan, hade ofta endast ord för ett och två, allt därutöver var "många". Hos de flesta folk har det emellertid redan vid tiden för de första skrivna vittnesbörden funnits ett utvecklat sätt att ange tal. På grund av att handen har fem fingrar har talsystemen oftast haft basen fem eller tio, någon gång som i danskan och franskan tjugo. Det har funnits språkforskare som ansett att indo-europeiska räkneord tyder på att man ibland räknat i sekvenser av åtta. Det viktigaste steget i människans historia togs då hon började hålla husdjur och odla säd och andra växtslag. De som idkade jordbruk sammanslöt sig i byar för att skydda sina livsmedelsförråd av säd, olivolja m m mot nomadiserande stammar. Kring de befästa förrådshusen växte sedan städer upp, speciellt i floddalarna, där den ständiga gödslingen genom nytt slam vid årliga översvämningar gjorde produktiviteten hög. Den blev så hög att inte alla vuxna behövde arbeta i jordbruket för att man skulle få tillräck-
2 ligt med mat. Det uppstod nya yrkesgrupper, som fick ansvaret för skötseln och skyddet av förråden. Byteshandel mellan jordbrukare och nomader gjorde att städerna utvecklades till handelscentra, som behärskade omgivande landsbygd. Som en följd av denna process uppstod behovet av bokföring. Tecken för antal, varuslag och ägare uppkom. De äldsta fynden av skrift är bokföringar, som man funnit i städer på Kreta och i floddalarna. De är från tiden ca 3500 f Kr. In- och utleveranser av varor från förråden medförde ett behov av att åtminstone de som skötte förråden och handeln kunde skriva och utföra enkla räkneoperationer. Fornegyptisk matematik Bland de byggnadsverk som människor åstadkommit är det väl få som väckt större beundran än Egyptens tre stora pyramider. Det är en fantastisk precision och symmetri i deras utformning. De avslöjar att deras arkitekter haft goda kunskaper i astronomi och räkning och att man kunde utnyttja sina enkla mätredskap så att man uppnådde en närmast otrolig noggrannhet vid längd- och vinkelmätningar. Det regelbundna upprepandet av händelser på himlavalvet måste tidigt ha visat människorna att det finns lagbundenheter i naturen och lockat dem att söka efter sådana som inte var så uppenbara. Månens växlande utseende har tidigt använts för tidmätning. Alla kulturer syns åtminstone under sina mest primitiva stadier ha använt månkalender. De regelbundet återkommande översvämningarna och regelbundenheter i regntid och torrtid och djurens sexualliv kopplades samman med himlafenomenen. Tanken att himlakropparna kan styra förhållandena på jorden hjälpte till att skapa ett prästerskap, som bevakade himlafenomenen och som bevarade och förde vidare ett samlat vetande, först i muntlig och sedan i skriftlig form. Funderingar kring bokföringen av astronomiska händelser ledde sedan till att man gjorde beräkningar med utgångspunkt från sina observationer. En tredje verksamhet som stimulerade matematikens utveckling var planeringen av de allt fler och allt större byggnader som stadslivet förde med sig. Redan ca 3000 f Kr hade man insett fördelen med att arbeta med soltorkade tegel i form av rätblock, som alla hade samma storlek. Byggnadsverksamheten ledde också till att man gjorde skalenliga ritningar av byggnader och stadsplaner (början till likformighetslära). De äldsta fynden är från ca 2250 f Kr. De tre stora pyramiderna byggdes under perioden , då den egyptiska kulturen hade sin första höjdpunkt. Numera tror man inte att de byggdes av slavar utan att det var jordbrukare, som under de tre annars sysslolösa månaderna mellan sådd och skörd lockades att arbeta med pyramidbyggen vid Giza. Man har där funnit byggnadsrester, som kan ha varit bostadskaserner och förråd för livsmedel. Kanske de flesta arbetade med både glädje och stolthet över vad de åstadkom, liksom våra kyrkobyggare tycks ha gjort under medeltiden. Utvecklingen ledde till att befolkningen på landsbygden runt om städerna blev allt mer beroende av en överklass i dessa, som organiserade byggnadsverksamhet, bevattning, sådd och skörd, lagring av livsmedel och det militära skyddet av lagren. Dessa organisatörer behövde till sin hjälp personer som kunde räkna och skriva. Man vet att det redan under Egyptens andra storhetstid fanns en särskild skola för utbildning av skrivare. Under denna period gjordes vattenregleringar varigenom man fick tusentals kvadratkilometer ny åkerjord. Man fick hantverksskrån och en stor medelklass. Från denna tid finns en ganska stor mängd litteratur på papyrus bevarad. Senast 2500 hade man börjat framställa blad av papyrus till att skriva på. Bland fynden finns en papyrus, som innehåller den äldsta kända yrkesvägledningen. Den är utformad som ett brev från en far, som vill förmå sin son att börja i en skrivarskola. Han påpekar olägenheten med att vara smed (smutsigt arbete), jordbrukare (hårda, långa arbetsdagar),
