6/4/2012 The Mad Mathematician s Mathematic Consultancy Bureau Gustav Stenkvist

Undersökning av hur kastlängden varierar i kulstötning Längden på en kulstöt beror på olika variabler. Höjden, hastigheten, kastvinkeln samt tyngdsaccelerationen spelar roll. Dessa varibler ska varieras för att se hur kastlängden varieras efter dessa. 6/4/2012 The Mad Mathematician s Mathematic Consultancy Bureau Gustav Stenkvist

Undersökning av hur kastlängden varierar i kulstötning Längden på en kulstöt beror på olika variabler. Höjden, hastigheten, kastvinkeln samt tyngdsaccelerationen spelar roll. Dessa varibler ska varieras, där höjden ska vara runt 2 meter, hastigheten kring 12 m/s samt vinkeln kring 45. Tyngdaccelerationen är given som 9,8 m/s 2. För en stöt i kulstötning gäller: { där t är tiden, v är hastigheten och g är tyngdaccelerationen. Först skall ett uttryck för kastlängden R bestämmas, och sedan studeras det hur R beror av v, samt h. Svar Kastlängden beror på alla tre variablerna. Längden ökar med hastigheten. Ju högre höjden blir desto längre blir kastet. Vinkeln beror på de andra variablerna och måste därför studeras innan man kan hitta den optimala vinkeln. Metoder Första metoden är algebraisk där PQ-formeln används. I andra metoden används Geogebra för att finna svaret. Tredje metoden är en praktisk metod där teorin testas i verkligheten. Metod 1 I metod ett löses uppgiften algebraiskt med hjälp av PQ-formeln. { gäller. när PQ-formeln säger: Om så är ( ) så gäller: =

Det är bara det positiva x-värdet som är intressant. Alltså: ( ) t 1 i ger ( ) ( ) = Om kastlängden R blir en funktion av hastigheten v och resten av variablerna anses vara konstanterna K 1,2,3... gäller: En snabbanalys fås om konstanterna tillfälligt sätts = 1 (utom K 3 som sätts = 0) så gäller: Kastlängden R ökar proportionellt mot v i kvadrat. För en precisare analys måste vi titta för vad dom olika konstanterna står för: o K 1 är 2 cos α där α varierar runt 45 dvs K 1 o K 2 är där varierar runt 45 dvs K 2 o K 3 är där och varierar runt 2 dvs K 3 40 o K 4 är sin 2 där varierar runt 45, dvs K 4 1 o K 5 är g dvs 9,8. Påverkar hela uttrycket så den kan tas bort. Utifrån detta kan det avläsas att om ju mer hastigheten ökar desto mindre del % utgör felet. Vid våran hastighet 12 m/s är felet dock lite för stort för att snabbanalysen ska kunna gälla. Om utgångshöjden skulle bli betydligt mindre så skulle däremot snabbanalysen kunna gälla. Om kastlängden R blir en funktion av höjden h och resten av variablerna anses vara konstanterna K 1,2,3... gäller: om konstanterna bortses så gäller: Kastlängden R ökar proportionellt mot kvadratroten ur h. För en precisare analys måste vi titta för vad dom olika konstanterna står för: o K 1 är 2 cos α v där α varierar runt 45 och hastigheten runt 12 dvs K 1 12 o K 2 är v 2 där varierar runt 45 o ch hastigheten runt 12 dvs K 2 o K 3 är där dvs K 3 20

