Några klassiska plana kurvor

Några klassiska plana kurvor Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi presentera och kort diskutera några klassiska, plana, kurvor. Dessutom ska vi diskutera några klassiska sätt att konstruera nya kurvor ur gamla. Vi börjar med de verkligt klassiska kurvorna, kägelsnitten.

Några klassiska plana kurvor 1 (13) 1 Introduktion I den här artikeln ska vi presentera och kort diskutera några klassiska, plana, kurvor. Dessutom ska vi diskutera några klassiska sätt att konstruera nya kurvor ur gamla. Vi börjar med de verkligt klassiska kurvorna, kägelsnitten. 2 Några klassiska plana kurvor Kända plana kurvor är i första hand grafer till styckvis differentierbara funktioner, samt de klassiska kägelsnitten. En plan karakterisering av dessa ges i nästa exempel. Exempel 1 Specificera en punkt F (brännpunkt) och linje l (styrlinje) som punkten inte ligger på. Vidare specificerar vi ett tal e 0 som vi kallar eccentriciteten. Ett kägelsnitt utgörs då av de punkter vars avstånd till F är e gånger avståndet till l. Om vi väljer F = (0, 0) så gäller att villkoet är att P = e(p n + q) där n är en enhetsnormal till l och P n + q mäter avståndet från P till linjen l. Lägg nu ett koordinatsystem så att n = (1, 0) och skriv p = eq. Då är linjens ekvation x = p/e och ekvationen blir x2 + y 2 = ex + p. Detta kan skrivas om som (1 e 2 )x 2 2epx + y 2 = p 2. Om e = 1 ger detta en parabel, om e 1 kan det skrivas om som (x ep 1 e 2 ) 2 ( p 1 e 2 ) + y2 p 2 1 e 2 = 1. När e = 0 är detta en cirkel med medelpunkt i origo och radie p. När 0 < e < 1 är det en ellips och när e > 1 är det en hyperbel. F

Några klassiska plana kurvor 2 (13) Figuren ovan visar några exempel, där röd kurva är en parabel och blå en hyperbel. Den sträckade vertikala linjen är styrlinje för parabeln. I polära koordinater får ekvationen den enkla formen r = er cos θ + p r = p 1 e cos θ, vilket ibland är en användbar framställning av kägelsnitten. Exempel 2 Om vi kräver att produkten av avstånden till två givna punkter F 1 och F 2 (som vi kallar brännpunkter) ska vara konstant får vi kurvor som kallas Cassinis Ovaler. För att ange ekvationen för sådana kurvor kan vi anta att brännpunkterna ligger på avståndet 2a ifrån varandra, och att produkten ska vara b 2. Låt oss då lägga ett ortonormerat koordinatsystem med x-axeln sådan att båda brännpunkterna ligger på den och origo ligger mitt emellan dem. I så fall blir F 1 = (a, 0) och F 2 = ( a, 0) och vi kan skriva villkoret för att (x, y) ligger på kurvan som att ((x a) 2 + y 2 )((x + a) 2 + y 2 ) = b 2 (x 2 + y 2 ) 2 + 2a 2 (y 2 x 2 ) = b 4 a 4. Figuren till neda visar hur dessa kurvor ser ut då b > a (mörkgrön), b = a (blå) och då b < a (röd). Fallet b = a, dvs då kurvan går genom origo, är av speciellt intresse. Den kallas Bernouillis lemniskata. F 2 F 1 Vi ser att då b > a får vi en sammanhängande kurva utan singulära punkter, medan då b < a kurvan har två komponenter, men inga singulära punkter. Vi kan få en parametrisering av Cassinis oval genom att sätta y = x sin t. Då får vi nämligen ekvationen x 4 (1 + sin 2 t) 2 2a 2 x 2 cos 2 t = b 4 a 4, från vilket vi kan lösa ut x som funktion av sin 2 t. I fallet av lemniskatan ger detta oss parametriseringen c(t) = a cos t 1 + sin 2 (1, sin t). t Exempel 3 Vilken form antar en kedja (p.g.a. gravitationen) som hängs upp i två punkter på samma höjd? Detta är inget ointressant problem! Vänder vi på det får vi en fråga om hur en kupol ska vara utformad för att vara så stark som möjligt. Christoffer Wren, som byggde St Pauls katedral i London, utnyttjade denna kunskap för den bärande konstruktionen i sin kupol (den är dock inbyggd!). För att bestämma kurvans ekvation betraktar vi kraftjämnvikten i nedanstående figur

