Alla dessa möjligheter

Transkript

1 Karin Landtblom Alla dessa möjligheter kombinatorik och resonemang I denna artikel diskuteras övningar i kombinatorik. Vilka tankegångar kan väckas vid arbete med dem och hur kan eleverna resonera? Idéer presenteras om hur observationerna i kombinatorikövningarna också kan leda till resonemang om sannolikhet. Parallellt ges även förslag på IKT-stöd med interaktiv skrivtavla och länkar till undervisningsmaterial. I Lgr 11 har de matematiska områdena kombinatorik och sannolikhetslära lyfts fram för de yngre eleverna. I årskurs 4 6 ska eleverna lära sig enkel kombinatorik i konkreta situationer samt sanno likhet, chans och risk grundat på observationer, experiment eller statistiskt material från vardagliga situationer. Vad innebär det? Innan vi tar oss an den frågan behöver vi några definitioner. Inom det matematiska området kombinatorik förekommer både kombinationer och permutationer. Kombination: Urval av element ur en mängd utan hänsyn till i vilken ordning elementen plockas ut. (Matematiktermer för skolan, s 106). Permutation: Omordning av en följd. (Matematiktermer för skolan, s 108). En mängd där ordningen är av intresse brukar kallas en permutation. (Räkna med slumpen, s 34). Ett exempel på kombination ges nedan i en övning med glasskulor som har olika smak och där ordningen inte spelar någon roll. Ett exempel på permutation ges också i glassövningen, men med förutsättningen att ordningen spelar roll. Placera sig på stolar På hur många olika sätt kan tre elever placera sig på tre stolar? Denna övning kan elever dramatisera genom att pröva med tre elever och tre stolar i varje grupp. Samtidigt som eleverna placerar sig på olika sätt ska de bokföra hur de gör. Som lärare kan du iaktta hur eleverna agerar och resonerar och notera intressanta resonemang som senare kan diskuteras i helklass. Utifrån elevernas resonemang går det ofta att skapa sig en bild av hur eleverna tänker och vilka svårigheter de stöter på. Nämnaren nr

2 Permutation. Symbolerna för de olika personerna kan flyttas in i tabellen. Många elever försöker troligen hålla ordning på placeringarna genom att anteckna eller rita. Svårigheten är att skapa struktur i anteckningarna, de kan vara krångliga att följa och det kan vara svårt för eleven att veta om de har hittat alla möjligheter. Det är därför viktigt att följa upp övningen i helklass och hjälpa eleverna att organisera anteckningar och resonemang. Finns det tillgång till en interaktiv skrivtavla kan man göra en tabell och rita symboler för de tre eleverna och klona symbolerna. Tabellen byggs sedan ut i takt med att klassen diskuterar. Symbolerna kan lätt dras in i tabellen och en struktur för alla möjliga placeringar växer fram. Strukturen bidrar till att eleverna får en metod att använda, vilket i sin tur skapar större säkerhet, samt möjligheter att generalisera övningen. Placera sig på stolar kan ses som en av några grundläggande övningar som eleverna bör vara, eller bli, bekanta med inom området kombinatorik. Med stöd av denna tabell kan eleverna resonera sig fram till följande tankesätt: Första platsen kan väljas på tre olika sätt. När vi har placerat en person på första platsen finns det två möjligheter till placering på plats två. Därefter återstår endast en möjlighet. Resonemanget kan översättas till en beräkning, nämligen att det finns = 6 möjliga permutationer. Kan man alltid räkna så? För att besvara frågan kan eleverna behöva arbeta med fler uppgifter. Vidga problemet genom att öka antalet personer och stolar. Hur blir det om vi har fyra personer och fyra stolar eller fem personer och fem stolar? Istället för att använda stolar kan eleverna arbeta med andra laborativa material, rita och skriva symboler. Målet är att pröva om det antagande som gjordes utifrån tre stolar håller, samt att befästa sättet att beräkna antalet permutationer. Har vi fem personer och fem stolar kommer vi fram till att antalet placeringar är = 120 stycken. Multiplikationen kallas femfakultet och betecknas 5! (fem följt av utropstecken). I slutet av artikeln finns en länklista som leder till undervisningsmaterial som kan vara användbara för såväl genomgång i helklass som för individuell träning. En aktivitet med djur, som tränar samma slags innehåll som övningen ovan, finns på Kreativ matematik. Aktiviteten Three ball line up kan användas som en alternativ introduktion. I den första övningen fanns det alltså sex olika sätt för tre elever att placera sig på tre stolar. Detta resultat kan vi använda i en sannolikhetsövning. Låt tre elever gå ut ur klassrummet. De ska sedan komma tillbaka in i rummet i vilken ordning de vill, men först får eleverna som är kvar i klassrummet skriva ner i vilken ordning de tror att kamraterna kommer in. Skriv upp på tavlan vilka kombinationer eleverna valt. De tre eleverna går in i klassrummet. Se hur det överensstämmer med den teoretiska sannolikheten. Eftersom det finns sex möjliga kombinationer är sannolikheten för varje utfall en sjättedel. 38 Nämnaren nr

