Räkna med musik en undersökning om elever som spelar instrument har lättare för matematik

Transkript

1 School of Mathematics and Systems Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI Räkna med musik en undersökning om elever som spelar instrument har lättare för matematik Mattias Karlsson Oct 2007 MSI Report Växjö University ISSN SE VÄXJÖ ISRN VXU/MSI/MDI/E/ /--SE

2 Abstrakt Denna uppsats handlar om elever som spelar ett instrument generellt har lättare för matematik, än de elever som inte spelar något instrument. Den försöker också ta reda på om det är någon skillnad på de elever som spelar efter noter och de som inte spelar efter noter. Metoden jag använt är att jag har låtit 180 elever i årskurs 1 på gymnasiet kryssa i vilket slutbetyg från årskurs nio de fått i matematik, svenska och engelska. 59 av dessa elever läser på ett studieförberedande program och 121 elever läser på ett yrkesförberedande program, vilket ungefär motsvarar den procentuella fördelningen totalt i Uppsala. De har också fått ange om de spelar något instrument och i så fall även hur länge de spelat samt om de spelar efter noter. Resultatet visar att betygen är betydligt högre för de elever som spelar ett instrument efter noter än vad det är för såväl de elever som spelar ett instrument utan att läsa noter samt för de elever som inte alls spelar något instrument. Det visar också att i den här undersökningen blir betygen bättre ju längre eleven spelat sitt instrument, samt att den ökningen är större för tjejerna än för killarna. Undersökningen visar dock inte tydligt att ökningen av betyget är större i matematik än vad det är i de andra ämnena. Emellertid visar den att spelandet av ett instrument verkar ha minst påverkan på engelska jämfört med matematik och svenska. Även om elever som spelar ett instrument har bättre betyg än de som inte spelar något instrument är det svårt att avgöra om det är de begåvade eleverna som börjar spela instrument eller om man faktiskt kan utvecklas intellektuellt genom att spela ett instrument. i

3 Innehållsförteckning 1 INLEDNING SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR TEORETISK BAKGRUND Kortfattad musikteori Intervall Takt och rytm Historisk bakgrund Pythagoras Tre medelvärden Det gyllene snittet inom musiken Likheter mellan matematisk och musikalisk särbegåvning Mozarteffekten Suzukieffekten för matematik METOD RESULTAT OCH ANALYS DISKUSSION OCH SLUTSATSER REFERENSER BILAGOR BILAGA A ENKÄT BILAGA B BEVIS FÖR FÖRHÅLLANDEN MELLAN OLIKA MEDELVÄRDEN BILAGA C BEVIS FÖR ATT 2 ÄR ETT IRRATIONELLT TAL BILAGA D BEVIS FÖR DET EXAKTA VÄRDET AV DET GYLLENE SNITTET BILAGA E BEVIS FÖR ATT FÖRHÅLLANDET MELLAN DIAGONAL OCH SIDA I EN PENTAEDER ÄR DET GYLLENE SNITTET ii

4 1 Inledning När jag berättar för andra att jag är en musiklärare som håller på att sadla om till matematiklärare, får jag ofta kommentaren att musik och matematik det hör väl ihop. Om man sedan ber dem att förklara vad de menar så har de ofta svårt att motivera sitt påstående. Det verkar som att många på något sätt har fått uppfattningen att det finns ett samband mellan musik och matematik, utan att riktigt veta varför. Kanske kan en anledning till uppfattningen vara de likheter som finns mellan musikteori och bråkräkning, där musiken bland annat har sina takter som i de flesta fall motsvaras av talet 1 och ska delas upp i till exempel fjärdedelar, åttondelar och sextondelar. Det blir väldigt tydligt för den som spelar efter noter att två fjärdedelar, tre åttondelar och två sextondelar fyller upp en fyrafjärdedels-takt, det vill säga bildar talet ett. Det finns också många historiska exempel på kopplingar mellan musik och matematik, där till exempel Pythagoras och hans elever upptäckte matematiska samband mellan längden av en sträng och vilken ton den gav ifrån sig. De menade att de intervall, det vill säga skillnaden i tonhöjd mellan två toner, som var mest välklingande, var när olika förhållanden mellan de heliga talen 1, 2, 3 och 4 angav längden på strängarna. Som exempel kan man jämföra en sträng med en dubbelt så lång sträng av samma tjocklek, samma spänning och samma material. Förhållandet blir då 2:1 och det välklingande intervallet blir en oktav. Jag har också träffat många personer som har lätt för matematik och som också spelar någon typ av instrument. Om det beror på att jag lättare kommer ihåg dessa personer för att jag själv spelar instrument, eller för att det verkligen finns en koppling, är något jag hoppas få mera kunskap om med detta examensarbete. Det skulle kännas tillfredställande att någon gång kunna ge svar på kommentaren att musik och matematik det hör väl ihop, men framförallt skulle det som matematiklärare vara mycket intressant om det verkligen fanns ett samband och att det på något konkret sätt skulle gå att använda det sambandet i matematikundervisningen. 2 Syfte och frågeställningar Med det här examensarbetet skulle jag vilja lära mig mer om eventuella samband mellan matematik och spelandet av ett instrument. Jag hoppas förstås att jag ska hitta något konkret samband, men i det fall jag inte hittar något så är min förhoppning att jag ändå ska ha lärt mig en hel del på kuppen. 1

