Lektionsaktivitet: Vi har ett problem

Transkript

1 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 5: Problemlösning Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Syfte Denna aktivitet handlar om att ge elever erfarenheter av problemlösning. Syftet med ett enskilt problem kan vara att lyfta fram en problemlösningsstrategi, en viss problemtyp eller ett specifikt matematikinnehåll. En klok problemlösningsstrategi är ofta att arbeta tillsammans med andra. Många Nobelpristagare är utmärkta förebilder! Material Material anpassas till valda problem. Beskrivning De problem som har valts ut och presenteras här har olika fokus, vilka beskrivs i Problemlösning i matematik, Moment A. Problem för dramatisering De problem för dramatisering som presenteras här är hämtade från Kängurun Matematikens hopp. Kängurutävlingen genomförs i mars varje år och syftet är att skapa intresse för matematik med hjälp av intressanta problem. Kängurun består av flera tävlingsklasser, från förskoleklass upp till senare del av gymnasiet. Tävlingsklassen Milou är bland annat anpassad efter att det finns elever som inte kan läsa. Texterna är därför mycket kortfattade så att läraren vid behov kan läsa högt och läsa flera gånger. Några kommentarer kring problemen och förslag på fortsatt arbete finns under varje problem och fler förslag finns på Kängurutävlingens webbsidor. För att underlätta vid sökning har årtalet lagts till vid problemets nummer. Gemensam problemlösning Lektionsaktivitetens båda uppsättningar med kort för gemensam problemlösning har lite olika karaktär. Problemet Djur på rad förutsätter att det finns djur att plocka med, men det behöver inte vara exakt som på fotot. Så som problemet är konstruerat blir det inget entydigt svar i förhållande till de djur som finns på bilden. Vi kan inte veta vilket av de röda djuren som står som tvåa respektive fyra, vi kan inte heller veta om hästen som står sist är grön eller orange eller kanske rent av är ett blått föl. Det ger tillfälle att problematisera de lösningar som eleverna finner. Kan det finnas fler sätt att lösa problemet på? Hur i så fall? Problemet Vilket tal är jag? har däremot bara ett korrekt svar. Eleverna bör ha tillgång till något plockmaterial. Det behöver inte vara kuber som på bilden, men ett material där alla delar ser lika ut (t ex markörer, stenar, bönor, dekorationsstenar) så att eleverna inte behöver lägga energi på att urskilja färg eller form. På varje kort finns ord som kan behöva förklaras och diskuteras: större än, mindre än, delbart och udda. 1 (11)

2 Öppna problem Här i lektionsaktiviteten ges förslag på två sorters öppna problem. Det ena förslaget bygger på Dagens tal som är en undervisningsaktivitet många känner igen och använder. Den andra sortens problem konstrueras genom att starta med facit i en lärobok och sedan formulera problemen utifrån svaren. Introduktion En bra öppningsreplik är Vi har ett problem. Det gemensamma tilltalet är viktigt och signalerar att nu ska vi hjälpas åt. Det handlar inte om att bli först färdig utan att tillsammans ta sig an en utmaning. Processen står i fokus, inte svaret. Och det får ta den tid det tar. Till varje enskilt problem behövs en instruktion så att alla förstår vad som ska hända, och kanske finns det material att dela ut eller roller att fördela. Elevers dokumentation Det är inte nödvändigt att alltid låta eleverna dokumentera allt de gör. Ibland kan glädjen över att ha löst ett problem vara tillräckligt för att det ska bli ett bestående minne. Dramatiseringen och agerandet kan bli en minneskrok för eleverna som läraren kan återkoppla till: Kommer ni ihåg när vi? Vad hände då? En dramatiserad problemlösning kan bli en liten film. När problemet är löst och genomarbetat spelas en redovisning med lösning eller lösningar in. Det är kul att titta på en sådan film, men framförallt är det bra repetition. Beroende på problemets innehåll finns det många sätt att dokumentera. Tänk igenom sekvensen konkret halvkonkret halvabstrakt abstrakt. Hur långt kan enskilda elever komma? Vad ska dokumenteras gemensamt? Vad gör eleverna på egen hand? Variation och progression Problemlösning i matematik är ett område som är välförsett med material, några exempel: I Matematiklyftet finns problemlösningsmoduler från åk 1 3 upp till och med gymnasiet. I Nämnaren finns i varje nummer en problemavdelning. Alla problem med lösningar och kommentarer finns tillgängliga på Nämnaren på nätet. Bland alla böcker som finns om problemlösning är en av de mer använda Rika matematiska problem av Kerstin Hagland, Rolf Hedrén och Eva Taflin. Problemen i boken har bland annat den egenskapen att de kan börja användas redan med de yngsta eleverna och utvecklas och fördjupas upp på högskolenivå. Med andra ord en källa för att finna problem som kan passa flertalet elever. I denna dels fördjupning finns ytterligare förslag på problemsamlingar. 2 (11)

