Didaktiska perspektiv på matematikundervisning 2

Transkript

1 Didaktiska perspektiv på matematikundervisning 2 Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet. Välkommen till denna andra modul om möjligheter och utmaningar i matematikundervisningen i grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild utbildning för vuxna. Precis som i den första modulen består innehållet av didaktiska perspektiv och utvalda matematikområden från det centrala innehållet i kurs- och ämnesplanerna. Såväl struktur som innehåll är en direkt följd av den förra modulen. 1. Aritmetik och eget undervisningsmaterial 2. Hantera procedurer 3. Geometri och statistik 4. Matematiska samband och elevers dokumentation 5. Problemlösning 6. Bedömning 7. Fördjupning 8. Sammanfattning Modulen avser att ge ett vidgat underlag för att granska och problematisera den egna undervisningen och att fördjupa den kollegiala diskussionen om hur matematikundervisningen kan utvecklas. Syftet är också att täcka in fler matematikområden. Grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild undervisning för vuxna Precis som i Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 vänder sig modulen till lärare som undervisar matematik i grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild undervisning för vuxna. Som tidigare finns det också material riktat till grundsärskolans inriktning träningsskola och gymnasiesärskolans individuella program. Ansvariga för modulen Nationellt centrum för matematikutbildning Revision: 2 Datum:

2 Del 5. Problemlösning Denna del handlar om problemlösning. Enligt styrdokumenten är det både en förmåga och ett centralt innehåll, vilket medför att undervisningen måste ta upp det ur båda perspektiven. Lektionsaktiviteten har ett par olika fokus på problemlösning. Syftet med Del 5 är att du ska reflektera över hur problemlösning kan vara både mål och medel för att utveckla elevernas matematikkunnande. Revision: 2 Datum:

3 Del 5: Moment A individuell förberedelse Läs Texten Problemlösning i matematik behandlar vad ett problem är och vikten av att arbeta med problemlösning. I Lektionsaktivitet: Vi har ett problem finns förslag på problem för dramatisering, gemensam problemlösning och öppna problem. För träningsskolan och individuella programmet finns även i denna del en riktad lektionsaktivitet. Anteckna likheter och skillnader med den problemlösning i matematik som ni redan arbetar med. Material Revision: 2 Datum:

4 Material Problemlösning i matematik Å. Hansson Lektionsaktivitet: Vi har ett problem B. Bergius och L. Trygg Problemlösning Träningsskola och individuellt program B. Bergius och L. Tryg Lektionsaktivitet Del 5 6 B. Bergius och L. Trygg Revision: 2 Datum:

5 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 5: Problemlösning Problemlösning i matematik Åse Hansson, Göteborgs universitet Det är viktigt att elever i undervisningen får chans att utveckla sin förståelse av matematiska begrepp, att de får tilltro till sin förmåga att handskas med olika problem, att de ges möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga och att de stimuleras till nyfikenhet att söka ny kunskap. I grundsärskolans kursplan för matematik upptas problemlösning både som ett centralt innehåll och som en matematisk förmåga. För att eleverna ska få förutsättningar att utveckla sin förmåga att lösa matematiska problem, behöver undervisningen belysa matematikens användning i vardagen och ge eleverna möjlighet att öka tilltron till sin egen förmåga att använda matematik i olika sammanhang. Eleverna ska därför ges förutsättningar att utveckla kunskaper kring strategier för matematisk problemlösning i vardagliga situationer. I gymnasiesärskolans ämnesplan kan man läsa att undervisningen ska behandla hur matematiska modeller kan användas som verktyg när man löser problem i vardags- och yrkeslivet. Undervisningen ska också ta upp hur man identifierar ett matematiskt problem och olika metoder och verktyg för att lösa det. Eleverna förväntas kunna välja strategier och metoder, själva eller i samverkan med läraren. Inom det matematikdidaktiska fältet lyfts skilda avsikter och förtjänster med problemlösning i matematikundervisningen fram. Det kan vara ett medel för att lära nya matematiska begrepp och färdigheter menar matematikdidaktikerna Thomas Schroeder och Frank Lester. Göran Emanuelsson och hans kollegor skriver att problemlösning också kan var ett medel för att utveckla och tillämpa andra matematiska kompetenser och att det kan användas för att relatera den abstrakta matematiken till elevens vardagserfarenheter. Genom problemlösning kan elever engagera sig i mer kognitivt krävande uppgifter än vad de annars skulle ha gjort menar Magdalene Lampert. Vad är ett problem? Om en elev söker lösningen till en uppgift och till en början inte har en given metod att använda, och om uppgiften dessutom förutsätter eller stimulerar ett engagemang från elevens sida, då kan man kalla det för problemlösning, skriver Jan Wyndhamn och hans forskarkollegor. Med detta synsätt är inte det avgörande om en uppgift innehåller text eller ej. En uppgift med text kan mycket väl vara en rutinuppgift där metoderna är kända av eleven och likaså kan en naken uppgift, där endast matematiska symboler används, utgöra ett stort problem om inte eleven är bekant med det aktuella matematikområdet. Om eleven exempelvis inte tidigare har arbetat med innehållsdivision kan det vara ett problem att lösa uppgiften Hur många kan dela på tre pizzor om var och en ska få en halv pizza? och för andra elever kan det vara en enkel rutinuppgift. För elever som inte förstått likhetstecknets betydelse Problemlösning i matematik Juli (7)

6 kan det vara ett problem att lösa uppgiften x 2 = , medan andra elever hanterar det som en vanlig rutinuppgift. För vissa gymnasieelever kan det exempelvis vara ett problem att identifiera likheter mellan några olika tvådimensionella geometriska figurer, medan det för andra elever inte alls är ett problem. Gemensamt för problem är att eleverna uppmanas att ta reda på något utifrån givna omständigheter. Ibland finns alla omständigheter presenterade för eleverna, ibland ska de själva skapa vissa av dem. Det kan exempelvis handla om att tillfoga uppgifter som är utelämnade i texten, vilket man brukar kalla för mer eller mindre öppna problem. Om det finns flera tänkbara lösningar till ett problem betraktas det också som öppet. När vi fortsättningsvis talar om problem utgår vi ifrån definitionen ovan där det framhålls att uppgiften också ska stimulera ett engagemang från elevens sida för att kallas problem. När läraren utformar lärmiljön är det viktigt att tänka på vilken definition av problemlösning som ligger till grund för formulering av uppgifter, gruppsammansättningar, presentation av lösningar, återkoppling från och till eleverna etc. Hur kan vi arbeta med problemlösning? Lärarens roll vid problemlösning är att organisera, förbereda, stimulera och undervisa, men också att handleda eleverna i deras arbete med att lösa problemet. En sådan problemlösande kultur präglas av att aktiviteterna huvudsakligen liknar naturliga situationer där elever känner igen sig och vill lösa problemet. Detta stimulerar motivationen och förståelsen för hur kunskapen senare kan används utanför skolan. Eleverna ska kunna relatera till tidigare kunskaper och erfarenheter när de tolkar problemet. De ska också kunna samtala och diskutera med sina kamrater för att beskriva och förklara olika situationer. Problemet bör vara utformat så att det stimulerar användning av både vardagligt språk och ett mer utvecklat matematikspråk. Tidigare kunskaper och begreppsuppfattningar ska utmanas på ett stimulerande och engagerande sätt. Den franske professorn Guy Brousseau beskriver detta som att förutsättningarna för lärandet huvudsakligen ska likna naturliga situationer där eleverna ger sig hän åt problemlösning, inte i första hand för att lära sig matematik utan för att de faktiskt är intresserad av lösningen till problemet. I dessa problemlösningssituationer, där eleverna är motiverade och med intresse och engagemang söker efter lösningar, finns förutsättningar att skapa egen och djup förståelse för matematiken. Om i stället en lärare förmedlar samma matematikinnehåll riskerar kunskaperna att bli ytliga och svårare för eleven att använda i andra situationer. Lösningen på problemet formuleras i interaktion mellan lärare och elev. Brousseau trycker på hur viktigt det är att inte betrakta elevens eventuella felaktiga föreställningar som misslyckanden. Däremot är det viktigt att läraren upptäcker dem, annars kan de komma att fungera som hinder för fortsatt kunskapsutveckling. När läraren formulerar nya problem måste dessa ge upphov till nya utmaningar så att eleverna själva upptäcker att de felaktiga föreställningarna inte längre håller. Läraren har alltså ett ansvar för att anpassa problemen till elevens förutsättningar. Problemlösning i matematik Juli (7)