Några klassiska plana kurvor 3 (13) V P H H O Titta på det röda segmentet som går från den lägsta punkten O till punkten P. Det har en viss tyngd och denna balanseras av krafterna i ändpunkterna som är utritade. Mekanisk jämvikt innebär nu att både de horisontella och de vertikala krafterna tar ut varandra. Det betyder två saker: a) den röda horisontella vektorn är minus den horisontella vektorn vid O, och alltså av konstant längd H, och b) den röda vertikala vektorn är minus den heldragna nedåtriktade vektorn som svarar mot tyngden av det röda segmentet. Den senare ges av gρs om ρ är kedjans täthet, s dess längd och g tyngdaccelerationen. Vi lägger nu ett koordinatsystem så att O är origo. Kurvan antas ha ekvationen y = f(x). Båglängden ges av ds = 1 + f (x) 2 dx, så tyngdvektorns längd ges av V (x) = gρ Den viktiga observationen nu är att x 0 ds = gρ x 0 f (x) = V (x) H. Skriver vi a = gρ/h får vi alltså integralekvationen f (x) = a x 0 1 + f (t) 2 dt. 1 + f (t) 2 dt. Dessutom vet vi att f(0) = 0 (definition av koordinatsystemet) och f (0) = 0 (kurvan har sitt minimum i den punkten). För att lösa integralekvationen deriverar vi den: f (x) = 1 + f (x) 2 y (x) = 1 + y(x) 2, y(x) = f (x). Men detta är en separabel differentialekvation och vi vet att dy = ln(y + 1 + y 2 ) + C. 1 + y 2 Eftersom vi vet att y(0) = 0, leder ekvationen till att ln(y + y 2 + 1) = ax.

Några klassiska plana kurvor 4 (13) Löser vi den (det har vi i princip gjort tidigare) får vi att Ur detta följer nu att y(x) = sinh(ax). f(x) = cosh(ax) + C a där C = 1/a eftersom f(0) = 0. Vi ser alltså att kedjekurvan är en cosh x-funktion om vi väljer vårt koordinatsystem lämpligt. Konstanten a bestäms helt av ändpunkterna på kurvan och kurvans längd och är oberoende av kedjans vikt. Om vi nämligen antar att kedjan hålls i punkter med x-koordinater ±b, så gäller att kurvans båglängd ges av L = b b Men här bestäms a entydigt av b och L! b 1 + sinh(ax)2 dx = cosh(ax)dx = 2 a sinh(ab). Exempel 4 Tractrixen kallas också hundkurvan och beskrivs i figuren till höger. Vi tänker oss här en motsträvig hund som vill lukta på vad som finns i punkten (1, 0) samtidigt som husse rör sig uppåt längs y-axeln. Kopplet har längden 1 (så att det är sträckt när husse var i origo) och hunden släpas längs marken, hela tiden så att kopplet är sträckt. Figuren till höger visar varför ekvationen för tractrixen ges ur villkoret y 1 x y 2 (x) =. x Tangenten till kurvan i en punkt ges nämligen av linjen som definieras av kopplet. Löser vi denna ekvation får husse vi att t y = ln 1 + 1 x 2 1 x x 2. Detta ger i sig själv en parametrisering av kurvan. Ett alternativ är c(t) = (sin t, cos t + ln(tan t 2 )), 0 t π 2. Betydelsen av vinkeln t framgår av figuren. För tractrixen ser vi att ds = 1 + 1 x2 x 2 dx = dx x, så vi får en parametrisering av den med båglängd genom att sätta x = e s och sedan uttrycka y också i s. Exempel 5 För att konstruera Diocles cissoid tar vi en cirkel med radien a och drar en av dess tangenter. Låt tangeringspunkten vara A och låt den diametralt motsatta punkten på cirkeln vara O. Dra nu en rät linje från P till O och låt R vara dess skärningspunkt med linjen och Q skärningspunkten med cirkeln. Cissoiden består då av alla punkter P sådana att avståndet d(o, P ) till O är lika stort som avståndet d(q, R). b hund 1 x

