Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev

Transkript

1 Matematikens historia (3hp) Vladimir Tkatjev

2 Dagens program Introduktion och kursens översikt Talbegreppets utveckling Den äldsta matematiken - EGYPTEN och BABYLON

3 Obligatorisk kurslitteratur Tord Hall "Matematikens utveckling (ett kompendium på Bokakademin) Litteratur Mer litteratur Bo Göran Johansson, Matematikens historia, Studentlitteratur, 2004 Jan Thompson, Matematiken i historien, Studentlitteratur, 1996 Litteraturlista Viktiga webresurser The MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews) History of mathematics by region Thomas Gunnarssons länkar till matematikens historia App för Ipad: Minds of Modern Mathematics

4 Undervisning Arbetsformer föreläsningar/seminarier (v.39,40) Litteratur- och självständiga studier (v. 41) Muntlig och skriftlig redovisningar (v.42) Examination MRE1 Muntlig redovisning (1 hp): arbete individuellt eller i par; redovisas muntligt på tisdagens redovisningsseminarium v.42 Välj ett område inom matematikens historia du vill fördjupa dig i (förslag ges under kursensgång). Arbetet ska redovisas muntligt på ett redovisningsseminarium under v.42. I grupper om 2 görs en muntlig framställning (10-15 minuter), med tekniska hjälpmedel, av ett för kursen centralt ämne efter överenskommelse med examinator. SRE1 Skriftlig redovisning (2 hp): individuellt, ca 4-5 sidor; en skriftlig rapport ska skickas in till examinator (Vladimir) via Urkund senast fredag 17/10, kl 18. Skriv en rapport (4-5 sidor, individuellt) som diskuterar, med hjälp av litteratur (se referenslitteraturlistan samt kursplaner för gymnasieskolan), ett eget konkret exempel, hur matematikens historia kan/skulle kunna tas upp i matematikundervisningen. Den skriftliga rapporten ska skickas in till examinator (Vladimir) via Urkund senast fredag vecka 42 kl 18.

5 Övriga frågor Närvaro andra frågor?

6 Matematik är Matematik av grekiska μάθημα (máthēma), eller vetenskap, men inte naturvetenskap utan abstraktvetenskap Matematik oavsett dess vetenskapliga går att se som ett språk för att enkelt mer koncentrerat beskriva samband

7 Matematik genom tiderna Världens populationen vs antal signifikanta matematiker (enligt H. Reznikoff, R. Wells, Mathematics in civilization)

8 Matematik genom tiderna Mährens skåror, första talsystem Sexogesimalsystemet i Mesopotamien Matematiska tabeller på kilskriftstavlor i Nippur Rhindpapyrusen. Numeriska problem Thales, den deduktiva geometrins begynnelse, -540 Pythagoras, geometri, aritmetik Platon Aristoteles Euklides, systematesering av den deduktiva geometrin Apollonios, kägelsnitten Archimedes, cirkeln och sfären, oändliga serier. 150 Ptolemaios, trigonometri, planetrörelser. 250 Diofantos, talteori. 300 Pappos, dubbelförhållandet. (från H. Reznikoff, R. Wells, Mathematics in civilization) 820 al Khowarizmi, algebra Fibonacci, aritmetik, algebra, geometri.

9 Matematik idag Matematikens utveckling under 1900-talet: nya särskilda drag Sakral matematik Matematik för alla Modern matematik = (fysik + topologi) kalkyl Finns ingen etablerad analys som kan omfatta matematikens utveckling efter 1950

10 arxiv.org: matematikers Facebook Algebra (59) Analysis (135) Control and Optimization (51) Discrete Mathematics (24) Mathematics Education (68) Geometry,topology (84) Groups (28) Information Theory (24) Miscellaneous (421) Mathematical Modelling and Industrial Mathematics (41) Numerics and Computation (4) Number Theory (39) Probability, statistics (122) TOTALT: 1115! Matematiska tidskrifter idag Antal publikationer per dag

11 Matematikens ursprung Tal, räkning, beräkning: gav ursprung till analys och algebra Fem myror är fler än fyra elefanter..! Geometriska former och universum: gav ursprung till geometri och topologi (samt astronomi och naturfilosofi)

12 Tal som begrepp Idé: ersätta befintliga eller relevanta föremål med standardiserade föremål: stickor, sträckor, stenbitar, fingrarna, symboler = siffror Motsvarande begrepp i modern matematik: 1-1 korrespondens (bijektion) Skåra i Mähren (Tjeckien) (30 tusen år sedan) Siffra = en streck, en sten, en finger En viktig konsekvens av räkning: man kan addera antal genom att sammanställa två motsvarande tal

13 Tal som begrepp Matematik: kommunicera/lösa Siffra Tal Beräkning Lösning/Slutsats Språk: kommunicera/skriva Bokstav Ord Mening Meddelande Bra att veta att 100 (decimal) etthundra (svenska) (binära) C (romerska) 10 2 (som potens) Αριθμός (gregiska) bara olika namn på talet 100 百 (kinesiska) مائة (arabiska) (egyptisk) (maya) (symboliska) (metaforiska)