3 2010:4 Halsdukar och mössor Dramatisera: Använd två olika mössor och två olika halsdukar. Låt eleverna prova sig fram hur de kan kombineras. Kan eleverna hitta något system för att se om de har upptäckt alla kombinationer? Kan de motivera varför det inte går att kombinera på fler sätt? Kommentar: [4] Här kan den randiga mössan kombineras med antingen en randig eller en grå halsduk, dvs två olika lösningar. Med den grå mössan finns motsvarande möjligheter. Totalt finns fyra lösningar. Diskutera med eleverna om hur de kan dokumentera sina lösningar. Här kan de visa olika abstraktionsnivåer, från det konkreta att laborera med mössor och halsdukar till att gradvis övergå till bilder och tabeller: Ersätt plaggen med plockmaterial, t ex markörer. Visa med bilder vilket plagg en markör representerar. Lägg markörerna så det blir tydligt att alla kombinationer har kommit med. Två olika sätt att visa de möjliga kombinationerna. Röd och lila markör representerar mössor, blå och grön markör representerar halsdukar. Använd Hur många sätt? (2011:5) för att utmana med ett problem som har samma lösning som ovan men där det blir krångligt att börja med att klä på sig plaggen. Här är det enklare att gå direkt till bilder och sedan plockmaterial. 3 (11)

4 2012:12 Hänga tvätt Dramatisera: Spänn upp ett klädstreck och häng upp handdukar. Låt en elev åt gången vara pappa och hänga upp olika antal handdukar. Bokför tydligt så alla kan se hur många klädnypor som används till varje antal handdukar. Kommentar: [10] När eleverna har hängt klart, resonera om hur man kan tänka när man vill ta reda på antalet klädnypor när man vet hur många handdukar som ska hängas. Hur blir det om strecken inte är tillräckligt långa så tvätten måste hängas på två streck? Vad händer om det är stora handdukar (eller lakan) som måste ha en klädnypa på mitten också? Häng andra plagg, t ex byxor och strumpor. Hur många klädnypor behövs för byxor? För strumpor? Gör bilder av klädstreck där upphängningen följer ett mönster (färg, plagg, storlek, etc). 4 (11)

5 2011:6 Var är Kängu? Dramatisera: Använd en tallinje på golvet som eleverna kan gå och hoppa på. Gör gärna linjen fast men ha lösa talkort så att talområdet enkelt kan varieras. Använd elevers namn och låt alla hoppa eller agera på möjligt sätt. Låt två elever starta från olika positioner och efterfråga om och var de möts efter ett visst antal hopp. Kommentar: [9] Tallinjen kan fungera som ett redskap för att t ex undersöka och storleksordna tal, öva stegräkning och utveckla räknestrategier. Använd tio (tjugo) kartongark i två färger, fem alternativt tio av varje färg, för att skapa en talrad som synliggör femstrukturen. Arken ska vara tillräckligt stora för att eleverna ska kunna gå på dem. Tejpa fast dem på golvet. Observera att arken inte ska ha några talsymboler, då undviker vi att eleverna bara läser av siffrorna när de arbetar med talen. Låt eleverna gå på talraden och räkna högt, uppåt och nedåt. Det är svårare med nedåträkning, så vänta med det tills eleven är säker på uppåträkning. Använd alltid samma startpunkt. Uppmuntra eleverna att utnyttja femstrukturen i talraden. - Hur kan du utan att räkna från början hitta talet 7 (5 och 2), talet 8 (5 och 3), talet 10 (5 och 5) osv. - Uppmuntra eleverna att använda tiostrukturen på en talrad med 20 kartongark. Hur kan du utan att räkna från början hitta talet 11, 19, 15, 17, 12? - Gå på talraden och räkna högt på varje steg. Gå på talraden och räkna bara högt på varannat steg 1, 2, 3, 4, 5, och 1, 2, 3, 4, 5, Diskutera udda och jämna tal. 5 (11)

6 2013:10 Musen Maja Dramatisera: Gör på riktigt. Använd både elever och personal så förhållandena mellan flickor och pojkar stämmer. Övergå sedan till att ha namnade möss av något slag. Kommentar: [två bröder och fyra systrar] Diskutera vad det innebär att Maja har tre systrar. Hur många flickor finns det bland syskonen? Hur många bröder har Maja? Hur många bröder har hennes syster Kajsa? Vad vet vi om Långsvans? Hur många bröder finns det bland syskonen? Är Långsvans en av dem? osv. Hur är det i (musen) Stinas familj? Hon har fem bröder och två systrar. Hur många bröder har hennes bror Ulrik? (Musen) Putte har fem bröder och två systrar. Hur många systrar och bröder har hans syster Mimmi? Hur många syskon finns i familjen? Filippa har sju klasskamrater som är flickor (kvinnor). I samma klass går Olle. Han har sex klasskamrater som är pojkar (män). Hur många elever (studerande) finns det i klassen? Nu är mängden så stor att det troligen blir nödvändigt att gå över till markörer. 6 (11)