Några klassiska plana kurvor 5 (13) Q R O y x P 2a A Vi har att 2a = d(a, O) och att d(q, A) 2 = d(o, A) 2 d(o, Q) 2 = 4a 2 (d(a, R) d(q, R)) 2. Definitionen av cissoiden säger att d(q, R) = d(o, P ) = x 2 + y 2. Likformiga trianglar visar att d(o, R)/2a = d(o, P )/x, så vi får att d(q, A) 2 = 4a 2 ( 2a x 1)2 (x 2 + y 2 ). Å andra sidan har vi att d(q, A) 2 = d(r, A) 2 d(q, R) 2 = d(r, A) 2 d(o, P ) 2 = ( 2ay x )2 (x 2 + y 2 ), eftersom likformighet ger att d(r, A)/2a = y/x. Vi har därför att 4a 2 ( 2a x 1)2 (x 2 + y 2 ) = ( 2ay x )2 (x 2 + y 2 ) x 3 + xy 2 = 2ay 2. Vi ser alltså att Diocles cissoid ges av den kubiska ekvationen x 3 + xy 2 2ay 2 = 0. Vi hittar lätt en parametrisering av denna genom att sätta y = xt. Det ger oss Vi ser att kurvan har ett horn i origo. c(t) = 2at2 (1, t). 1 + t2

Några klassiska plana kurvor 6 (13) 3 Nya plana kurvor ur gamla Vi har sett ovan hur man definierar krökningscentrum till en plan kurva γ. De punkter som utgör krökningscentrum definierar en ny kurva ur γ, vilken allas γs evolut. Om γ = {c(t); t I} betyder det att evoluten γ e har parametriseringen c e (t) = c(t) + Dess singulära punkter är de där κ (t) = 0. ic (t) κ(t) c(t). Exempel 6 En ellips kan parametriseras med c(t) = {a cos t + ib sin t; t [0, 2π]}, vilket gör att c e (t) = (a 2 b 2 )( cos3 t i sin3 t ), a b vilket är en astroid (inte asteroid). I figuren nedan är den illustrerar tillsammans med normaler: definitionen på evoluten är ju att tre intilliggande normaler skär i punkter som utgör kurvan. De singulära punkterna på asteroiden ges av κ (t) = 3ab(b 2 a 2 ) sin 2t 2(a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 5/2 ) = 0, d.v.s. då t = 0, π/2, 3π/2. Vilka uppenbarligen alla är horn. Exempel 7 Evoluten till tractrixen ges av c e (t) = a( 1 sin t, ln(tan t 2 )). Om vi inför u = ln(tan(t/2)) som ny variabel kan denna skrivas Evoluten är alltså en kedjekurva. c e (u) = a(cosh u, u).