o K 4 är sin 2 där varierar runt 45 och hastigheten runt 12 dvs K 4 144 o K 5 är g dvs 9,8. Påverkar hela uttrycket så den kan tas bort. Utifrån detta kan det avläsas att om ju mer höjden ökar desto mindre del % utgör felet. Vid våran höjd 2 m är felet dock väldigt för stort för att snabbanalysen ska kunna gälla. Om kastlängden R blir en funktion av vinkeln konstanterna K 1,2,3... gäller: och resten av variablerna anses vara ( ) = om konstanterna bortses så gäller: ( ) = Snabbanalysen säger att R ökar proportionellt mot produkten av För en precisare analys måste vi titta för vad dom olika konstanterna står för: Metod 2 o K 1 är v där hastigheten varierar runt 12 dvs K 1, påverkar hela uttrycket. o K 2 är där hastigheten varierar runt 12 dvs K 2 12 o K 3 är där hastigheten varierar runt 12 dvs K 3 144 o K 4 är sin 2 där och varierar runt 2 dvs K 4 40 o K 5 är g dvs 9,8. Påverkar hela uttrycket så den kan tas bort. I metod två löses uppgiften med hjälp av geogebra. ger ett mer precist svar. Glidarna Hastighet, Tid, Utgångshöjd, Vinkeln α samt Gravitation skapades. x-koordinaten räknades ut med hjälp av y-koordinaten räknades ut med hjälp av och kallades för xc. och kallades för yc. Punkten kastet skapades av (xc, yc). Kastets bana skapades med hjälp av kommandot GeometriskOrt [Kastet, Tid]. Punkter längs kastbanan skapades och listades i Lista1, och funktionen f (x) skapades med hjälp av RegressionPoly[Lista1, 2].Punkten R skapas som den största skärningen mellan x-axeln och funktionen f, detta är kastlängden.

Figur 1. Bild från Geogebra med kastet samt de olika variablerna på glidare. När kastlängden är funnen går det att se hur den varierar med Hastighet, α och Utgångshöjd. Punkten P skapades som (Variabel, x(r)) där Variabel är vad man vill jämföra med av Hastighet, α eller Utgångshöjd. Därefter skapades banan för P med GeometriskOrt [P, Variabel], där Variabel är samma Variabel som användes förut. På denna bana skapades punkter som sedan anpassades till en funktion med hjälp av regression. 1. Hastighet Detta ger en graf till en funktion. Kastlängd Hastighet Figur 2. Graf till funktionen R (Hastighet)

Detta ger funktionen R(Hastighet) Då Hastigheten egentligen ska gå igenom punkten Så kan formeln skrivas om sådär: R(Hastighet) Kastlängden beror alltså på hastigheten i kvadrat plus ett tal som i detta fall skulle vara hastigheten men som förmodligen är. 2. Vinkeln Detta ger en graf till en funktion. Kastlängd Vinkel Figur 3. Graf till funktionen R (α) I denna graf kan man se att den optimala vinkeln är 41. Om man deriverar får man fram att om v = 12 m/s och h = 2 m så är den optimala vinkeln 41,55 i om man vill kasta så långt som möjligt. Det är svårt att anpassa en graf till denna sinusfunktion, istället kan vi se att ju längre från 41,55 desto kortare blir kastet. 3. Utgångshöjd Detta ger en graf till en funktion.

Kastlängd Utgångshöjd Figur 4. Graf till funktionen R (Utgångshöjd) Detta ger funktionen R(Utgångshöjd) Alltså: R(Utgångshöjd) = C 1 + C 2 Kastlängden ökar alltså proportioneligt mot rotfunktion av höjden. Metod 3 I metod 3 löstes uppgiften praktiskt. För att kunna lösa uppgiften låstes utgångshastigheten. En lite boll sattes fast i ändan på en pil till en pilbåge. Därefter sköts pilen ut från 3 olika höjder, 0 meter, 1 meter och 2 meter. Vid varje höjd sköts 6 olika försök, 2 med utgångsvinkeln 30, två med 45 och två med 60. Varje försök fotograferades 6 foton per sekund. Katlängden mättes även manuellt. Vissa felkällor tillkom till metoden. Två små felkällor är vinkel, höjd och hastighet. Alla tre bedöms dock som små. Vinkeln uppskattades med en liten gradskiva men felen bör inte ha blivit för stora. Höjden mättes med en enmeterslinjal men varierar med någon centimeter vid varje försök. Hastigheten manövrerades så att pilen drogs längst bak inför varje försök och därför borde ge rätt lika utslag. Vädret kan vara en stor felkälla. Då metoden utfördes utomhus kan saker som vind och regn påverka resultatet. I metoden valdes det att använda en liten och lätt boll då luftmotståndet då skulle bli mer markant. Det var tänkt att det då skulle gå att jämföra metoden med metod två. Skälet till detta var för att undersöka om den optimala utfallsvinkeln ändrades om kulan blev lättare.