5 Jag ska försöka ta reda på om elever som är vana att läsa noter när de musicerar, generellt har lättare för matematik än de elever som inte spelar något instrument. Om så är fallet vill jag ta reda på mer om likheten mellan matematik och musikteori på något sätt kan hjälpa de elever som lär sig musikteori att bli bättre i matematik. Som jämförelse ska jag också titta på några elever som spelar instrument, men inte spelar efter noter. Här ser jag inget uppenbart samband mellan själva spelandet av ett instrument och matematik, men det ska bli intressant att undersöka. Om det visar sig att även de elever som spelar instrument utan att läsa noter, generellt har ett högt matematikbetyg så kan det inte bero på musikteorin utan då får man försöka hitta ett annat samband. Möjligen kan det då bero på att kombinationen matematik musik fungerar så bra på grund av de olikheter som finns, det kan vara en bra avkoppling från matematiken att spela ett instrument. Det kan förstås även bero på många andra faktorer. En svårighet med det här examensarbetet kan bli att, i det fall eleverna som spelar instrument har ett högt matematikbetyg, kunna avgöra vad som är orsaken till det. Det kan då också bero på att de elever som spelar ett instrument i många fall har lätt för skolan och har ett högt betyg i flera ämnen. Kanske har eleverna som spelar ett instrument generellt bättre uppbackning från föräldrar i fråga om skolarbetet än de elever som inte spelar instrument. Många gånger är det föräldrarna som är drivande när barnen ska börja spela instrument. För att till viss del komma bort från problemet tänkte jag då även jämföra med betyget i svenska och engelska. Om eleverna har ett lika högt betyg i svenska och engelska som i matematik kan det tyda på att eleverna som spelar ett instrument har lätt för skolan. Visar det sig att eleverna inte har lika bra betyg i svenska eller engelska som i matematik, är det mer troligt att det höga betyget i matematik kan ha någon koppling till spelandet av ett instrument. De konkreta frågeställningar jag ställer inför mitt examensarbete är: Vilken procentuell fördelning på de olika betygen i matematik, engelska och svenska är det på eleverna som spelar instrument efter noter? Vilken procentuell fördelning på de olika betygen i matematik, engelska och svenska är det på eleverna som spelar instrument på gehör? Vilken procentuell fördelning på de olika betygen i matematik, engelska och svenska är det på eleverna som inte alls spelar något instrument? Har det någon betydelse för den procentuella fördelningen, hur länge man spelat ett instrument? Kan man se någon skillnad på tjejers och killars resultat? 2

6 Två större frågeställningar som jag kanske inte väntar mig att få ett entydigt svar på, men som jag hoppas kunna tränga djupare in i, är: Kan man utvecklas i matematik genom att lära sig musikteori? Kan man utvecklas i matematik genom att spela ett instrument? Det hade varit intressant att även jämföra matematikbetyget med musikbetyget hos ett antal elever. Jag har dock valt att begränsa mig till spelandet av ett instrument eftersom jag tycker det känns viktigt att få med kopplingen musikteori matematik, vilken inte känns lika självklar om man bara jämför musik- och matematikbetyget. Av samma anledning kommer jag inte att gå in på möjliga samband mellan matematik och att lyssna på musik. Det hade varit spännande att undersöka vilka musikstilar som begåvade matematikelever mest lyssnar på, men det skulle bli alldeles för stort att även ta med hela den biten. Det får bli ett senare arbete. 3 Teoretisk bakgrund 3.1 Kortfattad musikteori För att kunna förstå vissa delar av denna uppsats är det en fördel om man är bekant med några grundläggande begrepp inom musikteorin. Då den här uppsatsen i första hand riktar sig till matematiklärare, som jag antar i många fall inte känner till så mycket om musikteori, går jag kortfattat igenom två områden inom musikteorin. Det första området är intervall som hela den historiska bakgrunden i avsnitt 3.2 bygger på, såväl Pythagoras som hans efterföljare hittade mycket matematik i musikens olika intervall. Det andra området handlar om takter och rytmer, där man tydligt kan se paralleller till bråkräkning Intervall Skillnaden i tonhöjd mellan två toner kallas för intervall, oavsett om tonerna spelas samtidigt eller efter varandra. De grundläggande intervall som finns är prim, sekund, ters, kvart, kvint, sext, septima, oktav. Om man utgår från tonen C på ett piano, så visar figur 3.1 hur de grundläggande intervallen ser ut: 3

7 Figur 3.1 Grundläggande intervall [1] De rena intervallen är prim, kvart, kvint och oktav, medan övriga intervall kan vara stora eller små. Alla dessa intervall kan sedan förändras ytterligare till överstigande eller förminskade. För att avgöra om intervall är stora eller små måste man räkna hur många halvtonssteg det finns mellan tonerna. Tänker vi oss ett piano, så är det halvtonssteg mellan två närliggande tangenter om vi använder oss av både vita och svarta tangenter. Figur 3.2 Liten och stor ters [1]. Om vi i figur 3.2 tittar på intervallet ters, så kan det både vara litet och stort. När det är en liten ters ska det finnas tre halvtonssteg mellan de båda tonerna och när det är en stor ters ska det finnas fyra. Ett intervall som haft en speciell ställning genom musikhistorien är den överstigande kvarten, eller Tritonus som det också kallas. Om man, som vi ser i figur 3.3, på ett piano återigen utgår från tonen C och ska spela intervallet Tritonus, så hamnar man på en ton kallad F# (fiss). Den ligger mittemellan de rena intervallen kvart och kvint. 4

8 Figur 3.3 Tritonus [1]. Intervallet har ansetts låta så illa att man ibland kallat det för Djävulens intervall och det har under vissa tidsepoker varit förbjudet att använda inom kyrkomusiken. Det är också det enda intervall som är symmetriskt på det sättet att såväl C F# som F# C är samma intervall [1] Takt och rytm Begreppen takt och rytm blandas ofta ihop. Takten är en indelning av musikstycket efter betonade pulsslag. Om man lyssnar på pulsen, musikstyckets hjärtslag, så märker man att vissa slag är mer betonade än andra. Om till exempel vart tredje pulsslag är betonat går stycket i någon sorts tretakt medan en betoning på var fjärde pulsslag ger oss en fyrtakt. Rytmen anger vilka toner som ska vara långa och vilka som ska vara korta. Därför har man delat in tonens längd i olika notvärden. Figur 3.3 Notvärden och motsvarande pauser [1]. Längst upp till vänster i figur 3.3 ser vi en helnot och går vi nedåt ser vi i tur och ordning två halvnoter, fyra fjärdedelsnoter, åtta åttondelsnoter och längst ner sexton sextondelsnoter. På höger sida har vi motsvarande pauser. Med hjälp av dessa notvärden kan man skapa olika rytmer. Summan av notvärden och pauser i en takt ska alltid vara det som anges i taktartsangivelsen som ofta finns i början av notsystemet [1]. 5

