Matematisk kommunikation (FMA085 4,5hp) Läsperiod 2, HT 2011

Transkript

1 Matematisk kommunikation (FMA085 4,5hp) Läsperiod 2, HT 2011 Kurschef: Niels Chr. Overgaard (NCO), tel , epost rum MH:551B. Föreläsningar: NCO On 8 10 E:C läsvecka 1, 2, 3. Övningar: Olof Enquist och NCO On 8 10 MH:362C, MH:362D läsvecka 4, 5. (Obligatoriskt kursmoment!) Kurshemsida: Kurskrav: Kursen som helhet innehåller tre obligatoriska moment; två inlämningsuppgifter och en populärvetenskaplig uppsats. Kompisgranskning (se nedan) och presentation av lösningar samt uppsatsseminarium (se nedan) och opposition på annan grupps projektarbete ingår som obligatoriska moment. Inlämningsuppgifter: Andra inlämningsuppgiften delas ut på föreläsning 1 den 26 oktober. Uppgiften löses i grupper om tre fyra personer enligt utdelat schema. En första version av lösningen ska vara klar måndagen den 14 november. Denna version presenteras muntligt vid ett av övningstillfällena 16 eller 23 november, som en del av kompisgranskningen. Den slutgiltiga versionen lämnas in senast måndag den 28 november i inlämningsfacket på femte våningen i Mattehuset. Projekt: Arbetet med projektet sker i grupper om fyra personer under LP4 våren 2011 och ska mynna ut i en populärvetenskaplig rapport om ett matematiskt ämne. Projektförslag och handledning tillhandahållas av lektorer och doktorander vid Matematikcentrum. Rapporten presenteras under ett heldagsseminarium. Dessutom ska grupperna opponera på varandras rapporter. Plan för föreläsningar, övningar (preliminärt): 26/10 F Inl. 2 delas ut. Tema: ur analysens grunder 2/11 F Matematiska tidsskrifter. Tema: Mer ur analysens grunder 9/11 F Information om kompisgranskning och om vårens projekt 14/ Död linje för version 1 av lösning. Mejla som pdf till NCO 16/11 Ö Kompisgranskning 1/2: muntlig presentation av lösning 23/11 Ö Kompisgranskning 2/2: muntlig presentationer av lösning 28/ Död linje för inlämningsuppgift 2

2 Inlämningsuppgift 2A En första version av lösningen ska vara klar och mejlas till NCO måndag 14 november. Lösningen ingår i kompisgranskningen, som är en muntlig presentation våningen i Mattehuset. Sista inlämningsdagen är måndagen 28 november. Problem. Låt f : R R vara en kontinuerlig funktion sådan att π 0 f(x) sin x dx = π 0 f(x) cos x dx = 0. Visa att detta medför att funktionen f har minst två nollställen i det öppna intervallet (0.π). Ge även exempel som visar att f kan ha precis två nollställen i detta intervall. Ledning. Börja exempelvis med att visa att för en funktion g som är definierad och kontinuerlig på intervallet I = [a, b], där a < b, och uppfyller g(x) 0 för alla x I, så gäller det att om b a g(x) dx = 0, så är g är identiskt lika med noll på I. (Integralens definition och kontinuiteten av g är helt avgörande.) Fundera på om resultatet ovan kan användas till att visa att f har åtminstone ett nollställe i intervallet (0, π), tex. genom ett motsägelsebevis. För att bevisa att minst ett ytterligare nollställe måsta existera, så kan man fundera på om det finns en enkel trigonometrisk funktion som blir noll i precis en föreskriven punkt c i intervallet (0, π). Om vi redan vet att f har ett nollställe i (0, π) så kan vi tex. välja punkten c till att vara just det nollstället.

3 Inlämningsuppgift 2B En första version av lösningen ska vara klar och mejlas till NCO måndag 14 november. Lösningen ingår i kompisgranskningen, som är en muntlig presentation våningen i Mattehuset. Sista inlämningsdagen är måndag 28 november. Problem. Låt p(x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 vara ett polynom med reella koefficienter och med endast reella rötter. Visa att p(x)p (x) p (x) 2, för alla x R. (1) Ledning. Man ska alltid försöka betrakta ett givet problem utifrån så många synvinklar man kan. Börja med att undersöka om påståendet är rimligt, t ex genom att testa påståendet gör några enkla polynom. Undersök påståendet för polynom av lågt gradtal så som n = 1 och n = 2. Undersök vad (1) säger i fallet då p(x) = x n. Man kan fundera över vad som händer i (1) för ett allmänt polynom då x är stort positivt eller stort negativt. Vad säger olikheten (1) om x är ett nollställe till p (x)? Rita figur. Fundera över förutsättningarna. Varför ska polynomet ha reella koefficienter? Är det nödvändigt att polynomet endast har reella nollställen? Kan man någon gång få likhet i (1)? Om man börjar tro på det givna påståendet, kan det vara dags att börja försöka sy ihop ett bevis. Påståendet ovan kan attackeras på flera sätt. Prova t ex med att använda faktorssatsen och induktion över polynomets gradtal. Slutligen kan man fundera över om påståendet kan skärpas eller generaliseras. Kan man t ex bevisa något skarpare om polynomet endast har enkla nollställen?