Några klassiska plana kurvor 7 (13) En involut till en kurva är den omvända operationen: att gå ifrån evolut till kurva. Den är dock inte entydigt bestämd, utan beror av i vilken punkt på kurvan vi startar. Om kurvan är parametriserad med båglängd ges en parametrisering av involuten av c i (s) = c(s) + (s 0 s)ċ(s), där startpunkten är c(s 0 ). Notera att s inte är båglängd för involuten, endast för originalkurvan. Exempel 8 För en cirkel med radien 1 gäller att c i (s) = cos s + (s s 0 ) sin s + i((s 0 s) cos s + sin s). Som detta exempel illustrerar, så uppkommer involuten genom att vi lägger ett snöre längs originalkurvan, fäst i en punkt. Sedan tar vi i andra änden och drar loss snöret på sådant sätt att det är sträckt hela tiden. En pedalkurva är en kurva som konstrueras till en given kurva γ och en given punkt P 0 på följande sätt. För varje punkt på kurvan drar vi tangenten. Sedan projicerar vi punkten P 0 ortogonalt på denna linje. De punkter vi får på detta sätt utgör pedalkurvan till γ och P. Om vi istället speglar punkten i linjen får vi en annan kurva som kallas den ortotoma kurvan vi får från γ och P 0. Det är praktiskt att lägga koordinatsystemet så att P 0 = (0, 0). Tangenten till kurvan kan då skrivas cos αx + sin αy = p, där (cos α, sin α) ger normalriktningen och p det kortaste avståndet till origo. Det betyder att punkterna på pedalkurvan ges i polära koordinater av (p, α). Exempel 9 Låt kurvan vara ellipsen x 2 /a 2 +y 2 /b 2 = 1. Då gäller att tangenten i punkten (x 0, y 0 ) ges av ekvationen x 0 (x x 0 )/a 2 + y 0 (y y 0 )/b 2 = 0, vilket förenklas till x 0 x/a 2 + y 0 y/b 2 = 1. Definiera nu α, p genom att x 0 a = cos α 2 p, y 0 b = sin α 2 p. Det följer då ur ellipsens ekvation att a 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α = p 2, vilket betyder att pedalkurvan ges i polära koordinater av I kartesiska koordinater blir detta r 2 = a 2 cos 2 θ + b 2 sin 2 θ. a 2 x 2 + b 2 y 2 = (x 2 + y 2 ) 2. Detta exempel är illustrerat i den vänstra figuren nedan. I den betecknar P tangeringspunkten till kurvan, som är ritad blå. Den röda kurvan är pedalkurvan. De två andra figurerna illustrerar de följande två exemplen.

Några klassiska plana kurvor 8 (13) P P P P 0 P 0 P 0 Exempel 10 För att ta reda på pedalkurvan till en cirkel låter vi punkten vara origo som ovan och tar cirkeln med radien 1 som har medelpunkt i (0, c). Tangenten i punkten (x 0, c + y 0 ) ges av x 0 (x x 0 ) + y 0 (y y 0 c) = 0, alltså x 0 x + y 0 y = 1 + cy 0. Med den vanliga polära vinkeln θ ger detta ekvationen cos θx + sin θy = 1 + c sin θ. Vi får därför den polära ekvationen r(θ) = 1 + c sin θ för pedalkurvan. Exempel 11 Vi ska nu undersöka pedalkurvan till hyperbeln x 2 y 2 = 1 och origo. Tangenten i (x 0, y 0 ) ges av x 0 (x x 0 ) y 0 (y y 0 ) = 0, alltså x 0 x y 0 y = 1. Vi definierar då α, p genom x 0 = cos α p, y 0 = sin α p, från vilket det följer att cos 2 α sin 2 α = p 2. Det följer att den polära ekvationen för pedalkurvan är r 2 = cos 2 θ sin 2 θ = cos(2θ). Detta är den polära ekvationen för Bernouillis lemniskata. Anmärkning Om γ = {c(t); t I}, så får pedalkurvan parametriseringen P + (c(t) P ) (iċ(t))(iċ(t)) ċ(t) 2. 4 Ovaler Definition En oval är en sluten, reguljär, kurva för vilken krökningen aldrig är noll. Anmärkning Eftersom krökningen aldrig är noll kan vi alltid välja genomloppsriktning så att den är positiv överallt. För en ovan gäller nu att varje punkt har en antipodal punkt i den meningen att tangenterna i dessa två punkter är parallella. Låt γ = c(i) vara en båglängsparametriserad oval kurva och låt r : I I vara den avbildning som identifierar de antipodala punkterna. Då gäller att vi kan skriva c(r(s)) = c(s) + λ(s)e 1 (s) + µ(s)e 2 (s).

