KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER

KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER M. SAPRYKINA 1. INLEDNING Syftet med denna lilla text är att ge en kort sammanfattning av baskunskaper inom komplexa tal och introducera begreppet av (komplexvärda) analytiska funktioner. Det som blir viktigast för oss är att analytiska funktioner kan representeras som konvergenta potensserier. Denna egenskap ska vi använda för att lösa vissa differentialekvationer. Detta kompendium är baserat på boken Fundamentals of complex analysis for mathematics, science and engeneering av E.B. Saff and A.D. Snider, samt kompendium Komplexa funktioner av Olle Stormark. 2. DEFINITION AV KOMPLEXA TAL 2.1. Struktur av komplexa tal. Låt oss snabbt repetera definitionen av komplexa tal. Till att börja med, identifiera det komplexa planet C med det reella planet R 2 genom att identifiera det komplexa talet z = x + iy med den reella vektorn (x,y) R 2. Man kan lika gärna använda båda skrivsätt: z = x+iy eller z = (x,y). Nu är R 2 ett vektorrum över R, dvs vi kan ta linjära kombinationer av vektorer med reella koefficienter: om (x 1,y 1 ) och (x 2,y 2 ) R 2, a,b R, så a(x 1,y 1 )+b(x 2,y 2 ) = (ax 1 +bx 2,ay 1 +by 2 ) R 2. Denna vektorrumsstruktur ärvs av C, dvs om z 1 = x 1 + iy 1 och z 2 = x 2 + iy 2 är komplexa tal och a,b R, så får man ett nytt komplext tal genom linjärkombinationen: az 1 +bz 2 = a(x 1 +iy 1 )+b(x 2 +iy 2 ) = ax 1 +bx 2 +i(ay 1 +by 2 ). Men till skillnad från R 2 har C dessutom en multiplikativ struktur: om z 1 = x 1 +iy 1 ochz 2 = x 2 +iy 2 är komplexa tal, så definieras deras produkt genom att använda vanliga räkneregler tillsammans med en ovanlig : i 2 = 1: z 1 z 2 = (x 1 +iy 1 )(x 2 +iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 +i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ). 1

2 M. SAPRYKINA Exempel. Förz = 1+i har vi: z 2 = (1+i)(1+i) = 1 1+i(1+1) = 2i. 2.2. Absolutbelopp, argument, polär form. Multiplikation av komplexa tal blir enklare om man inför polära koordinater (på samma sätt som i reella analysen). Absolutbeloppet av det komplexa taletz = x+iy definieras som längden av vektorn (x,y): z = x 2 +y 2. Exempel. Förz = 1+i har vi: z = 1 2 +1 2 = 2. Argumentet argz av z som mängden av alla vinklar från positiva reella axeln till vektorn (x,y). Vi betonar att argz är inte ett tal, utan oändligt många tal! Dessa tal skiljer sig med multiplar av 2π: om θ 0 är en sådan vinkel, så argz = θ 0 +2πk, k Z. Funktionen arg z är ett naturligt exempel på en så-kallad flertydig funktion ett begrepp som visar sig vara ganska användbart inom komplexanalys. Exempel. Förz = 1+i har vi:argz = π +2πk, k Z. 4 Betraktaz = x+iy = (x,y) 0. Sättr = z, och låtθ vara något värde avargz. Då ser vi att { x = rcosθ y = rsinθ och det spelar ingen roll vilket värde på argz vi hade valt eftrsom funktionerna sinθ och cosθ är 2π-periodiska. Detta ger oss den polära formen av z = x+iy: (1) z = r(cosθ+isinθ) = z (cosargz +isinargz). Denna form är bäst för att utföra multiplikation i. Låt z 1 = r 1 (cosθ 1 + isinθ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + isinθ 2 ). Med hjälp av trigonometriska formler får vi z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )), vilket innebär att z 1 z 2 = z 1 z 2, arg(z 1 z 2 ) = argz 1 +argz 1. Exempel. Vi såg att 1+i = 2(cos π +isin π ). Då 4 4 (1+i) 2 = ( 2) 2 (cos2 π 4 +isin2π 4 ) = 2i, och vi får samma svar som i uträkningen overst på sidan.

KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 3 Exempel. Taleti = 0+i 1 = (0,1) har längd 1 och argumentπ/2+2πk, k Z, så (0,1) = i = 1 (cos π +isin π ). Därmed blir 2 2 (0,1) 2 = i 2 = 1 2 (cosπ +isinπ) = 1. Denna uträkning stämmer med vår definition i 2 = 1. 2.3. Imaginära exponenten. Observera att vi ofta använder uttrycket(cos θ+ isinθ) för ett reellt tal θ. I detta kapitel ska vi ge ett nytt namn till detta uttryck, nämligen imaginär exponent. Först kommer en motivering. När vi studerade Taylorserier i Envariabeln, har vi sett att för alla x R gäller e x = n=0 x n n!. Låt oss ta de jämna potenserna för sig, och de udda för sig (tänk inte på konvergensen av serierna här detta ska vi prata om senare): Vi kommer ihåg att cosx = Om vi tarx = iθ, = n=0 x n n! = x 2k (2k)! + ( 1) k x 2k, sinx = (2k)! ( 1) k θ 2k (2k)! +i e iθ = ( 1) k θ 2k+1 (2k +1)! x 2k+1 (2k +1)!. ( 1) k x 2k+1. (2k +1)! (iθ) 2k (2k)! + (iθ) 2k+1 (2k +1)! = cosθ+isinθ. Låt oss ta detta som definition av exponenten för rent imaginära tal, dvs för reella θ låt (2) e iθ = cosθ +isinθ. Denna formel kallas för Eulers formel. Exempel: Observera att för alla θ R e iθ = cosθ+isinθ = cos 2 θ+sin 2 θ = 1. Vidare, och e i0 = e i2π = e i2π = e i4π = = 1, e iπ = 1.

4 M. SAPRYKINA Definitionen ovan låter oss skriva komplexa tal på tre olika sätt: z = x+iy = r(cosθ +isinθ) = re iθ där r = z och θ är ett värde av argz. Ibland skriver man också r = z e iargz. Eulers formel stämmer bra överens med de vanliga räkneregler för exponenten. Nämligen, e iθ1 e iθ 2 = (cosθ 1 +isinθ 1 )(cosθ 2 +isinθ 2 ) = (cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )) = e iθ 1+iθ 2. Exponentiella formen av komplexa tal är bäst anpassad för multiplikation: för z 1 = r 1 e iθ 1 ochz 2 = r 2 e iθ 2 har vi z 1 z 2 = r 1 r 2 e iθ 1 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ). Nu är det lätt att definiera divisionen av komplexa tal. Om z = re iθ med r 0, så blir 1 z = 1 re = 1 e iθ iθ re iθ e = 1 iθ r e iθ, och z 1 1 = z 1 = r 1 e iθ 1 e iθ2 = r 1 e i(θ 1 θ 2 ). z 2 z 2 r 2 r 2 Exempel. Formeln z n = r n e inθ = r n (cosnθ +isinnθ) gäller för alla n Z. Övningar. (a). Bevisa De Moivres formel: (cosθ +isinθ) n = (cosnθ+isinnθ). (b). Använd detta för att uttrycka sin3x i termer av sinx ochcosx. (c). Beräkna (1 i)/( 3+1) och (1 i) 9. (d). Uttryck sinθ ochcosθ i termer av den komplexa exponenten. (e). Följande uträkning ska användas för att skriva Fourierserier på ett bekvämt sätt. Lått R,n N,a,b C. Uttryck(ae inθ +be inθ ) i termer av sinnθ ochcosnθ. 3. DERIVATOR. ANALYTISKA FUNKTIONER Som bekant definieras derivatan av en reell funktion f(x) genom f (x) = df(x) dx = lim f(x+ x) f(x). x 0 x Observera att x kan gå mot 0 på två olika sätt: från vänster och från höger, och definitionen ovan innebär att gränsvärdena från dessa båda håll skall finnas och dessutom vara lika.

KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 5 Derivatan av en komplex funktion f(z) definieras analogt: f (z) = df(z) f(z + z) f(z) = lim. dz z 0 z Men notera att här kan z gå mot 0 i oändligt många riktningar, eftersom z = z e iarg z 0 z 0, medan arg z är godtycklig. Definitionen ovan kräver att gränsvärden df/dz ska finnas och vara lika i alla riktningar. I Flervariablelsanalysen har vi sett funktioner som har alla partiella derivator, men inte är differentierbara. Man inser att komplex deriverbarhet är ett jättestarkt krav. Men deriveringsreglerna är samma som för reella tal: Sats 1. Om funktionerna f(z) ochg(z) är deriverbara i punktenz, så (af(z)+bg(z)) = af (z)+bg (z), (f(z)g(z)) = f (z)g(z)+f(z)g (z), d f(z) = f (z)g(z)+f(z)g (z) för g(z) 0, dz g(z) g 2 (z) d f(g(z)) = dz f (g(z))g (z). Definition: En komplexvärd funktion kallas för analytisk på en öppen mängd G icom den är komplext deriverbar i varje punkt avg. Denna klass av funktioner har många intressanta egenskaper. En av de viktigaste är följande: Sats 2. Om f(z) är analytisk i ett område G, så är även f (z) analytisk i G. Beviset av denna sats finns, tex, i [SS]. Per induktion följer det att analytiska funktioner har derivator av alla ordningar. Observera att detta inte alls är sant i det reella fallet! Till exempel är funktionen f(x) = x 4/3 deriverbar, men dess derivata är inte deriverbar i origo. 4. ELEMENTÄRA KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER Från reella analysen känner vi till s.k. elementära funktioner: polynom, rationella funktioner, exponentialfunktionen, logaritmen, trigonometriska funktioner och deras inverser och så vidare. Man kan visa att om f(x), x R, är en sådan elementär funktion, så finns det en unikt bestämd deriverbar komplex funktion f(z), z C, sådan att f(x + i0) = f(x) för alla x i definitionsområdet,

6 M. SAPRYKINA dvs f(z) är en (unik) komplex fortsättning avf(x) ut i det komplexa planet. Dessa kallar vi för komplexa elementära funktioner. Nedan diskuterar vi egenskaper hos några av dem. 4.1. Polynom. Komplexa polynom har formen P(z) = a 0 +a 1 z + +a n z n där konstanterna a 0,...a n får anta komplexa värden. Komplexa polynom deriveras på det vanliga sättet, och är därför analytiska i hela komplexa planet. 4.2. Rationella funktioner. Dessa definieras som kvoter av polynom: R(z) = P(z) Q(z) = a 0 +a 1 z + +a n z n b 0 +b 1 z + +b m z m. Enligt Sats 1, är R(z) deriverbar för alla z där Q(z) 0 (presis som i det reella fallet). Punkterna z i sådana att Q(z i ) = 0 är singulära punkter för R eller poler. Dessa kommer att vara viktiga för våra tillämpningar. 4.3. Exponentialfunktionen. Vi definierar funktionen e z för varje komplext talz med formeln: (3) e z = e x+iy = e x (cosy +isiny), Följande (helt naturliga) krav på e z är uppfyllda: a). För reella z får man den reella exponentialfunktionen: e x+i0 = e x ; b). För rent imaginära z = iy har vie iy = cosy +isiny, som i (2). c). För godtyckliga komplexa z 1,z 2 har vi e z1 e z 2 = e z 1+z 2. Kraven a) och b) verifieras enkelt; för att verifiera c), skriver vi för godtyckliga z 1 ochz 2 : e z1 e z 2 = e x 1+iy1 e x 2+iy 2 = e x 1 (cosy 1 +isiny 1 ) e x 2 (cosy 2 +isiny 2 ) = e x 1 e x 2 (cosy 1 cosy 2 siny 1 siny 2 +i(cosy 1 siny 2 +siny 1 cosy 2 )) = e x 1+x 2 (cos(y 1 +y 2 )+isin(y 1 +iy 2 )) = e z 1+z 2. Man kan visa att funktionen f(z) = e z är deriverbar, och df(z) = e z, dz som i det reella fallet. Funktionen e z är periodisk i den meningen att e x+iy = e x+i(y+2πk), för alla k Z.

KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 7 4.4. Lite om logaritm. Vi skulle vilja definiera inversfunktionen till komplexa exponenten, dvs för varje givet w uttrycka z ur relationen w = e z. Enligt ovan, kan vi inte hoppas på att få en entydig invers. Men vi gör det vi kan: beskriver allaz som uppfyller denna relation och kallar hela mängden av sådana z för z = logw. Detta är ett exempel på en flertydig funktion. Det är bekvämt att uttrycka z på form z = x + iy, och w i polär form: w = re iθ. Antag att z 0, och skriv Först ser vi att re iθ = w = e z = e x+iy = e x e iy. r = w = e x e iy = e x, vilket ger x = ln w, där ln w står för en vanlig reelvärd logaritm. Observera att vi har uttryckt realdel av z på ett entydigt sätt. Vidare, e iθ = e iy, vilket ger att y = θ + 2πk = argw, k Z. Kom ihåg att argw är en hel mängd av tal på form θ +2πk. Alltså har vi fått oändligt många värden för y (som är imäginärdel av z). Vi har uttryckt inversfunktionen logw := z = x+iy = ln w +iargw. Tänk på analogin med en reel funktion y = f(x) = x 2, f : R R: för varje y finns det två värden av x, nämligen, x + och x = x +, som avbildas på detta y. Exempel: log( 1) = ln 1 + iarg( 1) = πi + 2πk. Verifiera att e πi+2πk = 1 för alla k Z. Man kan verifiera att de vanliga reglerna för logaritm fungerar även här: logz 1 z 2 = logz 1 +logz 2, log(z 1 /z 2 ) = logz 1 logz 2. I envariabeln har vi valt att ta det positiva av de två varden avx, nämligen x +, och definiera x + = y. I komplexanalys kan man också välja ett entydigt värde av logaritm på ett meningsfullt sätt. Ni kan läsa om principalgren för logaritm tex på Wikipedia. 5. ALLMÄNNA POTENSSERIER En repetition av grundläggande teori om serier kan du hitta i Appendix 1, samt i Kap. 5.1 i [BDP]. Observera att [BDP] diskuterar det reella fallet. En serie på formen (4) a j (z z 0 ) j

