Lösningsförslag, v.5 Preliminär version 8 juni 26, reservation för fel! Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 26-5-2 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. English version follows after the Swedish. Tentamen bedöms med betyg 3,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 7 poäng från uppgifterna, varav minst 3 poäng från uppgifterna 8. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 26 (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. Uppgift 7 kan ersättas med aktivt deltagande vid räkneövningar under kursens gång. För betyg krävs utöver godkänt resultat från minst 5% (2 poäng) från uppgift, för betyg 5 minst 75% (8 poäng). Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 7 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 8. Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng, uppgift 7 genom att ha deltagit i räkneövningar.. Låt f(x) = ln ( 2 π arctan x) (a) Vilken är (den största möjliga) definitionsmängden D f för f? (Vi kräver reella tal som värden.) (b) f är strängt växande i sin definitionsmängd och därför inverterbar. Ange ett uttryck för f (x). (c) Vad är definitionsmängden D f för f? Lösningsförslag: (a) Definitionsmängden för ln är intervallet (, ), vilket gör att 2 π arctan x måste anta positiva värden, vilket är fallet precis för x i (, ). Definitionsmängden till f är alltså D f = (, ).
(b) y = f (x) x = f(y) ( ) 2 x = ln π arctan y 2 arctan y = ex π arctan y = π 2 ex ( π y = tan 2 ex) (c) Definitionsmängden för f är värdemängden för f. Eftersom f är kontinuerlig och strängt växande på intervallet (, ) (vilket följer av att både arctan och ln är kontinuerliga och strängt växande), så är värdemängden till f intervallet (a, b), där ( ) ( ) 2 2 a = lim f(x) = lim ln x + x + π arctan x = lim ln u + π u =, eftersom arctan x + då x +, och b = lim f(x) = x + lim ln x + ( 2 π arctan x eftersom arctan x (π/2) då x +. ) ( ) 2 = lim ln u (π/2) π u = ln =, 2. Låt f(x) = sin ( π (x 3)(2x 2). Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. Gränsvärdet kan vara ett tal, + eller. Om ett gränsvärde inte skulle finnas, ange och motivera detta. (Tips: Se formelbladet för gränsvärdet av sin x x då x.) (a) lim f(x) x (b) lim f(x) x 3 + (c) lim f(x) x + Lösningsförslag: (a) Notera att både täljaren och faktorn 2x 2 = 2(x ) i nämnaren går mot noll då x. Vi har också att så lim x sin ( π π [t= (x )] sin t π (x ) = lim =, t t lim f(x) = lim x x = lim x sin ( π (x 3)(2x 2) ( π x 3 sin 2(x ) = lim x x 3 π = 2 π 8 = π 6. 2 8 sin ( π π (x )
(b) Notera att nämnaren går mot noll då x 3 +, men att sin ( π sin(π/2) = och 2x 2. Notera också att x 3 > då x > 3. Alltså gäller att lim x 3 + ( π sin (x 3)(2x 2) = lim x 3 + (x 3) = +. (c) Nämnaren sin ( π har inget gränsvärde då x +, men ( π ) sin (x ) för alla värden på x. Alltså är sin ( π (x 3)(2x 2) (x 3)(2x 2) så lim x + sin ( π (x 3)(2x 2) =. 3. Ekvationen y 2 5x 2 y + ln(5 x 2 ) = definierar en kurva i xy-planet som innehåller punkten (x, y) = (2, 2). Bestäm kurvans tangentlutning dx i denna punkt. Lösningsförslag: Vi kan derivera implicit: Med (x, y) = (2, 2) får vi då y 2 5x 2 y + ln(5 x 2 ) = = d ( y 2 5x 2 y + ln(5 x 2 ) ) = 2x = 2y xy 5x2 dx dx + = (2y 5x 2 ) dx = xy + 2x 5 x 2 = dx = xy + 2y 5x 2. vilket är den sökta tangentlutningen. = dx (x,y)=(2,2) 2 = 2,2, 5 x 2 = 2x 5 x 2. Betrakta funktionen f(x) = x 2 e x, definierad på (, ) (a) Bestäm eventuella lokala extremvärden till f(x), för vilka x de antas, om de är lokala minima eller maxima. (b) Utred ifall f(x) har något absolut maximum eller minimum, dvs ett största och/eller minsta värde globalt, och vad de i så fall är. Lösningsförslag: (a)vi studerar derivatan av f(x) = x 2 e x för att hitta lokala extremvärden. f (x) = d ( ) d dx x2 e x = dx x2 e x + x 2 d dx e x = 2xe x + x 2 ( e x) = x(2 x)e x. 3
