Systemteknik/Processreglering F6 Linjärisering Återkopplade system ett exempel Läsanvisning: Process Control: 5.5, 6.1
Jämviktspunkter Olinjär process på tillståndsform: dx = f (x, u) dt y = (x, u) Processens jämviktspunkter (equilibria) eller stationära punkter (stationary points) är alla punkter (x 0, u 0 ) där f (x 0, u 0 )=0 d.v.s. tillståndsvariablernas tidsderivator är noll.
Exempel: Logistisk tillväxtmodell Antag birth rate r = 1, carrying capacity k = 100: dx ( dt = x 1 x ) = f (x) 100 Jämviktspunkter: { x 0( ) 1 x0 x 0 = 0 = 0 100 x 0 = 100 30 20 10 f (x) 0 10 20 30 0 50 100 x
Linjärisering en variabel Antag olinjärt system i en skalär variabel: ẋ = f (x) 1. Hitta stationär punkt x 0, där f (x 0 )=0 2. Approximera f (x) med en rät linje genom x 0 : f (x) f (x 0 ) + df }{{} dx (x0 )(x x 0 ) }{{} =0 a 3. Byt tillståndsvariabel och betrakta istället avvikelser Δx från jämviktspunkten: Δx = x x 0 4. Systemet kan då skrivas dδx dt aδx
Exempel: Logistisk tillväxtmodell 30 20 10 f (x) 0 10 20 30 0 50 100 x 0 = 0 dδx Δx (lokalt instabilt) dt x 0 = 100 dδx Δx (lokalt asymptotiskt stabilt) dt x
Linjärisering allmänna fallet 1. Bestäm en stationär punkt (x 0, u 0 ) till systemet dx = f (x, u) dt y = (x, u) 2. Gör 1:a ordningens Taylorapproximationer av f och kring (x 0, u 0 ): f (x, u) f (x 0, u 0 ) + f }{{} x (x0, u 0 )(x x 0 )+ f u (x0, u 0 )(u u 0 ) =0 (x, u) (x 0, u 0 ) }{{} =y 0 + x (x0, u 0 )(x x 0 )+ u (x0, u 0 )(u u 0 )
Linjärisering allmänna fallet 3. Inför nya variabler Δx = x x 0, Δu = u u 0 och Δy = y y 0 4. Systemet kan nu skrivas som dδx = dx f = f (x, u) dt dt x (x0, u 0 ) Δx + f }{{} u (x0, u 0 ) Δu }{{} A B Δy = (x, u) y 0 x (x0, u 0 ) Δx + }{{} u (x0, u 0 ) Δu }{{} C D
Linjärisering allmänna fallet Notera att f och kan vara vektorer. Exempel: Två tillståndsvariabler x 1 och x 2, en styrsignal u och en mätsignal y innebär x = x 1, f = f 1, x 2 f 2 f 1 f 1 f x = x 1 x 2, f 2 f 2 x 1 x 2 f u = f 1 u f 2 u, x = x 1, x 2 är skalär u
Exempel: Linjärisering av konisk tank qin h Antag att q ut är konstant. Modell: qut dh dt = 4 π h 2 (q in q ut ) = f (h, q in ) y = h = (h, q in )
Exempel: Linjärisering av konisk tank 1. Stationär punkt: f (h 0, q 0 in )=0 q0 in = q ut 2. Beräkna partiella derivator: f h (h0, q 0 in )= 8 π (h 0 ) 3 (q0 in q ut) h (h0, q 0 in )=1 f (h 0, q 0 in q )= 4 in π (h 0 ) 2 (h 0, q 0 in q )=0 in 3. Nya variabler: Δh = h h 0, Δq in = q in q 0 in, Δy = y y0 4. Linjär tillståndsmodell: dδh dt Δy = Δh 4 π (h 0 ) 2 Δq in
Exempel: Linjärisering av exoterm CSTR Antag konstant q, V ;låtj = ( ΔH r) ρc p, K = UA V ρc p dc A = q dt V (c A,in c A ) k 0 e E/RT c A = f 1 (c A, T, T c ) dt dt = q V (T in T)+Jk 0 e E/RT c A + K(T c T) = f 2 (c A, T, T c ) Värmejämvikt: 1 0.9 Heat addition, Heat removal 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 ae b/t ct 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Temperature
Exempel: Linjärisering av exoterm CSTR Beräkna partiella derivator: o.s.v... f 1 = q c a V k 0e E/RT f 1 T = k 0E RT 2 e E/RT f 1 = 0 T c f 2 = Jk 0 e E/RT c a f 2 T = q V + Jk 0 E RT 2 c Ae E/RT K f 2 = K T c
Återkopplade system sluten styrning störningar referensvärde Regulator styrsignal Process mätsignal Regulatorn ska utformas så att slutna systemet blir stabilt mätsignalen följer referensvärdet (servoproblemet) störningar undertrycks (regulatorproblemet) okänslighet mot modellfel och parametervariationer erhålls för mycket mätbrus ej återkopplas till processen
