Black-Scholes. En prissättningsmodell för optioner. Linnea Lindström

Black-Scholes En prissättningsmodell för optioner Linnea Lindström Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik

Sammanfattning Uppsatsens mål är att härleda Black-Scholes ekvation för läsare utan avancerade kunskaper inom finansiering och matematik. För att lyckas med detta innehåller uppsatsen ett teorikapitel där begrepp så som optioner, ränta, differentialekvation och stokastisk variabel förklaras. Där presenteras även teorier för stokastiska processer så som Wienerprocessen och Itoprocessen. I kapitlet om Black-Scholes modell används Itoprocessen för att beskriva aktiepriset och med hjälp av Itos lemma härleds Black-Scholes ekvation. Uppsatsen ställer upp antaganden som gäller för Black-Scholes modell och använder sedan Black-Scholes ekvation för att beräkna priset på en europeisk köpoption. Avslutningsvis beskrivs exotiska optioner samt hur optioner kan användas för att reducera risker. Abstract This paper aims to derive the Black-Scholes equation for readers without advanced knowledge in finance and mathematics. To succeed, this paper contains a theoretical chapter in which concepts such as options, interest rate, differential equations and stochastic variable are explained. This paper also presents the theory of stochastic processes such as the Wiener process and Ito process. In the chapter on the Black-Scholes model the Ito process is used to describe price of shares and with the help of Ito's lemma Black-Scholes equation can be derived. In the paper, assumptions are listed that apply to the Black-Scholes model and then uses the Black-Scholes equation to calculate the price of a European call option. Finally, exotic options are described and also how options can be used to reduce risks. 1

Innehåll Kapitel 1. Inledning... 1 1.1 Ämnesval... 1 1.2 Förförståelse... 1 1.3 Problem och målsättning... 1 1.4 Syfte... 2 1.5 Uppsatsens upplägg... 2 Kapitel 2. Grundläggande teori... 3 2.1 Optioner... 3 2.2 Ränta... 4 2.1.1 Enkel ränta... 4 2.1.2 Sammansatt ränta... 4 2.1.3 Sammansatt ränta uppdelad i intervaller... 5 2.1.4 Kontinuerlig ränta... 5 2.2 Differentialekvation... 6 2.3 Stokastisk variabel... 6 2.3.1 Fördelningsfunktion... 7 2.3.2 Täthetsfunktion... 9 2.4 Normalfördelning... 10 2.5 Stokastisk process... 10 2.6 Wienerprocess... 11 2.7 Itoprocess... 13 2.7.1 Itointegral... 13 2.7.2 Itos lemma... 15 Kapitel 3. Black-Scholes modell... 16 3.1 Aktiepriset... 16 3.2 Optionspriset i Black- Scholes modell... 18 3.2.1 Härledning av Black-Scholes formel för europeisk köpoption... 20 3.2.2 Black-Scholes prissättning av europeiska köp- och säljoptioner... 23 3.3 Optioner... 23 3.3.1 Exotiska optioner... 23 3.3.2 Hedging med optioner... 25 3.3.3 Optioner och spekulation... 25 2

3.4 Greker... 26 3.4.1 Delta... 27 3.4.2 Gamma... 29 Kapitel 4. Slutdiskussion... 30 Källförteckning... 31 3

Kapitel 1. Inledning 1.1 Ämnesval Under de senaste tre åren har jag läst företagsekonomi och då arbetet med denna uppsats påbörjades var jag färdig med en kandidatexamen i företagsekonomi. Under mina ekonomistudier läste jag några kurser i finansiering och därför var det naturligt att välja ett ämne som inriktar sig mot den finansiella marknaden. Jag ville gå längre än att bara undersöka aktiemarknaden och valde därför att titta närmare på optioner, som är ett instrument som beror på en eller flera underliggande tillgångar som till exempel aktier. Optioner var jag tidigare bara ytligt bekant med och därför ville jag genom detta arbete förstå optioners uppbyggnad och hur optioner kan värderas och prissättas. 1.2 Förförståelse Hösten 2004 påbörjade jag lärarutbildningen med inriktning mot matematik på Umeå Universitet. Jag läste tre terminer matematik innan jag övergick till företagsekonomi. Jag har sedan hösten 2006 läst på servicemanagement programmet här i Umeå och avslutade mina ekonomistudier i januari 2010. Under våren 2010 har jag haft som mål att skriva kandidatuppsats i matematik samt läsa kursen Finansiell Matematik för att på så sätt kunna ta ut en kandidatexamen i matematik. Under mina studier i matematik har jag läst följande kurser: Matematisk grundkurs, Algebra, Analys 1, Analys 2, Problemlösning i matematik, Diskret matematik, Linjär algebra, Statistik för lärare, Matematikens historia, Analys 3 och Geometri C. De förkunskaper jag har från mina studier i företagsekonomi är 15 hp i Financial Markets and Institutions samt Financial Planning. Dessa har gett mig ett intresse för den finansiella marknaden men utöver det inte några djupare kunskaper om finansiella produkter och instrument. Mina kunskaper inför denna uppsats består alltså av grundläggande matematikkunskaper samt en del kunskaper om hur finansiella marknaden ser ut och vilka aktörer som spelar på denna. 1.3 Problem och målsättning För att kunna läsa och förstå de texter som finns kring en matematisk härledning av Black- Scholes ekvation krävs en hel del förkunskaper. I denna uppsats avser jag att ge läsaren en teoretisk grund som är nödvändig för att på ett intuitivt sätt kunna härleda Black-Scholes ekvation. Om begreppsförklaringar har legat på för avancerad nivå har jag försökt beskriva begreppet med färre komponenter för att underlätta förståelsen för läsare med inte allt för avancerade kunskaper inom matematik. Till exempel förklaras Itointegralen på ett sådant sätt, där jag alltså har förkortat och förenklat beskrivningen. Emellanåt har jag stött på teoretiska hål i litteraturen där jag saknar härledningar och uträkningar. I uppsatsen avser jag att fylla dessa mer utförligt, till exempel hur Black-Scholes ekvation används för att beräkna priset på en europeisk köpoption. Uträkningen av en portföljs delta och gamma som finns i uppsatsens sista sidor har även den saknats i litteraturen. Uppsatsen mål blir därmed att härleda Black-Scholes ekvation för läsare utan avancerade kunskaper inom finansiering och matematik. Jag vill ge läsaren en tydlig och övergriplig bild 1

