7 Elektriska kretsar Av: Lasse Alfredsson och Klas Nordberg 7- Nedan finns en krets med resistanser. Då kretsen ansluts till en annan elektrisk krets uppkommer spänningen vin ( t ) och strömmen ( ) Bestäm uttrycken för följande spänningar/strömmar i kretsen, v t och : i termer av ( ) in a) Utspänningen vut ( t ). b) Den totala strömmen i ( ) c) Strömmen () t som går in i kretsen. i t, som går genom resistansen med storleken. i t. Figur till uppgift 7 7- Betrakta nedanstående L krets, som har spänningskällan v ( ) in t som insignal. a) Beräkna kretsens systembeskrivande differentialekvation, då spänningen v t över resistansen är systemets utsignal. ( ) b) Beräkna kretsens systembeskrivande differentialekvation, då spänningen v t över induktansen L är systemets utsignal. L () Figur till uppgift 7
7-3 Betrakta nedanstående krets, där spänningen ( ) in v t och strömmen it () uppkommer då kretsen ansluts till en annan krets. a) Beräkna den totala strömmen it ( ) i termer av vin ( t ). b) Beräkna spänningen över resistansen i termer av vin ( t ). c) Beräkna strömmen genom resistansen i termer av vin ( t ). d) Man önskar ha spänningen 3 V över resistansen som är på 7 Ω. v t vara då Hur stor skall inspänningen ( ) Figur till uppgift 7 3 in 7-4 Betrakta nedanstående elektriska linjära system. a) Beräkna, med hjälp av komplexa impedanser, systemets frekvensfunktion v t och utsignalen är H ( ω ) då insignalen är spänningskällan in ( ) spänningen v ( t ) över kapacitansen. C b) Låt = kω, L =.76 mh, 78. pf där ω = är systemets resonansfrekvens. LC Beräkna utsignalen. C = och v ( t) ( ωt) in = 3+ cos V, Figur till uppgift 7 4 Du kan jämföra svaret på a) uppgiften med det som du fick i uppgift 7 9 b)
7-5 Den elektriska kretsen i figuren nedan utgör olika LTI system, beroende på vilken spänning eller ström i kretsen som man betraktar som utsignal från systemet. I samtliga fall får spänningskällan vin ( t ) vara systemets insignal. Använd komplexa impedanser för att lösa följande uppgifter. a) Låt spänningen v () t vara utsignal och beräkna det resulterande L systemets frekvensfunktion Ha ( ω ). Varför är a ( ) b) Låt strömmen il ( ) frekvensfunktion Hb ( ω ). Varför är b ( ) c) Låt strömmen i ( ) frekvensfunktion c ( ) H ω oberoende av L? t vara utsignal och beräkna det resulterande systemets H ω oberoende av L, och C? t vara utsignal och beräkna det resulterande systemets H ω. Tilläggsfråga: Hur kommer frekvensfunktionen att ändras om strömmen i t istället ansätts åt andra hållet (dvs. upp genom resistansen)? ( ) Figur till uppgift 7 5 Du kan jämföra svaret på a) uppgiften med det som du fick i uppgift 7 0 b) 7-6 Beräkna frekvensfunktionen H ( ω ) för kretsen i nedanstående figur, där vin ( t ) är insignal och vut ( ) t är utsignal. Använd komplexa impedanser. Figur till uppgift 7 6 3 Du kan jämföra svaret på uppgiften med det som du fick i uppgift 7 0 b)
7-7 Vid mycket höga frekvenser kan kretsen nedan, som har vin ( ) och v ( ) ut t som insignal t som utsignal, approximeras med en krets som bara innehåller tre nätelement. ita denna förenklade krets och beräkna det motsvarande LTI systemets lim H ω. frekvensfunktion H ( ω ), dvs. ( ) ω Figur till uppgift 7 7 7-8 Den elektriska kretsen nedan utgör ett frekvensselektivt filter, med insignal y t. = Ω, L = 0.5 H. x( t ) och utsignal ( ) a) Beräkna filtrets frekvensfunktion H ( ω ). Använda komplexa impedanser. b) Skissera filtrets amplitudkaraktäristik H ( ω ). Bestäm även (och markera i din ritade amplitudkaraktäristik) filtrets gränsvinkelfrekvens ω 0, som ofta definieras som den vinkelfrekvens där amplitudkaraktäristiken är =. gånger så stor som maxamplituden, dvs. H( ω ) H( ω) c) Vilken typ av frekvensselektivt filter är detta? 