3 vävare (jäktas av arbetsledare) eller fiskare (uppätas av krokodiler). Den man som kan skriva är däremot förmer än alla dessa. Han får arbeta i kungens kansli och äta mat från kungens hus. Det finns inte mycket material som belyser räknekonsten i det gamla Egypten. De samlingar av räkneexempel man funnit har troligen i flera fall använts vid utbildningen av skrivare. Den mest omfattande är skriven av Ahmose, den äldste räknemästare vi känner namnet på. Han kallar sig själv "skrivare" och av hans uppgifter framgår att skriften tillkommit ca 1650, men han omtalar att han kopierar en två hundra år gammal text. Papyrus är ett material, som i kontakt med luft, liksom vanligt papper, är föga hållbart. Papyrusskrifter har därför normalt bara haft en livslängd på ett par hundra år. Förutsättningen för att deras innehåll skulle överföras till kommande generationer var därför att de skrevs av gång på gång. De papyrusskrifter som vi känner till har bevarats tack vare Egyptens torra klimat och att de haft föga kontakt med luft. Den papyrus som Ahmose skrev innehåller 84 räkneproblem med lösningar. De visar hur man utförde multiplikationer och divisioner, räkning med bråk, lösning av enkla ekvationer samt beräkningar av ytor och volymer. Egyptierna hade ett decimalsystem för hela tal. De hade beteckningar för tio, hundra, tusen osv. För bråk, utom för två tredjedelar, som hade en särskild beteckning, använde de enhetsbråk, dvs en halv, en tredjedel, en fjärdedel osv. För att ange tre fjärdedelar skrev de en halv + en fjärdedel, för att ange nitton tjugondelar skrev de en halv + en fjärdedel + en femtedel. Multiplikation utfördes genom fördubblingar och additioner. I uppgift nummer 32 visar Ahmose hur man skall multiplicera 12 med 12. Med våra sifferbeteckningar skrev han varefter summan av 4 gånger 12 och 8 gånger 12 gav 144. Denna metod för multiplikation användes i antikens Grekland och tillämpades även under medeltiden i Europa. I nr 69 visas hur man dividerar 1120 med 80. Ahmose formulerar uppgiften så: Multiplicera 80 tills du får Han ger lösningen varav man ser att 10 gånger gånger 80 är Man skall således multiplicera med 14. Egyptiernas system för bråkräkning var besvärligt. I uppgift nr 24 i Ahmoses räknelära visas hur man skall dividera 19 med 8: Fördubblar man 8 så får man 16. Men då fattas 3. Om man tar hälften av 8 och sen hälften igen så får man 2 och hälften av detta så får man 1. Adderar vi fjärdedelen och åttondelen så får vi 3, som vi behöver. Resultatet skrevs Eftersom alla bråk (utom 2/3) hade täljaren 1 skrev man 1/4 som 4.
4 Egyptierna löste endast ekvationer av första graden och ekvationer av typen x 2 = a. Nr 26 lyder: En mängd och en fjärdedel av mängden är tillsammans 15, man prövar med 4, det minsta tal som kan komma i fråga, och får då 5, vilket är 3 gånger för lite. Slutsatsen blir då att mängden är 3 gånger 4, dvs 12. Geometrin var endast tillämpad aritmetik för att beräkna areor och volymer. Räknelärorna ger de rätta formlerna för beräkning av areorna för trianglar, rektanglar och parallelltrapets. Några bevis för formlernas riktighet ges däremot inte. I de flesta böcker om matematikens historia förekommer uppgiften att egyptierna använde kunskapen om att en triangel med sidorna 3, 4 och 5 har en rät vinkel för konstruktion av räta vinklar. Det finns inget belägg för detta i de papyrusskrifter man funnit. Det är i stället en (kanske intelligent) gissning av den tyske matematikhistorikern Moritz Cantor ( ). (Det är inte den Cantor som skapade mängdläran.) Han resonerade som så: De räta vinklarna, som förekommer i templens och pyramidernas grundplaner, måste ha konstruerats av de "repsträckare", som t ex den grekiske historieskrivaren Herodotos (ca ) talar om, och jag (Cantor) kan inte tänka mig något annat sätt att konstruera en rät vinkel med hjälp av sträckta rep än genom att använda rep med längderna 3, 4 och 5. Därför måste egyptierna ha känt till denna triangel. Cantors hypotes har sedan blivit återgiven som ett faktum. Egyptierna beräknade cirklars areor genom att ta kvadraten på 8/9 av diametern. Detta svarar mot pi-värdet 3,1605, en mycket god approximation. Kineser och judar använde vid denna tid och mer än tusen år fram i tiden värdet 3. Även babylonierna tycks oftast ha nöjt sig med denna ganska grova approximation. Det mest avancerade som de egyptiska matematikerna åstadkom var en korrekt formel för beräkning av volymen hos en stympad pyramid där h är höjden och a och b är sidorna hos de kvadratiska ytorna. Egyptierna kan inte gärna ha kommit fram till denna formel på empirisk väg. Det finns emellertid inget vittnesbörd om hur de härlett den. Källorna för kunskap om fornegyptisk