7 Problemlösning kan ha olika syften och funktioner och det är viktigt att läraren är klar över vad som ligger till grund för de aktiviteter som genomförs med eleverna. Om syftet är att undervisa om problemlösning fokuseras själva lösningsprocessen. I den klassiska boken Problemlösning en handbok i rationellt tänkande av matematikern George Pólya presenteras olika tumregler för hur man bör gå tillväga i en problemlösningsprocess. Eftersom matematik både har en logisk och en undersökande sida handlar det inte bara om att lägga upp en strikt plan för hur problemet ska lösas, det är också viktigt att gissa och spekulera. Först sätter sig eleven in i problemets villkor och frågeställning, gissar och undersöker, sedan gör eleven upp en plan och genomför den för att slutligen utvärdera sin lösning. Pólyas numera klassiska problemlösningsmodellen består av fyra steg: Förståelse. Vad innebär uppgiften? Är alla ord och begrepp förståeliga? Hur kan frågan omformuleras med egna ord? Vad efterfrågas? Vilka förutsättningar gäller? Finns illustrationer och varför finns de i så fall med? Finns överflödig information? Saknas några uppgifter? Plan. Liknar uppgiften något tidigare problem? Vilka delfrågor kan ställas? Vilken fråga bör ställas först? I vilken ordning bör övriga frågor ställas? Vilka lösningsstrategier är tänkbara? Finns det fler möjligheter? Välj lämplig strategi, t ex att gissa och prova, söka efter mönster, dramatisera, rita en figur, förenkla problemet, skriva en ekvation, göra en modell, göra en tabell, arbeta baklänges, prova alla möjligheter. Utförande. Följ planen! Kontrollera varje steg. Återkoppling. Kan resultatet kontrolleras? Är resultatet rimligt? Finns andra sätt att få fram lösningen? Finns det fler lösningar? Vilka? Gäller alltid resultatet? Vad händer om villkor ändras? Vilka rimliga generaliseringar kan göras? Analysera lösningsstrategin. Fördelar? Nackdelar? Vad är kärnan i problemet? Pólyas modell har efter hand vidareutvecklats. När det gäller planering och vilken strategi som ska väljas för att lösa det aktuella problemet kan listan kompletteras med ytterligare alternativ, som att göra listor och diagram, att arbeta med laborativa material och att sova på saken. Ibland kan det helt enkelt vara bra att lägga problemet åt sidan, ägna sig åt andra verksamheter ett tag och fortsätta vid ett senare tillfälle. Inte sällan kan en idé om lösning dyka upp när man minst anar det. Om, för och genom problemlösning När man undervisar om problemlösning får eleven tillgång till en tydlig arbetsgång, och ramar att själv tänka och göra självvärderingar inom. Däremot uppstår det inte lika stora möjligheter för eleven att själv skapa och vara kreativ eftersom eleven är styrd av en struktur och fastställda strategier. Syftet kan istället vara att undervisa för problemlösning och då fokuseras begrepp och färdigheter, inte processer. Undervisningen kommer då att präglas av lärarens förklaringar av olika begrepp samt av färdighetsträning. Eleverna ska bli rustade för att senare kunna använda problemlösning i olika sammanhang. En sådan lärmiljö begränsar elevernas möjlig- Problemlösning i matematik Juli (7)

8 heter att utveckla problemlösningsförmågan och att själva vara kreativa och få tilltro till sin förmåga. Till sist kan syfte och funktion vara att undervisa genom problemlösning. Då utvecklas ny begreppsförståelse och nya färdigheter parallellt med att eleven utvecklar sin problemlösningsförmåga. Detta förbereder eleven för att vara självständig, för att själv skapa nytt kunnande och få tilltro till sin förmåga. Läraren kan uppleva det som krävande att förbereda den här typen av aktiviteter eftersom det behövs väl anpassade problemuppgifter och läraren själv behöver ha goda kunskaper inom matematikdidaktik. Genom ett väl utvecklat samarbete mellan lärare kan planeringsarbetet underlättas. Att dramatisera problem Ett problem som eleverna kan dramatisera passar ofta som en introduktion till ett arbetsområde eller ett specifikt matematikinnehåll. Det kan vara ett naturligt sätt att problematisera och göra eleverna nyfikna på vad som ska komma i undervisningen. Dramatiseringen kan öppna för nya frågeställningar. Vad händer om vi gör si eller så istället? Varför blev det så här? Vid val och eventuell justering av ett problem tas hänsyn till elevgruppens förutsättningar. Finns det tillräckligt många elever? Behöver någon elev särskilt (fysiskt) stöd? De elever som inte deltar aktivt i dramatiseringen kan agera publik. Många gånger kan det vara de som ser lösningen eftersom deltagarna kan bli lite för upptagna med sin pågående roll. Fundera på hur dramatiseringen sedan kan representeras i mindre format. Går det att i nästa steg byta personerna mot något material? Hur ska eleverna dokumentera? Gemensamt eller enskilt? Både och? Vilket blir nästa steg? Hur långt i abstraktion går det att dra problemet? Vad är möjligt för den enskilde eleven att erfara, uppfatta eller förstå? Gemensam problemlösning Ett problem presenteras på fyra kort, vilket gör att det passar bra med fyra elever i varje grupp. Det är möjligt att vara två eller tre också. Ta fram det material som behövs enligt korten. Det är vanligt med plockmaterial som stickor, kuber och sifferkort. På varje kort står en eller flera ledtrådar till det gemensamma problemet som ska lösas. Varje elev får minst ett kort. Nu kommer det viktigaste! Eleven får inte visa vad det står på sitt/sina kort för kamraterna. Om de gör det är det vanligt att en elev tar över och ensam löser problemet. Däremot är det tillåtet att läsa upp eller berätta om ledtråden, och kamraterna får gärna fråga varandra vad det står på de andras kort hur många gånger som helst. Gör följande till en vana: När eleverna tycker att de har löst problemet läser de igenom ett kort i taget och ser efter att allt verkligen stämmer. Problemlösning i matematik Juli (7)

9 För att ytterligare öka kommunikationen mellan elever kan de arbeta i par. Det kan exempelvis vara bra att sätta olika goda läsare tillsammans. Detta slag av gemensam problemlösning går att finna i en del lärarhandledningar och särskilda böcker. Ett stort antal lärare känner igen och uppskattar två häften med titeln Gemensam problemlösning av Tim Erickson. Häftena är slut på förlaget, så var rädda om dem ni eventuellt har. Att arbeta med öppna problem Ovan har vi definierat problem som en uppgift där eleven till en början inte har en given metod att använda, och att uppgiften förutsätter eller stimulerar ett engagemang från elevens sida. Om eleven själv behöver tillfoga utelämnade uppgifter kallas problemet för öppet, likaså om det finns flera tänkbara lösningar. Genom att utelämna uppgifter stimuleras eleverna till både reflektion och kommunikation. Öppna problem löses därför helst i grupp och inte enskilt. Det kan krävas både kreativitet och engagemang för att tillfoga de nödvändiga uppgifterna, och elevernas olika erfarenheter och intressen kan bli viktiga inslag i detta arbete. Genom att låta problemen ha flera tänkbara lösningar kan man komma ifrån elevernas fokusering på det rätta svaret och i stället kan lösningsprocessen komma i första rummet. Förmågan att resonera blir också mycket central i arbete med öppna problem. Eftersom det inte finns något rätt svar behöver eleverna både förklara och motivera sina lösningar för att få bekräftat om de lyckats lösa problemet eller inte. Genom att arbeta med öppna problem ökar därför förutsättningarna för kommunikation och interaktion och motiverande uppgifter. Utöver problemlösningsförmågan ökar också förutsättningarna att utveckla övriga förmågor, framför allt resonemangsförmågan. Exempel på ett öppet problem är: Räcker din månadspeng för att betala ett årskort på gymmet? Eftersom föräldrarna många gånger är en viktig resurs för elevernas kunskapsutveckling är det bra om de blir förtrogna med innebörden i öppna problem. Själva kanske de endast har erfarenhet av traditionella matematikuppgifter med rätt och fel. Låt därför gärna föräldrar få bekanta sig med denna typ av uppgifter, varför inte på ett föräldramöte? Något annat att vara vaksam inför är att eleverna måste få erfara att alla uppgifter och problem de ställs inför inte är öppna, alla resultat kan inte legitimeras med att det beror på. Forskaren Per-Olof Bentley menar i sin analys av svenska elevers taluppfattning och aritmetiska kunnande i TIMSS 2007 att elever kan ha många olika beräkningsstrategier men inte tillräckliga erfarenheter eller kunnande om när och hur de ska tillämpas. Risken är att elever kommer fram till olika resultat och ser det som naturligt, eftersom det beror på vilken strategi som används. För att diskutera rimligheten i ett resultat, särskilt om det inte finns ett facit där det kan kontrolleras, är det speciellt för gymnasiesärskoleelever och vuxna i särskild utbildning lämpligt att arbeta med öppna problemen som är relaterade till yrkeslivet, eller praktik de är bekanta med. Hur löser elever problem? I kommentarmaterialet till grundsärskolans läroplan framhålls att det är av stor vikt att eleverna får möjligheter att utveckla förmågan att lösa sådana problem som de kan stöta på i sin vardag. De ska också få chans att utveckla ett kritiskt förhållningssätt till egna och and- Problemlösning i matematik Juli (7)