9 Figur 3.4 Taktartsangivelse och takt [1]. Taktartsangivelsen skrivs som ett bråktal och figur 3.4 visar oss en fyra fjärdedelstakt, där den övre fyran anger ett antal och den undre fyran anger ett notvärde. Vi får här veta att stycket ska innehålla summan av fyra fjärdedelar i varje takt. I första takten har vi till exempel först en fjärdedel, sedan två åttondelar, två sextondelar, en åttondel och till sist en fjärdedel. En kontrollräkning ger att. Tittar vi på nästa takt har vi en fjärdedelspaus, två åttondelar och två fjärdedelar. Lägger vi ihop dessa på samma sätt får vi återigen fyra fjärdedelar [1]. Den vanligaste taktarten är fyra fjärdedelstakt men det finns även andra taktarter. Tre fjärdedelstakt förekommer i mycket musik, till exempel så går alla valser i tre fjärdedelstakt, eller tretakt som det vanligen kallas. Figur 3.5 Exempel på olika taktarter [1]. I figur 3.5 ser vi exempel på olika taktarter. Först har vi en två fjärdedelstakt som består av två fjärdedelar. Här ser vi direkt att. Går vi till exemplet till höger har vi en sex åttondelstakt som först består av tre åttondelar, sedan en fjärdedel och till sist en åttondel. En kontrollräkning ger här att. På nästa rad ser vi en så kallad tretakt, där en fjärdedel och fyra åttondelar tillsammans blir tre fjärdedelar. Det sista exemplet visar 6

10 återigen en fyra fjärdedelstakt, fast taktartsangivelsen skriver här ut ett C som många gånger används som förkortning för fyra fjärdedelstakt. Bokstaven C står i detta fall för common time. Här har vi två fjärdedelar, två åttondelar, en åttondelspaus och en åttondel som tillsammans blir fyra fjärdedelar [1]. 3.2 Historisk bakgrund Pythagoras Den grekiske matematikern Pythagoras grundade på 500-talet f Kr en rörelse som fått namnet den pythagoreiska skolan. Man tror att rörelsen hade karaktären av ett religiöst sällskap, där föreställningen om en värld i harmoni eller jämvikt, var en av grundtankarna. Det vi vet om denna rörelse kommer i huvudsak från citat och kommentarer av personer som levde många hundra år efter Pythagoras, bland annat Aristoteles och Ptolemaios. Det innebär att själva faktaunderlaget till många påståenden om Pythagoras är osäkert [2]. Pythagoras och hans lärjungar anses vara de som upptäckte heltalsförhållanden mellan längderna av svängande strängar i tonskalan. De utgick från instrumentet monokord, som helt enkelt bestod av en enda sträng spänd på en låda. När de jämförde tonen som hela strängen gav ifrån sig med tonen från halva strängen, det vill säga förhållandet 2: 1, så fick de fram intervallet oktav [3]. Ett exempel på en oktav kan vara när man spelar eller sjunger en skala, då tycks den åttonde tonen, oktaven, vara samma som den första, bara ljusare eller mörkare. Vid liknande jämförelser gav förhållandet 4: 3 mellan strängarnas längd intervallet kvart och förhållandet 3: 2 intervallet kvint. Oktaven, kvinten och kvarten ansågs av Pythagoras som de mest välklingande av alla intervall, möjligen på grund av att de kunde beskrivas som förhållanden mellan de heliga talen 1, 2, 3 och 4 [4]. Detta har levt kvar till våra dagar, där det, som nämnts tidigare, är just oktav, kvart och kvint som tillsammans med prim, intervallet mellan en och samma ton, räknas till de rena intervallen. Pythagoreerna menade att de rena intervallen oktav, kvart och kvint var symfona, som är det grekiska ordet för samklingande toner. När man spelade två toner i något av dessa intervall så tyckte de att de lät som en enda ton. Övriga intervall kallades diafona, som betyder tvåljudande. Här, menade de, ska man då tydligt höra att det är två olika toner som spelas [5]. De spelade även andra intervall än de rena. För att få fram ett förhållande mellan tonerna i intervallet sekund, till exempel mellan C och D som tidigare visat i 3.1.1, utgick de från att 7

11 två kvinter staplade på varandra blir en oktav och en sekund. Förhållandet mellan tonerna i dubbelkvinten blir då och sedan kan man halvera det förhållandet för att plocka bort oktaven. Det ger oss förhållandet 9: 8 för intervallet sekund. Med hjälp av det förhållandet byggde de sedan upp en följd av toner, det vill säga en skala, som såg ut på följande sätt: prim : sekund : ters: kvart : kvint : sext : septima : oktav : c d e f 1 g a h c : 8 81: 64 4 : 3 3 : 2 27:16 243:128 2 Denna pythagoreiska skala kom att bli den mest använda skalan bland alla grekiska skalor [5]. Ett av många påståenden om Pythagoras är att när han vid ett tillfälle passerade en smedja så hörde han hur fyra smeder samtidigt slog sina hammare mot städet. Han märkte att hammarslagen omväxlande gav välljud (konsonans) samt oljud (dissonans) när de träffade städet samtidigt. Vid närmare undersökning fann han att hammare A producerade konsonans med hammare B och hammare C, medan hammare B och C producerade dissonans med varandra. Hammare A och D producerade så perfekt konsonans med varandra att det verkade nästan som att de sjöng samma ton. När han undersökte anledningen upptäckte han att orsaken fanns i de olika hammarnas viktförhållanden. Hammarna vägde 12, 9, 8 och 6 pounds vardera. Förhållandet mellan hammare A och hammare D var 2:1, vilket är oktavens förhållande. Hammare B och C hade förhållandet 4:3 samt 3:2 med hammare A, vilket motsvarar intervallen kvart och kvint. När Pythagoras till sist jämförde hammare B och C med varandra fick han fram förhållandet 9:8 som motsvarar intervallet sekund [6] Tre medelvärden Bland Pythagoras efterföljare fanns många matematiker, bland annat Hippasos och Archytas, som jobbade vidare med jämförelser mellan matematik och intervallen oktav, kvint och kvart. De kände väl till de tre olika medelvärdena inom aritmetiken: det aritmetiska, det geometriska och det harmoniska [5]. Det aritmetiska medelvärdet är det vi i första hand tänker på när vi pratar om medelvärden, det vill säga A a b 2, när det gäller två tal. Det geometriska medelvärdet kan vi skriva som G ab, medan det harmoniska medelvärdet kan skrivas som 8