av hur Black-Scholes är uppbyggd och hur optioner fungerar. Mot slutet av uppsatsen visar jag även hur en investerare kan använda sig av optioner för att reducera risk genom så kallad hedging. 1.4 Syfte Syftet med denna uppsats är att studera hur optioner kan prissättas med hjälp av Black-Scholes modell. Uppsatsen syftar till att ge läsaren de verktyg som behövs för att på ett intuitivt sätt förstå hur Black-Scholes ekvation kan härledas och användas. Detta genom att från riskfri ränta via matematiska teorier visa på en modell som förklarar hur värdet på tillgångar på en marknad förändras över tid. 1.5 Uppsatsens upplägg Uppsatsen börjar med ett teorikapitel som är tänkt att ge läsaren den teoretiska bas som behövs för vidare läsning. I kapitlet visar jag vad ränta är och hur den kan beräknas samt användas. Nästa del går grundläggande igenom differentialekvationer som behövs för att beskriva hur aktiepriset förändras. Aktiepriset varierar slumpmässigt och därför beskrivs i ett avsnitt stokastisk variabel och att variationen för en stokastisk variabel kan beskrivas med fördelnings- och täthetsfunktionen. Vi behöver även kunskap om normalfördelning samt stokastiska processer som kapitlet tar upp. Kapitlet avslutas med Itos lemma som används för att härleda Black-Scholes ekvation. Kapitel 3 tar upp hur aktiepris förändras över tid och hur detta påvekar priset på optioner som är skrivna på aktien. Optioner i allmänhet beskrivs men även exotiska optioner och hur de används. Avslutningsvis beskrivs greker och hur dessa beräknas samt används. 2

Kapitel 2. Grundläggande teori 2.1 Optioner En option ger dig som köpare rättigheten, inte skyldigheten, att i framtiden köpa eller sälja en finansiell tillgång till ett i förväg bestämt pris så kallat lösenpris, K. Vanliga optioner är köpoption och säljoption. Köpoptionen ger innehavaren rätt att köpa en tillång till ett bestämt pris, K, medan säljoptionen ger innehavaren rätt att sälja en tillgång till ett visst pris. 1 Den som skriver (säljer) optionen sägs ha en kort position och om man köper en option har man lång position. Det finns två olika sorters optioner när det gäller vid vilken tidpunkt som innehavaren har möjlighet att använda sin option. En amerikansk option kan lösas in när som helst fram till slutdagen medan en europeisk option endast kan lösas in på slutdagen. Ett optionskontrakt innehåller i normalfallet 100 optioner som ger innehavaren rätten att sälja eller köpa 100 aktier. 2 Optioner kan ha många olika underliggande finansiella tillgångar exempelvis terminskontrakt, guld, olja et cetera. I denna uppsats begränsas dock underliggande tillgångar till aktier. En europeisk köpoptions värde för en investerare med lång position är, där är aktiepriset vid slutdagen T. Om aktiepriset är lägre än lösenpriset är optionen värdelös då aktien kan köpas billigare på marknaden. Om optionen hålls i kort position blir värdet. 3 Optionens värde Köpoption, kort position Optionens värde Köpoption, lång position K S(T) K S(T) 1 Hull, John.C. Options, futures and other derivatives. Sjätte upplagan. (New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2006), 6 2 Ibid., 6 3 Ibid., 185 3

Värdet på en europeisk säljoption som hålls i lång position är eftersom optionen endast används om det förutbestämda priset är högre än marknadens. En säljoption som hålls i kort position har värdet. 4 Optionens värde Säljoption, lång position Optionens värde Säljoption, kort position K S(T) K S(T) 2.2 Ränta 2.1.1 Enkel ränta Räntan beskriver hur mycket dina pengar växer under en viss tidsperiod. Om du sätter in 100 kronor på ett bankkonto med ränta 5% per år har du efter ett år inte bara de 100 kronorna du satt in utan även påslagen ränta på 5%, det vill säga kr. Du har alltså fått 5 kronor i ränta. Med andra ord kan detta beskrivas som, där V är värdet efter 1 år, A är beloppet som sätts in och r är den årliga räntan. 5 Om du behåller pengarna på kontot mer än 1 år, låt oss säga till exempel 2 år läggs, räntorna ihop så att du efter 2 år har % d.v.s. 10% i ränta. På hundra kronor blir det då kr, där räntan nu har ökat till 10 kr. Detta kan skrivas som där n är antal år. Värdet på konton växer därmed linjärt med tiden. 6 2.1.2 Sammansatt ränta Ett annat sätt att beräkna ränta är genom så kallad sammansatt ränta där den utbetalda räntan finns kvar på kontot och tas med i beräkningen för den kommande räntan. Det blir en räntapå-ränta -effekt. För att utveckla mitt tidigare exempel; om du sätter in 100 kr på ett konto med 5% ränta per år har du nu efter två år 115,80 kr. Första året får du som tidigare kr, år 2 fås nu kr istället för 110 kr som fallet med enkel ränta. För godtyckliga tal får vi formeln;. Detta kallas alltså för sammansatt ränta eller kumulativ ränta. 7 4 Hull, 185 5 Luenberger, David. G. Investment Science. (New York: Oxford University Press, 1998), 13-14 6 Ibid., 13-14 7 Ibid., 14 4