7 2010:6 Hur många hopp? Dramatisera: Låt eleverna vara kängurur. Låt tre flickor och tre pojkar vara kängurur, eller markera med exempelvis någon huvudbonad vilka elever som hör till den vänstra respektive högra gruppen. Först kan de bara göra, dvs se till att alla kommer förbi varandra utan att räkna antalet hopp. Sedan kan någon form av bokföring läggas till. Exempelvis kan en åskådare lägga en kula/ställa en penna i en burk för varje hopp. Räkna sedan antalet gemensamt. Kommentar: [9] Blir det lika många hopp hur djuren än hoppar? Pröva med att alla på vänstersidan hoppar först eller alla på högersidan. Jämför med om de turas om med en från varje sida. Hur blir det om antalet kängurur minskar eller ökar i en eller båda grupperna? 7 (11)

8 Djur på rad Några djur väntar på att få komma in i hagen. Hur ser kön ut? Några djur väntar på att få komma in i hagen. Hur ser kön ut? Hästen som står först är gul. Två djur är röda. Några djur väntar på att få komma in i hagen. Hur ser kön ut? Några djur väntar på att få komma in i hagen. Hur ser kön ut? I mitten står en kalv. Längst bak står en häst. 8 (11)

9 Vilket tal är jag? Jag är större än 3. Jag är ett udda tal. Vilket tal är jag? Vilket tal är jag? Jag är delbart med 3. Jag är mindre än 13. Vilket tal är jag? Vilket tal är jag? 9 (11)

10 Öppna problem Dagens tal Det kanske vanligaste öppna problemet som används i matematikundervisning är olika varianter av Dagens tal. Eleverna får ett givet tal och ska ge exempel på hur en räkneoperation som leder till dagens tal kan se ut. Variationerna är snudd på oändliga: hur dagens tal väljs, vilka räkneoperationer som ska användas eller inte, om uppgifterna ska skrivas enligt en särskild förlaga, vilket talområde som är aktuellt, hur många exempel eleverna ska ge eller hur lång tid uppgiften ska hålla på, Eleverna kan arbeta enskilt och sedan sammanställa förslagen gemensamt, eller kan eleverna arbeta i par och skriva långa kedjor: 5 = = = 6 1 = 1 5 = 15/3 = 25 = 2,5 + 2,5 = = 5000/1000 = En stor fördel med detta problem är att alla kan delta på sin nivå. I artikeln Skillnaden är två beskriver matematikdidaktikerna Anne Watson och John Mason hur fantastiskt långt man kan komma bara genom att jobba med en så pass enkel differens som två. Det som först kan tyckas vara en för de flesta ganska trivial uppgift visar sig ha bärighet både långt upp på gymnasienivå och för såväl lärarstuderande som kompetensutveckling för lärare. Svar från facit Följande svar är plockade från facit i en matematiklärobok: 6 kg, 10 m, 8 grader, 50 %, 9 m, 475 kr, 40. Uppgifterna skulle kunna lyda: (6 kg). Joan och Elisabet ska köpa frukt till en gårdsfest. De pratar med Fredrik i fruktaffären och han säger att det behövs nog 6 kg frukt om det ska räcka till alla. Vilka sorters frukter köper Joan och Elisabet? Hur mycket köper de av varje sort? (10 m). Bosse och Kajsa ska köpa bräder till kanten runt sandlådan. Pengarna räcker till 10 m brädor. Hur kan sandlådan se ut? Hur många kanter kan den ha? (8 grader). Mormor som bor i Malmö och hennes syster Alma som bor i Kiruna diskuterade vädret. De kom fram till att det var 8 grader varmare i Malmö än i Kiruna. Hur varmt var det i Malmö? Hur varmt var det i Kiruna? (50 %). Hjalmar har köpt en varm, skön tröja på rean. Det var rea! 50 % på alla tröjor! Hur mycket fick Hjalmar betala för tröjan? Vad hade den kostat om det inte hade varit rea? (9 m). Klassen hade på ett par olika sätt uppskattat hur hög en lyktstolpe på skolgården var. De enades om att den var ungefär 9 m. Hur hög skulle den kunna vara om man kunde mäta exakt? (475 kr). Eskil var med pappa och handlade presenter till mamma och Anja. Vad köpte de? Vad kostade de olika sakerna? (40). Ett tal är avrundat till 40. Vilket skulle talet kunna vara? 10 (11)

11 Litteratur och referenser Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem inspiration till variation. Stockholm: Liber. Mason, J. & Watson, A. (2002). Skillnaden är två. Nämnaren 2002:4. Länkar Kängurutävlingen ncm.gu.se/kangaru Nämnarens Problemavdelning ncm.gu.se/arkivn 11 (11)