matematik är få, men det finns inget som tyder på att den skall ha legat på högre nivå än den som avspeglas i de hittills funna papyrusskrifterna. Babylonisk matematik En högre nivå än i Egypten nådde matematiken hos de folk som levde i området kring Eufrat och Tigris, ett land som grekerna kallade Mesopotamien, vilket betyder "landet mellan floderna". Vi kallar det vanligen Babylonien, åtminstone då vi tänker på perioden ca Då den historiska tiden börjar ca 3500 bor sumererna, ett folk av okänt ursprung, i söder och ett semitiskt folkslag, akkader, i norr. Liksom i Egypten utvecklades en skrift omkring år från att ha använts enbart för bokföring till en skrift som kunde användas för att återge lagar, beskriva historiska händelser och förmedla diplomatiska och personliga meddelanden. Sumererna hade redan då en mycket hög kultur med ett utvecklat skriftspråk och talsystem. Bildskriften övergick efter hand till det vi kallar kilskrift. Tecknen gjordes på skivor av mjuk lera, som torkades i solen eller i en ugn. Vid en eldsvåda brann de inte upp som papyrusbladen utan blev ännu hållbarare. Det historiska källmaterialet från detta område är därför oerhört rikt. Många tusen lertavlor med matematiskt och astronomiskt innehåll har grävts fram och översatts. Omkring år 2500 övertar akkaderna den politiska makten över sumererna men också deras höga kultur. Det sumeriska språket, helt olikt akkadernas semitiska språk, blir det som användes för religiösa och lärda skrifter under ett par tusen år. I viss mån spelade således sumeriskan samma roll som latinet långt senare i Europa. Under Hammurabis styre omkr 1800 upplevde Babylonien en blomstringstid som varken förr eller senare. Redan omkr 1600 börjar en nedgångsperiod, som bryts först omkr 600 f Kr. Efter
5 det att den babyloniska kulturen under några hundra år fått en renässans dör den ut omkring år noll. Samtidigt försvinner kilskriften. Tusentals lertavlor från den tid (ca ) då Hammurabis dynasti hade kungamakten visar att det då fanns ett väl etablerat talsystem. Decimalsystemet hade utvecklats till ett system med basen sextio. Flera förklaringar härtill har framförts. Man har tänkt sig att det kan ha varit av astronomiska skäl, att enheten sextio ganska väl passade ihop med månadens och årets längd. Ett annat förslag är att 60-systemet är en kombination av tidigare system med basen 10 och basen 6. Det troligaste är att det valts därför att det var bekvämt vid bråkräkning. Av det skälet användes det fortfarande två tusen år senare av Ptolemaios och genom främst hans arbeten fick vi i Europa vinkel- och tidsmått baserade på sexagesimalsystemet. Redan vid denna tid hade man i Babylonien insett att symbolerna för 1 och 10 räckte för att representera alla heltal, om man gav tecknen olika värde beroende på deras plats. Skrev man således YY YY YY, dvs symbolen för 2 i tre åtskilda grupper, betydde det inte sex utan (dvs 7322 i vårt decimalsystem). Överlägsenheten hos den babyloniska matematiken berodde på att man använde positionssystemet även vid bråkräkning. Beteckningen YY YY användes inte bara för att beteckna utan också för eller för Sammanhanget fick avgöra vilket det skulle vara. Bråkräkning blev därför förhållandevis lätt och babylonierna utvecklade algoritmer med vars hjälp de kunde beräkna kvadratrötter med en noggrannhet som i Europa inte överträffades förrän på 1500-talet. Det är samma algoritm som kallas för Herons eller Newtons algoritm. På en lertavla från tiden har man t ex funnit en kvadrat med diagonalerna utritade och värdet 1;24, 51, 10 angivet. Det är Man tycks också ha känt till formlerna för beräkning av summan av aritmetiska och geometriska talföljder. Man beräknar t ex summan men formulerar uttrycket med ord. Efter Hammurabidynastins tid tycks intresset för matematik avta. Det är inte förrän omkring 300 f Kr som astronomi och matematik börjar blomstra på nytt. Då införes ett tecken för en tom plats, för att undvika tvetydighet, men det användes inte i slutposition. Ett fullständigt positionssystem var det således inte. Den avbildade lertavlan är från tiden omkr Texten lyder: Längd, bredd. Jag har multiplicerat längden och bredden, så att arean erhålles. Sedan adderar jag till arean vad längden är mer än bredden och får 3,3 Därutöver har jag adderat längd och bredd och får 27. Beräkna längd, bredd och area. 3,3 (dvs ) står i början på rad 6. Talet 27 inleder rad 8. Därefter visas hur problemet skall lösas. Det är tydligt att detta inte är något praktiskt problem utan av rent matematisk natur. Orden längd och bredd användes på samma sätt som vi använder x och y. Problemet kan då skrivas Babylonierna kunde inte använda bokstäver för att beteckna okända storheter, alfabetet var ännu inte uppfunnet, men ord som längd, bredd, area och volym fyllde samma uppgift. Att orden användes i abstrakt betydelse framgår av att man utan betänkligheter adderade t ex en längd till en area. Man löste vid samma tid också ekvationssystem av andra graden: Jag har adderat areorna av mina två kvadrater och får 25,25. Sidan hos den andra kvadraten är 2/3 av den första plus 5 gar (längdenhet). Med våra beteckningar blir det:
6 Babylonierna löste ekvationer som vi genom att addera samma tal till båda leden. För att få bort bråk multiplicerade de liksom vi båda leden med samma tal. De kände kvadreringsreglerna för (a + b) 2 och (a - b) 2 och formeln för lösningen till den fullständiga andragradsekvationen. Men inte ens tredjegradsekvationer skulle vara främmande för den tidens matematikstuderande. Det finns exempelvis ett problem som leder till ekvationen x 2 ( 12x + 1) = Till hjälp för att lösa tredjegradsekvationer hade man tabeller, som gav värden på n 3 + n 2 för heltalsvärden på n. Även i problem som formulerades i geometriska termer var babylonierna alltid ute efter att beräkna något, inte att konstruera eller bevisa något. En text från tiden omkr 1700 kan ges översättningen: långt från varandra och parallella med den andra sidan. Uppgiften är att bestämma skillnaderna mellan de andelar som bröderna får. Det var inte fråga om att alla skulle få ärva lika. Babylonierna kände flera geometriska samband, som var okända hos egyptierna vid denna tid, t ex att en vinkel inskriven i en halvcirkel är rät. Före 1930-talet trodde man att man i Babylonien alltid hade använt värdet 3 för π. Men 1936 fann man i Susa lertavlor som gav förhållandet mellan areorna och kvadraterna på sidorna hos regelbundna polygoner med tre, fyra, fem, sex och sju sidor. På samma tavla ger skrivaren 0;57,36 (dvs ) som kvoten mellan omkretsen hos en hexagon och omkretsen hos den omskrivna cirkeln. Av detta kan man se En triangel, vars bas är 30, delas i två delar av en linje parallell med basen. Det är givet att Vid lösningen utnyttjar man formler för arean av en triangel och ett parallelltrapets och topptriangelsatsen. Pythagoras sats finns inte omnämnd i någon form i det bevarade materialet från Egypten, vilket inte betyder att satsen var okänd. Men redan bland tavlorna från Hammurabis tid omkr 1800 förekommer många tillämpningar av satsen. På en lertavla visas t ex hur man skall lösa följande problem, som påminner om ett som jag fick räkna under min realskoletid: En stege med längden 0;30 (dvs 30/60) står mot en vägg. Hur långt kommer den nedre ändan från väggen om den övre ändan av stegen glider 0;6 (dvs 6/60) nedför väggen? Kilskriftstavlorna innehåller mängder av problem, som vi skulle kalla geometriska, men som för babylonierna troligen var tillämpad aritmetik. Det handlade ofta om arvskiften. Be era gymnasister lösa följande problem: En egendom i form av en rätvinklig triangel skall delas mellan sex bröder. Arean är 11, 22, 30 (dvs ) och en av sidorna är 6,30 (dvs ). Delningslinjerna skall vara lika approximativt värde på π. (Låt era elever visa detta.) Med undantag av ristningar i sten finns det knappast något material som kan mäta sig med babyloniernas lertavlor i fråga om hållbarhet. Från de tre tusen år före år noll som de användes bland folken kring Eufrat och Tigris finns därför mycket skriftligt material. De flesta lertavlorna med matematiskt innehåll är sådana som visar hur den tidens lärare inte endast sökte lära sina elever, blivande medlemmar av offentliga sektorn, hur man skulle lösa praktiska problem. De konstruerade också problem, som inte hade någon annan uppgift än att stimulera elevernas matematiska tänkande på ett nöjsamt sätt. Gack och gör sammaledes! Böckerna som nämns här nedan kan ge uppslag. Litteratur Bezold, Carl: Nineve und Babylon, Bielefeld und Leipzig 1909 Boyer, Carl: A History of Mathematics, New York 1968 Johansen, Thorleif: Forntidens matematik, Stockholm 1947 Newman, James: Sigma, En matematikens kulturhistoria, Stockholm 1965, del 1 s , ; del 4 s Struik, Dirk: Matematikens historia, Stockholm 1966 Waerden, B L van der: Science awakening, Groningen 1954 Zeuthen, Hieronymus: Mathematikens Historie, Oldtiden, København 1949 Läs också om Babyloniens och Egyptens historia i t ex Svensk Uppslagsbok
8-1 Formler och uttryck. Namn:.
8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?
Läs mer4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..
Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merLokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning
Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet
Läs merExplorativ övning 11 GEOMETRI
Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merDE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING
DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..