0 max d) Bestäm LTI systemets differentialekvation, som beskriver förhållandet x t. mellan y( t ) och ( ) e) Låt istället utsignalen y( t ) vara spänningen över resistansen. Vilken typ av frekvensselektivt filter får man då? + L + Figur till uppgift 7 8 4
7-9 Betrakta den elektriska krets som visas i figuren till uppgift 7 4, där insignalen är spänningskällan vin ( t ) och utsignalen är spänningen vc ( t ) över kapacitansen. a) Bestäm motsvarande systembeskrivande ekvation för detta system. b) Gå från den systembeskrivande ekvationen till motsvarande frekvensfunktion H ( ω ). Ledning: använd samma metod som i uppgift.0, eller uppgift 4.5 (baklänges) 7-0 Betrakta den elektriska krets som visas i figuren till uppgift 7 5, där insignalen v t genom är spänningskällan ( ) in induktansen L. v t och utsignalen är strömmen ( ) a) Bestäm motsvarande systembeskrivande ekvation för detta system. b) Gå från den systembeskrivande ekvationen till motsvarande frekvensfunktion H ( ω ). L 7- Betrakta den elektriska krets som visas i figuren till uppgift 7 6, där insignalen v t genom är spänningskällan ( ) in kapacitansen C 4. v t och utsignalen är strömmen ( ) a) Bestäm motsvarande systembeskrivande ekvation för detta system. b) Gå från den systembeskrivande ekvationen till motsvarande frekvensfunktion H ( ω ). 7- Den elektriska kretsen nedan utgör ett LTI system med spänningskällan vin ( t ) som insignal och strömmen i ( t ) genom kapacitansen C som utsignal. C Bestäm den systembeskrivande ekvationen, dvs. differentialekvationen som beskriver sambandet mellan utsignalen och insignalen. L C C vin( t) ic ( t) 5
7-3 Komponenterna i den elektriska kretsen i uppgift 7 har följande värden: Med vin () t som insignal och spänningen v () t över resistansen som utsignal: a) Bestäm systemets frekvensfunktion H ( ω ), med hjälp av komplexa impedanser. b) Skissera systemets amplitudkaraktäristik. c) Bestäm systemets utsignal då insignalen är π π vin () t =.5sin 80t+ 3cos 00t 3 5 volt. xt 7-4 Nedanstående elektriska krets är ett LTI system med spänningskällan () insignal och spänningen y(t) som utsignal. som = = 00 Ω, L = mh, C = 4,7 µf a) ita ett ekvivalent komplext kretsschema. b) Bestäm systemets frekvensfunktion H ( ω ). Använda jω metoden. c) Inför strömmar genom var och en av de fyra komponenterna och genom spänningskällan, genom att rita in dom i det komplexa kretsschemat. Bestäm dessa fem strömmar som funktioner av tiden när xt () = cos(5t+ 0,). 6
LÖSNINGA TILL ÄKNEUPPGIFTENA 7
7 8
7 b) vl ( t ) är utsignal: di( t) () = () v ( t) = i( t) () v ( t) v ( t) v ( t) vl t L dt = (3) in L 0 Utgå nu från ett samband där utsignalen finns med och eliminera alla signaler utom in och utsignal. Exempel: () ( ) L ( ) L ( ) L ( ) di t dv t dvin t dvl t () vl () t = L = () = = (3) = dt dt dt dt () dvl t dvin t + v L () t = dt L dt 9
7 3 0
8.4 V
Här kan du rita en rolig figur 7 4