Några klassiska plana kurvor 9 (13) λ(s) e 1 (s) c(s) e 2 (s) c(r(s)) µ(s) Men här har vi att d ds c(r(s)) = ċ(r(s))ṙ(s) = ṙ(s)e 1(s) och deriverar vi ekvationen ovan får vi att dvs d ds c(r(s)) = e 1(s) + λ(s)e 1 (s) + λ(s)κ(s)e 2 (s) + µ(s)e 2 (s) µ(s)κ(s)e 1 (s), ṙ(s) + 1 + λ(s) µ(s)κ(s) = 0, λ(s)κ(s) + µ(s) = 0. Definition En oval sägs ha konstant bredd w om det gäller att µ(s) = w för alla s. För en ovan av konstant bredd får vi av den andra ekvationen ovan att λ = 0, vilket betyder att den första kan skrivas d (s + r(s)) = wκ(s). ds Om vi integrerar detta över halva ovalen, så kommer vänsterledet att ge oss den total längden av kurvan. Eftersom integralen av κ(s)ds = dθ, där θ är vridningsvinkeln, över motsvarande del är π, följer Barbiers sats att längden av en oval med konstant bredd w är wπ. Exempel 12 Det enklaste exemplet är förstås en cirkel med radien r. Bredden är då w = 2r och omkretsen 2πr, som Barbiers sats säger. Om nu ovalen inte har konstant bredd kan vi införa vridningsvinkeln som ny variabel i ekvationerna istället för båglängden. På differentialform har vi dr + ds + dλ µκds = 0, λκds + dµ = 0, samt att dr = dθ/κ(θ + π). Skriv nu dλ = λ dθ och samma för µ. Då blir den andra ekvationen λ + µ = 0, och differentierar vi det får vi att µ = λ. Sätter vi in det i den första ekvationen får vi att µ (θ) + µ(θ) = 1 κ(θ) + 1 κ(θ + π).

Några klassiska plana kurvor 10 (13) Löser vi den kan vi sedan bestämma λ(θ) ur att λ = µ. Denna observation kallas Mellish s sats. När det gäller en oval γ finns en parametrisering av speciellt intresse. Vi lägger ett ONkoordinatsystem med origo i en punkt inuti γ. Till en punkt r γ dra tangenten och bestäm den punkt p på denna i vilken normalen till tangenten går genom origo. Kalla vinkeln mellan denna normal och x-axeln för ψ och låt p(ψ) vara avståndet mellan p och origo. p p(ψ) ψ θ θ r I polära koordinater har vi då att p = r cos(θ ψ) = r cos θ cos ψ + r sin θ sin ψ = x cos ψ + y sin ψ. Men vi kan här bestämma x, y som funktioner av ψ, vilket ger oss p(ψ). Om vi sätter F (x, y, ψ) = p(ψ) x cos ψ y sin ψ, så definieras den s.k. enveloppen till linjerna F (x, y, ψ) = 0 av ekvationssystemet F (x, y, ψ) = 0, ψ F (x, y, ψ) = 0. Intuitivt betyder detta att enveloppen består av de punkter som ligger på varje par av oändligt närbelägna linjer 1. I vårt fall innebär det { { x cos ψ + y sin ψ = p(ψ) x = p(ψ) cos ψ p (ψ) sin ψ, x sin ψ + y cos ψ = p (ψ) y = p(ψ) sin ψ + p (ψ) cos ψ vilket då utgör en parametrisering av vår oval i parametern ψ. Denna parametrisering kallas pedalparametriseringen, och i den får man att krökningen är κ(ψ) = 1 p(ψ) + p (ψ). Vi ser här att förutsättningen för att en pedalparametrisering ska blir en oval är dels att formeln definierar en sluten kurva, dels att p(ψ) + p (ψ) 0 för alla ψ. Funktionen p(ψ) kallas ovalens stödfunktion och vi har att µ(ψ) = p(ψ) + p(ψ + π), 0 ψ 2π. För att se detta, notera att normalen som definierar p också skär skär tangenten till den antipodala punkten ˆp, och sträckan mellan p och denna är kurvans bredd för detta ψ.