Exempel: Temperaturreglering Energibalans: q, T in V ρc p dt(t) dt = qρc p (T in (t) T(t)) + Q(t) Q Temperatur q, T T Låt K 1 = 1 qρc p, T 1 = V q dt(t) T 1 + T = K 1 Q(t)+T in (t) dt Laplacetransformera T(s) = 1 ( ) K 1 Q(s)+T in (s) 1 + st 1 Linjär modell: T, Q, T in betecknar avvikelser från ett jämviktsläge Mål: Håll T = T ref med hjälp av Q trots variationer i T in
Öppet system Q T in 1 K 1 1 + st 1 T Inverkan av stegstörning T in = 1 (antag Q = 0): Stationärt: T = 1 T(s) = 1 1 + st 1 T in (s) = T(t) =1 e t/t 1 1 s(1 + st 1 )
P-reglering Q(t) =K ( T ref (t) T(t) ) = Ke(t) Q(s) =K ( T ref (s) T(s) ) = KE(s) T in (s) T ref (s) K Q(s) K 1 1 1 + st 1 T(s) 1
P-reglering T(s) = T(s) = 1 ( K 1 K ( T ref (s) T(s) ) ) + T in (s) 1 + st 1 K 1 K 1 + st 1 + K 1 K T 1 ref (s)+ 1 + st 1 + K 1 K T in(s) Pol: s = 1 + K 1K T 1 As. stabilt om K > 1/K 1 Stationärt: T = K 1K 1 + K 1 K T 1 ref + 1 + K 1 K T in
Parametrar: T 1 = K 1 =1: Simulering av stegstörning Input Output T in K = 0 K = 1 T ref K = 2 K = 5 K = 0 K = 1 K = 2 K = 5 Time
PI-reglering ( Q(t) =K e(t)+ 1 t ) e(τ ) dτ T i ( Q(s) =K 1 + 1 ) E(s) st i T in (s) T ref (s) K (st Q(s) i +1) 1 K 1 st i 1 + st 1 T(s) 1
PI-reglering T(s) = 1 1 + st 1 ( K1 K(sT i + 1) ( ) ) T ref (s) T(s) + T in (s) st i T(s) = K 1 K(sT i + 1) s 2 T 1 T i + s(k 1 K + 1)T i + K 1 K T ref (s) As. stabilt om K > 1/K 1 och KT i > 0 Stationärt: T = T ref st i + s 2 T 1 T i + s(k 1 K + 1)T i + K 1 K T in(s)
Parametrar: T 1 = K 1 = K =1: Simulering av stegstörning T 0 T i = Input Output T ref T i = 1 T i = 0.25 T i = 0.04 T i = 0.25 T i = 0.04 T i = T i = 1 Time
Poler för återkopplat system : T i = 0.04 : T i = 0.25 : T i = 1 : T i = 6 4 2 Im 0 2 4 6 4 3 2 1 Re 0 1 2
Känslighet mot omodellerad dynamik Antag mätdon med dynamik, T m (s) = Vi får faktiskt slutet system: 1 1 + st m T(s) T ref Σ K (st i +1) sti Q K 1 Σ T in T 1 1 1+sT 1 1+sT m T m 1
Simulering med omodellerad dynamik Parametrar: T m = 0.1, T 1 = K 1 = K =1 θ 0 T i = Output T i = 0.25 T i = 1 θ ref T i = 0.04 Input T i = 0.25 T i = 0.04 T i = T i = 1 Time
Poler för återkopplat system med mätdynamik : T i = 0.04 : T i = 0.25 : T i = 1 : T i = 5 4 3 2 1 Im 0 1 2 3 4 5 12 10 8 6 4 2 0 2 Re
Simulering av referensändring, laststörning Parametrar: T = K 1 =1, K =1.8, T i =0.45: Input Output Time
Känslighet mot parametervariationer Antag felmodellerad förstärkning för effekten Q Vi har: T in T ref Q T Σ β Σ K (st i +1) sti K 1 1 1+sT 1 1 där β = 0.8, 1.2
Simulering med fel effektförstärkning Parametrar: T = K 1 = 1, K =1.8, T i =0.45, ±20% ändring av Q Input Output Time
Poler för återkopplat system med fel förstärkning : β = 0.8 : β = 1 : β = 1.2 6 4 2 Im 0 2 4 6 4 3 2 1 Re 0 1 2
Slutsatser från exemplet Vi kan förändra systemets dynamik med återkoppling Polplacering: Välj regulatorparametrarna så att polerna hamnar på lämpliga ställen Stabilt, väldämpat, lagom snabbt Under vissa förutsättningar får man ett kvarstående fel Vad kan man säga allmänt om stationära fel? F7 Omodellerad dynamik och parametervariationer påverkar beteendet Hur kan man analysera slutna systemets känslighet? F7