3 Kombinera mössor och glasögon På hur många olika sätt kan två olika mössor och två olika par glasögon kombineras? I denna övning förändrar vi kontexten så att två olika sorters objekt kombineras med varandra. Det är lämpligt att börja med två eller tre av varje sort. Ett lågt antal föremål gör det lättare för eleverna att grundlägga en tankestruktur. De kan med fördel använda sig av en tabell för att bokföra resultatet. Vid arbete med en interaktiv skrivtavla är det lätt att dra bilder in i tabellen. På en vanlig tavla kan man arbeta med bilder och magneter. Eleverna kan också använda lämpligt plockmaterial. Vi ser att två mössor kan kombineras med två par glasögon på fyra sätt. Vad händer om vi tar tre mössor och tre par glasögon? Låt eleverna fortsätta med ökat antal mössor och glasögon tills de ser ett mönster. Om vi multiplicerar antalet glasögon med antalet mössor kommer vi att få antalet kombinationer, 2 2 = 4 och 3 3 = 9. Som alternativ kan man exempelvis kombinera tröjor och byxor eller pålägg och grönsaker på en smörgås. Kopieringsunderlag för en övning om att kombinera tröjor och byxor hittar du via länken till Shorts and shirts. Ett förslag är att använda fyra olika färger på byxorna och fyra olika färger på tröjorna. Var uppmärksam på om någon elev inte har fullt färgseende. När plaggen är färglagda kan man klippa ut lappar med de 16 olika kläduppsättningarna. Lägg lapparna upp och ner, blanda och dra en lapp med en tröja och en lapp med ett par byxor. Ställ frågor som: Hur stor är sannolikheten för att dra röd tröja? Hur stor är sannolikheten för att dra blå byxor och röd tröja? Utöka antalet kombinationer Kombination, mössor och glasögon kombineras utan hänsyn till ordningen. Övningen med mössor och glasögon ovan kan utvecklas på olika sätt, exempelvis genom att öka antalet olika mössor och glasögon. Ett annat sätt är att öka antalet olika objekt som kan kombineras. Vad händer om jag förutom mössa och glasögon också tar med halsdukar? Hur kan jag strukturera detta? Hur många kombinationer får jag? Med två mössor och två par glasögon fick vi 2 2 = 4 kombinationer. Vi ser i tabellen att tillskottet av en halsduk gör att var och en av de tidigare kobinationerna utökas med ytterligare två kombinationer. Vi kan nu få fram antalet kombinationer genom att beräkna = 8 och detta kan tränas utifrån olika situationer. Förutom kläder kan vi exempelvis sätta ihop trerättersmenyer utifrån en meny där det finns ett antal förrätter, varmrätter och efterrätter att välja bland. Elever som snabbt förstår grunden för hur tre objekt kombineras kan gå vidare till ännu högre antal. Ju fler objekt vi har, desto mer omfattande tabell behövs, vilket leder till ett behov av att hitta en generell formel. Kombination, mössor, glasögon och halsdukar kombineras utan hänsyn till ordningen. Nämnaren nr

4 Två objekt men olika antal Ytterligare en variation på övningen är att ha olika antal av de olika objekten. Vi kan till exempel tänka oss att vi har tre tröjor som kombineras med två par byxor. På samma sätt som tidigare är det lämpligt att arbeta med en tabell. Uppställningen här intill visar att byxorna kan väljas på två sätt och tröjorna på tre olika sätt, vilket leder till att antalet skilda möjligheter är 2 3 = 6. I den klickbara aktiviteten Bobby Bear går det att välja om man vill kombinera lika antal av tröjor och byxor eller om man vill ha fler av den ena. Ett alternativ är att arbeta med klippdockor, men det gäller att hitta ark med kläder som är lämpliga för elevgruppen. Lägg klädesplagg i en låda och ställ den utanför klassrummet. Skriv upp på tavlan så att alla vet exakt vad som finns i den. Låt en elev gå ut och klä på sig, till exempel en mössa och en halsduk. Under tiden skriver eleverna som är kvar i klassrummet upp vilken kombination de tror att kamraten ska använda. Frågor att ställa: Hur stor är sannolikheten att eleven har halsduk B på sig? Hur stor är sannolikheten att eleven har mössa A och halsduk B på sig? Strutar med glasskulor På hur många olika sätt kan en strut fyllas med två glasskulor om det finns fyra olika smaker att välja bland? En vanlig övning i många läromedel är att eleverna ska kombinera glasskulor på olika sätt. Som lärare måste man vara väl insatt i uppgiften då den kan lösas på skilda sätt. Övningen kan varieras genom att antalet smaker och antalet kulor skiftar. I det här exemplet utgår vi från att man ska välja en glass med två kulor utifrån fyra smaker. Antalet kombinationer kan tydligt åskådliggöras med ett träddiagram. Används en interaktiv tavla har man nytta av att klona cirklarna. När klassen diskuterar antalet kombinationer kan man dra ner smakerna, en i taget, allteftersom träddiagrammet byggs upp. Om alla kombinationer, även samma smak på båda kulorna, får vara med ser vi att det finns 16 olika kombinationer. Det går då att räkna på samma sätt som i övningen med mössor och glasögon, 4 4 = 16. Om vi gör tillägget att de båda kulorna måste vara av olika smak får vi ett annat sätt att resonera. På en interaktiv tavla kan man först kopiera träddiagrammet nedan och klistra in kopian på samma sida. Därefter kan man enkelt plocka bort kombinationerna med samma smak. Eleverna kan se båda bilderna på tavlan samtidigt, vilket gynnar diskussionen. Träddiagram då alla smakkombinationer är tillåtna. 40 Nämnaren nr

