Matematisk Modellering

Transkript

1 Matematisk Modellering Genomgång 3 Pelle Matematikcentrum Lunds universitet 27 november 2018 Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

2 Dagens program Dagens program Andra projektet - avslutning. Tredje projektet start, genomförande, avslutning. Muntlig presentation. Modellering. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

3 Projektstart Projekt 2 Grupper med udda nummer gör första projektet - minska miljöslitage. Grupper med jämna nummer gör andra projektet - reglering av vattenkraft. Rapport färdig i torsdags skickades till handledare, kursledare och opponentgrupp. Grupp 1 byter med 2, 3 med 4, 5 med 6, 7 med 8 och 9 med 10. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

4 Projektstart Projekt 2 Projektet redovisas muntligt gruppvis onsdag 28 november i MH 332B. Grupp 1-6 kl och grupp 7-10 kl Presentation 12 min. Opponering 3 min. Dator, projektor och vita tavlor finns tillgängliga. Obligatorisk närvaro på aktuellt pass. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

5 Granskning Projekt 2 - granskning Opponentgruppen skriver granskningsrapport på projektrapporten och det muntliga framförandet. Skicka in granskningsrapport till vängrupp och handledare senast 4 december. Läs opponentgruppens granskningen av er rapport och lyssna på handledarens kommentarer. Rätta till er rapport och sänd in slutversion till handledare och kursledare senast 7 december. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

6 Presentation Projekt 3 Olika för varje grupp. Lite mer omfattande och lite roligare. Förhoppningsvis lite simulering. Handledarna styr innehåll och omfattning Håll kontakt, minst en gång i veckan. Gärna mer! Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

7 Kommande Kommande program Onsdag 28 nov och onsdag 12 dec arbete med projekt 3. Onsdag 19 december muntlig redovisning av projekt 3. Däremellan icke schemalagt arbete med projekt 3. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

8 Projektredovisning Projekt 3 - skriftlig redovisning Projektet redovisas skriftligt i rapport. Rapporten ska vara färdig senast fredag 14 december. Skickas som pdf till handledare, kursledare samt till opponentgrupp. Filen bör heta grupp4projekt3.pdf eller motsvarande. Grupp 1 byter med 2, 3 med 4, 5 med 6, 7 med 8 och 9 med 10. Handledaren kommer sen med synpunkter och kommentarer. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

9 Muntlig redovisning Redovisning projekt 3 Muntlig redovisning projekt 3 onsdag 19 december kl i E:C. Grupp 10-6, , Grupp 5-1, Presentation 12 min. Opponering 3 min. Obligatorisk närvaro! Ni får förbättringstips av er handledare under veckan. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

10 Slutrapport Redovisning projekt 3 Lämna in förbättrad version till er handledare och kursledare senast fredagen 21 december. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

11 Granskning Granskning - Muntlig Bra om man redan läst rapporten. Ge positiv och negativ kritik. Ställ 3-4 frågor. Ta upp oklarheter och saker du inte förstått. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

12 Mål Muntlig presentation Bestäm vad du vill uppnå. Skall åhörarna minnas något? Skall de ha tänkt över en problemställning? Vill du övertyga dem om en ståndpunkt?... sedan är det lättare att planera... och avgöra om du lyckats. Sätt rimliga mål! Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

13 Mål Nervositet Förbered dig mentalt. Jorda dig. Tag en kort paus innan du börjar prata. Skriv ner inledningsmeningen. Titta i början på de som ser snällast ut. Öva på din presentation. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

14 Huvuddrag Modelleringsprocessen Utgå från ett verkligt problem. Från verkligt problem till modellproblem. Förenklingar och approximationer. Analys av modellproblem. Simulering. Tolkning av analysresultat. Förfining av modellen. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

15 Exempel Välja rätt kö Komplicerad - Förenklad modell. Mätbara - icke mätbara parametrar. Teoretisk - praktiskt användbar. T = αv + βk T tid, V antal varor, K antal kunder, α, β parametrar. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

16 Exempel Praktisk modell Poängsystem. Uppskatta bara full vagn, halvfull vagn eller korg. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

17 Planetbanor Planetbanor Om man antar att jorden roterar så ligger stjärnorna stilla medan solen, månen och planeterna merkurius, mars, venus, jupiter och saturnus flyttar sej. På medeltiden ansåg man att jorden låg i mitten och de andra kretsade i banor kring jorden. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

18 Bildserie av Mars på himlen , kring en opposition. (Ur Sterne und Pelle Weltraum nr. 12, 2009.) Oxens öga, Aldebaran, Matematisk har Modellering 27 november / 31 Planetbanor Problematiska planetrörelser Svårt att förklara till exempel mars vandringar. Aldebaran

19 Planetbanor Nicolaus Copernicus ( ) Föreslog 1543 att solen låg i mitten och att jorden och planeterna hade cirkulära banor kring solen (fästa på kristallklot). Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

