Lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik Erixon Hans Heikne Matematik 5000 Kurs 1bc Vux lärobok Natur & Kultur
NATUR & KULTUR Box 27 2, 102 54 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-45 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-45 86 00, info@nok.se www.nok.se Order och distribution: Förlagssystem, Box 0 195, 104 25 Stockholm Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se www.fsbutiken.se Projektledare: Irene Bonde Textredaktör: Mats Karlsson Bildredaktör: Erica Högsborn Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom Layout och sättning: Mats Karlsson/Devella HB Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. 201 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin, Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anita Ristamäki och Natur & Kultur, Stockholm Tryckt i Slovakien 201 Första utgåvans första tryckning ISBN 978-91-27-4505-6
Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning. Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen. Denna bok, Kurs 1bc Vux lärobok, riktar sig till elever som studerar på komvux och liknande utbildningar. Kapitel 1, 2,, 4, 5 och 6 motsvarar kurs 1b. Kapitel 1, 2,, 4.1, 4.2, 5, 6 och 7 motsvarar kurs 1c. Hur är boken upplagd? Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad. Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fem olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera, Laborera och Modellera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll. I Teman finns teori och uppgifter anpassade till ekonomi-, estetiska-, humanistiska- och samhällsvetenskapsprogrammet samt till vuxenutbildningen. I Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang. På många sidor blandas uppgifter av standardkaraktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning. Uppgifter av den senare typen finns även samlade i speciella avsnitt som heter Problemlösning. Varje kapitel avslutas med: En Aktivitet som uppmuntrar till kommunikation: Sant eller falskt? En kort Sammanfattning av kapitlet. Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper. Till dessa diagnoser finns fullständiga lösningar i svarsdelen. Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt. Efter dessa repetitionsuppgifter finns sex diagnoser. De har ett liknande innehåll som diagnoserna i varje kapitelslut. Två olika varianter av Blandade övningar avslutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter. I Svarsdelen till denna bok, Kurs 1bc Vux Lärobok, finns ledtrådar och lösningar till ett större antal av uppgifterna jämfört med Kurs 1b Grön lärobok. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000 FÖRORD
Innehåll 1. Aritmetik Om tal 6 Inledande aktivitet: Lägga tal 7 1.1 Positiva tal 8 Naturliga tal 8 Räkneordning 11 Primtal och delbarhet 14 Tal i decimalform 17 Aktivitet: Undersök Tiondelar och hundradelar 19 Multiplikation och division med tiondelar och hundradelar 20 1.2 Negativa tal 22 När används negativa tal? 22 Addition och subtraktion med negativa tal 24 Multiplikation och division med negativa tal 26 Tema: Tidszoner 28 Tema: Vinst eller förlust? 0 1. Tal i bråkform 2 Hur stor andel? 2 Aktivitet: Undersök Jämföra bråktal 4 Förlängning och förkortning 5 Addition och subtraktion av bråk 7 Multiplikation och division av bråk 40 1.4 Tal i potensform 44 Vad menas med 5? 44 Några potenslagar 46 Grundpotensform 48 Enhetsbyten 50 Prefix 52 Talsystem med olika baser 54 Historik: Två historiska talsystem 57 1.5 Problemlösning 58 Avrundning och värdesiffror 58 Överslagsräkning 60 Tema: Läkemedel 62 Aktivitet: Diskutera Det är inte bara svaret som räknas 64 Tillämpningar 65 En problemlösningsstrategi 67 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 69 Sammanfattning 1 70 Kan du det här? 1 72 Diagnos 1 7 Blandade övningar kapitel 1 74 2. Procent 78 Inledande aktivitet: Pärlorna 79 2.1 Andelen, delen och det hela 80 Beräkning av andelen i procentform 80 Beräkningar då vi vet procentsatsen 8 Tema: Försäljningspris, pålägg och marginal 86 Historik: Varifrån kommer procenttecknet? 89 Procent utan räknare 90 Promille och ppm 91 Tema: Alkohol och promille 94 2.2 Procentuella förändringar och jämförelser 96 Förändringsfaktor 96 Flera procentuella förändringar 99 Förändringar och jämförelser 102 Problemlösning 105 Tema: Moms 106 Procentenheter 108 Tema: Är skolan jämställd? 109 2. Lån, ränta och amortering 110 Ränta 110 Amortering 112 Avgifter 114 Index 116 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 120 Sammanfattning 2 121 Kan du det här? 2 122 Diagnos 2 12 Blandade övningar kapitel 2 124 Blandade övningar kapitel 1 2 126. Algebra 10 Inledande aktivitet: Beräkna värdet 11.1 Uttryck och ekvationer 12 Uttryck 12 Aktivitet: Diskutera Vilka uttryck är lika? 15 Aktivitet: Undersök Hur många stickor är det i asken? 