14 Matematik i Babylonien Skriften uppfann ca 3500 f.kr i Mesopotamien Världens äldsta kända författare är En-Hedu anna (en kvina) Under 2500-talet f.kr. utvecklades skriftspråket till kilskrift (symbolerna trycktes med en trekantig penna, stylus) Känd sumeriska skrift är äventyreposet om konung Gildamesh

15 Matematik i Babylonien Sexagesimala talsystemet: talen under 60 skrevs i ett decimalsystem 1 = 4 = 20 = 2 = 21 = 3 = 10 = Sedan grupperades tal i större enheter om 60 Detta är ett positionssystem där siffrans värde bestäms av dess placering Exempel: Heltal: 2 12 = 2,12 = = 132 Bråk: 1; 24,51,10 = = =

16 Grupparbete 1 Uppgift 1. Hur många siffror finns i det babyloniska talsystemet? Svar: 59 Uppgift 2. Skriv i det vanliga decimala talsystemet talet Svar: = 190 Uppgift 3. Skriv som ett vanligt bråk 2; 12,30 Svar: =

17 Matematik i Babylonien Fördelar av positionssystemet (PS): lätt att skriva, addera och multiplicera tal (de flesta funna kilskriftstavlor är multiplikationstabeller, d.v.s. räkneverktyg) Skillnaden som mellan analog och digital TV! Nackdelar i babyloniska PS: det finns ingen nolla! mångtydigheten av babyloniska PS: en -kilen betecknar en 60-potens vilken som helst: kan betyda 1, eller 1 60 = 60, eller = 3600 etc. Hur skrivs t.ex. 75, 3613 resp. 1,25? = = ,25 = Sedan infördes en symbol för nollan inne i ett tal men inte för gränsposition.

18 Matematik i Babylonien: Sammanfattning Ett positionellt talsystem Sexagesimala talsystemet (jmf med minuter, sekunder, i tideräkning) Multiplikationstabeller istället för algoritmer Area och volymräkningar Pythagoras sats (utan bevis) Egyptiska trianglar med stora naturliga tal som mått, t ex = Problemlösning (enkla andragrads och tredjegradsekvationer) Praktiska tillämpningar (lantmäteri, astronomiska observationer osv)

19 Matematik i Egypten Egyptisk matematik ca 2000 f.kr. Några väsentliga drag: Additivt system i bas 10 Sifferhieroglyfer men senare hieratisk skrift Multiplikation med dubblingar Division som multiplikation Bråkräkning med stambråk (dvs med täljaren = 1) 2 5 = Problemlösning: aha-kalkylen (motsvarar dagens okända x)

20 I hieroglyfskrift skrevs tal med ett decimalt system, genom att man använde en symbol för ental, som upprepades tillräckligt många gånger (men upp till nio), sedan en ny symbol för tiotal, osv: Sifferhieroglyfer: 1 = I 10 = åsnehov 100 = ulltott 1000 = lotusblomma = faraos spira = grodyngel Matematik i Egypten Till exempel: IIII = 2014

21 Matematik i Egypten Stambråk (enhetsbråk) med täljaren 1: man skrev bara nämnaren och satte en oval figur, Herras mun, ovanför: = 1 20 = 1 12 Horus öga används för att skriva binära bråk:

22 Matematik i Egypten Fundera hur du skriver t ex följande heltal 33 = 121 = 2453 = och stambråk 1 4 = 1 = 42

23 Matematik i Egypten Problemsamlingar i Rhindpapyrusen (ca 1680 f.kr, 5m lång) samt Moskvapapyrusen (ca 1850 f.kr) Rhindpapyrens problem nr.32: Multiplicera 13 med summan = = 156 Tips: skriv 13 som summan av 2-potenser: 13 = =

24 Grupparbete 2 Uppgift 4. Multiplicera 15 med 5 med hjälp av denna algoritm och vänd om talets ordning. Finns det någon skillnad? Vilka matematiska begrepp det handlar om?

25 Problemlösning ett historiskt perspektiv En kvantitet och dess sjundedel ger tillsammans 19. Vilken är kvantiteten? (Rhindpapyrusen, 1600 f.k.) Metoden: enkel falsk position Anta att det sökta kvantiteten är 7 Då 7 plus dess sjundedel (1) är 8. Vore den begärda summan, säg 24, skulle vi blott, eftersom 24 = 8 3, behöva multiplicera 7 med 3 och som svar erhålla 21 ( en hel del text till ) Dagens rutinlösning: x + x/7 = 19 8x/7 = 19 x = 19 7 /8

26 Referenser T. Hall, Matematikens utveckling, Gleerups, 1970 B.G. Johansson, Matematikens historia, Studentlitteratur, 2004 J. Thompson, Matematiken i historien, Studentlitteratur, 1996 H.L. Resnikoff, R.O. Wells, Mathematics in civilization Ulrica Dahlberg, Stambråk, Nämnare