Statistik. Berit Bergius & Lena Trygg, NCM

Transkript

1 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 3: Geometri och statistik Statistik Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Bakåt i tiden förmedlades information muntligt, från man till man. När tidningar och senare radio och tv blev allmän egendom förändrades bilden och information kunde snabbt nå ut till stora grupper i samhället. Med dagens informationsteknik har möjligheter till snabb spridning ökat ytterligare. I det moderna samhället översköljs vi av information i olika medier. Det kan handla om allt ifrån enkla undersökningar av den mest populära glassen i kamratgänget till mycket avancerade vetenskapliga undersökningar. Information kan vara upplysande och det finns mycket som vi i någon mening kan bevisa med hjälp av statistik, men statistik kan också vara vilseledande. I styrdokumenten finns statistik framskrivet som ett centralt innehåll. Några exempel: Årskurs 1 6 i grundsärskolan: Undersökningar i för eleven bekanta situationer, till exempel prisjämförelser och temperaturskillnader. Årskurs 7 9 i grundsärskolan: Undersökningar i för eleven bekanta situationer. Hur information kan föras in i och avläsas ur tabeller och diagram, till exempel busstidtabeller samt stapel- och cirkeldiagram. Särskild utbildning för vuxna, grundläggande nivå: Undersökningar i för eleven bekanta situationer, till exempel prisjämförelser och temperaturskillnader. Hur information kan presenteras i och avläsas ur tabeller och diagram. Gymnasiesärskolans ämnesplan: Matematik 1: Beskrivande statistik med hjälp av tabeller och diagram. Hur statistiska resultat används i samhället och i yrkeslivet. Matematik 2: Beskrivande statistik med hjälp av tabeller och diagram. Granskning av hur statistiska resultat används i samhället och i yrkeslivet. Matematik 3: Kalkylprogram och hur de används för att beskriva och illustrera statistik. Vad styrdokumenten tar upp om statistik för inriktning mot träningsskola och individuellt program behandlas i dokumentet med förslaget om lektionsaktivitet för dessa skolformer. En av förutsättningarna för att kunna fungera som en självständig individ är att kunna tolka, analysera och kritiskt granska informationsflödet. Tabeller och diagram är vanliga uttrycksformer för att kortfattat förmedla data och för att kunna hantera sådan information behöver elever många erfarenheter där de själva samlar och presenterar data. Ser vi i sammanställningen ovan så nämns kalkylprogram explicit först i Matematik 3 för gymnasiesärskolan. Som det ser ut idag med elevers vana vid datoranvändning kan kalkylprogram (vanligtvis Excel) användas långt tidigare då information ska föras in i, presenteras och avläsas ur tabeller och diagram. Det är ofta enklare att mata in värden i datorn och få ut tydliga och överskådliga tabeller och diagram än att göra motsvarande arbete för hand. 1 (6)

2 Insamling av data För att få fram uppgifter om fakta, omständigheter och uppfattningar om olika frågor måste data samlas in. Utgångspunkten är att den som vill göra en undersökning formulerar frågor som ska besvaras. En del frågor besvaras bäst genom observationer, andra genom intervjuer, där följdfrågor kan ställas, eller i enkäter där uppfattningar om något kan ringas in genom flera frågor. I enkäter markeras svaren vanligen direkt i ett protokoll, allt oftare med en glidande skala från t ex instämmer helt, instämmer delvis, instämmer inte alls. I statistiska undersökningar ingår kvalitetskontroll av att insamlingen av data är tillförlitlig och korrekt genomförd och mäter det som avses, det vi kallar reliabilitet och validitet. Dessa funktioner går vi inte in på här, inte heller tar vi upp processen med att analysera och sammanställa data som kommer fram i intervjuer. Det är ofta ett komplext arbete med många variabler att ta hänsyn till. Dokumentation och analys Data som samlas in dokumenteras i protokoll. Observationsprotokoll kan föras som tabeller där varje observation motsvarar ett streck. Strecken visar vilken frekvens, dvs antal observationer, de olika kategorierna har. De kategorier som undersöks i följande exempel är fordonsslagen buss, lastbil och personbil. För att lättare få en överblick markeras strecken fem och fem. (Detta sätt att bokföra beskrivs i lektionsaktiviteten Positionssystemet i Del 3, denna modul.) För att få en bild av situationen Hur ser trafiken ut på vägen förbi skolan mellan klockan 7.30 och 8.00? gjordes många observationer. Valet av tidpunkt har med skoldagens början att göra. Många elever är på väg till skolan. Ett exempel från en observation vid ett specifikt tillfälle vid den aktuella skolan: Bussar llll llll llll ll Lastbilar llll llll llll Personbilar llll llll llll llll lll Stapel- och cirkeldiagram Tabeller ger viss överblick, men för att ge en tydligare visuell bild av resultat redovisas de många gånger i något slags diagram, t ex stapel- eller cirkeldiagram. I stapeldiagram är rektanglarnas baser alltid lika, medan höjderna motsvarar frekvensen i undersökningen. I tolkningen av stapeldiagrammet kan antalet bussar, lastbilar och personbilar utläsas med hjälp av den metriska skalan och de numeriska värdena kan jämföras, t ex att det var 17 bussar, tre fler än lastbilar. Det var flest personbilar som passerade förbi skolan vid mättillfället, 23 stycken. 2 (6)