En funktion f(x) har ett lokalt maximum om den går från växande till avtagande med ökande x, och ett lokalt minimum om den växlar från växande till avtagande. Derivatans tecken i olika intervall, och vad det betyder för f(x) kan vi sammanfatta i följande tabell, observera att e x > för alla x. x 2 x f (x) f(x) x < + strängt avtagande x = + lokalt minimum, f() = < x < 2 + + + strängt växande x = 2 + lokalt maximum, f(2) = e 2 2 < x + strängt avtagande Funktionen f(x) har alltså ett lokalt minimum f() = och ett lokalt maximum f(2) = e 2 och inga andra lokala extrema. (b) Funktionen f(x) är kontinuerlig och deriverbar överallt. Vad vi behöver undersöka är gränsvärdena då x ±. Vad gränsvärdena är för en potens gånger en exponentialfunktion kan man få hjälp av från formelbladet. Vi har lim f(x) = +, x eftersom x 2 + och e x + då x, (exponenten går mot + ), medan lim f(x) =, x + då en potensfunktion gånger en exponentialfunktion som går mot noll har gränsvärde noll i oändligheten. Vi kan komplettera tabellen för att få en helhetsbild. x 2 x f (x) f(x) x + x < + strängt avtagande x = + lokalt minimum, f() = < x < 2 + + + strängt växande x = 2 + lokalt maximum, f(2) = e 2 2 < x + strängt avtagande x + Notera att f(x) > för alla x utom för x =. Vi har alltså att f() = är ett absolut minimum, medan f(x) inte har något absolut maximum, eftersom f(x) + då x. 5. Bestäm en primitiv funktion F (x) (dvs F (x) = f(x)) till funktionen sådan att F (ln π) =. Lösningsförslag: f(x) = e x sin e x Vi utvecklar den obestämda integralen f(x)dx med hjälp av variabelsubstitutionen u = e x. u = e x = du = du dx dx = ex dx. f(x) dx = e x sin e x dx = sin u du = cos u + C = cos e x + C,
där C är en allmän konstant. För att bestämma vår sökta funktion F (x) bestämmer vi C så att F (ln π) = för F (x) = cos e x + C. F (ln π) = cos e ln π + C = cos π + C = + C, så F (ln π) = om och bara om C =. Den sökta funktionen är F (x) = cos e x. 6. Beräkna värdet av den bestämda integralen x sin(πx) dx. Lösningsförslag: Vi kan använda partiell integration, där vi utnyttjar att π cos πx är en primitiv funktion till sin(πx). [ x sin(πx) dx = x ( π )] x= cos(πx) dx ( π ) x= dx cos(πx) = π cos π + π cos + cos(πx) dx π = π ( ) + cos(πx) dx π = [ ] x= π + π 2 sin(πx) x= = π + π 2 sin π π 2 sin dx = π 7. En båt lämnar en brygga klockan : och färdas rätt söderut i en fart av 2 km/h. En annan båt ankommer med hastigheten 5 km/h i rak östlig riktning till samma brygga klockan 5: samma dag. Vid vilken tidpunkt var de två båtarna som närmast varann? Lösningsförslag: Låt t vara tiden i timmar räknat från klockan : och a och b avståndet från respektive båt till bryggan. Då är a = 2t och b = 5( t). Om avståndet mellan båtarna är d, är enligt pythagoras sats, d 2 = a 2 + b 2 = t 2 + 225( t) 2. För att hitta minimum av d = d 2 kan vi lika gärna söka minimum av d 2, eftersom d 2 är strängt växande som funktion av d. Låt f(t) = d 2 = t 2 + 225( t) 2 Vi studerar derivatan f (t) = 8t + 5( t) ( ) = 25t 5 = 25(t 9 25 ), 5