7 5 Kretsen med en insignal v ( ) a): spänningen vl () t över induktansen L b): strömmen il () t genom induktansen L c): strömmen i () t genom resistansen. in t har i uppgiften tre tänkbara utsignaler För var och ett av fallen skall motsvarande frekvensfunktion beräknas, V L dvs. H ( ω ) =, H ( ω ) = respektive H ( ) I L a b c ω =, Vin Vin Vin där Vin, VL, I och L I är de komplexa motsvarigheterna enligt nedanstående komplexschema: I a) Beräkna H ( ) a V L ω = : V in V + + L A B A V L B I den omritade figuren nedan ser man att spänningen mellan nod A och nod B är V in. (oberoende av hur stor impedansen jω L är). V L + Kretsdelen till höger om noderna A och B kan ritas om på nedanstående sätt: C 3
Spänningsdelning ger V L = Vin Z C jωl + jωl, där parallellkopplingen i sin tur ger ZC = = = + + jωl ω CL + jωl Följaktligen gäller VL = V in = V in + jωl ω CL + jωl + vilket ger frekvensfunktionen ( ) V L ω CL + H j ω L a ω = =. V ω CL + jωl ( ) in Ha ω är oberoende av L eftersom spänningen V L är oberoende av L (se ovan). Induktansen L påverkar inte på något sätt den övriga kretsen, eftersom den är parallellkopplad med en ideal spänningskälla., b) Beräkna H ( ) b I L ω = : V in I komplexschemat ovan gäller Ohms lag för impedansen jω L : I L Vin = jωl IL Hb ( ω) = = V jωl b ( ) in H ω är oberoende av L, C och eftersom impedansen jω L är parallellkopplad med en ideal spänningskälla. Därför gäller sambandet V = jωl I oavsett vad som in L parallellkopplas med impedansen jω L. Frekvensfunktionen beror dock på alla kretskomponenter om spänningskällan byts ut mot en strömkälla! c) Beräkna H ( ) c I ω = : V in Nedan visas tre olika beräkningsvägar med användande av spänningsdelning, strömdelning samt Kirchhoffs strömlag. 4
Försök gärna själv att beräkna H ( ) användande av Kirchhoffs spänningslag! c ω på ytterligare något sätt, t.ex. med Lösningsgång vid användande av spänningsdelning: I den omritade figuren nedan ser man att spänningen mellan nod A och nod B är V in (oberoende av hur stor impedansen jω L är). A C B Kretsdelen till höger om noderna A och B kan ritas om, som i uppgift (a), på nedanstående sätt: A B Ohms lag I V = C (i), där spänningsdelning ger V C = Vin Z C Z C, (ii) + jωl där ZC = (iii) ( Z C beräknades i uppgift (a) ) + + Sätt in (iii) i (ii) VC = Vin = Vin. (iv) + jωl ω CL + jωl + Vin Sätt sedan in (iv) i (i) I = = V in ω CL + jωl ω CL + jωl vilket innebär att den eftersökta frekvensfunktionen är I Hc ( ω ) = =. V ω CL + jωl in, 5
Lösningsgång vid användande av strömdelning: I den första figuren på förra sidan ser vi att strömmen I tot fördelas så att en del går genom impedansen j C ω och en del går genom resistansen. Strömdelning ger då: I = Itot = Itot (v) + + Kretsens komplexschema kan skrivas om på följande sätt: Vin Vin Vin Vin Ohms lag då Itot = = = = Z tot // + jωl + jωl + + jωl + Vin Vin Sätt in (vi) i (v) I = = + jωl + ω CL + jωl + vilket innebär att den eftersökta frekvensfunktionen är I Hc ( ω ) = =. V ω CL + jωl in,. (vi) Lösningsgång vid användande av Kirchhoffs strömlag: I den första figuren i lösningsförslaget för uppgift (c) är nod B, enligt uppgift, jordad (vilket medför att potentialen i nod B blir noll) och potentialerna V A och V C ansätts i nod A respektive nod C. Ansätt också en ström I C som går från nod C genom impedansen till nod B (strömmen I C finns ej utritad i figuren). Kirchhoffs strömlag i nod C ger då: I tot = IC + I VA VC VC VB VC VB, dvs. = +. jωl 6