Läs merSödervångskolans mål i matematik
Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal
Läs merKonkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11)
Konkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11) ( www.skolverket.se) Kunskapskraven i matematik kan delas in i följande områden: problemlösning, begrepp, metod, kommunikation och resonemang.
Läs merUnder min praktik som lärarstuderande
tomoko helmertz Problemlösning i Japan och Sverige Japansk matematikundervisning skiljer sig på många sätt från svensk. Vilka konsekvenser får det för hur elever i respektive länder löser problem? Tomoko
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merVardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal
TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs merMATEMATIK 3.5 MATEMATIK
TETIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.
Läs merI addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1
BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term
Läs merKonsten att bestämma arean
Konsten att bestämma arean Lektion Ett (Matematiskt område - Talmängder) Vad är viktigast? Introducera tanken om att felet skulle kunna vara viktigare än svaret. Vad väger äpplet? Gissa. Jämför med mätvärdet
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs
Läs merNMCC Sigma 8. Täby Friskola 8 Spets
NMCC Sigma 8 Täby Friskola 8 Spets Sverige 2016 1 Innehållsförteckning Innehållsförteckning... 1 Inledning... 2 Sambandet mellan figurens nummer och antalet små kuber... 3 Metod 1... 3 Metod 2... 4 Metod
Läs merStorvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5
2010-11-01 Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5 Skolan skall i sin undervisning sträva efter att eleven : utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den
Läs merTal Räknelagar Prioriteringsregler
Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.
Läs merSkolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik
Matematik Matematiken har en mångtusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den har utvecklats ur människans praktiska behov och hennes naturliga nyfikenhet och lust att utforska. Matematisk verksamhet
Läs merNATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1996. Tidsbunden del
NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1996 Tidsbunden del Anvisningar Provperiod 10 maj - 1 juni 1996. Provtid Hjälpmedel Provmaterialet 120 minuter utan rast. Miniräknare och formelsamling. Formelblad
Läs merDe första städerna. Mesopotamien
De första städerna Mesopotamien Mesopotamien = Området mellan floderna Eufrat och Tigris Världens första högkultur Den sumeriska högkulturen uppstod omkring 5000 år sedan. VARFÖR JUST I MESOPOTAMIEN? Bästa
Läs merSKOLPORTENS NUMRERADE ARTIKELSERIE FÖR UTVECKLINGSARBETE I SKOLAN. Bilagor
SKOLPORTENS NUMRERADE ARTIKELSERIE FÖR UTVECKLINGSARBETE I SKOLAN Bilagor Gemensamma matematikprov, analysinstrument och bedömningsmatriser för kvalitetshöjningar Författare: Per Ericson, Max Ljungberg
Läs merMatematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev
Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev Dagens program Introduktion och kursens översikt Talbegreppets utveckling Den äldsta matematiken - EGYPTEN och BABYLON Obligatorisk kurslitteratur Tord Hall
Läs merAtomer, molekyler, grundämnen. och kemiska föreningar. Att separera ämnen. Ämnen kan förändras. Kemins grunder
KEMINS GRUNDER -----{ 2 Keminsgrunder 1 J----- IAAeAåll-Kemi förr och nu sid.4 Atomer, molekyler, grundämnen och kemiska föreningar Ämnens egenskaper sid. 10 sid. 14 Rena ämnen och blandningar Att separera
Läs merPernilla Falck Margareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer. Matte. Safari. Direkt. Lärarhandledning. Andra upplagan, reviderade sidor
Matte Direkt Pernilla Falck Margareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer Safari 1A Lärarhandledning MS Enhetsdel Sist i varje kapitel finns ett avsnitt som i första hand tar upp enheter. Här i årskurs 1 handlar
Läs merInledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22
Innehåll Inledning...3 Bedömningsanvisningar...3 Allmänna bedömningsanvisningar...3 Bedömningsanvisningar Del I...4 Bedömningsanvisningar Del II...5 Bedömningsanvisningar uppgift 11 (Max 5/6)...12 Kravgränser...21
Läs merKommentarmaterial, Skolverket 1997
Att utveckla förstf rståelse för f r hela tal Kommentarmaterial, Skolverket 1997 Att lära sig matematik handlar om att se sammanhang och att kunna föra logiska resonemang genom att känna igen, granska
Läs merMatematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer
Matematik Steg: Bas ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i talområdet 0-10 bråk- och decimalform ordningstal upp till 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna
Läs mer1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken.
Modul: Taluppfattning och tals användning. Del 3: Det didaktiska kontraktet Likhetstecknet Ingrid Olsson, fd lärarutbildare Mitthögskolan Läraraktivitet. 1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merMatematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev
Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Lite inspiration Går det att konstruera 6 kvadrater av 12 tändstickor? Hur gör man då? (Nämnaren, Nr 2, 2005) Litet klurigt kanske, bygg en kub av stickorna: Uppgift
Läs merMatematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d)
1. b) c) d) a) Multiplikation med 100 kan förenklas med att flytta decimalerna lika många stg som antlet nollor. 00> svar 306 b) Använd kort division. Resultatet ger igen rest. Svar 108 c) Att multiplicera
Läs merLösningsförslag Cadet 2014
Kängurutävlingen 2014 Cadet svar och korta lösningar Lösningsförslag Cadet 2014 1. A 0 2014 2014 2014 2014 = 0 2. D 21 mars Det blir torsdag senast om månaden börjar med en fredag. Då är det torsdag dag
Läs merMA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.
MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning
Läs mernågon skulle föreslå, att ur våra räkningar utesluta tecknet "j/, så att man t. ex. skulle skriva lösningen av
Om någon skulle föreslå, att ur våra räkningar utesluta tecknet "j/, så att man t. ex. skulle skriva lösningen av andragradsekvationen.1 -f 2 där y' 2 = b, eller i st. f. x=y$-\-yj
Läs merformulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,
Arbetsområde: Huvudsakligt ämne: Matematik, åk 4-6 Läsår: Tidsomfattning: Ämnets syfte Undervisning i ämnet matematik syftar till: länk Följande syftesförmågor för ämnet ska utvecklas: formulera och lösa
Läs merBegrepp Uttryck, värdet av ett uttryck, samband, formel, graf, funktion, lista, diagram, storhet, enhet, tabell.
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet samlar ett antal olika sätt att hantera rymdgeometriska beräkningar med formler på en grafräknare. Dessa metoder finns som uppgifter eller som en samling tips i en
Läs merSammanfattningar Matematikboken Z
Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merKvalitetsarbete. Kungshöjdens förskola. Förskolor Syd Munkedals kommun Majvor Kollin Lena Klevgård Jenny Pettersson
Kvalitetsarbete Kungshöjdens förskola 2014 Förskolor Syd Munkedals kommun Majvor Kollin Lena Klevgård Jenny Pettersson Innehåll Grundfakta och förutsättningar... 3 Kartläggning av barnens intressen...
Läs mer1Mer om tal. Mål. Grundkursen K 1
Mer om tal Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: förstå vad som menas med kvadratrot och kunna räkna ut kvadratro ten av ett tal kunna skriva, använda och räkna med tal i tiopotensform
Läs mer205. Begrepp och metoder. Jacob Sjöström jacobsjostrom@gmail.com
205. Begrepp och metoder Bo Sjöström bo.sjostrom@mah.se Jacob Sjöström jacobsjostrom@gmail.com Hur hög är en stapel med en miljon A4-papper? 100 st 80 grams har höjden 1 cm 1000 1 dm 1 000 000 1000 dm
Läs merMimer Akademiens arbete med barnens matematikutveckling Ann S Pihlgren Elisabeth Wanselius
Mimer Akademiens arbete med barnens matematikutveckling Ann S Pihlgren Elisabeth Wanselius Matematikdidaktik hur förbättrar vi resultaten? I olika undersökningar de senaste 25 åren visar det sig att de
Läs merHands-On Math. Matematikverkstad. Förskolans nya läroplan 1 juli 2011. Matematik är en abstrakt och generell vetenskap
Hands-On Math Matematikverkstad 09.00 10.30 & 10.45 12.00 Elisabeth.Rystedt@ncm.gu.se Lena.Trygg@ncm.gu.se eller ett laborativt arbetssätt i matematik Laborativ matematikundervisning vad vet vi? Matematik
Läs mermatematik Syfte Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 1. KuRSplanER FöR KoMMunal VuxEnutBildninG på GRundläGGandE nivå 55
Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att
Läs merLokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass
Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik
Läs merPlanering Historia Antikens världar HT/2015. ÅK 7 Namn:
Planering Historia Antikens världar HT/2015 ÅK 7 Namn: Preliminär planering i historia HT 2015 1 Veckomål vecka 39 Under denna vecka har man läst sidorna 6-15 Svarat på frågor s. 8 och 9. Tagit reda på
Läs merMatematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret
Balderskolan, Uppsala musikklasser 2009 Matematik Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret läsa och skriva tal inom talområdet 0 10 000 räkna de fyra räknesätten med olika metoder
Läs merMultiplikation genom århundraden
Multiplikation genom århundraden För många elever i skolan kan multiplikation upplevas som något oöverstigligt. Addition och subtraktion kan de förstå sig på men inte multiplikation. Utan förståelse för
Läs merKonstbevattning. Tidslinjetexter åk 7
Tidslinjetexter åk 7 Konstbevattning 2000 år f. Kr så började vi med konstbevattning för att det fanns ett problem. Problemet var att det inte regnade regelbundet utan det regnade ofta för lite vilket
Läs merNationella strävansmål i matematik. Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven
Nationella strävansmål i matematik Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära
Läs merHistorisk tidslinje & matematisk publikation