280 230 180 130 Enkel ränta Sammansatt ränta 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 Figuren visar att enkel ränta växer linjärt medan sammansatt ränta växer exponentiellt. 2.1.3 Sammansatt ränta uppdelad i intervaller De två ovan diskuterade räntorna beräknas per år och talar om hur mycket, i detta fall, banken ska betala i ränta på dina insatta pengar. Räntan beräknas och betalas ut i slutet av året och för att få en mer rättvis och effektiv ränta beräknar idag banker ränta månadsvis, veckovis eller ibland dagligen. Räntan betalas dock fortfarande ut vid årets slut men då med hänsyn tagen till hur mycket pengar som funnits på kontot under olika tidpunkter under året, beroende på vilka tidsintervaller som räntan baseras på. Till exempel om räntan beräknas per kvartal och årsräntan är som tidigare 5% ger detta en kvartalsränta på %. I mitt tidigare exempel på 100 kr får vi nu efter 3 månader kr, efter ytterligare 3 månader beräknas räntan på 101,25 kr istället och värdet på kontot blir kr. Nästa gång räntan beräknas, baseras den på 102,51 kr vilket då ger värdet kr, och slutligen efter 4 kvartal, det vill säga ett år, har värdet på kontot stigit till 105,09 kr efter sista beräkningen kr. Vid denna metod är räntan alltså något större jämfört med sammansatt ränta beräknad på årsbasis. 5,09 kr istället för kr. Detta ger oss i slutändan en formel där m är hur många gånger under ett år som räntan beräknas, k är antal perioder samt r räntan per år. I detta fall är m=4 och k=4. I slutändan har bankkontot haft en ränta på kr det vill säga en effektiv ränta på 5,09%. Räntan per år, 5%, benämns den nominella räntan. 8 2.1.4 Kontinuerlig ränta Om vi tänker oss att tidsperioderna blir kortare och kortare så får vi en kontinuerlig ränta. Om vi delar upp ett år i oändligt många tidsperioder kan vi använda oss av att där e =2,7818181... är basen för den naturliga logaritmen. Effektiva räntan är den ränta som ger. Om den nominella räntan är 5% blir den kontinuerliga räntan =1,0513 8 Luenberger, 15 5

Det vill säga att den effektiva räntan är 5,13 kr per år jämfört med 5,09% som vi fick genom sammansatt ränta per kvartal. 9 Om vi vill veta hur mycket som finns på kontot efter en viss tid kan vi använda formeln där t står för antal år och värdet på insättningen efter tidsperioden t. 10 2.2 Differentialekvation Den kontinuerliga räntan kan även beskrivas som en differentialekvation vilket kommer visa sig användbart när priset för en aktie ska beräknas. En differentialekvation beskiver förhållandet mellan en okänd funktion, y, och dess derivator, vilket kan bestå av en eller flera. Till exempel både y och y, det vill säga funktionens förstaderivata samt andraderivata. 11 Differentialekvationen för den kontinuerliga räntan ser ut som följande: där står för förändringar i insatta beloppet A med avseende på tiden t. Lösningen på ekvationen ges av, där t står för antal år, värdet på insättningen efter tidsperioden t och r för den nominella räntan. Vidare är en differentialekvation separabel om den går att skriva om så att de oberoende variablerna står på en sida och det beroende variablerna finns på den andra. De separabla ekvationerna står oftast på formen och skrivs om till. Ekvationen löses sedan genom att integrera bägge sidorna. 12 I vårt fall skrivs ekvationen (t) om till, som vi använder då aktiepriset diskuteras senare i uppsatsen. 2.3 Stokastisk variabel Uttrycket slump och slumpvariabel används ofta när ett utfall är okänt. Till exempel är det slumpen som avgör vilken sida en tärning hamnar på. Sannolikhetsläran bygger på just hur denna slump kan förväntas visa sig i olika situationer, beroende på hur stor sannolikhet varje utfall har. En variabel vars utfall beror på slumpen kallas stokastisk variabel. För att förklara detta närmare behöver ett par begrepp definieras. Utfall är resultatet av ett slumpmässigt försök 9 Luenberger, 16 10 Ibid., 16 11 Adams, Robert A. Calculus. Andra upplagan. (Canada: Pearson Education, 2003), 159-160 12 Ibid., 465 6

och betecknas och utfallsrummet,, beskriver mängden möjliga utfall. Stokastiska variabler betecknas oftast med stora bokstäver i slutet av alfabetet X, Y, Z. 13 Exempel: tärningskast. En person spelar ett spel som har följande regler. Personen får kasta en tärning en gång. Personen får 10 kr om han eller hon får ett, 20 kr om han eller hon får två eller tre, samt 40 kr om han eller hon får fyra, fem eller sex. Beloppet som personen vinner är vår slumpvariabel X som alltså kan anta värdena 10, 20 eller 40 det vill säga värdemängden är {10,20,40}. Utfallsrummet blir där betecknar utfallet av tärningens värde. Vi tilldelar alltså varje utfall ett värde enligt nedan. 14 0 10 20 30 40 40 En stokastisk variabel kan vara diskret eller kontinuerlig. En diskret variabel kan bara anta ett uppräkneligt antal olika värden medan en kontinuerlig variabel kan anta alla värden i ett intervall. 15 I exemplet ovan är slumpvariabeln diskret. 2.3.1 Fördelningsfunktion För att förklara hur en stokastisk variabel varierar studeras variabelns fördelningsfunktion. För en slumpvariabel X definieras fördelningsfunktionen,, som: vilket beskriver sannolikheten att X antar ett värde mindre eller lika med x och gäller för alla x inom intervallet. 16 13 Blom, Gunnar. Sannolikhetsteori med tillämpningar. Andra upplagan. (Lund : Studentlitteratur, 1984), 17, 52 14 Ibid., 53 15 Ibid., 56,61-62 16 Ibid., 54 7