12 H 2 ab a b. De grekiska matematikerna definierade gärna dessa medelvärden med tre likheter, där a och b är två givna (positiva) tal, a < b: A a : G ( H a b G : b a) : a A ( b H ) : b Om vi låter a = 1 och b = 2 motsvaras av intervallen prim respektive oktav, ser vi att det aritmetiska medelvärdet A, blir 3: 2, det vill säga förhållandet för en kvint. Kvinten är med andra ord det aritmetiska medelvärdet till prim och oktav. Enligt samma resonemang ser vi att det harmoniska medelvärdet H, blir 4: 3, förhållandet för en kvart. Kvarten är då det harmoniska medelvärdet till prim och oktav. Om vi däremot tittar på det geometriska medelvärdet G, som oavsett vilka tal man använder sig av alltid ligger mellan det aritmetiska och det harmoniska medelvärdet 1. Då får vi 2, det irrationella tal som gav pythagoreerna sådant bekymmer då det inte kunde uttryckas i formen a: b där a och b är heltal 2. Det visar sig också att detta illa omtyckta tal ger ett intervall som var lika illa omtyckt, nämligen tritonusen eller djävulens intervall. Figur 3.6 visar vilka toner som motsvarar de tre medelvärdena om vi utgår från tonen C och a = 1 och b = 2 [7]. Figur 3.6 Intervall som motsvarar de tre medelvärdena [1]. 3.3 Det gyllene snittet inom musiken Det gyllene snittet är ett geometriskt förhållande som finns runt omkring oss i många olika former. Det används av till exempel arkitekter och konstnärer, medvetet eller omedvetet, men det finns även ute i naturen åtskilliga skapelser med proportioner som överensstämmer med det gyllene snittet. 1 Bevis medföljer som Bilaga B 2 Bevis medföljer som Bilaga C 9

13 Ett sätt att beskriva det gyllene snittet är som en relation mellan en större och en mindre del av en helhet, där den större förhåller sig till den mindre på samma sätt som helheten förhåller sig till den större. Figur 3.7 [8] Om vi använder beteckningarna från figur 3.7 kan vi se AB som helheten, AC som en större del och CB som en mindre. Får vi då att AC CB snittet. Ett exakt värde för det gyllene snittet är AB AC, kan vi beteckna α som det gyllene och avrundat blir det α 0, Den som först tros ha gjort en matematisk beskrivning av det gyllene snittet var Hippasos, ca 450 f. Kr. (nämnd i avsnitt 3.2). Han upptäckte att förhållandet mellan en diagonal och en sida i en pentaeder blev det gyllene snittet 4, se figur 3.7 [8]. Figur 3.7 Femhörning där kvoten mellan sida och diagonal blir det gyllene snittet [8] En som anser att många kända kompositörer använt sig av det gyllene snittet i sina kompositioner är Dr Ron Knott. Som ett av exemplen tar han upp det kända temat från Beethovens femte symfoni, också känd som ödessymfonin. Detta tema, se figur 3.8, kommer i takt 372 och 228 av totalt 601 takter. Båda dessa takter ligger på det gyllene snittet, 372 sett från början till slutet av satsen och 228 sett från slutet till början av satsen. Knott medger dock att man kan få lite olika resultat beroende på om man räknar reprisen som nya takter eller inte. Han tar även upp exempel på att bland annat Mozart, Bartok, Debussy, Schubert och Bach alla har använt sig av det gyllene snittet i sina kompositioner [9]. 3 Bevis medföljer som bilaga D 4 Bevis medföljer som bilaga E 10

14 Figur 3.8 Tema från Beethovens femte symfoni [9] Lars-Eric Uneståhl, fil. dr vid Skandinaviska ledarhögskolan, menar att mänskliga funktioner och kroppsliga processer kan beskrivas med det gyllene snittet när vi är i balans och harmoni med oss själva. Därför har han också, tillsammans med musikerna Tommy Kaså och Tommy Gunnarsson, gett ut en CD med kompositioner som bygger på det gyllene snittet. Här förekommer det gyllene snittet i till exempel tempo, rytmer och melodi. Ett av musikstyckena är uppbyggt kring 5 toner som hämtats från Fibonacci s talserie. Uneståhl anser att denna musik skapar tillstånd av inre skönhet och harmoni [10]. Även kompositören Jan Sandström har komponerat ett stycke som bygger på det gyllene snittet. Dels så återkommer Fibonacci s talserie i många delar i stycket, till exempel består orkestern av 1 dirigent, 2 syntar, 3 slagverkare, 5 bleckblåsare, 8 träblåsare och så vidare. På samma sätt innehåller första ackordet 1 ton, andra 2 toner, tredje 3 toner, fjärde 5 toner och så vidare. Sedan så finns även det gyllene snittet med i att till exempel Slagverksinstrumenten inträder första gången vid styckets tidsmässiga gyllene snitt [11]. 3.4 Likheter mellan matematisk och musikalisk särbegåvning En som har tittat på eventuella beröringspunkter mellan musik och matematik är Ellen Winner, professor i psykologi vid Boston College i USA. Hon menar att musik och matematik är två ämnen där det är särskilt vanligt att man hittar särbegåvade barn. Hon säger att likheten mellan matematik och framförallt klassisk musik, består i att de båda är typexempel på formella och regelstyrda domäner. Det är i sådana domäner som särbegåvade barn oftast framträder, där det klart framgår vad som måste behärskas och hur mästerskap skall igenkännas [12]. Hon delar också in de matematiskt särbegåvade barnen i tre olika grupper: 1. visuellt/spatialt begåvade 2. språkligt begåvade 3. kombination av 1 och 2 Medan de matematiskt särbegåvade kan tillhöra någon av dessa tre grupper så hittar vi de musikaliskt särbegåvade främst i grupp 1, de har ofta stora visuella/spatiala färdigheter. Det 11