Historisk tidslinje & matematisk publikation Niels Chr. Overgaard 2016-11-07 N. Chr. Overgaard Historia 2016-11-07 logoonly 1 / 12 Översikt Vi ska idag behandla tre ämnen: Snabb överblick över matematikens
Läs merMÖNSTER OCH TALFÖLJDER
MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll
Läs mer8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Läs merSÄLEN, GRISEN OCH GLASPÄRLORNA
SÄLEN, GRISEN OCH GLASPÄRLORNA NORRKÖPINGSTRAKTENS FÖRHISTORIA Stadshistorisk basutställning LÄRARHANDLEDNING Februari 2011 SÄLEN, GRISEN OCH GLASPÄRLORNA NORRKÖPINGSTRAKTENS FÖRHISTORIA UTSTÄLLNINGEN
Läs mer2014-09-26. Dagens innehåll. Syftet med materialet är att. Bedömning för lärande i matematik. Katarina Kjellström
Bedömning för lärande i matematik Växjö 18 september 2014 Katarina Kjellström PRIM-gruppen Dagens innehåll Vad är syftet med detta bedömningsstöd Vilka har arbeta med materialet Varför ser det ut som det
Läs merVad menas med en högkultur? Diskutera med din bänkgranne i 4 minuter så brainstormar vi allt ni vet om högkulturer. Vet du inte så använd din fantasi
Att kunna: Hur levde människan innan hon blev bofast? Vad är det som kännetecknar en högkultur? Hur var det nya samhället när människan blev bofast? Hur uppstod högkulturen Egypten? Vad är det som kännetecknar
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD till Tummen upp! SO Historia inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till Tummen upp! SO Historia inför betygssättningen i årskurs 6 Kursplanerna i Lgr 11 är uppbyggda efter rubrikerna syfte, centralt innehåll och kunskapskrav. Syftestexten avslutas med vilka
Läs merMatematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal
Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att
Läs merANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL. Matematikens grunder. för lärare. Anders Månsson
ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL Matematikens grunder för lärare Anders Månsson Extramaterial till boken Matematikens grunder för lärare (art.nr. 38994), Anders Månsson. Till Tallära-kapitlet: Andra
Läs merMattestegens matematik
höst Decimaltal pengar kr 0 öre,0 kr Rita 0,0 kr på olika sätt. räkna,0,0 storleksordna decimaltal Sub för lite av två talsorter 7 00 0 tallinjer heltal 0 0 Add med tiotalsövergångar 0 7 00 0 Sub för lite
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs merLektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram
Lektionsanteckningar 2: Matematikrepetition, tabeller och diagram 2.1 Grundläggande matematik 2.1.1 Potensfunktioner xmxn xm n x x x x 3 4 34 7 x x m n x mn x x 4 3 x4 3 x1 x x n 1 x n x 3 1 x 3 x0 1 1
Läs merPROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER
PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER ADDERA RÄTT 1. Bestäm vilka siffror bokstäverna A, B, C, och D bör bytas ut mot i additionen nedan för att additionen ska vara riktig. A 6 3 7 B 2 + 5 8 C D 0 4 2 2. Gör ett eget
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merOm Pythagoras hade varit taxichaufför
56 Om Pythagoras hade varit taichaufför i Luleå Andrejs Dunkels Högskolan i Luleå Fig 1. Om man vill ta sig från P-platsen i hörnet av Köpmangatan och Timmermansgatan till Vinbutiken (se fig 1) så går
Läs merEngelska... 2. Svenska... 6. Svenska som andraspråk... 7. Idrott och hälsa... 8. Musik... 9. Biologi... 10. Fysik... 11. Kemi... 11. Slöjd...
2010-08-23 Lokal kursplan år 3 Engelska... 2 Svenska... 6 Svenska som andraspråk... 7 Idrott och hälsa... 8 Musik... 9 Biologi... 10 Fysik... 11 Kemi... 11 Slöjd... 12 Geografi... 13 Historia... 13 Religion...
Läs merGemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5
Gemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5 Mål för lektionen: Eleverna skall kunna skilja på begreppen area och omkrets. Koppling till strävansmål: - Att eleven utvecklar intresse
Läs merDetta prov består av del 1 och 2. Här finns också facit och förslag till poängsättning
Allmänt om proven Detta prov består av del 1 och. Här finns också facit och förslag till poängsättning och bedömning. Provet finns på lärarwebben, dels som pdf-fil och dels som redigerbar Word-fil. Del
Läs merHej Björn! Först vill jag passa på att tacka för senast. Det var en trevlig "nätverksdag" tycker jag.