8 M. SAPRYKINA kallas för potensserie. Man tänker påz 0 och koefficienternaa j,j = 0,1,..., som fixerade, ochz kan variera. (Här menar vi att(z z 0 ) 0 = 1 för allaz). Om serien konvergerar, så definierar den en funktion f(z) = a j(z z 0 ) j. Sats 3. För varje potensserie finns det ett reellt tal R 0 (R kan vara ) sådan att serien (4) konvergerar absolut för allaz sådana att z z 0 < R, och divergerar för alla z sådana att z z 0 > R. Med andra ord, det största område där en potensserie konvergerar är en diskd(z 0,R),0 R (R = om serien konvergerar i hela komplexa planet, och R = 0 om serien divergerar utanför z = 0). Detta tal R kallas för konvergensradien. Låt oss skissa beviset i ett specialfall. Antag att a j 0 för alla j, och att för att något z existerar (ändligt eller oändligt) gränsvärde lim j a j+1 (z z 0 ) j+1 a j (z z 0 ) j = z z 0 lim j a j+1 a j := z z 0 L. Enligt Kvottestet (se Appendix) gäller: om z z 0 L < 1, så konvergerar potensserien (4) absolut i punkten z; om z z 0 L > 1, så divergerar (4) i punkten z. Om L 0, låt oss beteckna R := 1 L = lim a j. j a j+1 Då konvergerar potensserien för alla z sådana att z z 0 < R, dvs inom den öppna diskend(z 0,R) med centrum iz 0 och radien R. Om L = 0, så konvergerar serien för alla z, och det är naturligt att sätta R =. Om L =, divergerar serien för alla z z 0, och det är naturligt att ta R = 0. Läs Exempel 1 och 2 i [BDP]! Exempel: Den geometriska serien zj konvergerar för alla z < 1 (dvs inom D(0,1)) och divergerar för alla z > 1. Konvergensradien är 1. 6. TAYLORSERIER I Envariabelanalysen har vi definierat Taylorpolynom p n (x) för en n gånger deriverbar funktion f(x): n f (k) (x 0 ) p n (x) = (x x 0 ) k. k! Man hoppas att om n växer, så ska p n (x) approximera f(x) bättre och bättre. Låt oss definiera följande oändlig summa formellt (dvs utan att tänka

KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 9 på konvergens). Denna serie kallas för Taylorserien för f(x). f (n) (x 0 ) T f (x) = (x x 0 ) n. n! n=0 Definiera komplexa Taylorpolynom och Taylorserie genom samma formel som ovan. Vi byter x mot z för att betona att argumentet av funktionen är nu komplext (z C). Anmärkning: Att Taylorserien för en funktion konvergerar till denna funktion är ett jättestarkt krav. Först och främst behöver inte Taylorserien vara definierad i alla punkter (tänk på f(x) = x ). Här är ett exempel på en funktion g : R R vars Taylorserie konvergerar, men till en annan funktion. { e 1/x2, x 0 g(x) = 0, x = 0. Man kan verifiera att g (n) (0) = 0 för alla n = 1,2,..., och Taylorserien T g (x) är därför identiskt 0. Men funktionen själv är positiv för alla x > 0. Följande sats visar hur speciella de analytiska funktionerna är. Vi har redan sagt att en analytisk funktion har derivator av alla ordningar (Sats 2), så att en Taylorserie kan definieras. Man kan visa mycket mer! Sats 4. Om f(z) är analytisk i en disk D(z 0,R) = {z z z 0 < R}, så konvergerar Taylorserien till f(z) i denna disk, och f (n) (z 0 ) f(z) = (z z 0 ) n för alla z D(z 0,R). n! n=0 Vi kommer inte att bevisa denna sats här (ett standardbevis använder Cauchys integralformel). Kom ihåg att derivatan av en analytisk funktion själv är analytisk i samma område. Följande sats ger ett enkelt uttryck för derivatans Taylorserie. Sats 5. Låt f(z) vara analytisk i punkt z 0 och T(z) vara dess Taylorserie. Man kan få Taylorserien för f (z) genom att derivera T(z) termvis. Denna serie konvergerar i samma disk somt(z). Bevis: Eftersom f är analytisk i disken D, så är dess derivata analytisk i samma disk, och dess Taylorserie konvergerar till f (z) i D. Observera att n-te derivatan avf sammanfaller med(n+1)sta derivatan avf. Därför har Taylorserien för f (z) formen f (z 0 )+ f (z 0 ) 2 (z z 0 )+ f (z 0 ) (z z 0 ) 2 +... 2!