15 har bevisats experimentellt, skriver Winner, med uppgifter där man ska hitta dolda mönster eller kombinera till synes osammanhängande visuella delar till en bild [12]. Trots att det i många undersökningar visat sig att musikaliska barn har fått högre poäng vid olika tester än genomsnittet, främst olika typer av IQ-tester men också renodlade matematiktester, vill inte Winner dra för snabba slutsatser av det. Hon menar att vi inte vet om exceptionellt musikaliska barns akademiska prestationer och intelligenskvoter förbättras när de börjar ta musiklektioner eller om sådana barn redan från början har akademiskt starka sidor. En annan orsak kan också vara, spekulerar hon, att speciellt barn som spelar klassisk musik sannolikt har välutbildade föräldrar som skapar en stimulerande, intellektuell atmosfär i hemmet. Däremot så tar hon upp några forskningsresultat som visar att det spatiala tänkandet hos förskolebarn förstärks av åtta månaders musiklektioner. Resultaten visade också att barn som lyssnat till musik av Mozart hade ökat sin spatiala tankeförmåga efter bara några minuter. I fotnoterna kommenterar hon dock att resultaten är så förvånande att de bör upprepas på oberoende håll innan de accepteras [12]. Brian Butterworth, professor i neuropsykologi vid University College i London, säger att vad gäller simmare, kompositörer, schackspelare och matematiker verkar de högsta nivåerna av prestationsförmåga kräva minst tio års intensiva förberedelser. Han tar upp en undersökning av violinstuderande i Berlin, där man jämförde hur många timmar de bästa studenterna övade med de övriga. De bästa studenterna övade ensamma drygt 24 timmar i veckan medan de övriga övade ensamma 9 timmar i veckan. Det har, enligt Butterworth, inte gjorts några liknande studier hur matematiska färdigheter förvärvas men han menar att det finns rikligt med belägg för att de bästa räknarna ägnar mycket tid åt att lära sig fakta och metoder [13]. Filmen Good Will Hunting handlar om en ung man som arbetar som vaktmästare på det mycket ansedda naturvetenskapliga universitetet MIT. I slutet på terminen ger matematikprofessorn på universitetet sina elever ett problem som de får fundera på över lovet. Den som klarar problemet kommer då att utmärka sig som den mest begåvade i en klass där alla redan har utmärkt sig som duktiga matematiker genom att de fått studera på MIT. När föreläsningssalen har tömts på elever kommer Will in för att städa. Han låter golvmoppen vila en stund och går fram till tavlan där han skriver lösningen på svarta tavlan. Till en början har professorn ingen aning om vem det är som löst problemet men upptäcker till slut att det är Will, som visar sig vara en matematisk naturbegåvning utöver det vanliga. Professorn har själv tilldelats Fieldspriset, den kanske största utmärkelsen för matematiker, men säger ändå Jag är ingenting jämfört med den här unge mannen. Will har dock ingen önskan att bli 12

16 matematiker utan föredrar istället att festa och råka i slagsmål tillsammans med sina vänner. När han ska försöka förklara sin begåvning har han svårt att säga var den kommer ifrån, han jämför sig själv då med Mozart. Han såg på ett piano och kunde helt enkelt spela. Jag har alltid kunnat spela. Bättre än så kan jag inte förklara det [13]. Butterworth menar att en av sakerna som gör filmen Good Will Hunting ej trovärdig, är att huvudpersonen Will, inte verkar ha ägnat mycket tid åt att lära sig det beteckningssystem och de metoder vi använder inom matematiken. Även Mozart var tvungen att lära sig spela piano och läsa noter, så jämförelsen med honom tycker inte Butterworth stämmer helt överens. Will har inte heller den typiska entusiasmen som underbarn alltid har för sitt ämne. Ibland dras det paralleller mellan Will Hunting och den indiske matematikern Ramanujan som växte upp i en mycket fattig miljö, utan någon riktig undervisning i matematik men som ändå blev en av de främsta matematikerna genom alla tider. För en utomstående kunde det då verka som att han kunde en massa matematik utan att ha behövt kämpa för att lära sig den. En avgörande skillnad är dock att Ramanujan under hela sin uppväxt var passionerat intresserad av matematik på ett närmast tvångsmässigt sätt och ägnade nästan all sin tid åt att fundera över olika matematiska bevis [13]. 3.5 Mozarteffekten Tron på att viss musik, särskilt Mozarts, kan få oss att må bättre, stärka intellektet och till och med bota en mängd olika sjukdomar, brukar benämnas som Mozarteffekten. Don Campbell, som skrivit boken Mozarteffekten, menar att musik kan förbättra inlärningen och öka kreativiteten. Han tar bland annat upp forskningsresultat som visar att elever med erfarenhet av att framträda i musiksammanhang fick 39 poäng över genomsnittet på matematikdelen av ett nationellt standardiserat prov [14]. Campbell nämner i övrigt inte så mycket om det specifika sambandet mellan musik och matematik. Däremot så menar han att musik kan göra ett barn mer intelligent och därmed i förlängningen öka sin matematiska förmåga. Han framför åsikten att ju mer stimulans ett barn får genom musik, rörelse och konst, desto intelligentare blir barnet. Det bygger också på att stimulansen måste följas av lugn och ro. En annan studie som han hänvisar till visar att bland 7500 studenter vid ett mellanstort amerikanskt universitet så hade eleverna med musik som huvudämne den bästa läsförståelsen av alla elever, inklusive de som hade engelska, biologi, kemi och matematik som huvudämne. Han verkar inte mena att det egna musicerandet är så viktigt i sammanhanget utan det är musiken i sig själv som bär på dessa fantastiska egenskaper. Om man som litet barn får lyssna 13

17 på mycket musik så kan man under uppväxten utveckla intellektet på ett bättre sätt än om man inte hade lyssnat på musik. Ju mer musik barn hör innan de börjar gå i skolan, i desto högre grad kommer den neurologiska kodning de lär sig i denna fas att vara dem till hjälp under resten av livet [14]. 3.6 Suzukimetoden för matematik Den japanske violinisten Shinichi Suzuki menar att varje barn är fött med många anlag, men att barnet måste ha de rätta stimulerande upplevelserna för att dessa anlag ska utvecklas till talang. Han drar i sin musikpedagogik många paralleller till hur ett barn lär sig sitt modersmål. Utan så många förklaringar och grammatik men genom att lyssna och härma lär sig barnet tala ett språk. På samma sätt menar han att de kan, i mycket tidig ålder, lära sig att spela ett instrument [15]. Sten Rydh, som sedan 10 år driver en matteskola kallad Mattesmedjan i Bengtsfors, har tidigare jobbat med suzukimetoden som musiklärare. Nu jobbar han med suzukimetoden inom matematik. Enligt Rydh nämner Suzuki själv matematiken som ett ämne som skulle lämpa sig utmärkt för hans metoder. I Mattesmedjan, som drivs enligt suzukimetoden, kan barn vid 4-5 års ålder börja. Bland annat används rim, bilder, spel, berättelser, rytmer och musik för att lära barnen matematik. På samma sätt som den vanliga suzukimetoden i hög grad involverar föräldrarna i barnens lärande så låter även mattesmedjan föräldrarna vara mycket delaktiga i barnens lärande [16]. 4 Metod Jag har delat ut en enkät 5 till ett antal elever i årskurs 1 på gymnasiet. I den enkäten har de fått kryssa i slutbetyget från årskurs 9 i matematik, engelska och svenska. De har också fått ange om de spelar ett instrument och i så fall om de spelar efter noter och hur länge de spelat. De klasser som jag gjort enkäten i, är dels sex klasser från skolan där jag själv jobbar, John Bauergymnasiet i Uppsala. Två klasser är från Medieprogrammet, två från ITprogrammet och två från Entreprenörsprogrammet. Sedan har jag också delat ut enkäten i en samhällsklass och en naturklass. Målsättningen var att fördelningen av elever som svarar på enkäten, ungefärligt ska motsvaras av eleverna totalt i Uppsala kommun. Målsättningen har uppfyllts i det avseendet att fördelningen mellan elever som läser ett studieförberedande program i förhållande till 5 Enkäten medföljer som Bilaga A 14