Vin Eftersom VA = Vin och V B = 0 erhålls = VC + +, vilket innebär att jωl jωl Vin Vin VC = =. (viii) jωl CL + + ω + jωl jωl VC Vin Vin Ohms lag I = = (viii) = = ω CL CL j L jωl ω + ω + vilket innebär att den eftersökta frekvensfunktionen är I Hc ( ω ) = =. V ω CL + jωl in Tilläggsfrågan i uppgift c): Om strömmen genom resistansen definieras åt andra hållet (nedifrån och upp) erhålls en ny frekvensfunktion Ĥ ( ω) = H ( ω), där H ( ) som beräknats ovan. c c c ω är frekvensfunktionen, 7
7 6 7 7 8
7 8 a) ita först det filtrets ekvivalenta komplexschema: I Z = X ZL = jωl Y X Ohms lag för ZL ger Y = ZL I, där I = (Ohms lag igen) Z + Z L ZL jωl Y = X = X Z + ZL + jωl (Sambandet kan även erhållas direkt, genom spänningsdelning) Frekvensfunktionen definieras då som H ( ω) b) H ( ω) = ( ) Y jωl jω = = = X + jωl 4 + jω ω 0 H 0 = = 0. 4 + ω 4 lim H ( ω) = lim = lim H( ω) = ( ) ω ω 4 ( uppenbarligen = H ω max ). ω + jω 4 H( ω0) = H( ω0) = = = ω max 0 = 4 rad/sek. ω 4 0 + ω0 Amplitudkaraktäristiken: H(ω) 0.707 0 0 4 0 0 30 ω [rad/sek] 9
c) Det givna filtret är ett högpassfilter (HP filter), eftersom det dämpar lågfrekventa sinussignaler ( ω < ω0 = 4 rad/sek) men släpper igenom högfrekventa sinussignaler ( ω 4 rad/sek). d) Utveckla frekvensfunktionen från a): jω Y H ( ω) = = ( jω+ 4) Y = jω X jω + 4 X (Samma motivering som i uppgift 3) ( ) () dy t dx t + 4y() t = dt dt e) Låt den komplexa spänningen över resistansen (= impedansen V ) vara V. Från Kirchhoffs spänningslag erhålls då X V Y = 0 V = X Y, V X Y Y vilket ger att den nya frekvensfunktionen blir H ( ω) = = = X X X ( 4 + jω) jω 4 4 = H ( ω ) = = H ( ω) =, från vilken följer 4+ jω 4+ jω 6 + ω att det är ett lågpassfilter (lågfrekventa signaler passerar och högfrekventa signaler dämpas. Samma gränsvinkelfrekvens, ω 0 = 4 rad/sek som högpassfiltret i uppgift a). Detta inses främst utgående från sambandet H ( ω ) = H ( ω), men även från amplitudkaraktäristiken nedan. H (ω) 0.707 0 0 4 0 0 40 60 80 ω [rad/sek] 0
3
4
7- Inför först hjälpstorheterna (), (), (), och () i t v t i t v t i figuren, t.ex. med förslagna L LC riktningar (vilket är mest logiskt här). Kom ihåg att strömmen går från högre till lägre potential genom, L och C! Ström-spänningsambanden för, L och C som kommer att behövas i lösningen: dvlc ic () t = C dt dil vlc () t = L dt v t i t () t () = () () t () () (3) Andra samband som kan vara användbara vid lösningen är Kirchhoffs strömlag: i t = i t + i t (gäller i de båda förgreningsnoderna) () C() L() (4) Kirchhoffs spänningslag: v () t v () t v () t (Σ potentialändringar ett varv in LC =0 (5) runt kretsen) Börja med ett samband för utsignalen ic ( t ) (lämpligen ekv. ()) och utveckla det tills du erhåller den sökta differentialekvationen, som bara innehåller utsignalen i () t, insignalen vin () t samt, L och C: LC () () () () () dv t dvin t dv t ic t = C = vlc t från ekv. (5) = C C = v () t från ekv. (3) dt dt dt dvin () t di() t dvin t dic t dil t = C C = i () t från ekv. (4) = C C C dt dt dt dt dt dil () t dvin () t dic () t C = från ekv. () = C C vlc () t (6) dt dt dt L C () () () Återstår att eliminera vlc () t i ekvation (6): Om ekvationen deriveras en gång, så kan den dvlc () t resulterande termen C som en sista eliminering (ekv. ()) bytas ut mot utsignalen dt t. Derivering av ekv. (6) ger alltså ic () () () () C () () () dic t d vin t d ic t dvlc t d vin t d ic t = C C = C C i C t dt dt dt L dt dt dt L, dic ( t) dic ( t) dvin ( t) som ger den sökta differentialekvationen C + + i C () t = C dt dt L dt () 5