Figur 5. En exempelbild av uppriggningen av avfyrningsmaskinen. Resultat: 30 Längd (meter) Höjd (m) 1 2 Medel 0 7,7 6,8 7,25 1 6,6 7,6 7,1 2 6,9 8,5 7,7 7,35 m 45 Höjd (m) 1 2 Medel 0 7,5 8,6 8,05 1 7,2 8,6 7,9 2 8,7 8,3 8,5 8,15 m 60 Höjd (m) 1 2 Medel 0 8,5 6,1 7,3 1 6,3 7,9 7,1 2 8,5 7,9 8,2 7,53 m

Ur tabellerna kan det avläsas att det högsta medelvärdet är på kasten som sköts med 45 utfallsvinkel. Lägst medel hade kasten från 30. Längst skott blev det även från den högsta höjden. Intressant nog så gav mittenhöjden för alla tre vinklarna kortast kastlängd. Analys Tre olika metoder har testats för att kunna undersöka hur kastlängden påverkas. En algebraisk, en grafisk och en praktisk metod. De två första är matematiska modeller, men det betyder inte alltid att det ser likadant ut i verkligheten. Den tredje är i verkligheten med olika felkällor. De två första metoder ger relativt likadana svar. Kastlängden ökar proportionellt mot hastigheten i kvadrat med några konsanter till. Den första metoden gav: Båda är kvadratfunktioner av v. medan den andra gav: Om man jämför hur utgångshöjden påverkar mellan de båda metoderna så ger även de relativt lika svar. Båda blev rotfunktioner av h med konstanter till. Den första metoden gav: C 1 + C 2 Båda är kvadratfunktioner av v. medan den andra gav: Sinusfunktionerna är svårare att jämföra mellan de två metoderna men i båda går det att se att maxlängden fås av en vinkel v runt 42. Tanken med metod 3 var kunna jämföra verkligheten med de matematiska modellerna. Detta blev dock inte riktigt som det var tänkt, då det tillkom flera försvårande faktorer. Det är svårt att dra generella slutsatser då det var byig vind under utförandet. Därför är det viktigt att ta det försiktigt med allt för långgående slusaster utifrån denna metod. Vissa generella mönster från metod 1&2 går dock att se även här. Att kastlängden ökar med utgångshöjden går att se i alla tre metoderna. I den tredje metoden ser man även att kasten blev längre om utfallsvinkeln var runt 45, precis som i de två första metoderna. För luftmotstånd gäller att om dragninskraften är markant större jämfört med luftens bromsande kraften så kan det bortses. Detta gäller för både herr- och damklot i kulstötning. I fallet med pingisbollen däremot, så är luftmotståndet icke försumbart. ii Därför är det inte förvånansvärt att längden i praktiken blev något kortare än förväntat. Precis som att kulstörningen kom från de Olympiska spelen och grekerna så kom även geomertin därifrån. Hos Pythagoras och Platon förenade studier av matematik, kultur och filosofi. Efterkommande Arkimedes kombinerade matematik, fysik, ingenjörskonst och uppfiningar. Sedan dess har allt detta varit förenat, inte minst i sportens och kulstötarens värld.

För kulstötaren finns det många aspekter att ta hänsyn till. Hastigheten är en viktig sak att ta hänsyn till. Därför gäller det för kulstötaren att vara stark, men också ha bra teknik så denne kan släppa iväg kulan i rätt vinkel och samtidigt så högt som möjligt över marken. Det här borde varje kulstötare kunna studer genom att ta foton för att hitta sin egen optimala vinkel. i Wolfram Alpha Maximum ( ) - 3/6-2012 ii http://fy.chalmers.se/~f00svjo/fysikenomkringoss/forelasning.pdf