18 elever som läser ett yrkesförberedande program, är ungefär densamma i enkäten som i Uppsala kommun, det vill säga drygt 30 % på studieförberedande program [16]. Däremot hade jag hoppats att få med elever från andra yrkesförberedande program än elever från min egen skola. Nu blev det en övervikt, bland de yrkesförberedande programmen, mot media och IT. En följd av att det blev två IT-klasser med i enkäten var också att det blev en övervikt killar bland de elever som var med. Min förhoppning var även att jag skulle ha delat ut enkäten till elever utan godkänt betyg, från årskurs 9, i matematik, engelska eller svenska. Tyvärr, från min sida, är det en policy bland många av Uppsalas gymnasieskolor att inte dela ut enkäter från några utanför skolan, de menar att enkättrycket då blir för hårt på eleverna. Om undersökningsmetoden har en hög reliabilitet beror i första hand på om de elever som svarat på enkäten har varit sanningsenliga i sina svar. Det kan hända att vissa elever upplevt att det känts olustigt att skriva ned sina betyg på en enkät. Jag har dock inte fått några som helst kommentarer från eleverna som pekar i den riktningen. Vissa elever tycker nog att det är skönt med ett kort avbrott från den vanliga lektionen, som en enkät ger upphov till. Andra elever tycker förmodligen att enkäter är väldigt tråkiga och har svårt att se syftet med dessa, kanske en inställning som delas av många av oss. Jag har därför försökt göra enkäten så lätt att svara på som möjligt, för att också få så sanningsenliga svar som det är möjligt att få. Bland annat är det bara rutor de behöver kryssa i, de behöver inte skriva några egna ord. Enkäten är också anonym för att försöka minimera känslan hos eleverna att utelämna sig själva när de kryssar i vilka betyg de fick i matematik, svenska och engelska. Undersökningens reliabilitet beror, till viss del, också på hur pass väl elevernas betyg i undersökningen, motsvaras av elevernas betyg totalt i Uppsala kommun. Det beror i sin tur både på hur många elever jag frågat samt vilka sorts klasser eleverna går i, som jag frågat. Om man jämför den procentuella fördelningen av betyg i min undersökning med skolverkets statistik av slutbetyg i årskurs 9 år 2006 i Uppsala [17], kan man i tabell 4.1 se hur det ser ut. Anledningen till att Skolverkets betygsstatistik inte når 100 % beror på att eleverna som inte nått upp till godkänt, också finns med i statistiken. Trots att jag själv inte hade möjlighet att ta med dessa elever i min undersökning, tycker jag fördelningen någorlunda stämmer med skolverkets. Undantaget är möjligen att eleverna i min undersökning har för stor andel VG i förhållande till MVG, i svenska. Om man kan förutsätta att eleverna har svarat riktigt på enkäten, tycker jag därför att metoden har relativt hög reliabilitet. 15

19 Matematik Engelska Svenska Min enkät Skolverket Min enkät Skolverket Min enkät Skolverket G 50 % 50 % 38 % 36 % 42 % 42 % VG 36 % 31 % 42 % 40 % 46 % 37 % MVG 14 % 13 % 20 % 20 % 12 % 18 % Tabell 4.1 Betygsstatistik åk 9 Uppsala [17] Då det övergripande syftet med undersökningen är att ta reda på om elever som är vana att läsa noter när de musicerar, generellt har lättare för matematik än de elever som inte spelar något instrument, tycker jag även att jag undersöker det jag har för avsikt att undersöka. Om man för det första utgår från att reliabiliteten är tillräckligt hög så tycker jag man även kan förutsätta att validiteten är tillräckligt hög. 5 Resultat och analys Resultatet bygger på svaren från en enkät som delades ut till 180 elever. 59 av dessa läser på ett studieförberedande program, medan 121 läser på ett yrkesförberedande program. Den första frågeställningen jag ställde, tidigare i examensarbetet, var: Vilken procentuell fördelning på de olika betygen i matematik, engelska och svenska är det på eleverna som spelar instrument efter noter? Procent G VG MVG 0 Ma Eng Sv Diagram 5.1 Elever som spelar instrument efter noter 16

20 Av de totalt 180 elever som deltagit i enkätundersökningen är det 37 elever som svarat att de spelar instrument efter noter. Av dessa 37 var 16 från ett yrkesförberedande program och 21 från ett studieförberedande. Vi kan se att andelen elever med MVG i betyg fördelar sig ganska jämnt mellan de olika ämnena. Däremot är det en högre procent G i förhållande till VG i matematik, jämfört med engelska och svenska. Den andra frågeställningen var: Vilken procentuell fördelning på de olika betygen i matematik, engelska och svenska är det på eleverna som spelar instrument utan att läsa noter Procent G VG MVG 0 Ma Eng Sv Diagram 5.2 Elever som spelar instrument utan att läsa noter Här är det 50 elever som angett att de spelar ett instrument utan att läsa noter. Av dessa 50 kommer 38 från ett yrkesförberedande program medan 12 kommer från ett studieförberedande. Den tredje frågeställningen var: Vilken procentuell fördelning på de olika betygen i matematik, engelska och svenska är det på eleverna som inte alls spelar något instrument 17