4 Inlämningsuppgift 2C En första version av lösningen ska vara klar och mejlas till NCO måndagen 14 november för att ingå i kompisgranskningen, som är en muntlig presentation våningen i Mattehuset. Sista inlämningsdagen är måndagen 28 november. Problem (a). Antag att funktionen f : R R är n gånger kontinuerligt deriverbar, där n är ett icke-negativt heltal. Visa att om så har f högst n stycken nollställen. f (n) (x) > 0, för alla x R, Det kan vara intressant att jämföra med nedanstående problem (b), som dock inte behöver lösas: Problem (b). Låt f : R R vara n gånger kontinuerligt deriverbar, där n är ett positivt heltal, och antag att f (n) (x) 0, för alla x R. Då gäller ett av följande alternativ: Antingen har f högst n stycken nollställen eller också finns det ett slutet intervall I, ändligt eller oändligt och som innehåller mer än en punkt, så att f(x) = 0 om och endast om x I. Ledning. Betrakt problemet ur flera synvinklar. Undersök om påståendet är rimligt genom att kolla de enkla fallen n = 1, 2 och 3. Hur ger man ett stringent bevis i fallet n = 1? Kan metoden användas i det allmänna fallet? Problem (b) kan vara svårt! Försök bevisa påståendet för åtminstone n = 1, 2, 3. Fundera gärna över om påståendet ovan kastar nytt ljus över kända egenskaper hos reella polynom, dvs. funktioner av formen f(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 där koefficienterna a 0, a 1,..., a n R. Ett nollställe x 0 till f kalls dubbelt eller sägs ha multiplicitet två ifall f(x 0 ) = f (x 0 ) = 0. Nollställen av högre multiplicitet defineras på liknande sätt. Kan resultatet generaliseras ifall vi väljer att räkna f:s nollställen med multiplicitet?

5 Inlämningsuppgift 2D En första version av lösningen ska vara klar och mejlas till NCO måndag 14 november för att ingå i kompisgranskningen, som är en muntlig presentation våningen i Mattehuset. Sista inlämningsdagen är måndag 28 november. Problem. Antag att f : R R är en två gånger kontinuerligt deriverbar funktion. Låt a, b R, där a < b, och definera (Lf)(x) = f(a) b x b a + f(b)x a b a. Då är funktionsvärdet Lf(x) det approximationsvärde till f(x) som man får ifall man gör linjär interpolation mellans f:s funktionsvärden i punkerna x = a och x = b. Visa att om a < x < b så är för något tal ξ där a < ξ < b. f(x) = (Lf)(x) f (ξ)(x a)(x b), Ledning. Från analyskursen känner vi till medelvärdessatsen som säger att om f är kontinuerligt deriverbar så är f(x) f(a) = f (ξ)(x a) för något tal ξ mellan a och x. Detta är motsvarigheten till påståendet ovan ifall vi istället för en linjär interpolation använder det konstanta talet f(a) för att approximera f(x). Hur bevisar man medelvärdessatsen? Fundera gärna över följande tillämpning: Antag att f satisfierar f (x) > 0 för alla reella tal x. Visa att f högst kan ha två nollställen.

6 Gruppindelning för inlämningsuppgift 2 Grupp Efternamn Förnamn Efternamn2 Förnamn2 Efternamn3 Förnamn3 Uppgift Presentation Lokal 1 Thordin Lovisa Flodin Oscar Jonsson Arvid A 16-nov MH:362C 2 Altvall Hampus Flood Gabriella Nilsson Johanna B 16-nov MH:362C 3 Andersson Tom Gerhardsson Linnéa Odenbrand Daniel C 16-nov MH:362C 4 Asp Yasmin Haglund Susanna Olsson Johannes D 16-nov MH:362C 5 Berggren Jonatan Hedblom Erik Ripa Julia A 23-nov MH:362D 6 Brange Elias Hjälle Matilda Sjöborg Emma B 23-nov MH:362D 7 Cramsky Eli Juhlin Karl Såmark Ulrica C 23-nov MH:362D 8 Drugge Rikard Lethonen Henrik Wellmar Joakim D 23-nov MH:362D 9 Ehn Gustaf Loman Torkel Viberg Pontus A 16-nov MH:362D 10 Ekholm Mikaela Lundegård Simon Wiqvist Samuel B 16-nov MH:362D 11 Ekstedt Edward Lundgren Kristoffer Yilmaz Nistiman C 16-nov MH:362D 12 Fagerberg Nils Månsson Henrik Yip Karin D 16-nov MH:362D 13 Fahlén Maja Ndayikeza Noel Ågren Fabian A 23-nov MH:362C 14 Davidson Alexander Lavröd David Waldén M. Arvid B Ågren Marcus 23-nov MH:362C 15 Andell Oscar Badenfors Anders Blomberg Tom C Möller Per 23-nov MH:362C 16 Håkansson Stefan Magnusson Tobias Broo Viktor D Petersson Patrik 23-nov MH:362C N.C. Overgaard