10 M. SAPRYKINA Å andra sidan, kan vi derivera Taylorserien termvis: f (z 0 )+ 2f (z 0 ) (z z 0 )+ 3f (z 0 ) (z z 0 ) 2 +... 2! 3! vilket sammanfaller med serien ovan. Alltså konvergerar den termvisa derivatan till f. Exempel: termvis, får vi: Vi vet att sinz = ( 1) k z 2k+1. Genom att derivera serien (2k+1)! cosz = vilket är Taylorserien för cosz. ( 1) k z 2k, (2k)! Exempel: Verifiera att (e z ) = e z genom att derivera Taylorserien e z = n=0 z n n!. Följande sats kommer att användas för att lösa differentialekvationer. Sats 6. Låtf(z) vara analytisk i diskend(z 0,R 1 ), ochg(z) vara analytisk i diskend(z 0,R 2 ), med Taylorseriernaf(z) = a j(z z 0 ) j ochg(z) = b j(z z 0 ) j. Då gäller för varje konstantc: (a) cf(z) = (b) f(z)+g(z) = ca j (z z 0 ) j för alla z D(z 0,R 1 ) (a j +b j )(z z 0 ) j för alla z D(z 0,R) där R är den minsta av R 1 ochr 2. Observera att summan kan ibland konvergera i en mycket större disk (Tag, t.ex. f = g. Då är summan identiskt noll och konvergerar överallt). Men den allmänna satsen kan bara garantera konvergensen i D(z 0,R) där R är som ovan. Bevis lämnas till läsaren. Vi har sett att varje analytisk funktion är lika med summa av sin (konvergenta) Taylorserie. Man kan även visa det omvända: att varje konvergent potensserie är Taylorserien för en analytisk funktion. Sats 7. Låtf(z) vara summan av en konvergent potensserie i en diskd(z 0,R): (5) f(z) = a n (z z 0 ) n. n=0

KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 11 Då är f(z) analytisk id(z 0,R), och a n = f(n) (z 0 ), n = 0,1,2,... n! Exempel: Den geometriska serien zj definierar en analytisk funktion f(z) = 1 1 z zj för z < 1 (denna funktion kan skrivas om som f(z) = ). Verifiera själv att Taylorserien för f(z) är den geometriska serien! Denna sats medför entydighet hos potensserier i följande mening. Sats 8. Om två serier, n=0 a n(z z 0 ) n och n=0 b n(z z 0 ) n, konvergerar inom en diskd(z 0,R) och är lika, så måste motsvarande koefficienter vara lika: a j = b j för alla j = 0,1,... Som specialfall, om n=0 a n(z z 0 ) n = 0 för alla z D(z 0,R), så a j = 0 för alla j = 0,1,... Varje konvergent potensserie är alltså en Taylorserie för en analytisk funktion. Det följer från Sats 5 att derivator av potensseriens summa kan beräknas termvis. Detta blir viktigt för våra tillämpningar inom differentialekvationer. Exempel: För funktionen (5) har vi f (z) = ja j (z z 0 ) j 1. Denna serie konvergerar för alla z D(z 0,R). Sammanfattning: Varje analytisk funktion har derivator av alla ordningar; f(z) är analytisk i disk D f(z) kan representeras som en konvergent potensserie id; Vidare, om en potensserie konvergerar inom en disk, så är den Taylorserien för en analytisk funktion. Derivator av denna funktion sammanfaller med de termvisa derivatorna av potensserien. Anmärkning. I tillämpningar ska vi behöva utveckla rationella funktioner i Taylorserier. Frågan är i vilket område är en sådan serie konvergent. En rationell funktion R(z) = P(z)/Q(z) är deriverbar i alla punkter förutom de singulära punkternaz 1,...z n (dvs sådana punkter attq(z i ) = 0, i = 1,2,...m). Men kom ihåg att det naturliga konvergensområdet för en potensserie är en disk.