Exempel: tärningskast fortsättning. 1 1/2 1/6 x 10 20 30 40 För att få fram fördelningsfunktionen för vår stokastiska variabel (som är diskret) i vårt exempel om tärningskast beräknar vi fram sannolikheten,, för utfallen och hur fördelningsfunktionen ser ut för varje x. 17 0 0 1/6 [ ] 1/6 (0+1/6) 1/6+1/6=2/6 [ 3/6 (1/6+2/6) 1/6+1/6+1/6=3/6 1 (3/6+3/6) Nu har vi sett hur fördelningsfunktionen för en diskret variabel beräknas och kan se ut. Nedan följer egenskaper för fördelningsfunktionen i allmänhet. 1. 2. är en växande funktion av, dvs. om så gäller a b 17 Blom, 54-55 8

3. är kontinuerlig till höger för varje. Vidare gäller även: 4. Om så gäller att 18 2.3.2 Täthetsfunktion När den stokastiska variabeln är kontinuerlig kan som tidigare nämnts utfallen anta alla värden inom ett eller flera intervall. Det gör att det inte går att tilldela varje utfall en sannolikhet då det finns oändligt många. Detta leder till att det inte heller finns någon sannolikhetsfunktion vilket gör att vi inte kan använda formeln som vi använde för beräkning av fördelningsfunktionen i det diskreta fallet. Vi har istället en annan formel för fördelningsfunktionen för den kontinuerliga stokastiska variabeln, X: där funktionen kallas för täthetsfunktionen för X. 19 På bilden nedan kan vi se ett exempel på hur en täthetsfunktion kan se ut. För en kontinuerlig stokastisk variabel gäller att, för, Vidare är det intressant att notera att hela arean under täthetsfunktionen blir 1. Om man låter x gå mot i vår formel för fördelningsfunktionen för kontinuerlig variabel får vi eftersom då går mot 1. 20 18 Blom, 56 19 Ibid., 62 20 Ibid., 63 9

2.4 Normalfördelning Det finns många olika kontinuerliga fördelningar varav en är normalfördelningen. En variabel X som har täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen där m och är givna storheter (, sägs ha en normalfördelning. Detta betecknas. 21 Om den stokastiska variabeln har normalfördelning med och kallas fördelningen standardiserad normalfördelning. Täthetsfunktionen för denna betecknas, och fördelningsfunktionen. Dessa ges av 22 2.5 Stokastisk process Från en stokastisk variabel ska vi nu gå ett steg längre och undersöka en stokastisk process som är tidsordnad. Teorierna inom stokastiska processer kan användas till att studera allt från hur radioaktivt sönderfall sker, hur bakteriepopulationer utvecklas, hur trafiken varierar i en vägkorsning till hur aktiepriser varierar. 23 En stokastisk process är en familj med bestämd värdemängd S. Där av slumpvariabler definierade på utfallsrummet för alla är t.ex. är värdemängden 24 21 Blom, 68,169 22 Ibid., 170 23 Ibid., 224 24 Grimmett, R. Geoffrey och David R. Stirzaker. Probability and Random Processes. Tredje upplagan. (Oxford: University Press, 2001), 360 10

Exempel: kunder i en affär Under tidsintervallet t,, låter vi räkna hur många kunder som finns inne i en butik. Här har vi alltså en stokastisk process med kontinuerlig tid men diskret variabel. Kunderna kan gå in och ut ur butiken under vilken tid som helst inom tidsintervallet men antalet kunder är ett diskret värde {0,1,2,3,4}. X(t) 4 3 2 1 a b t Vi låter vara antalet kunder i butiken vid tidpunkten t. Kurvan förflyttar sig uppåt ett steg då en ny kund kommer in i butiken och kurvan går ner ett steg då en kund lämnar butiken. Vi har alltså en stokastisk process. Sammanfattningsvis är en stokastisk variabel vars värde förändras slumpmässigt över tiden en stokastisk process. Det finns två olika typer av stokastiska processer med avseende på tiden, diskret och kontinuerlig. I den diskreta kan objektet enbart ändra värde vid bestämda tillfällen medan i en kontinuerlig kan värdet förändras närsomhelst. På samma sätt kan man dela upp stokastiska processer med avseende på värdet då en diskret variabel kan anta ett antal diskreta värden medan kontinuerliga variabler kan anta vilka värden som helst inom ett intervall. 25 2.6 Wienerprocess En stokastisk process följande egenskaper: är en standardwienerprocess om den uppfyller (1) med sannolikhet 1. (2) Processen är tidskontinuerlig på [0,T) med sannolikheten 1. (3) För varje är stokastiska variablerna oberoende av varandra. (4) för varje 25 Hull, 263 11