och konstaterar att f (x) < för t < 9 25 och f (x) > för t > 9 25. f(t) är alltså minimal då t = 9 25 =.36. För att få klockslaget noterar vi att.36 timmar är lika med.36 6 = 2.6 minuter, dvs 2 minuter och 36 sekunder. Båtarna är alltså som närmast varann klockan :2:36 (eller :22, om vi avrundar till närmsta hela minut). 8. Bestäm en lösning y = f(x) till differentialekvationen som uppfyller villkoret f() =. dx = ex y Lösningsförslag: Differentialekvationen dx = ex y är separabel. Vi bestämmer dess allmänna lösning genom att separera variablerna och integrera. dx = ex y y /2 = e x dx 2y /2 = e x + C (*) = y = (ex + C) 2, där C är en allmän konstant. Vi kan bestämma C genom att lösa ut C ur ekvation (*) och sätta in x =, y = : Den sökta lösningen är alltså C = 2y /2 e x (x,y)=(,) = 2 =. y = f(x) = (ex + ) 2. 9. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen dx + 2y x = x3. Lösningsförslag: Differentialekvationen dx + 2y x = x3. är linjär, och kan lösas genom integrering efter multiplikation med en integrerande faktor e G(x), där G (x) = 2 x. En sådan funktion är G(x) = 2 ln x, vilket ger en integrerande faktor e 2 ln x = x 2. Vi har då att dx + 2y x = x3 d ( x 2 y ) = x 5 dx x 2 y = x 5 dx = 6 x6 + C y = 6 x + Cx 2, 6
där C är konstant, för x > respektive för x <. Observera att y inte är definierad då x =. Den allmänna lösningen till differentialekvationen är y = 6 x + Cx 2 där C är konstant för x < respektive för x >.. (a) [p] Bestäm den allmänna lösningen y = y(x) till den homogena differentialekvationen y + y + 7y =. (b) [2p] Bestäm lösningen y = y(x) till begynnelsevärdesproblemet y + y + 7y = 7x + 38, y() = y () =. Lösningsförslag: (a) Den karakteristiska ekvationen till är r 2 +r+7 = r 2 +r+ 7 = r = 2 ± Av det följer att den allmänna lösningen till (*) är y + y + 7y = (*) y = C e ( 2 +2i)x + C 2 e ( 2 2i)x = e 2 x (A cos(2x) + B sin(2x)), 7 r = 2 ± r = 2 ±2i. där C och C 2 är två allmänna konstanter (komplexkonjugerade om y ska vara reellvärd) och likaså A = C + C 2 och B = C i C 2 i (reella om y ska vara reellvärd). (b) Den allmänna lösningen till y + y + 7y = 7x + 38 (**) får vi genom att till en partikulärlösning till (**) addera den allmänna lösningen till (*) från (a). Vi bestämmer en partikulärlösning genom att ansätta y = y p = ax + b. Då är y p + y p + 7y p = + a + 7(ax + b) = 7ax + a + 7b, så för att y = y p ska lösa differentialekvationen behöver vi ha 7a = 7 a + 7b = 38 Den allmänna lösningen till (**) är alltså a = b = 2. y = x + 2 + e 2 x (A cos(2x) + B sin(2x)) 7
där A och B är allmänna konstanter. Nästa steg är att bestämma dessa konstanter så att begynnelsevillkoren uppfylls. Om så är y = x + 2 + e 2 x (A cos(2x) + B sin(2x)) y = 2 e 2 x (A cos(2x) + B sin(2x)) + e 2 x ( 2A sin(2x) + 2B cos(2x)) ( = + e 2 x ( 2 A + 2B) cos(2x) + ( 2A ) 2 B) sin(2x). Då har vi för begynnelsevillkoren att y() = 2 + A = y () = + ( 2 A + 2B) = A = 2 2B = + 2 A A = 2 B =. Lösningen till begynnelsevärdesproblemet är alltså y = x + 2 + e 2 x ( 2 cos(2x) sin(2x)). 8
Del II. Följande uppgifter räknas för betyg och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 2. Även presentationen bedöms.. För att dra ett föremål längs ett horisontellt plan med hjälp av en lina som bildar vinkeln θ mot planet, krävs en kraft F = µmg µ sin θ + cos θ där m är föremålets massa, g tyngdaccelerationen och µ friktionskoefficienten (som beror på material och struktur på ytorna). För vilken vinkel θ blir kraften F minimal? Lösningsförslag: För att hitta det värde på θ som minimerar kraften studerar vi derivatan d df dθ = µmg dθ (µ sin θ + cos θ) µ cos θ sin θ (µ sin θ + cos θ) 2 = µmg (µ sin θ + cos θ) 2 på intervallet θ π/2. Vi förutsätter att µ, m och g är positiva storheter, och vi har att (µ sin θ + cos θ) 2 > på intervallet. Teckenväxlingen för df dθ µ cos θ + sin θ = cos θ (tan θ µ). Vi har teckenväxling i intervallet θ π/2 enligt tabellen tan θ cos θ cos θ (tan θ µ) θ = µ < θ < arctan µ < µ + θ = arctan µ µ + arctan µ < θ < π/2 > µ + + θ (π/2) + är då samma som för Vi observerar att F måste ha sitt minimum då θ = arctan µ. 2. Låt f(x) = x 3 e x. (a) [3p] Bestäm ev lokala extrema, terasspunkter och asymptoter till f(x) och skissa utifrån det grafen y = f(x). (b) [3p] Bestäm värdet av integralen f(x) dx om den är konvergent, annars visa att den är divergent. Lösningsförslag: (a) För att analysera f(x) med avseende på lokala extrema och terasspunkter studerar vi derivatan, f (x) = d dx x3 e x = 3x 2 e x + x 3 ( e x) ( x 3 ) = x 2 9 ( ) 3 x e x