10 ras lösningar. Utöver detta ska eleverna också lära sig att söka information på olika sätt och utveckla sin språkförmåga. Skolan ska uppmuntra eleverna att arbeta på ett undersökande och problemlösande sätt. Detta kan exempelvis innebära, skriver man, att utforska frågeställningar utan givna lösningar. Sammantaget är dessa kommentarer helt i linje med vad som diskuteras ovan. Om man undervisar genom problemlösning kan det givetvis även finnas inslag av både om och för problemlösning. Den uppgift som introduceras för eleven kan kräva utforskning, tankeverksamhet, kreativitet och resonemang samt en diskussion om olika matematiska begrepp. Ingenting hindrar att läraren samtidigt förklarar olika begrepp och metoder för eleven och belyser viktiga strategier. Detta är betydelsefulla verktyg som eleven behöver använda i sin kreativa process. För att skapa och diskutera sina idéer krävs det att eleverna har gott om tid och därför är tid en viktig faktor för att problemlösningen ska bli lyckad. Pólya betonar att det inte räcker att lära sig tumreglerna för hur en lösningsprocess ska genomföras, de måste också praktiseras och han menar att det gäller för både elever och lärare. Elevens kreativitet får inte kvävas av regler och rutiner för då har beredskapen att lösa problem i vardagssituationer beskurits. Därför är det viktigt att undervisningen inte bara präglas av om och för, utan även av genom problemlösning. Vilka kunskaper och förmågor utvecklas? Om eleven får lära matematik genom problemlösning, och dessutom samtala om problemen och lösningarna med både lärare och kamrater, kommer de att ha goda förutsättningar att utveckla både kunskaper och olika förmågor i matematik. Att lära matematik genom problemlösning innebär att fokus riktas mot processer i stället för resultat. Det handlar inte om att vara snabbast och smartast, det handlar om att få tilltro till sin förmåga att lösa problem genom att analysera, förstå och vara kreativ. Det handlar om att argumentera, diskutera och tolka både sina egna och kamraters strategier, metoder och förslag till lösningar. Eleverna får därigenom en beredskap att kunna använda matematik i olika vardagssituationer. I matematikundervisningens styrdokument betonas förutom problemlösning även andra förmågor som eleverna ska ha möjlighet att utveckla. Om läraren undervisar genom problemlösning får eleverna tillfälle att utveckla de flesta av dessa förmågor. Att använda matematiska metoder är ett självklart inslag i problemlösning liksom att reflektera över rimlighet. Förmågan att använda ämnesspecifika ord, begrepp och symboler kan bli central i problemlösning om undervisningen präglas av kommunikation, väl avvägda uppgifter och av aktiv stöttning från lärarens sida. Även lärare behöver utveckla sin problemlösningsförmåga, helst i dialog med kollegor. Det är också viktigt att bli medveten om hur strategier och matematiskt innehåll kan relateras till olika elevers erfarenheter och potentialer. Genom det kollegiala lärandet kan denna kompetens utvecklas och göra lärare bättre rustade att möta olika elevers olika behov av stöttning. Problemlösning i matematik Juli (7)

11 Litteratur och referenser Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics / by Brousseau; edited and translated by N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland & V. Warfield. Dordrecht; London: KLUWER Academic Publishers. Emanuelsson, G., Johansson, B. & Ryding, R. (1991). Problemlösning. Lund: Studentlitteratur. Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem: Inspiration till variation. Stockholm: Liber. Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer: Mathematical knowing and teaching. American Educational Research Journal, 27(1), Polya, G. (2003). Problemlösning: en handbok i rationellt tänkande. (Print-on-demand). Stockholm: epan. Schroeder, T. L., & Lester, F. K. (1989). Developing understanding in mathematics via problem solving. In P.R. Trafton (red). New directions for Elementary School Mathematics, 1989 Yearbook of the NCTM (s 31 42). Reston, VA: NCTM. Wyndhamn, J, Riesbeck, E. & Schoultz, J. (2000). Problemlösning som metafor och praktik. Institutionen för tillämpad lärarkunskap, Linköpings universitet. Problemlösning i matematik Juli (7)

12 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 5: Problemlösning Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Syfte Denna aktivitet handlar om att ge elever erfarenheter av problemlösning. Syftet med ett enskilt problem kan vara att lyfta fram en problemlösningsstrategi, en viss problemtyp eller ett specifikt matematikinnehåll. En klok problemlösningsstrategi är ofta att arbeta tillsammans med andra. Många Nobelpristagare är utmärkta förebilder! Material Material anpassas till valda problem. Beskrivning De problem som har valts ut och presenteras här har olika fokus, vilka beskrivs i Problemlösning i matematik, Moment A. Problem för dramatisering De problem för dramatisering som presenteras här är hämtade från Kängurun Matematikens hopp. Kängurutävlingen genomförs i mars varje år och syftet är att skapa intresse för matematik med hjälp av intressanta problem. Kängurun består av flera tävlingsklasser, från förskoleklass upp till senare del av gymnasiet. Tävlingsklassen Milou är bland annat anpassad efter att det finns elever som inte kan läsa. Texterna är därför mycket kortfattade så att läraren vid behov kan läsa högt och läsa flera gånger. Några kommentarer kring problemen och förslag på fortsatt arbete finns under varje problem och fler förslag finns på Kängurutävlingens webbsidor. För att underlätta vid sökning har årtalet lagts till vid problemets nummer. Gemensam problemlösning Lektionsaktivitetens båda uppsättningar med kort för gemensam problemlösning har lite olika karaktär. Problemet Djur på rad förutsätter att det finns djur att plocka med, men det behöver inte vara exakt som på fotot. Så som problemet är konstruerat blir det inget entydigt svar i förhållande till de djur som finns på bilden. Vi kan inte veta vilket av de röda djuren som står som tvåa respektive fyra, vi kan inte heller veta om hästen som står sist är grön eller orange eller kanske rent av är ett blått föl. Det ger tillfälle att problematisera de lösningar som eleverna finner. Kan det finnas fler sätt att lösa problemet på? Hur i så fall? Problemet Vilket tal är jag? har däremot bara ett korrekt svar. Eleverna bör ha tillgång till något plockmaterial. Det behöver inte vara kuber som på bilden, men ett material där alla delar ser lika ut (t ex markörer, stenar, bönor, dekorationsstenar) så att eleverna inte behöver lägga energi på att urskilja färg eller form. På varje kort finns ord som kan behöva förklaras och diskuteras: större än, mindre än, delbart och udda. Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

13 Öppna problem Här i lektionsaktiviteten ges förslag på två sorters öppna problem. Det ena förslaget bygger på Dagens tal som är en undervisningsaktivitet många känner igen och använder. Den andra sortens problem konstrueras genom att starta med facit i en lärobok och sedan formulera problemen utifrån svaren. Introduktion En bra öppningsreplik är Vi har ett problem. Det gemensamma tilltalet är viktigt och signalerar att nu ska vi hjälpas åt. Det handlar inte om att bli först färdig utan att tillsammans ta sig an en utmaning. Processen står i fokus, inte svaret. Och det får ta den tid det tar. Till varje enskilt problem behövs en instruktion så att alla förstår vad som ska hända, och kanske finns det material att dela ut eller roller att fördela. Elevers dokumentation Det är inte nödvändigt att alltid låta eleverna dokumentera allt de gör. Ibland kan glädjen över att ha löst ett problem vara tillräckligt för att det ska bli ett bestående minne. Dramatiseringen och agerandet kan bli en minneskrok för eleverna som läraren kan återkoppla till: Kommer ni ihåg när vi? Vad hände då? En dramatiserad problemlösning kan bli en liten film. När problemet är löst och genomarbetat spelas en redovisning med lösning eller lösningar in. Det är kul att titta på en sådan film, men framförallt är det bra repetition. Beroende på problemets innehåll finns det många sätt att dokumentera. Tänk igenom sekvensen konkret halvkonkret halvabstrakt abstrakt. Hur långt kan enskilda elever komma? Vad ska dokumenteras gemensamt? Vad gör eleverna på egen hand? Variation och progression Problemlösning i matematik är ett område som är välförsett med material, några exempel: I Matematiklyftet finns problemlösningsmoduler från åk 1 3 upp till och med gymnasiet. I Nämnaren finns i varje nummer en problemavdelning. Alla problem med lösningar och kommentarer finns tillgängliga på Nämnaren på nätet. Bland alla böcker som finns om problemlösning är en av de mer använda Rika matematiska problem av Kerstin Hagland, Rolf Hedrén och Eva Taflin. Problemen i boken har bland annat den egenskapen att de kan börja användas redan med de yngsta eleverna och utvecklas och fördjupas upp på högskolenivå. Med andra ord en källa för att finna problem som kan passa flertalet elever. I denna dels fördjupning finns ytterligare förslag på problemsamlingar. Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