12 M. SAPRYKINA Låtz 0 vara sådan attq(z 0 ) 0. EftersomR(z) är analytisk kringz 0, kan den representeras som en TaylorserieR(z) = a j(z z 0 ) j. Denna serie konvergerar i varje disk som inte innehåller de singulära punkterna. Konvergensradien (dvs radien av den största konvergensdisken) är alltså avståndet frånz 0 till närmaste singulär punkt. Detta diskuteras i kursboken [BDP], se Ex. 1,2 på sid. 267-268. Följande exempel illustrerar hur vi ska använda potensserier för att lösa differentialekvationer. Exempel: Bestäm en analytisk funktion f(z) som uppfyller differentialekvationen df(z) = 2if(z) dz i en omgivning av punkten z = 0, samt begynnelsevillkoret f(0) = 1. Lösning: Antag att f är analytisk i z = 0. Då kan den representeras som summa av dess Maclaurinserie. Vi skriver serien med obestämda koefficienter: f(z) = a j z j = a 0 +a 1 z +a 2 z 2 +... Begynnelsevillkoret ger a 0 = f(0) = 1. Vidare, deriverar vi serien termvis och sätter in i ekvationen: a 1 +2a 2 z+3a 3 z 2 +...na n z n 1 + = 2i(a 0 +a 1 z+a 2 z 2 +...a n z n +...). För att serierna vore lika, måste koefficienter vid varje grad avz vara lika: a 1 = 2ia 0, 2a 2 = 2ia 1 = (2i) 2 a 0 na n = (2i) n a n 1 = (2i) n a 0. Vi ser att a 0 = 1,a n = (2i)n n! för alla n, och f(z) = (2i) n z j. n! Vi identifierar den sista serien som f(z) = e 2iz. Man kan verifiera att e 2iz är en lösning till begynnelsevärdesproblemet ovan. 7. APPENDIX: KORT REPETITION AV SERIER En serie är ett formellt uttryck på formen c j = c 0 +c 1 +c 2 +...

KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 13 därc j är komplexa tal. Den ändliga summan S n = n c j = c 0 +c 1 + +c n kallas förn-te partialsumman. Om följdens 0,S 1,... konvergerar till ett tal S: lim S n = S, n så säger vi att serien konvergerar till S (detta skrivs som c j = S). Annars säger vi att serien divergerar. Följande jämförelsetest är användbart för att bevisa konvergens: Sats 9. Antag att termernac j uppfyller c j M j för alla heltal j större än något J. Om M j konvergerar, så konvergerar även c j. Vi säger att serien c j konvergerar absolut om c j är konvergent. Enligt jämförelsekriteriet ovan, om serien konvergerar absolut, så konvergerar den. Det omvända är inte sant! Exempel: Man kan visa att serien ( 1)j /j konvergerar till ln2 (läs om alternerande serier tex på Wikipedia). Men konvergensen är inte absolut, ty serien 1/j är, som bekant, divergent. I praktiken är det ofta enklare att verifiera absolutkonvergens av en serie, eftersom talen c j är reella icke-negativa, och reelanalys hjälper oss studera serien. Följande påstående kommer från reellanalys: Sats 10. Antag att termerna i serien a j är reella och positiva, samt a uppfyller lim j+1 j a j = Q (Q får vara oändlig). OmQ < 1, så konvergerar serien; omq > 1, så divergerar serien. För att analysera konvergens av serier, jämför man dem ofta med den reella geometriska serien vars konvergens och divergens ges av följande sats. Sats 11. Serien aj 1 konvergerar till för a 1. 1 a Se Kap. 5.1 i kursboken [BDP] för exempel. för0 < a < 1, och divergerar

14 M. SAPRYKINA 8. ÖVNINGAR Övningar på sidan 4; Övningar till Kap. 5.1 i [BDP] (3, 7, 14, 20, 23, 28); Bestäm konvergensradien av Taylorserien för funktionen 3z +2 f(z) = z 2 4z +5 kring punkten z = 0. Samma fråga kring z = 1. REFERENSER [BDP] W. Boyce, R. DiPrima, Elementary differential equations with boundary value problems, 10:e upplagan (ISBN-nummret är 978-1-118-32361-8). [SS] E.B. Saff, A.D. Snider, Fundamentals of complex analysis for mathematics, science and engeneering, Prentice Hall, 2nd edition. [S] Olle Stormark, Komplexa funktioner, kompendium, Inst. för Matematik, KTH.