Vi kan göra ett teckentabell för f, och vad det säger om förändringen av f(x). f (x) f(x) x < (3/) / x = (3/) / lok. min. (3/) / < x < + x = terasspunkt < x < (3/) / + x = (3/) / lok. max. x > (3/) / Vi noterar att f har ett lokalt minimum f((3/) / ) = (3/) 9/ e 3/ då x = (3/) /, en terasspunkt (, ) och ett lokalt minimum f( (3/) / ) = (3/) 9/ e 3/ då x = (3/) /. Vi studerar vidare gränsvärdena av f(x) då x ±. u=x lim f(x) = lim x + u + u3/ e u = u=x lim f(x) = lim x u + u3/ e u = Vi konstaterar att kurvan y = f(x) har y = som asymptot y = både då x och då x. Notera också att f är en udda funktion, dvs att f( x) = f(x). Utifrån detta kan vi få en rätt bra bild av kurvan y = f(x). (b) Variabelsubstitutionen u = x, du dx = x3 konstatera att b f(x) dx = b x 3 e x dx = b eu du = e b +. som går mot / då b +. Alltså är den generaliserade integralen konvergent, med värdet /. f(x) dx
3. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen dx + x3 y + x 7 = Lösningsförslag: Differentialekvationen är linjär, vi kan använda en integrerande faktor e x för att lösa den med integration: dx + x3 y + x 7 = d ( ye x) = x 7 e x dx ye x = x 7 e x dx. Vi forstätter med att utveckla integralen. Variabelsubstitutionen u = x, du dx = x3 ger x 7 e x dx = x e x x 3 dx = ue u du. Vi kan sedan använda partiell integration, där vi utnyttjar att d du eu = e u : ue u du = u d ( ) d du eu du = [ ue u ] du ( u) e u du = [ ue u ] + e u du = [ ue u + e u ] = ( u)e u + C där C är en allmän konstant. Substituerar vi tillbaka får vi då att dx + x3 y + x 7 = ye x = ( x ) e x + C y = x + Ce x Den allmänna lösningen till differentialekvationen är alltså där C är en allmän konstant. dx + x3 y + x 7 = y = x + Ce x. Bestäm lösningen y = f(x) till differentialekvationen på intervallet ( 2, 2), där f() = y. dx = x 2 Vad kan man säga om gränsvärdena lim x 2 + y och lim x 2 y? Lösningsförslag: Differentialekvationen dx = x 2
löses direkt med integration, dx = x 2 dx y = x 2. För att utveckla integralen gör vi lämpligen en partialbråksuppdelning. Nämnaren kan faktoriseras som x 2 = (x 2)(x + 2), så vi ansätter (x 2)(x + 2) = A x 2 + B x + 2. Koefficienterna kan bestämmas till exempel med handpåläggning. Om vi multiplicerar med x 2 och sätter in x = 2 får vi A = = (x + 2) x=2 och om vi istället multiplicerar med x + 2 och sätter in x = 2 får vi Vi har alltså den allmänna lösningen y = ( dx / x 2 = x 2 / ) x + 2 B = = (x 2) x= 2. dx = (ln x 2 ln x + 2 + C) = ln c x 2 x + 2 där C = ln c är konstant på vart och ett av intervallen (, 2), ( 2, 2) och (2, ). (Observera att det inte finns någon lösning som är definierad på ett intervall som innehåller någon av punkterna 2 eller 2.) / 8 juni 26/SK, 2