7-3 a) ita kretsens ekvivalenta komplexschema: jωl Förenkla parallellkopplingen Z p V in V V in V Impedanserna jω L och är parallellkopplade jωl jωl Zp = jωl= =. + jωl ω LC Spänningsdelning i figuren ovan till höger ger då ω LC V = Vin = Vin = Vin + Z jωl p L + ω LC+ jω ω LC Utsignalens komplexa amplitud V ω LC H ( ω) = = = Insignalens komplexa amplitud V L in ω LC + jω = 60 Ω ω 4 4 0 L 0. H 0 ω = = = = ω ω 4 00ω C = 0. 5 mf + j 0 ω + j 4 0 300 3 6
b) Undersök/bestäm värdet på amplitudkaraktäristiken H ( ω) 4 0 ω = 4 00ω ( 0 ω ) + 3 ω = 0, då ω och vid ytterligare något lämpligt ändligt ω -värde: ω ( ) H ω vid 0 4 0 0 4 ( 0 0) + ( 0) = 4 0 ω 0 lim = = ω ( 0 ) + ( 0) 4 0 00 + ω 3ω 4 Då 0 ω = 0, dvs. ω 00 = ( ) 0 00 0 + 00 3 = 0 Skiss av amplitudkaraktäristikens typutseende ( kommentar : det är ett Notchfilter): H ( ω) 00 ω [ rad/s] π π c) Insignalen är vin () t =.5sin 80t+ 3cos 00t 3 5 volt. Eftersom systemet är ett stabilt LTI-system, kommer utsignalen att bli π π v () t =.5 H( 80) sin 80t+ + arg H( 80) 3 H( 00) cos 00t + arg H( 00) 3 5. 00 0 v t filtreras bort av systemet. Enligt uppgift b): H ( ) =, dvs. den andra termen i ( ) 4 H 0 80 3600 3600 j ( 80) 0.80 667 4 8000 j 3600 667 e α = = = α e j arctan 0 80 + j + j e 3600 667 3600 3 + e arg 80 0.64 v t.0sin 80t+ 0.4 volt dvs. H ( 80) 0.8 och ( ) H ( ) ( ) in 0.64 7
7-4 a) Det ekvivalenta komplexa kretsschemat visas nedan Z C ZL = = jωl b) Utsignalen Y fås, till exampel, genom spänningsdelning av inspänningen Y över resistansen tillsammans med Y = X + Z + Z L C Z L och Z L (OBS: resistansen ingår inte i detta uttryck!): och ger systemets frekvensfunktion Y H ( ω) = = = = X + ZL + ZC j C LC + jωl+ ω ω + Med komponentvärdena insatta blir frekvensfunktionen H ( ω) = jω 4, 7 0 4 4 9 jω 4, 7 0 ω 4, 7 0 + c) Med strömmarna införda i komplexschemat ser det ut så här (figur till vänster): Kirchhoffs strömlag ger då att I C = I = I L och I = I + I. 8
OBS: strömmarnas riktningar är i princip godtyckliga, men bestäms av polariteten för spänningarna över komponenterna. I denna fall har vi spänningen X över och spänningen Y över, vilket ger riktningarna på strömmarna I och I. Eftersom det går samma ström (till storlek) genom Z C och Z L som genom är det naturligt att också ange samma riktningar på dessa tre strömmar. Insignalen xt () = cos(5t+ 0,) har vinkelfrekvens ω = 5 rad/s, vilket ger numeriska värden på de olika impedanserna enligt följande: 4 ZC = 4.6 j 0 3 Ω, Z 5 0 L = jωl = j Ω För att beräkna strömmarna kan vi, till exampel, börja med att bestämma strömmen I = X /. Eftersom impedansen är reell ges strömmen som funktion av tiden genom som i () t = x()/ t = 0,0cos(5t+ 0,) A. I av I X / Z På samma sätt ges strömmen = där 4 Z = ZC + + ZL 00 4.6 j 0 Ω. Det ger I = X / Z.35j 0 X. Det betyder att strömmen i () t ges av spänningen x() t genom en amplitudskalning med faktorn 5 och en fasförskjutning med, 57 arg (.35 j 0 ).35 0 5 5 : i () t = 4,70 cos(5 t +,77) A. Detta blir även strömmen genom kapacitansen och genom induktansen: i () t = i () t = i () t. Slutligen, strömmen it () ut från spänningskällan blir C L 5 it ( ) = i( t) + i( t) 0,0cos(5t+ 0,) + 4,7 0 cos(5t+,77) 0,0cos(5t+ 0,) A. En alternativ metod är att först beräkna strömmen I genom att slå samman alla impedanserna, motsvarand en parallellkoppling av med ZC + + ZL. Därefter kan I och I beräknas genom strömdelning. Det leder till samma resultat, men blir lite mer att räkna. 5 9