3 När samma data presenteras som cirkeldiagram är det storleksrelationen mellan värdena som fokuseras. De precisa antalen kan inte avgöras. Diagrammet visar att något fler personbilar än bussar passerade skolan vid den aktuella tidpunkten. Skillnaden är inte så stor. Vi kan också se att det vid den aktuella tidpunkten passerade nästan dubbelt så många personbilar som lastbilar. Linje-diagram I vissa undersökningar följer man vad som händer med en bestämd företeelse över tid. Ett sådant exempel är temperaturen timme för timme under ett dygn. Sådana data sammanställs vanligen i linjediagram. Venn-diagram Venn-diagram är uppkallade efter engelsmannen John Venn som introducerade denna typ av mängddiagram omkring år Ett Venn-diagram består i regel av två eller tre överlappande cirklar. Det kan ses som en grafisk modell där såväl fysiska föremål som tankemönster av olika slag kan sorteras in. Ett Venn-diagram är med andra ord lämpligt då man önskar sortera en mängd fakta i ett relativt begränsat antal grupper och där vissa faktauppgifter kan sorteras efter två till tre kriterier. Det allra enklaste diagrammet består bara av en cirkel och används i regel bara som en introduktion i undervisningssammanhang. Med en cirkel kan en mängd fakta sorteras efter en enda egenskap, några exempel: 3 (6)

4 Alla födda under första halvåret ställer sig i cirkeln, övriga ställer sig utanför. Alla som har sandaler på sig ställer sig i cirkeln, övriga ställer sig utanför. Alla böcker med foton läggs i cirkeln, övriga läggs utanför. Alla lappar med udda tal sätts fast i cirkeln, övriga sätts fast utanför. Med två överlappande cirklar är det möjligt att sortera efter två egenskaper, vilket medför fyra utfall. Om vi ska undersöka hur många som har en vit (egenskapen färg) t-shirt (egenskapen viss typ av plagg) på sig kan utfallen bli: vit t-shirt, t-shirt i en annan färg, något plagg som är vitt men som inte är en t-shirt, varken något vitt plagg eller en t-shirt. Ritar vi upp det blir det tydligare: Lisa m fl har ett vitt plagg på sig som inte är en t-shirt. Susanne m fl har en t-shirt som inte är vit på sig. Arat m fl har en vit t-shirt på sig. Mia m fl har varken ett vitt plagg eller en t- shirt på sig. Detta sätt att sortera en mängd fakta kan användas som en samarbetsövning i vilket ämne som helst och det kan också vara lämpligt som en sammanfattning av ett arbetsområde. Exempel: Eleverna ska avsluta ett arbetsområde om fritidsaktiviteter och de kommer att prata om vilka aktiviteter de kan göra på egen hand och vilka de gör tillsammans med andra. Varje elev skriver först tre notislappar med aktiviteter de brukar göra på egen hand och sedan tre som de brukar göra tillsammans med andra. 4 (6)

5 Den ena cirkeln märks På egen hand och den andra märks Tillsammans med andra. Var och en sätter upp sina lappar. Därefter samtalar eleverna om vilka lappar som är möjliga att flytta in i delen där aktiviteter som både kan göras på egen hand och tillsammans med andra samlas. När tre cirklar överlappar varandra blir det åtta olika utfall. Fler cirklar används normalt inte, det blir för många olika utfall och därmed inte särskilt överskådligt längre. I exemplen ovan har vi utgått ifrån ett socialt sammanhang, men det går lika bra att använda Venndiagrammen med ett mer matematiskt innehåll. Exempelvis kan det vara lämpligt då tal av olika slag ska sorteras och klassificeras. Sätt t ex de tre rubrikerna Udda tal, Tal delbart med 5 och Primtal. Låt eleverna bestämma var sitt tal (favorittal, skostorlek, antal syskon/husdjur, etc) och samtala om var vart och ett av talen hör hemma. Något man behöver uppmärksamma är hur egenskaperna till rubrikerna väljs. När elever får i uppgift att bestämma två egenskaper att sortera efter väljer de ofta motsatsord som lång kort, varm kall, blank skrovlig. Det blir då i regel omöjligt att sortera på mer än ett sätt eftersom det sällan finns något som kan vara både långt och kort, varmt och kallt eller blankt och skrovligt samtidigt. Istället bör exempelvis lång och kall eller kort och blank väljas. Lägesmått Elever behöver tolka vad andra har sammanställt i tabeller och diagram. Förutom förmåga att avläsa och tolka tabeller och diagram är det också viktigt med grundläggande förståelse för de vanligast förekommande lägesmåtten typvärde, median och medelvärde: 5 (6)

6 typvärde: det vanligast förekommande värdet median: det mittersta värdet när all data har sorterats i storleksordning (vid jämnt antal observationer adderas de båda mittersta värdena och delas med två) medelvärde: det genomsnittliga värdet då all data adderas och divideras med antalet observationer. I lektionsaktiviteten ligger fokus på stapel- och cirkeldiagram och samband mellan dem. Under Variation och progression finns bland annat en aktivitet som lägger grunden till förståelse för att tolka linjediagram. Litteratur och referenser Landtblom, K. (2015). En typisk medianmorot. Nämnaren 2015: (6)