The exam is graded 5,, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result (grade 3) at least 7 points are needed from problems (Part I), among these at least 3 points from problems 8. Each of these problems may yield 3 points. From each of problems 6 you may choose to use the results from the pre-tests (dugga) instead of giving a solution to the exam problems. (The results from the pre-tests are found appended.) In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. If you have been active in the tutorials during the course, the points for problem seven will be awarded for free. For grade the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 5% (2 points) in part II (problems ). For grade 5 at least 75% (8 points) in part II is required. Give full solutions to all problems. Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Numerical values may be given as expressions including factors like π and logarithms, if needed. Part I. Problems is for passing. Each problem can give up to 3 points. To pass the course (grade 3 5) at least 7 points are required, whereof at least 3 points from problems 8. Problems 6 may one by one be substituted for by pre-test grades, problem 7 by participating in tutorials during the course.. Låt f(x) = ln ( 2 π arctan x) 2. Let (a) Which is the (largest possible) domain D f of f? (Real number required as function values.) (b) f is strictly increasing in its domain and therefore invertible. Find an expression for f (x). (c) Which is the domain of f, D f? f(x) = sin ( π (x 3)(2x 2). Find the following limits, if they exist. The limit might be a number, + or. If a limit does not exist, state so, and give a motivation. (Hint: See the cheat sheet for the limit of sin x x as x.) (a) lim f(x) x (b) lim f(x) x 3 + (c) lim f(x) x + 3
3. Ekvationen y 2 5x 2 y + ln(5 x 2 ) = defines a curve in the xy planet which includes the point (x, y) = (2, 2). Find the tangent slope dx of the curve at this point.. The function f(x) = x 2 e x is defined in the domain (, ). (a) Find any local extrema (min/max) of f(x), for which x they are assumed, and if they are minima or maxima. (b) Examine if f(x) has any absolute maximum or minimum, that is, a greatest or least global value, and in that case, these values. 5. Find a primitive function (anti-derivative) F (x) (i.e. F (x) = f(x)) of the function f(x) = e x sin e x such that F (ln π) =. 6. Find the value of the definite integral x sin(πx) dx. 7. A boat leaves a dock at : and travels due south at a speed of 2 km/h. Another boat has been heading due east at 5 km/h and reaches the same dock at 5: the same day. At what time were the two boats closest together? 8. Find a solution y = f(x) to the differential equation which fulfils the condition f() =. dx = ex y 9. Find the general solution to the differential equation dx + 2y x = x3.. (a) [p] Find the general solution y = y(x) to the homogeneous differential equation y + y + 7y =. (b) [2p] Find the solution y = y(x) to the initial value problem y + y + 7y = 7x + 38, y() = y () =.
Part II. The following problems are for grades and 5. Each problem yields up to 6 points. The assessment also includes the presentation.. To drag an object by a line, forming an angle θ to the plane, the force needed is F = µmg µ sin θ + cos θ where m is the mass of the object, g the acceleration of gravity, and µ the coefficient of friction (which depends on the materials and structure of the contact surfaces). Which angle θ will minimize the force F? 2. Let f(x) = x 3 e x. (a) [3p] Find any local extrema, terrace points and asymptotes of f(x) and, with help thereof, sketch the graph y = f(x). (b) [3p] Find the value of the integral f(x) dx if it s convergent, otherwise, show that it is divergent. 3. Find the general solution of the differential equation dx + x3 y + x 7 =. Find the solution y = f(x) to the differential equation in the interval ( 2, 2), where f() = y. dx = x 2 What can be said about the limits lim x 2 + y and lim x 2 y? Good luck! /SK 5