16 Vad menas med en ekvation? 17 Att lösa ekvationer 140 Ekvationer med flera x-termer 14 Aktivitet : Undersök Ekvationsbilder 144.2 Potensekvationer 148 Kvadrater och kvadratrötter 148 Ekvationen x n = a 150. Formler och mönster 152 Beräkningar med formler 152 Ställa upp och tolka formler och uttryck 155 Tema: Hastighet sträcka tid 158 Lösa ut ur formler 160 Aktivitet: Undersök Bakom varje formel finns ett mönster 162.4 Olikheter och problemlösning 16 Olikheter 16 Problemlösning 166.5 Undersök och bevisa 169 Uttryck och ekvationer med parenteser 169 Faktorisera 171 Ta bort parenteser 172 Beskriva, troliggöra och bevisa 174 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 178 Sammanfattning 179 Kan du det här? 180 Diagnos 181 Blandade övningar kapitel 182 Blandade övningar kapitel 1 185 4 INNEHÅLL
4. Geometri 188 Inledande aktivitet: Omkrets och area 189 4.1 Grundläggande geometri 190 Omkrets och area 190 Areaenheter 194 Omkrets och area av en cirkel 196 Historik: Talet π Historiska fakta 198 Aktivitet: Laborera Bygg en låda 199 Volymenheter 200 Volym 202 Aktivitet: Laborera Slösar du med vatten? 207 Begränsningsarea av rätblock, cylinder och klot 208 4.2 Geometri och algebra 210 Aktivitet: Undersök Trianglar och månghörningar 210 Vinklar och vinkelsumma 211 Geometri och bevis 215 Implikation och ekvivalens 218 Pythagoras sats 220 Aktivitet: Modellera Hur många och hur länge? 224 4. Likformighet och symmetrier 225 (kurs 1b) Likformighet och skala 225 Tema : Det gyllene snittet 228 Mönster och symmetrier 20 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 25 Sammanfattning 4 26 Kan du det här? 4 28 Diagnos 4 29 Blandade övningar kapitel 4 240 Blandade övningar kapitel 1 4 24 5. Sannolikhetslära och statistik 246 Inledande aktivitet: Kasta kapsyler 247 5.1 Enkla slumpförsök 248 Inledning 248 Den klassiska sannolikhetsmodellen 249 Experimentella sannolikheter 252 5.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg 254 Försök med två föremål 254 Aktivitet: Laborera Kasta två tärningar 256 Träddiagram 257 Aktivitet: Laborera Lika eller olika färg? 261 Beroende händelser 262 Komplementhändelse 264 Tema: Kombinatorik 266 5. Statistik 267 Vad handlar statistik om? 267 Tolka tabeller och diagram 268 Medelvärde och median 27 Rita diagram med kalkylprogram 276 Vilseledande statistik 278 Tema: Hästar i Sverige 280 Tema: Spel om pengar i Sverige 281 Tema: Länder och befolkning 284 Tema: Risker i trafiken 286 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 288 Sammanfattning 5 289 Kan du det här? 5 290 Diagnos 5 291 Blandade övningar kapitel 5 292 Blandade övningar kapitel 1 5 295 6. Grafer och funktioner 298 Inledande aktivitet: Finn regeln 299 6.1 Grafer och proportionalitet 00 Koordinatsystem 00 Formel, värdetabell och graf 02 Aktivitet: Laborera Väg tid diagram 06 Tolka grafer som beskriver vardagliga förlopp 07 Proportionalitet 10 Grafritande räknare 1 6.2 Funktioner 16 Funktionsbegreppet 16 Aktivitet: Upptäck Räta linjer 20 Linjära funktioner 21 Skillnader mellan begreppen algebraiskt uttryck, ekvation, olikhet och funktion 25 Aktivitet: Upptäck Exponentialfunktionen y = C a x 28 Exponentialfunktioner 29 Potensfunktioner 2 Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 4 Olika matematiska modeller 7 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 40 Sammanfattning 6 41 Kan du det här? 6 42 Diagnos 6 4 Blandade övningar kapitel 6 44 Blandade övningar kapitel 1 6 46 7. Komplettering till kurs 1c 49 7.1 Aritmetik och algebra 50 Avrundning och gällande siffror 50 Tema: Makrokosmos och mikrokosmos 52 Algebraiska uttryck 54 Ekvationer 55 Potensekvationer 56 Formler och mönster 57 7.2 Trigonometri 58 Inledning 58 Räkna med tangens 60 Sinus och cosinus 64 Blandade uppgifter 67 7. Vektorer 69 Definitioner och räkneoperatorer 69 Komposanter, koordinater och vektorlängd 72 Tema: Krafter och hastigheter 75 7.4 Geometri 78 Några bevis med vinklar 78 Problemlösning 80 Blandade övningar kapitel 7 82 Repetitionsuppgifter 84 Extra diagnoser med svar 9 Svar, ledtrådar och lösningar 402 Register 458 INNEHÅLL 5
1 ARITMETIK OM TAL Centralt innehåll Metoder för beräkningar med tal skrivna i olika former. Primtal, delbarhet och olika talbaser. Strategier för problemlösning. Matematiska begrepp och metoder i situationer kopplade till samhällsvetenskap, ekonomi, vardags- och samhällsliv.