Några klassiska plana kurvor 11 (13) p(ψ) p c(ψ) c(ψ + π) p(ψ + π) ˆp µ(ψ) Exempel 13 Nedan är två illustrativa exempel. I figuren till vänster, som myckeet liknar ett ägg, har vi använt formlerna ovan med p(ψ) = 1/ sin(1+0.45 sin ψ), 0 ψ 2π. Den är periodisk och genererar en sluten kurva. I det högra exemplet har vi istället satt p(ψ) = sin(2ψ)/ψ, och som vi ser genererar den inte en sluten kurva, och därför ingen oval Om vi släpper på kravet att ovalen ska vara reguljär så kan vi istället konstruera en familj av intressanta kurvor utifrån en reguljär polygon med ett udda antal sidor. Vi gör det genom att för varje hörn p identifiera den sida som ligger längst ifrån p. Hörnen på denna sida tillsammans med p definierar en cirkel, och om vi ersätter sidan med den båge som ligger mellan hörnen får vi vad som kallas ett Reuleaux polygon. Ett sådant kommer då att bestå av 2n + 1 bågavsnitt på cirklar vilka alla har samma radie. Som vi därför sätter till ett. Varje vinkel är π/(2n + 1), vilket betyder att båglängden är π. Man ser lätt att ett Reuleauxpolygon är en (styckvis reguljär) oval med fix bredd ett. Exempel 14 Reuleauxtriangeln är bl.a. en model för ett tvärsnitt av rotorn i en Wankelmotorn. Reuleauxtriangeln i figuren nedan är den blå kurvan. Den utgörs alltså av tre cirkelbågar där medelpunkten är det motstående hörnet på den inskrivna liksidiga triangeln.

Några klassiska plana kurvor 12 (13) En intressant egenskap hos denna geometriska figur är att man i princip kan borra ett kvadratiskt hål med den. I princip betyder att vi har lätt rundade hörn. Hålet är visat i figuren till höger i form av den röda nästan-kvadraten som triangeln ligger i. Dock är det inte så att vi kan åstadkomma det genom att hålla borraxeln fix i triangelns tyngdpunkt, utan vi måste förflytta axeln i en kurva runt denna tyngdpunkt. Denna kurva är ritad grön i figuren. Det ser mycket ut som en cirkel, men är det inte den består av fyra bitar som alla är roterade versioner av en bit av en ellips. Kurvor med konstant bredd kan ofta konstrueras med hjälp av involuter. Följande exempel illustrerar detta. Exempel 15 Kurvan som har parametrisering c(t) = (2 cos t(1 + cos t) 1, 2 sin t(1 cos t)) liknar mycket den grekiska bokstaven och kallas därför en deltoid. Det är den blå kurvan nedan. Dess involut, som är den röda kurvan nedan, ges av c i (t) = 1 3 (8 cos t 2 + 2 cos t cos 2t, 8 sin t + 2 sin t + sin 2t). 2 c r p q b a För att se att denna har konstant bredd, låt deltoidens hörn vara a, b, c och tag en punkt p på sidan bc. Ett band läggs längs undersidan och fästs i punkten p, varefter det lossas i hörnen såsom sker när en involut skapas. Det lossade ändarna kommer då att följa involuten till respektive ändpunkter q och r. Den räta linjen mellan q och r kommer då

Några klassiska plana kurvor 13 (13) att ha samma längd som sidan bc på deltoiden, och dessutom vara tangent till denna i punkten p. Detta visar att bredden är konstant. Vi kan notera att involuten till deltoiden ser mycket ut som Reuleauxtriangeln ovan, men den är en reguljär överallt. Noteringar 1. Evoluten till en plan kurva är enveloppen till dess normaler.