Vilket betyder att värdet på och då s är, i väntevärdes mening i genomsnitt, lika, medan har en varians på. Egenskaperna (1) och (4) leder tillsammans fram till att vi kan skriva För kan vi kalla processen en Wienerprocess med drift och diffusionskoefficient ( betecknas där om är en standardwienerprocess. 26 Att Wienerprocessen är som ovan nämnts normalfördelad med väntevärde noll kan visas genom där enligt ovan. Att variansen är t kan visas genom Vi kan skriva om Wienerprocessen från ovan till Vi får den generella Wienerprocessen genom en stokastisk differentialekvation Då vi låter och bero på tiden,, kan vi definiera en Wienerprocess med drift och diffusionskoefficient genom stokastiska differentialekvationen vilket betyder 27 Integralen beskrivs i avsnitt 2.7.1. 26 Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. (USA: Springer, 2004), 80 27 Ibid., 80 12

2.7 Itoprocess En process { kallas för en Itoprocess om man kan skriva 28 där är en stokastisk variabel som beror på tiden t står för värdet av vid tidpunkten 0, integralen är en Riemannintegral samt som är en stokastisk integral som benämns Itointegral. 29 Slutligen kan vi förkorta och skriva om vår Itoprocess till 30 Eftersom Wienerprocessens vägar är av oändlig variation och inte är deriverbar i någon punkt kan den inte integreras med vanliga metoder. 31 2.7.1 Itointegral Vi ska nu visa att en integral existerar, där är en Wienerprocess som startar i origo och där. Antag att och givet. Vi vill definiera och vi antar vidare att har formen där står för indikatorfunktionen och n står för naturliga tal. 32 28 Glasserman 546 29 Øksendal, Bernt. Stochastic Diffential Equations. Femte upplagan. (Germany: Springer, 2000), 22 30 Glasserman, 546 31 Øksendal, 29 32 Ibid., 23 13

Genom att välja litet Vi kan approximera en given funktion med där punkterna ingår i intervallet [ ]. Sedan definieras som gränsvärdet till när. Till skillnad från vanlig integration (Riemann-stiltjes) spelar det roll vilka punkter vi väljer. Under konceptet Itointegral väljer vi punkterna så att, det vill säga ändpunkten till vänster. Itointegralen av (från S till T) definieras som 33 där är en mängd elementära funktioner så att 34 Exempel: Om vi har en integral så får vi 33 Øksendal, 24 34 Ibid., 29 14

Vi kan skriva, vilket är samma som Vi kan nu sätta Vidare kan vi använda konventionen att och får eftersom. 2.7.2 Itos lemma Anta att den stokastiska processen är en Itoprocess, det vill säga det är en stokastisk process som är en lösning till den stokastiska differentialekvationen där är en Wienerprocess och a och b är funktioner av X och t. Antag även en funktion G som är en funktion av X och t. Enligt Itos lemma följer då G processen där är samma Wienerprocess som i ekvationen ovan. 35 35 Luenberger, 312 15

Kapitel 3. Black-Scholes modell 3.1 Aktiepriset Om S står för aktiepriset vid tiden t bör den förväntade avkastningen vara µs för en konstant parameter. Efter en kortare tid blir den förväntade avkastningen då S, där är den förväntade avkastningen på aktien uttryckt i decimalform. Om aktiepriset inte varierar kan aktieprisets förändring beskrivas som. 36 Låt Δ t 0, då vilket är ekvivalent med Om vi integrerar får vi där är aktiepriset vid tiden 0 och är aktiepriset vid tiden T. Ekvationen visar att aktiepriset växer enligt en kontinuerlig sammansatt ränta med hastigheten. 37 Men i verkligheten finns det en osäkerhet i aktiepriset som vi bör ta hänsyn till. Denna osäkerhet benämns volatilitet och är standardavvikelsen på prisförändringen. Volatiliteten ger ett mått hur aktiepriset förväntas fluktuera det kommande året och ligger vanligtvis mellan 15% och 60%. 38 Under en kortare tidsperiod kan man anta att volatiliteten är proportionell mot aktiepriset vilket leder oss till följande modell: vilket är ekvivalent med där är volatiliteten i aktiepriset och är den förväntade avkastningen. 39 Från Itos lemma får vi att en funktion satisfierar stokastiska differentialekvationen Låter vi får vi,, som i sin tur ger 40 36 Hull, 269 37 Ibid., 270 38 Ibid., 286 39 Ibid., 270 40 Ibid., 274 16

1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199 208 217 226 235 244 Eftersom och är konstanter visar ekvationen att följer en generaliserad Wienerprocess som har drift och diffusionskoefficient. Förändringen i i tidsintervallet [0,T) är därför normalfördelad med väntevärde och varians. Detta betyder och där är aktiepriset vid tidpunkten T, är aktiepriset vid tidpunkten noll och där beteckningen står för en normalfördelning med väntevärde m och standardavvikelse s. 41 En variabel som har sin naturliga logaritm normalfördelad har själv en lognormal fördelning, vilket ger att aktiepriset vid tiden T, givet priset idag, är lognormalfördelad. 42 Det vill säga där x är den årliga kontinuerliga sammansatta räntan mellan tiden 0 och T. Vi får då vilket ger oss enligt ekvationen ovan att 43 Vi kan nu skriva där. Nedan visas hur aktiepriset kan se ut under ett år. Det blir tydligt att det inte går att använda deterministiska komponenter för att beskriva denna förändring utan stokastiska processer är nödvändiga. Pris per aktie, kr 2,25 1,75 1,25 0,75 Dagar Figuren visar hur aktiepriset för ett svensk flybolag har varierat under tidsperioden 2009-05- 22 till 2010-05-21. 44 41 Hull, 275 42 Ibid., 275 43 Ibid., 283 44 http://bors.www.dn.se/dn/site/stock/stockdetail.page?magic=%28cc%20%28detail%20%28tsid%202024 %29%29%29, 2010-05-22, 15.25 17