21 Procent G VG MVG 0 Ma Eng Sv Ämne Diagram 5.3 Elever som inte spelar instrument 94 av 180 elever har angett att de inte spelar något instrument. Av dessa är 68 från de yrkesförberedande programmen och 26 från de studieförberedande. Om vi jämför eleverna som inte spelar ett instrument med eleverna som spelar ett instrument utan att läsa noter ser vi att den största skillnaden är den för matematik. I engelska är betygen i de närmaste likadana medan det i svenska, för eleverna som inte spelar ett instrument, har blivit så att VG eleverna har minskat till förmån för G eleverna. I matematik är det betydligt fler av eleverna, som inte spelar något instrument, som har ett VG i betyg. Däremot så är det färre av eleverna, som inte spelar något instrument, som har MVG. Det är därför, såväl i matematik som i de övriga ämnena svårt att avgöra om betyget är bättre eller sämre för de elever som inte spelar något instrument jämfört med dem som spelar ett instrument utan att läsa noter. Om vi jämför eleverna som inte spelar något instrument med eleverna som spelar ett instrument efter noter ser vi större skillnader. Ökningen av MVG-elever i matematik, engelska och svenska är 16, 11 respektive 22 %. Minskningen av G-elever i matematik, engelska och svenska är 14, 22 respektive 25 %. Jämför vi de olika ämnena så är det i svenska den största skillnaden finns. Vidare var de två sista frågeställningarna: Har det någon betydelse för den procentuella fördelningen, hur länge man spelat ett instrument? Kan man se skillnad på tjejers och killars resultat? 18

22 Betyg då eleven spelat mer än 5 år Betyg då eleven spelat 0-5 år Procent G VG MVG Procent G VG MVG 0 Ma Eng Sv 0 Ma Eng Sv Diagram 5.4 Diagram 5.5 Det är 60 elever som spelat ett instrument i 0 5 år och 27 elever som spelat i mer än 5 år. Här ser vi att det för samtliga ämnen blir bättre betyg när eleven spelat mer än 5 år. Ökningen av MVG-elever är större i matematik än vad den är i engelska och svenska. Om vi delar upp detta resultat för killar och tjejer får vi, i matematik, följande fördelning: Betyg i matematik för killar beroende på antal år man spelat Betyg i matematik för tjejer beroende på antal år man spelat Procent >5 G VG MVG Antal år Procent >5 G VG MVG Antal år Diagram 5.6 Diagram 5.7 Vi kan se att tjejerna har högre betyg i matematik, sett till hur länge de spelat ett instrument. Dock är det i denna undersökning, främst bland tjejerna, ett för litet antal elever för att kunna dra några tydliga tendenser. Bland killarna är det 41 elever som spelat 0 5 år och 19 som spelat längre än 5 år. För tjejerna är det 19 elever som spelat 0 5 år och 8 som spelat längre än 5 år. Slår vi ihop de elever som spelar instrument efter noter med de elever som spelar ett instrument utan att läsa noter, får vi detta diagram: 19

23 Betyg för elever som spelar instrument Procent Ma Eng Sv Ämne G VG MVG Diagram 5.8 Här är det totalt 86 elever som angett att de kan spela ett instrument. Om vi delar upp detta diagram i killar respektive tjejer ser det ut såhär: Betyg för killar som spelar instrument Betyg för tjejer som spelar instrument Procent Ma Eng Sv Ämne G VG MVG Procent Ma Eng Sv Ämne G VG MVG Diagram 5.9 Diagram 5.10 Här är det 60 killar och 26 tjejer som svarat att de spelar ett instrument. Som vi ser så ligger tjejerna betydligt högre i betygnivå. Speciellt i svenska ligger tjejerna mycket högre, men även i matematik och engelska är det avsevärda skillnader. 6 Diskussion och slutsatser Som nämndes i Inledningen så var en av anledningarna till att jag valde att skriva mitt examensarbete om det här ämnet, att jag träffat många personer som varit duktiga i matematik och som också spelat ett instrument. Det har känts som om det varit onormalt många som varit duktiga i både matematik och musik, med tanke på att dessa ämnen på vissa sätt verkar så olika. Jag ville med det här examensarbetet bland annat ta reda på om det verkligen var så, 20

24 eller om jag bara har kommit ihåg dessa personer bättre då jag själv har matematik och musik som mina stora intressen. En tydlig beröringspunkt mellan musik och matematik är musikteorin. Den är uppbyggd på ett väldigt matematiskt och logiskt sätt, där det speciellt går att se likheter med bråkräkningen. En naturlig angreppspunkt var därför att undersöka vad elever som kan musikteori, det vill säga spelar sitt instrument efter noter, har för betyg i matematik. Dessutom att jämföra betyget i matematik med andra ämnen, för att kunna urskilja om det är en högre andel instrumentalister som är duktiga i just matematik. Det som mycket tyder på i min undersökning är att elever som spelar ett instrument efter noter har högre betyg i såväl matematik, engelska och svenska, än både de som inte spelar något instrument, men också högre än de som spelar ett instrument utan att läsa noter. Detta resultat bekräftar vad många andra undersökningar visat. Som nämnts tidigare visar till exempel Winner på samma resultat i de olika tester hon tar upp. Som också Winner påpekade så är det av endast dessa resultat svårt att säga vad som beror på vad. Det kan både vara så att det är de begåvade eleverna som väljer att lära sig spela efter noter och själva övandet av notläsningen som gör att de presterar bra i skolan. Det kan förstås också vara en kombination av de båda. En annan sak jag kunnat utläsa är att de elever, i min undersökning, som spelat ett instrument under längst tid har bättre betyg än de elever som inte spelat så länge. Här är ökningen klart större i matematik än i svenska och framförallt engelska. Kanske är det för få elever med i undersökningen för att man ska kunna dra några bestämda slutsatser men det skulle vara intressant att undersöka vidare hur det är med den här saken. Jag kan dock inte se några tydliga tecken på att det just i matematik skulle vara några större skillnader i betyg, mellan de som läser noter och de som inte spelar något instrument, än alla andra ämnen. Av det jag kan se, i min undersökning, så är det i svenska som de största betygsskillnaderna är, även om matematik kommer tätt efter. Däremot så har engelskan betydligt mindre betygsskillnader än matematik och svenska. Även om man jämför hur betyget i de olika ämnena ökar beroende på hur länge eleven spelat, så blir det för engelskan även här den minsta ökningen. De resultat jag fått utav den här undersökningen pekar på att av matematik, engelska och svenska, så är engelskan det ämne som påverkas minst av att eleven spelar något instrument. Vad som har visat sig väldigt tydligt i undersökningen är att tjejerna haft betydligt bättre betyg än killarna. Det kan bero på att i de yrkesförberedande program, där jag delat ut enkäten, har det varit en klar majoritet killar, medan det i de studieförberedande programmen 21