Från: Tommy Jansson Dp [tommy.jansson@edu.norrkoping.se] Skickat: den 15 september 2010 13:16 Till: Ämne: Bifogade filer: info@kognitivtcentrum.se Information föräldrautbildning i matematik Dyskalkyli
Läs merRäkneflyt. Multiplikation och Division. Färdighetsträning i matte. Tabeller 1-10
Räkneflyt Multiplikation och Division Tabeller 1-10 Färdighetsträning i matte Gunnel Wendick Inga-Lis Klackenmo Innehållsförteckning Introduktion 2-3 Räkneflyt är kopplat till Lgr11 och Diamant 6 Förståelse
Läs merLathund, geometri, åk 9
Lathund, geometri, åk 9 I årskurs 7 och 8 räknade ni med sträckor och ytor i en dimension (1D) respektive två dimensioner (2D). Nu i årskurs 9 har ni istället börjat räkna volymer av geometriska kroppar
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merTaluppfattning och problemlösning
Taluppfattning och problemlösning. Ett talsystem där siffrans värde beror på vilken position, plats, siffran har.. Olika sätt eller strategier att arbeta med problemlösning.. Problemlösningsmetod där man
Läs merLokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 2009-09-22. -Positionssystemet. -Multiplikation och division. (utan miniräknare).
Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 009-09- Matematik år 9 MOMENT MÅL KRITERIER/EXEMPELl Taluppfattning, aritmetik Repetition av: Skriv med siffror tolv -Positionssystemet. hundradelar. 0,, 0,7
Läs merLokala mål i matematik
Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal
Läs merLärande & utveckling. www.karlskoga.se
Lärande & utveckling En kvalitetsanalys inom det systematiska kvalitetsarbetet Läsåret 2014-2015 Mumintrollens familjedaghem Barn- och utbildningsförvaltningen www.karlskoga.se 25 augusti 2015 [FOKUSOMRÅDE
Läs merLärarhandledning lågstadiet
Lärarhandledning lågstadiet Kära lärare, Vi är glada över att ni kommer och besöker Tycho Brahemuseet tillsammans med er klass! Denna handledning är tänkt som ett erbjudande för dem som kan tänka sig att
Läs merEUKLIDISK GEOMETRI. Torbjörn Tambour. Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2002 Eftertryck förbjudes eftertryckligen
EUKLIDISK GEOMETRI Torbjörn Tambour Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2002 Eftertryck förbjudes eftertryckligen Postadress Matematiska institutionen Stockholms universitet
Läs merLaboration: Att inhägna ett rektangulärt område
Laboration: Att inhägna ett rektangulärt område Du har tillgång till ett hoprullat staket som är 30 m långt. Med detta vill du inhägna ett område och använda allt staket. Du vill göra inhägnaden rektangelformad.
Läs merhttp://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts.
Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: http://www.leidenhed.se/matte.html http://www.leidenhed.se Minst och störst Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att
Läs meroch symmetri Ur det centrala innehållet Förmågor Problemlösning Metod
Längd, Kapitlets innehåll Kapitlet börjar med att eleverna får träna på längd i decimalform. De olika längdenheterna tränas och eleverna får själva mäta längd. Nästa avsnitt handlar om olika trianglar
Läs merDet övergripande syftet med min avhandling var att beskriva och
Eva Pettersson Elever med särskilda matematiska förmågor Får nyfikna och vetgiriga barn det stöd och den stimulans som de har rätt att förvänta sig då de börjar skolan? Barn och ungdomar som har exceptionell
Läs merNMAB09: Matematikens historia, projekt om kinesisk och indisk matematik
NMAB09: Matematikens historia, projekt om kinesisk och indisk matematik av Per Erik Strandberg och Jonas Dartman 3 mars 2004 Om denna text Denna rapport är ett projekt i kursen NMAB09, Matematikens historia,
Läs merProblem att fundera över
Problem att fundera över Här får du öva dig på att formulera en förmodan och försökabevisaden. Jag förväntar mig inte att du klarar av att gå till botten med alla frågorna! Syftet är att ge dig smakprov
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............
Läs merCatherine Bergman Maria Österlund
Lgr 11 Matematik Åk 3 Geometri, mätningar och statistik FA C I T Catherine Bergman Maria Österlund Kan du använda geometriska begrepp? Kan du beskriva figurernas egenskaper, likheter och skillnader? Skriv
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merÅk: 1 Tidsperiod: höstterminen åk 1
Ämne: Koll på läget! förr och nu Ett tematiskt arbetsområde om hur vi är mot varandra, vad vi kan hitta i vår närhet, hur vi kan finna mönster och former allt detta runt omkring oss, både nu och för länge
Läs merDynamisk programvara, ett didaktiskt verktyg?
Dynamisk programvara, ett didaktiskt verktyg? På SMDF:s årsmöte 24 jan 2003 höll Sveriges första professor i matematikdidaktik, Rudolf Strässer, ett föredrag rubricerat Learning Geometry in Secondary Schools.
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merEtt ödmjukt hjärta Av: Johannes Djerf
Ett ödmjukt hjärta Av: Johannes Djerf Jag tänkte börja med att ställa er en fråga idag som du kan fundera en liten stund på med den som sitter bredvid dig. Och frågan är; vad innebär det att vara ödmjuk?
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005
Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet NpMaB vt 2005 Version 1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs mer4. Inför Nationella Prov
4. Inför Nationella Prov I detta kapitel kan eleverna testa sina kunskaper, område för område, i uppgifter liknande dem som finns i nationella prov. Dessa diagnosuppgifter följs upp med uppgifter där eleverna
Läs mer