3.2 Optionspriset i Black- Scholes modell Black-Scholes modell beskriver hur europeiska optioner prissätts och modellen har haft stort inflytande i hur optioner ska prissättas. Skaparna Fisher Black och Myron Scholes belönades 1997 Sveriges riksbanks pris i ekonomisk vetenskap till Alfred Nobels minne för sin modell. Modellen antar att förändringar i aktiepriset under en kortare tidsperiod kan antas vara normalfördelade med den förväntade avkastningen per år och volatiliteten. 45 Antaganden för Black- Scholes modellen: 1. Aktiepriset S följer processen där och är konstanter. 2. Blankning med full avkastning är tillåten. 3. Det finns inga transaktionskostnader eller skatter samt alla värdepapper går bra att dela. 4. Det är inga utdelningar under derivatinstrumentens livstid. 5. Det finns inga riskfria arbitragemöjligheter. 6. Handel med derivatinstrument sker kontinuerligt. 7. Den riskfria räntan, r, är konstant det vill säga lika för alla slutdatum. Dessa antaganden säger att man kan skapa en riskfri portfölj bestående av aktier och aktieoptioner eftersom de beror på samma underliggande faktor, förändringar i aktiepriset S. Denna portfölj har samma ränta som den riskfria räntan vilket ges av antagandet om en arbitragefri marknad. I en sådan portfölj finns en korrelation mellan priset på optionen, C, och priset på aktien, S. Till exempel kan beroendet ha följande utseende vilket betyder att för varje option man håller i kort position har man 0,4 aktier i lång position. Det ger att man vet värdet på portföljen utan någon osäkerhet. Detta gäller dock under ett mycket kort tidsintervall och portföljen måste hela tiden justeras för att behållas riskfri. 46 Med detta som bas kan vi nu härleda Black-Scholes differentialekvation. Vi har sedan tidigare att aktiepriset följer Vi antar nu att är priset på en köpoption som beror på aktiepriset och är en funktion av S och t. Då får vi från Itos lemma att 45 Hull, 281 46 Ibid., 290 18

Dessa båda ekvationer kan skrivas på diskret form som där och är förändringar i och under ett kort tidsintervall. 47 Låt beteckna en portfölj där värdet ges av vilket fås från de antaganden som gäller för Black-Scholes, det vill säga portföljen innehåller en option i kort position och aktier i lång position. 48 Vi kan nu se att förändring i värdet av portföljen ges av Vi kan nu sätta in ekvationerna för och som vi har sedan tidigare och får då Enligt portföljens ekvation måste portföljen vara riskfri under tidsintervallet eftersom ekvationen inte längre innehåller. Vidare måste vara samma som den riskfria räntan på grund av antagandet om arbitragefri marknad. Vi kan nu skriva där r står för den riskfria räntan. 49 Då vi tidigare har ett uttryck för och får vi 47 Hull, 291 48 Ibid., 291 49 Ibid., 292 19

Vilket kan skrivas om till Denna ekvation är Black-Scholes ekvation! Den kan användas för alla derivatinstrument som har den underliggande variabeln S. En funktion som är en lösning på Black-Scholes ekvation är även priset som derivatinstrumentet kan säljas och köpas för. Till exempel är en lösning på ekvationen då, och vilket gör att ekvationen blir. 50 3.2.1 Härledning av Black-Scholes formel för europeisk köpoption Vi ska nu försöka hitta priset på en europeisk köpoption det vill säga en funktion löser Black-Scholes ekvation och som även uppfyller randvillkoren som 51 Värdet på vid en framtida tidpunkt givet aktiepriset vid den tiden är där K är lösenpris. För att underlätta våra beräkningar låter vi genom och beräknar priset på en köpoption, C där och. Vi ändrar integrationsgränserna så att, det vill säga så att, eftersom i annat fall är funktionen vi integrerar över noll. 50 Hull, 292 51 Ibid., 292 20

Vi får Vi har nu två integraler som vi vill skriva på formen där är den kumulativa sannolikhetsfördelningen för en standardiserad normalfördelning som beskrevs i avsnitt 2.4. Det vill säga sannolikheten för att en variabel som är normalfördelad, är mindre än. Vi börjar med första integralen (1) (2) (3) (4) (1) Sätter ihop termer på basen e (2) Genom kvadratkomplettering (3) Bryter ut (4) Genom substitution sätt då blir 21

När vi byter till ändras även integrationsgränsen q till. Värdet på får vi ut då vi vet alltså kan vi skriva Nu kan vi skriva Påminner om den ursprungliga ekvationen: Som vi nu kan skriva Nu har vi bara kvar att byta plats på integrationsgränserna på andra integralen vilket vi gör genom att sätta. Vi får Värdet på får genom att vi vet 22

som ger Vi kan alltså slutligen skriva Vi kan på liknande sätt visa att priset för en europeisk säljoption, vid tiden, är Vi har nu härlett Black-Scholes modell som vi under nästa rubrik sammanställer. 3.2.2 Black-Scholes prissättning av europeiska köp- och säljoptioner Anta en europeisk option, som har lösenpris K och slutdatum T. Den underliggande aktien betalar ingen utdelning under tiden [0,T] och räntan r är konstant och kontinuerligt sammansatt. Priset om denna är en köpoption blir då vid godtycklig tid Priset om det är en säljoption blir vid godtycklig tid där 52 3.3 Optioner 3.3.1 Exotiska optioner Förutom de vanliga optionerna såsom köp- och säljoptioner finns en annan typ av optioner som har utvecklats på marknader utanför reglerade handelsplatser, så kallad OTC-marknaden. Optionerna går under samlingsnamnet exotiska optioner. Dessa kan även prissättas med hjälp 52 Hull, 295 och Luenberger, 355-356 23