14 2010:4 Halsdukar och mössor Dramatisera: Använd två olika mössor och två olika halsdukar. Låt eleverna prova sig fram hur de kan kombineras. Kan eleverna hitta något system för att se om de har upptäckt alla kombinationer? Kan de motivera varför det inte går att kombinera på fler sätt? Kommentar: [4] Här kan den randiga mössan kombineras med antingen en randig eller en grå halsduk, dvs två olika lösningar. Med den grå mössan finns motsvarande möjligheter. Totalt finns fyra lösningar. Diskutera med eleverna om hur de kan dokumentera sina lösningar. Här kan de visa olika abstraktionsnivåer, från det konkreta att laborera med mössor och halsdukar till att gradvis övergå till bilder och tabeller: Ersätt plaggen med plockmaterial, t ex markörer. Visa med bilder vilket plagg en markör representerar. Lägg markörerna så det blir tydligt att alla kombinationer har kommit med. Två olika sätt att visa de möjliga kombinationerna. Röd och lila markör representerar mössor, blå och grön markör representerar halsdukar. Använd Hur många sätt? (2011:5) för att utmana med ett problem som har samma lösning som ovan men där det blir krångligt att börja med att klä på sig plaggen. Här är det enklare att gå direkt till bilder och sedan plockmaterial. Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

15 2012:12 Hänga tvätt Dramatisera: Spänn upp ett klädstreck och häng upp handdukar. Låt en elev åt gången vara pappa och hänga upp olika antal handdukar. Bokför tydligt så alla kan se hur många klädnypor som används till varje antal handdukar. Kommentar: [10] När eleverna har hängt klart, resonera om hur man kan tänka när man vill ta reda på antalet klädnypor när man vet hur många handdukar som ska hängas. Hur blir det om strecken inte är tillräckligt långa så tvätten måste hängas på två streck? Vad händer om det är stora handdukar (eller lakan) som måste ha en klädnypa på mitten också? Häng andra plagg, t ex byxor och strumpor. Hur många klädnypor behövs för byxor? För strumpor? Gör bilder av klädstreck där upphängningen följer ett mönster (färg, plagg, storlek, etc). Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

16 2011:6 Var är Kängu? Dramatisera: Använd en tallinje på golvet som eleverna kan gå och hoppa på. Gör gärna linjen fast men ha lösa talkort så att talområdet enkelt kan varieras. Använd elevers namn och låt alla hoppa eller agera på möjligt sätt. Låt två elever starta från olika positioner och efterfråga om och var de möts efter ett visst antal hopp. Kommentar: [9] Tallinjen kan fungera som ett redskap för att t ex undersöka och storleksordna tal, öva stegräkning och utveckla räknestrategier. Använd tio (tjugo) kartongark i två färger, fem alternativt tio av varje färg, för att skapa en talrad som synliggör femstrukturen. Arken ska vara tillräckligt stora för att eleverna ska kunna gå på dem. Tejpa fast dem på golvet. Observera att arken inte ska ha några talsymboler, då undviker vi att eleverna bara läser av siffrorna när de arbetar med talen. Låt eleverna gå på talraden och räkna högt, uppåt och nedåt. Det är svårare med nedåträkning, så vänta med det tills eleven är säker på uppåträkning. Använd alltid samma startpunkt. Uppmuntra eleverna att utnyttja femstrukturen i talraden. - Hur kan du utan att räkna från början hitta talet 7 (5 och 2), talet 8 (5 och 3), talet 10 (5 och 5) osv. - Uppmuntra eleverna att använda tiostrukturen på en talrad med 20 kartongark. Hur kan du utan att räkna från början hitta talet 11, 19, 15, 17, 12? - Gå på talraden och räkna högt på varje steg. Gå på talraden och räkna bara högt på varannat steg 1, 2, 3, 4, 5, och 1, 2, 3, 4, 5, Diskutera udda och jämna tal. Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

17 2013:10 Musen Maja Dramatisera: Gör på riktigt. Använd både elever och personal så förhållandena mellan flickor och pojkar stämmer. Övergå sedan till att ha namnade möss av något slag. Kommentar: [två bröder och fyra systrar] Diskutera vad det innebär att Maja har tre systrar. Hur många flickor finns det bland syskonen? Hur många bröder har Maja? Hur många bröder har hennes syster Kajsa? Vad vet vi om Långsvans? Hur många bröder finns det bland syskonen? Är Långsvans en av dem? osv. Hur är det i (musen) Stinas familj? Hon har fem bröder och två systrar. Hur många bröder har hennes bror Ulrik? (Musen) Putte har fem bröder och två systrar. Hur många systrar och bröder har hans syster Mimmi? Hur många syskon finns i familjen? Filippa har sju klasskamrater som är flickor (kvinnor). I samma klass går Olle. Han har sex klasskamrater som är pojkar (män). Hur många elever (studerande) finns det i klassen? Nu är mängden så stor att det troligen blir nödvändigt att gå över till markörer. Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

18 2010:6 Hur många hopp? Dramatisera: Låt eleverna vara kängurur. Låt tre flickor och tre pojkar vara kängurur, eller markera med exempelvis någon huvudbonad vilka elever som hör till den vänstra respektive högra gruppen. Först kan de bara göra, dvs se till att alla kommer förbi varandra utan att räkna antalet hopp. Sedan kan någon form av bokföring läggas till. Exempelvis kan en åskådare lägga en kula/ställa en penna i en burk för varje hopp. Räkna sedan antalet gemensamt. Kommentar: [9] Blir det lika många hopp hur djuren än hoppar? Pröva med att alla på vänstersidan hoppar först eller alla på högersidan. Jämför med om de turas om med en från varje sida. Hur blir det om antalet kängurur minskar eller ökar i en eller båda grupperna? Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

19 Djur på rad Några djur väntar på att få komma in i hagen. Hur ser kön ut? Några djur väntar på att få komma in i hagen. Hur ser kön ut? Hästen som står först är gul. Två djur är röda. Några djur väntar på att få komma in i hagen. Hur ser kön ut? Några djur väntar på att få komma in i hagen. Hur ser kön ut? I mitten står en kalv. Längst bak står en häst. Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

20 Vilket tal är jag? Jag är större än 3. Jag är ett udda tal. Vilket tal är jag? Vilket tal är jag? Jag är delbart med 3. Jag är mindre än 13. Vilket tal är jag? Vilket tal är jag? Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

21 Öppna problem Dagens tal Det kanske vanligaste öppna problemet som används i matematikundervisning är olika varianter av Dagens tal. Eleverna får ett givet tal och ska ge exempel på hur en räkneoperation som leder till dagens tal kan se ut. Variationerna är snudd på oändliga: hur dagens tal väljs, vilka räkneoperationer som ska användas eller inte, om uppgifterna ska skrivas enligt en särskild förlaga, vilket talområde som är aktuellt, hur många exempel eleverna ska ge eller hur lång tid uppgiften ska hålla på, Eleverna kan arbeta enskilt och sedan sammanställa förslagen gemensamt, eller kan eleverna arbeta i par och skriva långa kedjor: 5 = = = 6 1 = 1 5 = 15/3 = 25 = 2,5 + 2,5 = = 5000/1000 = En stor fördel med detta problem är att alla kan delta på sin nivå. I artikeln Skillnaden är två beskriver matematikdidaktikerna Anne Watson och John Mason hur fantastiskt långt man kan komma bara genom att jobba med en så pass enkel differens som två. Det som först kan tyckas vara en för de flesta ganska trivial uppgift visar sig ha bärighet både långt upp på gymnasienivå och för såväl lärarstuderande som kompetensutveckling för lärare. Svar från facit Följande svar är plockade från facit i en matematiklärobok: 6 kg, 10 m, 8 grader, 50 %, 9 m, 475 kr, 40. Uppgifterna skulle kunna lyda: (6 kg). Joan och Elisabet ska köpa frukt till en gårdsfest. De pratar med Fredrik i fruktaffären och han säger att det behövs nog 6 kg frukt om det ska räcka till alla. Vilka sorters frukter köper Joan och Elisabet? Hur mycket köper de av varje sort? (10 m). Bosse och Kajsa ska köpa bräder till kanten runt sandlådan. Pengarna räcker till 10 m brädor. Hur kan sandlådan se ut? Hur många kanter kan den ha? (8 grader). Mormor som bor i Malmö och hennes syster Alma som bor i Kiruna diskuterade vädret. De kom fram till att det var 8 grader varmare i Malmö än i Kiruna. Hur varmt var det i Malmö? Hur varmt var det i Kiruna? (50 %). Hjalmar har köpt en varm, skön tröja på rean. Det var rea! 50 % på alla tröjor! Hur mycket fick Hjalmar betala för tröjan? Vad hade den kostat om det inte hade varit rea? (9 m). Klassen hade på ett par olika sätt uppskattat hur hög en lyktstolpe på skolgården var. De enades om att den var ungefär 9 m. Hur hög skulle den kunna vara om man kunde mäta exakt? (475 kr). Eskil var med pappa och handlade presenter till mamma och Anja. Vad köpte de? Vad kostade de olika sakerna? (40). Ett tal är avrundat till 40. Vilket skulle talet kunna vara? Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