20 Planetbanor De fem rymdfigurerna ovan var kända som de perfekta eller platonska kropparna. Alla begränsas av ett antal plana, liksidiga ytor, trianglar, kvadrater och femhörningar, men det märkliga är att man kan bevisa att de fem kropparna är de enda som kan byggas upp på det sättet. Av liksidiga femhörningar behövs t.ex. tolv för att de ska kunna bilda en sluten yta, färre räcker inte och med fler går det inte heller. (Troligen kommer vårt ord dussin av dode.) Johannes Kepler ( ) Kepler var övertygad om en harmoni i universum, där matematik och geometri Tyckte det skulle vara tjusigt planeternas banor låg på klot inskrivna i bildade grunden helt i Platons anda - och vad var då naturligare än att de sex då kända planeternas banor byggdes upp av de här figurerna. platoniska kroppar. Mars sfär Keplers världsmodell. Jupiters sfär Saturnus sfär I modellen hade var och en av planeterna en sfär, sex sfärer således, med platonska kroppar inskrivna modellen i denna ordning: 1596 i boken Det kosmografiska Beskrev mysteriet. Saturnus sfär Jordens sfär Kub Ikosaeder Pelle Jupiters sfär Venus sfär Tetraeder Oktaeder Matematisk Modellering 27 november / 31

21 Planetbanor Tycho Brahe ( ) Satt på Ven och mätte planeters positioner med större noggrannhet än tidigare. Försökte få mätdata att stämma med jorden i mitten men det gick inget vidare. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

22 Planetbanor Kepler igen När Brahe dog fick Kepler överta Brahes mätdata som han försökte få och stämma med sin världsbild. Gick inget bra det heller. Bättre gick det när han modifierade sin modell. Nya modellen sammanfattas i tre lagar som publicerades 1609 och (Ur Sterne und Weltraum nr. 12, 2009.) Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

23 Astronomia Nova. Inledning Projekt 2 Projekt 3 Presentation Modellering Modelleringsexempel Avslutning Planetbanor onomia Nova innehåller det vi nu kallar Keplers första och andra lag. Den a säger Keplers att planeterna lagarrör sig i ellipsbanor med solen i den ena brännpunkten den andra är den om ythastighetens konstans. Enligt den andra lagen sveper n mellan planeten och solen (radius vektor) över lika areor på lika tider. Om t 2 -t 1 i figuren nedan är lika med t 4 -t 3 så är de båda areorna A 1 och A 2 lika. 1. Planetbanorna är ellipser med solen i ena brännpunkten. 2. Ythastigheten är konstant. Radius vektor (Bilden tagen ur Sterne und Weltraum.) 3. Samband mellan omloppstid T och medelavstånd R till solen. t fram emot 1605 kom Kepler på idén med ellipsbanor och hade innan dess T T 2 d annat tänkt sig ovala, alltså äggformade banor. Utdraget nedan ur Keplers attande räkningar R 58 nedan 108visat 150 omräkning 228 av Mars 778 positioner 1430i förhållande till en dem som Brahe hade mätt upp till lägena i förhållande till solen. R 3 = 0,04 Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

24 Planetbanor Isaac Newton ( ) Publicerade 1689 tre böcker Principia med Newtons rörelselagar och gravitiationslagen vilka han visade medförde Keplers lagar. A X I O M A T A SIVE L E G E S M O T U S Lex. I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris retardantur & vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes cohærendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari nisi quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora motus suos & progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos conservant diutius. Lex. II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive impressa suerit. Et hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur, si corpus antea movebatur, motui ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo oblique adjicitur, & cum eo secundum utriusq; determinationem componitur. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

25 Planetbanor Philosophiæ naturalis principia mathematica Exempel på sats och bevis. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

26 Planetbanor Modern version Andra lagen i modern version eller om massan inte är tidsberoende F = d(mv) dt F = ma = m dv dt = m d 2 x dt 2. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

27 Planetbanor Gravitationslagen Hooke, Newton, andra (1660) eller där x = ( x 1 (t),x 2 (t),x 3 (t) ). F = G mm r 2 F = G mm x 2 ( x x ) = GmM x x 3 Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

28 Planetbanor Diffekvation Rörelselagen tillsammans med gravitationslagen ger detta att en planets acceleration ges av d 2 x dt 2 = GM x x 3 eller kortare x = GM x x 3. Differentialekvation som bestämmer planetens rörelse. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

29 Planetbanor Från linjär algebra Bilda vektor som beror på tiden. Derivera L = x x L = x x + x x = 0 GM x 3 x x = 0. L (rörelsemängdmomentet) beror inte alls på tiden! Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

30 Planetbanor Konsekvenser Eftersom L = x x hela tiden har samma riktning rör sej planeten x hela tiden i ett plan vinkelrätt mot L. Areatolkning av L ger Kepler andra lag. De andra lagarna följer av en lite nogrannare analys av diffekvationen. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31

31 Att tänka på Avslutning Inlämning projekt 3 fredag 14 december. Presentation av projekt 3 onsdag 19 december kl i E:C. Pelle Matematisk Modellering 27 november / 31