av Black-Scholes genom vissa justeringar i formeln. Exempel på exotiska optioner är asiater, och barriärer vilka förklaras närmare nedan. 53 Vid handel med barriärer baseras optionens payoff (avkastning) på huruvida den underliggande tillgången, till exempel aktier, har nått särskilda nivåer under en viss tidsperiod. Nivån kallas för barriär och betecknas H. De delas upp i två olika kategorier, knock-out optioner eller knock-in optioner. Knock-out optioner upphör att gälla om aktierna har nått en viss prisnivå och knock-in gäller endast då aktierna har nått en viss prisnivå. De finns som både köp- och säljoption vilket ger oss fyra olika typer av barriärer. En köpoption som är en knock-in option, som kallas för down-and-in-call,. Om där och Payoff funktionen för en down-and-in-call blir om men om under intervallet upplöses optionen och eventuell vinst uteblir. Exempel: Vi köper en down-and-in-call som har H=100 och K=140. Efter 252 dagar då optionen har sitt slutdatum är värdet på optionen 170-140=30. Optionens värde är noll så länge priset på den underliggande aktien inte blir 100 eller lägre. Så snart aktiepriset når barriären omvandlas optionen till vanlig köpoption. 220 200 180 160 140 120 100 80 S(T)=170 K=140 H=100 1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 T=252 dagar Asiater kallas optioner vars payoff beror på medelvärdet på priset, giltighetstid, där, under optionens. Förtjänsten från en average price call blir till exempel och från en average price put blir dess payoff, där är medelvärdet på den underliggande tillgången under en bestämd period. 54 53 Hull, 529 54 Hull, 538 24

3.3.2 Hedging med optioner Genom att handla med optioner kan en investerare försäkra sig mot stora förluster om aktiepriset skulle sjunka. Detta brukar kallas för hedging som kommer från engelskan. Anta till exempel att vi har 1000 aktier i ett flygbolag som idag har spotpriset 100 kr. Vi är rädda att aktiepriset kommer att sjunka kraftigt inom 3 månader. Vi kan då köpa säljoptioner (europeiska) med lösenpris på 95 kr, som ger oss rätten att sälja våra aktier för 95 kr vid slutdagen T. Optionerna kostar 3 kr/st och för att täcka 1000 aktier köper vi optioner för 3000 kr. Värdet på vår portfölj idag är 100 000 kr. Det lägsta värdet portföljen kan få är kr. Vi kan alltså alltid sälja för 95 kr men kostnaden för optionerna på 3 000 måste tas med i beräkningen. Om aktiepriset stiger utnyttjas inte optionen men kostnaden på 3 000 kr har vi fortfarande. Så värdet på vår portfölj om aktiepriset stiger är kr, där är aktiepriset vid tiden t. 55 Värdet för hela innehavet 92000 Hedging Utan hedging 2000 0 20 92 95 Aktiepriset 3.3.3 Optioner och spekulation Optioner kan alltså användas som ett verktyg för att försäkra sig för stora förluster men optioner kan precis som aktier användas för spekulation. Exempelvis om man tror att ett bilföretags aktier kommer stiga i värde om 2 månader har man två val. Man kan köpa aktier idag som man sedan säljer till högre pris, om förväntningarna slår in. Eller så kan man köpa köpoptioner (europeiska) som ger rätten att köpa aktien till ett lägre pris än marknadspris och sedan sälja direkt till det högre marknadspriset vid slutdatumet, förutsatt att priset alltså har stigit. 55 Hull, 10 25

Exempel: Vi antar att vi kan spendera 10 000 kr. Aktiepriset idag är 100 kr, optionens lösenpris är 105 kr och kostar 5 kr styck. 56 Vi har dessa alternativ: Alternativ 1) Köp 100 aktier för 100 kr/styck Alternativ 2) Köp 2000 (10 000/5) köpoptioner med lösenpris 105 kr. Tabellen nedan visar resultatet om aktiepriset sjunker till 80 kr eller stiger till 120 kr. Pris om två månader 80 kr/st 120 kr/st Köpa 100 aktier -2 000 + 2 000 Köpa 2000 köpoptioner -10 000 +30 000 Vi kan tydligt se att vinsten blir betydligt större om vi köper optioner om priset stigit efter två månader, men förlusten blev även större vid en prisnedgång. Vinst 30000 Alt. 1 Alt. 2 2000 0-2000 100 110 120 Aktiepris -10000 3.4 Greker När optionens underliggande aktie förändras i exempelvis pris, förväntad avkastning eller volatilitet ändras även värdet på optionen. För att mäta hur känslig en portfölj som består av optioner är för förändringar i den underliggande aktien används så kallade greker. De beräknas genom att derivera Black-Scholes formel med avseende på olika parametrar. Vanliga mått som används är delta och gamma som mäter hur förändringar i aktiepriset påverkar portföljen. 56 Hull, 12-13 26