22 Litteratur och referenser Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem inspiration till variation. Stockholm: Liber. Mason, J. & Watson, A. (2002). Skillnaden är två. Nämnaren 2002:4. Länkar Kängurutävlingen ncm.gu.se/kangaru Nämnarens Problemavdelning ncm.gu.se/arkivn Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Juli (11)

23 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 5: Problemlösning Problemlösning Träningsskola och individuellt program Berit Bergius & Lena Trygg, NCM I det dagliga livet möter vi problem av olika slag. För att komma vidare i olika situationer måste problemet hanteras och i många fall också lösas direkt. Vad gör man t ex när alla dricksglas är smutsiga när bordet ska dukas till middag eller om mjölken är slut när det är dags för frukost? Problem i matematiskt hänseende har delvis en annan innebörd. Det handlar om besvara en matematisk fråga men att inte på förhand veta hur man ska få fram svaret. För att hitta en lösning krävs att man undersöker och prövar sig fram. I ämnesområdet Verklighetsuppfattning beskrivs att eleverna stimuleras till en utforskande hållning och till att kunna använda sina kunskaper i olika situationer. De ska få möjlighet att se konsekvenser av eget och andras handlande samt uppfatta samband mellan orsak och verkan. Detta kan tillämpas på matematisk problemlösning med olika innehåll, t ex kvantitet och kvalitet. Ämnesområdet Natur och miljö beskriver att undervisningen ska ge eleverna möjlighet att utveckla förmåga att lösa matematiska problem i vardagen. Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmåga att undersöka och tolka bland annat sin omvärld. Problemen kan exempelvis ta utgångspunkt i de fyra räknesätten, mätningar, jämförelser och uppskattningar. Lektionsaktivitet: Vi löser problem Syfte Aktiviteten avser att ge elever erfarenheter av att lösa matematiska problem genom att undersöka och pröva sig fram. En klok problemlösningsstrategi är ofta att arbeta tillsammans med andra. Många Nobelpristagare är utmärkta förebilder! Exemplen tar upp följande innehåll: antal: ingen en; en många; flest storlek: störst minst; längst kortast form: rund kantig tid och rum: närmast längst bort; längst tid kortast tid; längre än kortare än; längst kortast; större än mindre än; störst minst. Problemlösning Träningsskola och individuellt program September (8)

24 Material Burkar med lock, tygpåsar, lagom stora stenar, snäckor, träkulor, flirtkulor i olika storlekar, kort med ansikten respektive former, tärningar av olika slag, Kopieringsunderlag som det hänvisas till finns på ncm.gu.se/matematikpapper. Se mer detaljerat i varje delaktivitet. Beskrivning Gå in i aktiviteten där det passar eleverna. Anpassa materialet. Aktiviteten är uppdelad i kategorierna antal, storlek, form samt tid och rum. Antal Kalle och Fredrik har var sin burk. (Lägg fram två burkar med lock. I en burk ligger en sten.) Det skramlar när man skakar min burk, säger Kalle. När man skakar min burk hörs ingenting, säger Fredrik. Vilken burk är Kalles? Samtala om hur problemet kan lösas. Räcker det att skaka en burk? Hanna och Julia har samlat snäckor på stranden. (Ta fram två påsar. I en ligger det en snäcka, i den andra många.) Jag hittade många, säger Julia. Jag hittade en, säger Hanna. Vilken påse är Julias? Samtala om hur problemet kan lösas. Vilka förslag har eleverna? Låt dem pröva. Räcker det att titta i en påse? Lägg fram två respektive tre likadana saker i var sin hög. Den ena mängden är Amandas. Den andra tillhör Lova. Samtala om vem som har flest saker. Jämför genom att parordna sakerna. Lägg fram två saker som är mjuka och en som är hård. Låt eleverna titta och känna på föremålen. Samtala om hur de skiljer sig åt. Vilka hör ihop? Gruppera föremålen gemensamt. Vad är det flest av? Sara tar fram tuschpennor/kritor/knappar/muggar. De är röda, blå, gröna, vita och svarta. (Lägg fram minst tre av en färg och en av övriga färger i en hög.) Jag undrar, säger Sara, om det är lika många av varje färg Lyssna in hur eleverna uttrycker resultatet. Vilka begrepp använder de? De här muggarna hade Maja i skåpet. (Ställ fram röda, gula, blå och gröna muggar, lika många (1 3) av varje.) Är det lika många av varje färg? Anton ska göra en klädhängare till kapprummet. Alla i familjen ska få var sin krok. Det här är Antons familj och här är krokarna som Anton har. (Lägg fram bilder på lämpligt antal familjemedlemmar samt riktiga krokar i samma antal eller färre. Variera antalet krokar.) Räcker krokarna? Vad kommer eleverna fram till? Hur uttrycker de resultatet? Vilka begrepp och matematikord använder de? Vilka ytterligare ord och begrepp behöver undervisningen lyfta fram? Vilken familj är störst? Ta fram bildkort på två familjer. (Kopieringsunderlag finns.) En familj består exempelvis av två personer, en vuxen och ett barn, och den andra av ett annat antal personer, t ex två vuxna och två barn. Samtala om ifall familjernas antal är lika eller olika. Vilken familj är störst/minst? Problemlösning Träningsskola och individuellt program September (8)

25 Kan eleverna komma med förslag på hur de ska ta reda på det och pröva sin idé? Led in elevernas tankar på att lägga bilderna på ena familjens medlemmar på rad och sedan placera bilderna på den andra familjen under. Vilken rad är längst? Varför? Använd ord som fler/färre; störst/minst antal. Variera storlek på familjer. Ge eleverna erfarenheter av lika antal, men på olika sätt, t ex två vuxna och två barn; en vuxen och tre barn. Jämför om möjligt också tre familjer. Storlek (störst minst; längst kortast) Vilken kula är störst? (Förbered tre burkar med en kula i varje, se fotot. Kulorna ska vara tydligt olika stora.) Ställ fram burkarna och låt om möjligt eleverna föreslå hur de ska gå tillväga och också pröva sin strategi. Fungerar den? Om inte, samtala om alternativ. Hur visar de sitt val? Kan de motivera det? Hur? Ställ burken med kulan eleverna valt ut som störst åt sidan och låt dem gå vidare med att undersöka vilken av de återstående kulorna som är störst. Samtala om och ordna om möjligt kulorna i storleksordning, använd uttryck som störst minst; större än mindre än. Vilken kula/boll är minst? Förbered en tygpåse, tillräckligt stor att stoppa ner handen i, med 2 5 kulor/bollar i olika storlekar och olika färger. Låt eleverna känna utanpå påsen och samtala om att de ska ta reda på vilken kula/boll i den som är minst. Hur kan de göra? Vilka strategier är tänkbara och rimliga? Låt en elev i taget undersöka och ta upp den kula/boll de väljer. Lägg fram en markör i samma färg. Lägg tillbaka kulan/bollen och låt nästa elev göra sin undersökning. Bestämmer de sig för samma kula/boll? Samtala om hur man kan veta det. Visa på om färgen stämmer överens med markören. Om eleverna väljer olika kan det vara lämpligt att ta fram de aktuella kulorna/bollarna ur påsen och jämföra. Låt eleverna visa, och om möjligt uttrycka, vilken av de framtagna kulorna/bollarna som är minst. Fortsätt på samma sätt med resten av kulorna/bollarna i påsen. Låt eleverna dokumentera sina lösningar efterhand, t ex med hjälp av färgmarkörer. Stämmer deras lösningar? Om det är rimligt kan det vara lämpligt att ta fram alla kulor/bollar och kontrollera. Störst och minst. Klara har trätt sina pärlor på en tråd. (Lägg fram ett band med 3 5 runda kulor, i samma färg men med olika storlekar, ordnade efter storlek.) Klaras kompis Lisa tycker mest om den största pärlan. Vilken är det? Klaras favorit är den minsta. Vilken är det? Problemlösning Träningsskola och individuellt program September (8)