25 varit ganska jämnt fördelat. Då betygssnittet ligger lägre hos de elever som går på ett yrkesförberedande program har också killarnas betygssnitt blivit lägre än tjejernas. Vad som inte är lika lätt att förklara är att av eleverna som spelar ett instrument så ökar tjejernas betyg i betydligt högre utsträckning, än killarnas, beroende på hur länge de spelat. Här skulle det också vara intressant att fortsätta undersökningen. Om det verkligen är så att det framförallt är tjejerna som utvecklas betygsmässigt desto längre de spelar ett instrument och vad det i så fall kan bero på. Bland mina frågeställningar fanns det två stycken jag inte väntade mig att få några konkreta svar på. Om man kan utvecklas i matematik genom att lära sig musikteori och om man kan utvecklas i matematik genom att spela ett instrument. Frågorna är stora och komplexa, men det kändes intressant att försöka tränga djupare in i dem. Enligt den så kallade Mozarteffekten så kan man utvecklas i såväl matematik som i andra ämnen om man lyssnar eller spelar ett instrument. Även om jag själv tror att musiken kan påverka oss en hel del, är jag skeptisk till om musiken verkligen har de fantastiska egenskaper som Campbell och övriga förespråkare för Mozarteffekten verkligen försöker få oss att tro. Jag skulle i så fall vilja ha mer pålitlig statistik som skulle kunna visa att så är fallet. Min tanke var här att jag skulle undersöka betyget hos de elever som spelade efter noter och jämföra betyget för de elever som inte spelat så länge, med betyget för de som spelat en längre tid. Sedan skulle jag göra samma jämförelse med de elever som spelade instrument utan att använda noter. Det visade sig dock i slutändan att elevunderlaget blev för litet för att jag skulle kunna göra några tydliga jämförelser. Till exempel fick jag av alla 180 elever jag frågade, bara fram 8 elever som spelat längre än 5 år och som inte spelade efter noter, samtliga av dessa var killar. Att använda sig av enkäter i en sådan här undersökning har både sina fördelar och nackdelar. En fördel är att man kan styra det till att man får svar på just de frågor man vill ha svar på. Det här förutsätter förstås att man verkligen tänkt igenom vilka frågor det är man vill ha svar på, vilket inte är så enkelt som det låter. Det förutsätter också att man har formulerat frågorna så att det inte går att missförstå dem, även det är svårare än man kan tro. Om man lätt har möjlighet att dela ut den i många klasser är det också ett snabbt och smidigt sätt att få sin information. En nackdel kan vara att om man har olika frågor på enkäten och vill dela upp resultatet i olika delar, så krävs det att väldigt många har svarat på enkäten för att det i varje del ska bli tillräckligt med underlag för att dra några slutsatser. Ett annat problem med enkäter är att man aldrig kan vara helt säker på att de som svarar på enkäten tar sig tid att verkligen svara sanningsenligt, att de inte bara kryssar i några rutor för att bli av med den så snabbt som 22

26 möjligt. Det kan vara en bra idé att komplettera enkäterna med några längre intervjuer, där det är troligare att man får mer genomtänkta svar. Jag är inte säker på resultaten från denna undersökning med detsamma kommer att konkret påverka min undervisning. Däremot har den gett upphov till nya kunskaper som jag kanske så småningom kommer att kunna plocka in i undervisningen. Dessutom har den kanske framförallt gett upphov till en rad nya frågor och funderingar som det någon gång skulle vara spännande att jobba vidare med. 23

27 Referenser [1] [2] Bo Göran Johansson, Matematikens historia, Studentlitteratur, [3] Stanley Sadie, Musikguide, Bonniers, [4] Sixten Nordström, Så blir det musik, Dialogos, [5] Bengt Ulin, Matematik & Musik, Ekelunds förlag, [6] [7] Bengt Ulin, Matematik i musiken, Artikel i Nämnaren Nr 2, [8] [9] [10] [11] [12] Ellen Winner, Begåvade barn, Brain Books, [13] Brian Butterworth, Den matematiska människan, Wahlström och Widstrand, [14] Don Campbell, Mozarteffekten, Richters, [15] [16] [17] [18] Anders Vretblad, Algebra och Geometri, Gleerups, [19] [20] Jan Thompson, Matematiklexikon, Wahlström och Widstrand,

28 Bilaga A Enkät om musik och betyg Kille Tjej Vad fick du för betyg i matematik när du gick ut 9: an? IG G VG MVG Vad fick du för betyg i engelska när du gick ut 9: an? IG G VG MVG Vad fick du för betyg i svenska när du gick ut 9: an? IG G VG MVG Kan du spela något instrument? Ja Nej Om du svarade Ja på den förra frågan, fortsätt här: Hur länge har du spelat? 0-5 år Mer än 5 år Spelar du efter noter? Ja Nej 25

29 Bilaga B a b Bevis för att A G, där A och G ab 2 och där a och b är positiva tal [18]. A G a b 2 ab 1 ( a 2 b 2 ab) 1 ( 2 a b) 2 0 A G. Bevis för att G H, där G ab och H 2ab a b och där a och b är positiva tal. G H ab ab( a a b 2ab a b 2 b) 0 ab( a a b G H. b) 2ab a b a ab b a ab b 2ab ab( a b 2 a b ab) A G och G H H G A 26

30 Bilaga C Bevis för att talet 2 är irrationellt [18]. Detta kan bevisas genom ett så kallat motsägelsebevis. Vi antar att 2 är rationellt och att vi därmed kan skriva 2 a / b, där a och b är heltal. Vi kan vidare anta att bråket är förkortat så långt som möjligt, det vill säga att SGD (a, b) = 1. Vi har alltså varav följer 2 b 2 2 a / eller 2 a / b, 2 2 2b a. (1) Vänsterledet är här delbart med 2 och därmed även högerledet. Om kvadraten på a är delbart med två, det vill säga jämnt, måste även talet a vara jämnt. Då kan vi skriva a 2 c för något heltal c, vilket insatt i (1) ger 2 c b (2c) 4c b 2. Nu är högerledet jämnt och samma resonemang som ovan ger att b måste vara ett jämnt tal, b 2d, där d är ett heltal. Nu har vi kommit fram till att a 2 c och b 2d, vilket innebär att bråket a/ b går att förkorta med 2. Detta stridet mot antagandet att bråket var förkortat så långt som möjligt. Vi har fått en motsägelse antagandet att 2 går att skriva som ett bråk måste vara felaktigt, därmed måste 2 vara irrationellt. 27

31 Bilaga D Bevis för att [19] Definitionen av det gyllene snittet säger att vänsterledet i detta uttryck med y får vi x y x x y. Divideras alla termer i x y 1 x y x y. 1 2 Ur detta får vi 1 0. nämligen Denna andragradsekvation har en positiv rot,