3.4.1 Delta Delta beskriver hur känsligt optionspriset är för förändringar i den underliggande aktiens pris. Det är alltså lutningen på den kurva som beskriver förhållandet mellan optionspris och aktiepris. Om optionen är en köpoption kan vi beskriva förhållandet enligt bilden nedan. Om aktiepriset stiger, stiger även värdet på optionen. 57 Optionspris B Lutningen=Δ A Aktiepris Vi definierar delta som där är optionspriset och är priset på den underliggande aktien. 58 Om delta är till exempel 0,6 betyder det att när aktiepriset ändras, ändras priset på optionen med ungefär 60% av storleken på förändringen på aktiepriset. 59 Från Black-Scholes formel för värdet av en europeisk köpoption där den underliggande aktien inte ger några utdelningar, kan delta nu beräknas som Enligt kedjeregeln och integralkalkylens fundamentalsats får vi; 57 Hull, 344-345 58 Luenberger, 358 59 Hull, 344-345 27

där och Vi har nu (1) (2) (3) (4) (5) (1) Sätter in (2) Utvecklar (3) Bryter ut och sätter in (4) (5) På samma sätt beräknas delta för en europeisk säljoption till. 60 60 Hull, 346 28

Att hålla sin portfölj deltaneutral betyder att en förändring i aktiepriset inte påverkar värdet på portföljen. Det vill säga vi har skapat en riskfri portfölj genom så kallad deltahedging. Värdet vi får fram när vi beräknar delta är antalet aktier som vi bör köpa för varje option vi har i kort position. 61 Observera att delta beror på både aktiepris och tid så vår deltaneutrala position hålls enbart under mycket kort tid. 62 Exempel på deltaneutral portfölj: Anta att vi har sålt 20 kontrakt på köpoptioner (kort position), det vill säga någon har rätten att köpa 2000 aktier till ett visst pris av oss. Om delta för köpoptionen var 0,6 kan vi hedga vår portfölj genom att köpa aktier (i lång position). Om priset på aktien stiger med 1 gör vi en vinst på aktierna på 1200, men tappar i värdet på våra optioner. 63 3.4.2 Gamma Eftersom en portfölj inte kan behållas deltaneutral behövs justeringar göras regelbundet. Gamma, beskriver förändringen i delta med hänsyn till förändringar i aktiepriset, så Gamma för en europeisk köp- och säljoption blir enligt Black-Scholes där Det vill säga gamma är andraderivatan av optionspriset med avseende på aktiepriset. Om gamma är litet vet vi att delta förändras sakta och vi behöver inte justera vår portfölj så ofta. Men om gamma är stort påverkas alltså portföljen av förändringar i aktiepriset och justeringar måste ske kontinuerligt om vi vill hålla portföljen deltaneutral. 64 Då det är kostsamt att justera sin portfölj är det gynnsamt att skapa en portfölj med litet gamma. 61 Hull, 251 62 Luenberger, 359 63 Hull, 345 64 Ibid., 355 29

Kapitel 4. Slutdiskussion Avsikten med uppsatsen var att på ett översiktligt och lättförståeligt vis förklara bakomliggande teorier samt härledning av Black-Scholes modell. Detta har jag gjort genom att studera litteratur inom området finansiell matematik men även litteratur som behandlat stokastiska processer och sannolikhetslära. På så sätt har jag kunnat framföra en version som även den med endast grundläggande matematikkunskaper på universitetsnivå kan ta till sig. Förutom matematiska utmaningar har jag stött på begrepp från den finansiella marknaden som jag behövt läsa in mig på samt försökt förklara på sådant sätt att även den utan avancerade förkunskaper ska förstå. Jag anser att jag har besvarat mitt syfte väl och genom mitt arbete har jag fått en ökad förståelse för hur matematik och finansiella produkter är sammanlänkade. Då det var länge sedan jag läste matematik har jag under arbetets gång fått repetera gammal kunskap vilket har varit mycket nyttigt. Jag har samtidigt stött på många nya begrepp och tillvägagångssätt både inom finans och matematik. Dessa tar jag med mig till vidare studier och förhoppningsvis kan de även bli användbara i framtida yrken. Avslutningsvis bör det poängteras att Black-Scholes formel endast beräknar optionspriset approximativt. Många antaganden som ligger till grund för modellen stämmer inte med verkligheten. Till exempel påverkas optionspriset i Black-Scholes till stor grad av hur risken och förväntad avkastning, det vill säga aktieprisets volatilitet beräknas. I modellen görs antagandet att aktiepriset är normalfördelat med förväntad avkastning per år och volatiliteten, vilket alltså inte alltid stämmer med verkligheten. Det visar sig ofta att aktieprisets utveckling har tjocka svansar jämfört med en normalfördelning. Black-Scholes modell förenklar och antar att avkastningen är normalfördelad men det finns andra modeller för att förklara finansiella marknader, dock är dessa ofta komplicerade och mer tidskrävande. 30

Källförteckning Litterära källor: Adams, Robert A. Calculus. Andra upplagan. (Canada: Pearson Education, 2003) Blom, Gunnar. Sannolikhetsteori med tillämpningar. Andra upplagan. (Lund: Studentlitteratur, 1984) Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. (USA: Springer, 2004) Grimmett, R. Geoffrey och David R. Stirzaker. Probability and Random Processes. Tredje upplagan. (Oxford: University Press, 2001) Hull, John.C. Options, futures and other derivatives. Sjätte upplagan. (New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2006) Jorion, Philippe. Value at Risk, the new benchmark for managing financial risk. Tredje upplagan. (USA: McGrav Hill, 2007) Luenberger, David. G. Investment Science. (New York: Oxford University Press, 1998) Øksendal, Bernt. Stochastic Diffential Equations. Femte upplagan. (Germany: Springer, 2000) Elektroniska källor: www.dn.se 31