26 Resonera med eleverna om hur de kan göra för att lösa problemet. Låt dem pröva och om möjligt motivera sitt val. Vilket snöre är längst? Förbered två snören/band med tydligt olika längd, t ex 20 och 50 cm. Se till att snörena/banden inte är elastiska. Fäst en ände av varje band på samma kartongbit. Samtala om innebörden i begreppet längst och om hur eleverna kan gå tillväga. Låt dem om möjligt komma med förslag och pröva. Led in elevernas tankar på att sträcka ut snörena längs med varandra. Vilket är längst? Hur visar eleverna att de uppfattar vilket som är längst? Samtala om vad man kan säga om längden på det andra snöret. Variera aktiviteten med snören i andra längder och med fler än två. Fokusera också på begreppet kortast. Sortera efter längd. Lägg fram två (blom)pinnar med tydligt olika längd, t ex 10 och 50 cm. Förbered en bräda (pennställ/ljusstake/oasisblock) med lika djupa och lagom stora hål att sätta pinnarna i. Låt eleverna placera pinnarna i närliggande hål. Vilken är längst? Kortast? Hur visar eleverna att de förstår begreppen? Utöka antalet pinnar efterhand till exempelvis fem med längderna 10, 20, 30, 40 och 50 cm. Samtala om hur eleverna kan göra för att sortera efter längd. Låt dem komma med förslag och pröva. Samtala om olika strategier, t ex att jämföra en pinne i taget med övriga genom att placera dem intill varandra i brädan och flytta efterhand. Hur visar eleverna att de är nöjda med sorteringen? Stämmer den? Vilken information om elevernas kunnande ger underlag för fortsatt undervisning? Dra sticka. Förbered några olika långa stickor (blompinnar/grillpinnar) t ex 4, 6, 8 och 10 cm. Håll dem i handen så att de synliga ändarna är jäms med varandra. Den som drar den längsta stickan (eller den kortaste) ska få/får göra något attraktivt. Bestäm tillsammans vad det kan vara. Låt eleverna dra en sticka. Vem har den längsta? Samtala om hur de kan ta reda på det och låt eleverna pröva. Hur visar de att de vet vilken det är? Form Kortspelet Samma form, handlar om att känna igen och hitta en likadan form. Korten (finns som kopieringsunderlag) läggs framför elevgruppen med framsidan uppåt. Bestäm i gruppen vem som ska vända startkortet. På kortets baksida finns en bild på en form. Sök gemensamt upp det kort som visar samma bild och vänd det. Där finns en ny bild. Hitta den som är likadan. När gruppen är överens om att bilderna är lika, vänds det kortet. Fortsätt på samma sätt tills alla kort är vända. När sista kortet vänds syns en leende figur. Målet är nått. Samtala under spelets gång om formernas namn. Kortspelet Samma form och färg spelas på samma sätt som Samma form. Här uppmärksammas både form och färg. Problemlösning Träningsskola och individuellt program September (8)

27 I kortspelet Samma form, färg och antal ska också antalet former i en viss färg uppmärksammas. Antalet är begränsat till en och två. För elever som behöver taktilt stöd kan formens rand markeras med t ex snören. I stället för färg kan formerna ges olika struktur med exempelvis sandpapper, manchester, frotté eller wellpapp. Formspelet spelas i par. Spelplanen består av 4 10 rutor i rad. Rita bilder, eller sätt fast logiska block, på de former som är aktuella, t ex: Eleverna slår tärningen växelvis och flyttar sin spelmarkör efterhand som tärningen visar den form som nästa steg på spelplanen visar. Om spelplanen innehåller två eller tre former kan en sexsidig tärning användas där lika många av vardera form finns. Om spelplanen innehåller fyra former kan det vara lämpligt att använda en fyrsidig tärning, en tetraeder, där varje form finns på en tärningssida. En sådan tärning kan konstrueras av fyra liksidiga trianglar av t ex Polydron eller Clixi, där bitarna enkelt kan fogas samman. Märk sidorna på tetraedern med de fyra aktuella formerna. Alternativ är att skära ut fyra lika stora liksidiga trianglar, i kartong, märka sidorna och sätta ihop dem eller att använda kopieringsunderlaget för fyrsidig formtärning. Form från start till mål spelas i par eller mindre grupp. Spelplanen formas av ett band. I ändarna sitter kort med texten START respektive MÅL. Mellan dessa fästs ett antal former som utgör steg på väg mot målet, se skissen. För att fokusera helt på form bör alla ha samma färg. Använd t ex logiska block eller kort med bilder. Till spelet behövs en tärning med lika många av de former som spelplanen innehåller samt en markör till varje spelare. Markören flyttas framåt efterhand som tärning- Problemlösning Träningsskola och individuellt program September (8)

28 en visar den form som finns på nästa steg. Om två eller tre former används kan en sexsidig tärning, där sidorna är märkta med aktuella former, användas. Om fyra former används är en fyrsidig tärning, en tetraeder, lämplig, se ovan. Variera spelet genom att lägga ut bandet på olika sätt och genom att placera olika många former längs spelplanen. Alternativt kan stora former läggas ut i en bana på golvet. Tid och rum Låt eleverna i samtal ta ställning till olika frågeställningar och påståenden. Kanske tycker de olika. Kan det faktiskt vara olika? Vad kan det i så fall bero på? Undersök tillsammans de påståenden och frågor som det är lämpligt, möjligt och rimligt att undersöka konkret. Låt eleverna ge förslag på hur ni i så fall kan gå tillväga. Ge eleverna möjlighet att redovisa resultaten på för dem hanterbara sätt. Introducera nya eller aktivera tids- och rumsuttryck som eleverna har mött tidigare och låt om möjligt eleverna använda dessa i sina redovisningar. Förslag på påståenden och frågor: Tid Vad tar längst tid? Vad tar kortast tid? Rum Att åka till badhuset eller att åka hem? Att borsta tänderna eller att äta lunch? Att koka potatis eller att koka pasta? Att borsta (kamma) håret eller att borsta tänderna? Att gå till gymnastiksalen eller att gå till matsalen? Att se på nyheterna eller att se på en film? Att göra kaffe eller att diska? Att läsa en bok eller att lyssna på favoritlåten? Längre längst: Är påståendet riktigt? Målarpenseln är längre än sopborsten. Armen är längre än tummen. Vägen till gymnastiksalen är längre än till matsalen. Problemlösning Träningsskola och individuellt program September (8)

29 Vad är längst? Foten eller benet? Korridoren eller klassrummet? Hyllan i kapprummet eller fönsterbänken? Kortare kortast: Är påståendet riktigt? Vad är kortast? Närmast längst bort Vad ligger närmast? Vad ligger längst bort? Min säng är kortare än jag. Det är kortare väg matsalen än till biblioteket. Läraren är kortare än jag. Saxen eller gemet? TV-sladden eller sladden till datorn? Rasten eller lektionen? Mataffären eller gatuköket? Matsalen eller toaletten? Mataffären eller badhuset? Månen eller solen? Större än mindre än: Är påståendet riktigt? Störst minst Vad är störst? Vattenglaset är större än kaffemuggen. Kaffemuggen är större än kastrullen. Teskeden är mindre än matskeden. Grytan är mindre än vattenflaskan. Gymnastiksalen är mindre än matsalen. Skurhinken är större än blomvasen. Badhandduken eller handduken? Skåpsdörren eller ytterdörren? Bussen eller barnvagnen? Problemlösning Träningsskola och individuellt program September (8)

30 Vad är minst? Tågvagnen eller bilen? Datorn eller TV:n? Soffkudden eller sovkudden? Problemlösning Träningsskola och individuellt program September (8)

31 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 5: Problemlösning Lektionsaktivitet Del 5 6 Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Diskussionsfrågor Moment 5B Lektionsaktivitet: Vi har ett problem Ordet problem har en vardaglig betydelse som skiljer sig från det matematiska begreppet problem. Hur definierar ni ordet problem? När är det positivt? Negativt? Vilka samtal kan vara lämpliga att föra med eleverna om problem och problemlösning som förberedelse för kommande problemlösningsaktivitet? Hur kan eleverna göras medvetna om att problem i detta sammanhang ska ses som en utmaning och möjlighet och inte som något som är mer eller mindre omöjligt att förstå och lösa? Bestäm om ni vill arbeta med problem som dramatiseras, problem som är öppna eller problem som löses gemensamt. Motivera ert val. Utifrån den typ av problem ni väljer, vilka erfarenheter har eleverna? Vilka konsekvenser kan det medföra när ni förbereder aktiviteten? Problemlösning Träningsskola och individuellt program Ordet problem har en vardaglig betydelse som skiljer sig från det matematiska begreppet problem. Hur definierar ni själva ordet problem? När är det positivt? Negativt? Vilka samtal kan vara lämpliga att föra med eleverna om problem och problemlösning som förberedelse för kommande problemlösningsaktivitet? Välj mellan innehållen antal, storlek, form eller tid och rum. Finns det möjlighet att alla elever kan arbeta med samma innehåll? Är det en fördel att alla arbetar med samma innehåll eller kan det berika gruppen om olika innehåll tas upp? Lektionsaktivitet Del 5 6 September (2)