5 Med detta antagande kan vi resonera på samma sätt som när vi har fyra par byxor som ska kombineras med tre olika tröjor, 4 3 = 12. Träddiagram då en glass inte få ha två kulor med samma smak. Om vi dessutom anser att en glass med smakerna apelsin och citron är likställd med citron och apelsin får vi ytterligare ett sätt att tänka, se nedan. På den interaktiva tavlan klistrar vi nu in en kopia på träddiagrammet ovan och plockar bort kombinationerna med samma smak. Slutligen har vi tre träddiagram på tavlan och vi kan använda dem som utgångspunkt för fortsatt resonemang. Träddiagram då ordningen mellan två smaker på en glass inte har någon betydelse. När vi jämför de båda sista träddiagrammen ser vi att antalet kombinationer har halverats, vilket kan beräknas (4 3) / 2 = 6. Resonemangen om de tre diagrammen bygger på fyra smaker och två glasskulor. Genom att variera antalet smaker och kulor görs övningen mer komplex och behovet av formler ökar. Det går även att resonera sig fram till lösningar på andra sätt än de som visas här. För den som vill fördjupa sig i glassproblematiken rekommenderas boken Rika matematiska problem. Kopieringsunderlag för att färglägga olika glasstrutar finns på Ice cream cones. Bestäm utifrån vilka förutsättningar kombinationer kan väljas. Gör en tabell och låt varje elev pricka för vilken glasskombination hen vill ha. Om vi tar det sista exemplet får vi följande tabell: smakkombination avprickning frekvens relativ frekvens apelsin + citron apelsin + päron apelsin + choklad citron + päron citron + choklad päron + choklad Nämnaren nr

6 Hur stor är sannolikheten för att välja apelsin + citron? Undersök hur många som valt denna kombination och jämföra detta med den teoretiska sannolikheten. Sammanfattning Denna artikeln speglar den typ av uppgifter du kan möta i läromedel för årskurs 4 6 inom området enkel kombinatorik i konkreta situationer. Men är det så enkelt? Beroende på vilken erfarenhet man har varierar naturligtvis svaret på den frågan. Det är en god idé att, med stöd av artikeln, gå igenom de uppgifter eleverna ska arbeta med för att förbereda sig på hur matematiken och olika lösningar kan diskuteras med eleverna. Många uppgifter kan med fördel kompletteras med laborativa material. Sist men inte minst: Ge eleverna utrymme att resonera om kombinatorik och olika lösningar på uppgifterna. Genom att argumentera för sina lösningar och bemöta andra elevers argument utvecklas elevernas förmågor. Litteratur Aquilonius, B. (2012). Konsten att simulera sannolikheter. Nämnaren 2012:4, Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem: inspiration till variation. Stockholm: Liber. Kiselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. NCM, Göteborgs universitet. Klefsjö, B. & Hellmer, S. (1991). Räkna med slumpen. Lund: Studentlitteratur. Länkar Bobby bear tillgänglig på illuminations.nctm.org/activitydetail.aspx?id=3 Combinations and permutations calculator tillgänglig på Kreativ matematik tillgänglig på Satsa rätt tillgänglig på ncm.gu.se/media/stravorna/1/d/1d1a_satsa_ratt.pdf Shorts and shirts samt Ice cream cones tillgängliga på illuminations.nctm.org/lessondetail.aspx?id=u75 Three ball line up tillgänglig på nrich.maths.org/ Nämnaren nr