32 Diskussionsfrågor Moment 6D Utgå från det fokus på problemlösning som ni hade valt. Att dramatisera problem Såg ni (tecken på) andra lösningsstrategier? Följde ni i så fall upp dem? Hur? Gick det att engagera hela elevgruppen? Om nej, hade det behövts någon särskild förberedelse? Vilken? Är dramatisering en lösningsstrategi som ni vill fortsätta att utveckla? I så fall, hur? Gemensam problemlösning Lyckades eleverna få till ett gemensamt arbete runt problemet? Hur fungerade det att de skulle hålla reda på både sina egna kort och det gemensamma materialet? Vilka lösningsstrategier såg ni (tecken på)? Har ni fått idéer om vad nya uppsättningar med kort skulle kunna handla om? Är gemensam problemlösning något som ni vill fortsätta att utveckla? I så fall, hur? Att arbeta med öppna problem På vilket sätt var det valda problemet öppet? Är eleverna vana vid att problem inte alltid har ett rätt svar? Om inte, tyckte de det var konstigt att det gick att svara på olika sätt? Vilka lösningsstrategier såg ni (tecken på)? Blev problemet mer öppet än vad ni hade tänkt er, dvs att eleverna fantiserade och kom med förslag som ni inte var förberedda på? Kom eleverna med helt andra lösningar än de som ni hade förutsett? Om ni istället hade formulerat detta som ett slutet problem, vilket lärande hade ni då öppnat upp för eller hindrat? Är öppna problem något som ni vill fortsätta att utveckla? I så fall, hur? Aktivitet för träningsskola och individuellt program I vilken utsträckning kunde eleverna medverka i problemlösningen? Hur? Vilka problemlösningsstrategier kunde ni uppfatta att eleverna på något sätt gav uttryck för? Hur kan ni följa upp det? På vilka sätt går det att få med ännu mer vardagsanknytning i, med och om problemlösning? När är det lämpligt att lyfta den matematik som finns i vardagen? När är det lämpligt att använda vardagen som en kontext för matematisk problemlösning? Lektionsaktivitet Del 5 6 September (2)

33 Del 5: Moment B kollegialt arbete Diskutera de lästa texterna, välj och börja förbereda för en problemlösningsaktivitet. Diskutera Vad har ni uppmärksammat i texterna? Vilka likheter och skillnader såg ni? I texten om problemlösning beskrivs problem som dramatiseras, problem som är öppna och problem som löses gemensamt. Vilka erfarenheter har ni av de olika typerna av problemlösning? Är det någon som ni använder oftare/mer sällan? Behöver det göras någon förskjutning mellan dem? Hur ser era egna erfarenheter av problemlösning ut? Hur ser undervisningen om, med och i problemlösning ut? Vad vill ni utveckla? Är det något som hindrar er? Vad skulle behövas för att komma förbi hindret? Förbered en aktivitet Förbered som tidigare och ta hänsyn till era nya erfarenheter. I Lektionsaktivitet Del 5 6 finns fördjupande innehållsfrågor. Notera Bestäm vad ni tycker är angeläget att alla gör en notering om då eleverna förbereds för problemlösningsaktiviteten. Material Revision: 2 Datum:

34 Del 5: Moment C aktivitet Förbered eleverna och notera enligt era diskussioner i Moment B. Material Revision: 2 Datum:

35 Del 5: Moment D gemensam uppföljning Diskutera Utgå från era noteringar och diskutera det som är mest framträdande eller angeläget. Vilka reaktioner visade eleverna under förberedelsearbetet? Vad kan det vara tecken på? Vilka konsekvenser får det i den fortsatta planeringen? Hur utföll samtalet om problem och problemlösning? Hur kan det som framkom i samtalet påverka den fortsatta planeringen av problemlösningsaktiviteten? Stämde elevernas sätt att samtala om problem och problemlösning med era förväntningar? Framkom något oväntat? Vad kan det leda till nu? Sammanfatta Sammanfatta även denna del som tidigare. Material Revision: 2 Datum:

36 Fördjupning särskola Del 5. Fördjupning Att arbeta med öppna uppgifter är en text i modulen Samband och förändring, åk 4 6. Problemlösning ses som en kärnaktivitet i matematikundervisningen och skulle kunna motsvara den fria skrivningen i svenskundervisningen. Istället för att arbeta med problem och uppgifter med bara ett rätt svar diskuteras hur de istället kan öppnas upp. Det ges även exempel där slutna och öppna uppgifter jämförs. Dramatisering som problemlösningsstrategi är en Problemavdelning i Nämnaren och Problemlösning i kursen Kreativ matematik är en artikel där lärarutbildare beskriver hur studenterna får använda inspirerande problem vid en kursstart. Såväl problemen som sättet att arbeta med dem kan ge uppslag till undervisning på alla nivåer. Problemsamlingar En naturlig fördjupning i en moduldel om problemlösning är exempel på problemsamlingar. I Matematiklyftet finns det moduler vars huvudtema är problemlösning. Titta och välj i deras problembanker och litteraturlistor. Även i de moduler som har andra huvudteman återkommer problemlösning åtminstone i någon av delarna. Nämnarens Problemavdelning har funnits länge och från och med nummer 2, 1998 finns problemavdelningarna utlagda i fulltext under ArkivN på Nämnaren på nätet. Där finns även Dialoger om problemlösning som publicerades i varje nummer under 10 år. Syftet var att ge möjlighet för Nämnarens läsare att arbeta med problem och utbyta personliga reflektioner kring problemlösning. På Nämnaren på nätet finns även alla problem, inklusive lösningar, från Nämnarens adventskalendrar samlade. Från ArkivN är det enkelt att komma över till Kängurusidan där det finns problem för alla. Referens Modul Samband och förändring, åk 4 6, Del 1, Att arbeta med öppna problem, I. Holgersson, Högskolan Kristianstad Material Revision: 2 Datum:

37 Material Problemavdelningen, Dramatisering som problemlösningsstrategi L. Råberg Problemlösning i kursen Kreativ matematik L. Råberg Nämnaren på nätet (NCM) null Filformatet kan inte skrivas ut Revision: 2 Datum:

38 Dramatisering som problemlösningsstrategi Här följer några problem, som vi har fått från Lotta Råberg vid lärarutbildningen i Karlstad. De har använts vid kursstarter på lärarprogrammet och dramatisering kan vara en början på eller en del av lösningen. I de flesta problem räcker det att eleverna bara agerar själva, men till några kan det vara bra att även använda material. Problemen är också sådana att det är möjligt att antingen förenkla eller göra dem mer utmanande. I ett kommande nummer av Nämnaren berättar några av lärarutbildarna i Karlstad hur de arbetar med problemen på kurserna och vilka erfarenheter de har gjort Sorkarna Det gömde sig åtta sorkar under snön. När räven kom sprang hälften av dem iväg. Resten låg kvar, alldeles blickstilla. Räven åt upp en av sorkarna. Hur många sorkar fanns kvar under snön? 3830 Fjällstugan Nisse ska till fjällstugan. Han går hemifrån klockan nio, äter lunch någon gång mitt på dagen och kommer fram till stugan på kvällen. Nästa dag går han samma väg tillbaka, startar från stugan klockan nio och äter lunch någonstans längs hemvägen. Kommer han någonstans längs hemvägen att vara på samma ställe vid samma tid som dagen innan? 3831 Riddarspelen En riddare ska tävla i nio grenar. En tredjedel av dem är kamp med svärd. Två gäller kamp med spikklubba. Resten är ryttarspel med häst. I hur många grenar tävlar riddaren med häst i ryttarspel? 3832 Stolarna I ett rum finns trebenta pallar och stolar med fyra ben. Det sitter en person (med två ben) på varje. Totala antalet ben i rummet är 38. Hur många stolar finns det? 3833 Sockorna Du behöver ett par sockor, men ditt rum är mörkt. I byrålådan finns tio rosa sockor och tio blå sockor. Hur många sockor behöver du ta fram för att vara säker på att få ett par med samma färg? 3834 Ta sig över floden På en sida av floden finns det fem vuxna och två barn. De har en båt som rymmer en vuxen eller två barn. Hur ska de ta sig över floden? Vilket är det minsta antal turer som behövs? Vad skulle hända om det kom ytterligare en eller flera vuxna, hur många gånger behöver båten då korsa floden? 3835 Soff-matematik I en butik är det extrapris på soffor. Det finns tre modeller att välja mellan. När man valt soffmodell ska man bestämma vilken färg den ska ha, det finns fyra olika färger. Till sist får man välja en filt som finns i två olika material. På hur många sätt kan man då välja soffmodell, färg på soffa och material på filt? Hur ändrar sig antalet kombinationer om man också ska välja ben till soffan? Vad händer med antalet kombinationer när antalet olika soffmodeller, färger och filtar varierar? 66 Nämnaren nr

39 Kommentarer Problemlösning i matematik kan ske med hjälp av olika strategier som att gissa och prova, lösa en liknande uppgift, ställa upp en ekvation, rita en graf etc. En strategi som ofta tilltalar elever är att dramatisera eller gestalta ett problem. De kan använda hela sin kropp eller handdockor för att resonera, argumentera och kommunicera med varandra. När de kör fast gäller det att ta ett steg tillbaka och fundera på om det går att angripa problemet på något annat sätt. Vad vet vi? Vad behöver vi ta reda på? Dessa kommentarer utgår från att problemen passar att dramatiseras eller gestaltas. Låt eleverna få gott om tid att diskutera olika förslag att angripa problemen på. Det är naturligtvis bra om eleverna också får fortsätta och göra lösningen så generell som möjligt. Ett steg på vägen mot att sammanfatta med en formel kan vara att rita bilder, göra tabeller och skriva kortfattade förklaringar med egna vardagliga ord Sorkarna. Ett problem för de yngre eleverna. Om åtta elever är sorkar och en är räv kan resten tala om vilka som ska gömma sig och vilken sork räven ska ta. Problemet kan göras både enklare och mer utmanade genom att antalen ändras Fjällstugan. Man kan tänka sig att det istället är två personer som går samma dag från var sitt håll. Vid någon tidpunkt måste de möta varandra. Eleverna behöver nog göra denna promenad flera gånger, olika snabbt och med matrast på olika ställen för att de ska riktigt förstå Riddarspelen. I detta problem kan en elev representera en av de nio tävlingsgrenarna. En tredjedel, dvs tre elever tävlar med svärd och två elever tävlar med spikklubba. Det blir då fyra elever kvar som tävlar med häst Stolarna. Ett sätt att angripa problemet är att utgå från personerna. Om det finns 38 ben tillhör de 19 personer. Om en person sätter sig på en stol måste två personer försvinna för att kompensera för stolens ben. Varje stol byts alltså mot två personer. Men det ska också sitta en person på varje stol, vilket ger att en stol har sex ben. Detta medför att 6 stolar (inkl 6 personer) har 36 ben, så en person måste stå. Det blir lite mer att tänka på med de trebenta pallarna eftersom två pallar kan bytas mot tre personer. Två pallar ger sammanlagt 10 ben. 6 pallar med 6 sittande ger alltså 30 ben. Det går att komplettera med en stol men fortfarande blir det en person som står upp. För att illustrera trebenta pallar kan man använda stolar med ena benet märkt. Eftersom alla personer ska sitta måste vi kombinera stolar och pallar. Eleverna kan prova sig fram: Tre stolar och fyra pallar ger 18 ben + 20 ben, dvs sammanlagt 38 ben Sockorna. Vi måste ta fram tre sockor för att vara säkra på att det blir ett par där båda sockorna har samma färg. Det sämsta utfallet är att de två första är av olika färg, den tredje måste vara antingen rosa eller blå Ta sig över floden. Gör grupper med sju elever och låt fem i varje grupp vara vuxna. Använd t ex ett snöre som båt, eller för yngre elever en bananlåda. Låt båten åka fram och tillbaka tills alla tagit sig över. Upprepa så många gånger att eleverna ser mönstret. Det krävs fyra turer för att få över en vuxen. Dessutom behövs en sista avslutande tur för att få med barnen Soff-matematik. Den lösningsmetod som troligen ligger närmast till hands är att rita ett träddiagram. Tre olika soffor i fyra olika färger ger 3 4 = 12 valmöjligheter. Dessa 12 valmöjligheter dubblas sedan vid val av filt. Vid dramatisering kan elevernas stolar användas för att göra ett stort konkret träddiagram. Bygg upp tre soffor, låt elever välja en av fyra färger och en av de tre sofforna. När en färg av en modell är vald kan ingen annan välja den kombinationen. Diskutera varför. När det är fyra olika färger vid varje soffa har vi antalet möjliga kombinationer av modell och soffa. Slutligen ska varje möjlighet finnas med en filt som kan vara av två olika material. Hur kan det illustreras? Nämnaren nr

40 Lotta Råberg Problemlösning i kursen Kreativ matematik I förra numrets Problemavdelning delade lärarutbildare i Karlstad med sig av aktiviteter som de använder vid en kursstart. Här fördjupar lärarlaget sitt resonemang om problemlösning och berättar om sina erfarenheter. Hos polisen Vår kurs i matematik för blivande lärare i grundskolans tidigare år heter Kreativ matematik. Vid kursstarten försöker vi visa studenterna hur vi ser på kreativ matematik och vad vi menar med det. I både den förra och den nuvarande kursplanen i matematik lyfts problemlösning tydligt fram. I Lgr 11 återfinns det både som ett kunskapsområde i det centrala innehållet och som en förmåga som eleverna ska utveckla. Det betonas också att eleverna ska ges möjlighet att lösa problem med hjälp av olika uttrycksformer. Vid kursstarten utgår vi från detta och en av studenternas första uppgifter är att tillsammans lösa kriminalgåtan Hos polisen. Tio av studenterna får agera tjuvar, medan de övriga får hjälpas åt med att utreda vem som är den skyldige. För de flesta av studenterna är detta ett nytt sätt att angripa ett matematikproblem. De får dels vara aktiva genom gestaltning och dels får de gemensamt komma fram till lösningen genom att kommunicera med varandra. Polisen har plockat in tio bovar och vill ställa upp dem efter längd. Hjälp polisen att få rätt ordning på bovarna, så att den kortaste står längst till vänster och den längste står längst till höger. Ledtrådar: Berra är längre än Spiken. Spiken är längre än Mille. Mule är kortare än Mille. Leffe är längre än Mille, men kortare än Spiken. Fille står någonstans mellan Bullen och Busen. Busen är kortare än Berra, men längre än Fille. Frasse står mellan Berra och Kurre. Kurre står bredvid Busen. Det står sju bovar mellan Frasse och Mule. Det är den fjärde längsta boven som har begått just detta brott. Vilken av bovarna är det? 68 Nämnaren nr

41 Dramatiserade problem Som inspiration för studenternas kommande arbete framför vi i lärarlaget en enkel dramatisering av en händelse från matematikens historia. Vi brukar använda Historiska matematikberättelser introduktionsberättelser till nio olika matematikområden. Att studenterna inspireras av detta kan vi se både vid redovisningen av problemlösningsuppgiften och när de själva senare ska gestalta någon historisk händelse inom matematiken. Vi ägnar flera veckor i kursen åt problemlösning och hur vi på olika sätt kan få elever motiverade att lösa problem. Studenterna får använda sig av olika uttrycksformer för att få förståelse för olika sätt att lösa problem. Vi vill också förmedla den tillfredsställelse och glädje som det ger att förstå och lösa problem och visa på vikten av att våra studenter tar med sig detta till klassrummet och eleverna. Under en av de första dagarna i kursen får studentgrupperna var sitt noga utvalt problem som de ska lösa tillsammans. Problemet ska de redovisa genom någon sorts gestaltning. Några grupper väljer att själva dramatisera problemet eller låter dockor agera. Andra fungerar som ledare och styr sina kurskamrater som får agera, som exempelvis Hos polisen. För att studenterna ska hitta inspiration finns diverse material framdukat, hattar, näsor, peruker, tygstycken, kulörta papper, pinnar och flirtkulor. Postervernissage Grupperna får också en matematikuppgift där olika lösningar ska redovisas på en poster. Många av studenterna berättar att de börjar med att var och en går hem och funderar på problemet i lugn och ro. De brukar rita eller skriva ner sina lösningar. När de sedan träffas redogör varje gruppmedlem för sin lösning. De som är osäkra eller som inte har kommit fram till en lösning får, genom sina studiekamrater, hjälp med att förstå hur man kan tänka. Grupperna redovisar sina postrar på en vernissage där det naturligtvis finns cider och salta pinnar. Det är viktigt att alla är insatta i alla problem, därför får studenterna i god tid före vernissagen tillgång till de problem som visas. Vid vernissagen redovisar varje grupp arbetsprocessen och berättar varför deras poster ser ut som den gör. De har ofta provat sig fram för att se vad som fungerar eller inte fungerar. Genom denna uppgift utvecklar studenterna en medvetenhet om att det finns många vägar att komma fram till en lösning eller flera. De får förståelse för Nämnaren nr

42 hur viktigt det är att läraren är väl insatt i de problem som eleverna möter och också förståelse för att de måste kunna bemöta elever på olika sätt beroende på hur de tänker. Genom att göra en poster har studenterna dessutom fått fler exempel på uttrycksformer. Att verkligen vilja lösa ett problem Gruppens lösningar presenteras. Vi besöker Boda Borg tillsammans med studenterna (Boda Borg är ett äventyrshus som kan jämföras med Fångarna på fortet). Inför besöket får de fundera på varför de flesta blir så motiverade av att klara av problemen i de olika cellerna. Vad är det som gör att man, fast man gång på gång misslyckas, ändå inte ger upp utan faktiskt vill klara problemen? Efter besöket får studenterna i uppgift att jämföra problemlösning på Boda Borg med problemlösning under en matematiklektion. Vad är skillnaden? Varför är det vanligt att eleverna lätt ger upp när de arbetar med problemlösning i klassrummet? Finns det något som vi kan lära av Boda Borg? I studenternas resonemang nämns ofta: lösa problem i grupp, kommunicera, utbyta information, lyssna och ta del av andras idéer samt argumentera och diskutera. När vi sedan kopplar detta till styrdokumentens texter har studenterna en god förståelse av vad dessa arbetssätt står för. Diskussioner förs sedan om hur vi kan skapa liknande förutsättningar i klassrummet eller på skolgården. Eftersom problemlösning lämpar sig väl för arbete med olika uttrycksformer försöker vi ständigt hitta nya sätt att arbeta med dem, exempelvis i animeringsprogram och på interaktiva skrivtavlor. Litteratur Einarsson, M. (2003). Historiska Matematikberättelser introduktionsberättelser till nio olika matematikområden. Örebro. 70 Nämnaren nr