28876744 894789475 154274 7547 55 112 777 48298678567 894789475849 Inledande aktivitet LÄGGA TAL Arbeta tillsammans två och två. Skaffa fyra papperslappar och skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på lapparna. 2 5 1 1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får a) ett så stort tal som möjligt b) ett så litet tal som möjligt c) ett tal så nära 5 000 som möjligt d) ett tal så nära 6 000 som möjligt e) ett tal så nära 1 400 som möjligt. 7 2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 60 som möjligt. Välj bland lapparna och lägg dem så att produkten blir så a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 100 som möjligt. 4 Multiplikation beräknas före addition. Välj bland lapparna och lägg dem så att + blir så a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 20 som möjligt. 5 Skaffa nio papperslappar med siffrorna 1 till 9. Kan du lägga lapparna så att alla tre beräkningarna stämmer? Du får bara använda varje siffra en gång. + = = =
1.1 Positiva tal Naturliga tal Exempel Sveriges befolkning var 9 9 648 personer den 1 augusti 2010. När vi ska skriva och läsa stora tal är det praktiskt att börja bakifrån och skriva siffrorna tillsammans tre och tre. 9 9 648 nio miljoner trehundranittiotre tusen sexhundrafyrtioåtta I talet ovan har :an längst till vänster värdet 00 000. Vilket värde har den andra :an? positionssystem miljon och miljard Ett talsystem där siffrans värde bestäms av siffrans plats i talet kallas ett positionssystem. 9 miljoner = 9 000 000 9 miljarder = 9 000 000 000 9,4 miljoner = 9 400 000 9,4 miljarder = 9 400 000 000 8 1.1 POSITIVA TAL
naturliga tal Det finns många olika typer av tal, t ex heltal, decimaltal och tal i bråkform. När vi som barn började räkna använde vi talen 0, 1, 2,, 4, 5, De kallas naturliga tal och består av de positiva heltalen och talet noll. Vi repeterar de fyra räknesätten och några matematiska begrepp. Addition termer Subtraktion termer 5 + 1 = 18 18 5 = 1 Fyra räknesätt summa differens Multiplikation Division faktorer täljare 400 5 80 = 400 = 80 5 produkt nämnare kvot 1101 Antalet kvinnor i Sverige den 0 juni 2010 var 4 706 622. a) Skriv talet 4 706 622 med bokstäver. b) Vilket värde har de två 6:orna i talet 4 706 622? a) Fyra miljoner sjuhundrasex tusen sexhundratjugotvå. b) Den vänstra 6:an visar att det är 6 tusental. Värdet är 6 000. Den högra 6:an visar att det är 6 hundratal. Värdet är 600. 1102 Ge två olika exempel på a) en addition av tre tal där summan är 1 200. b) en multiplikation av två tal där produkten är 1 200. a) T ex 900 + 100 + 200 = 1 200 och 400 + 400 + 400 = 1 200 b) T ex 0 40 = 1 200 och 2 600 = 1 200 1.1 POSITIVA TAL 9
Lös följande uppgifter utan räknare. 110 Skriv med siffror a) tjugofem tusen b) tjugofem tusen tre hundra c) två miljoner d) två miljoner femhundra tusen e) tre miljarder 1104 Vilka tal saknas? a) 78 = 00 + + 8 b) 1 026 = 600 + + 26 c) 55 804 = 48 000 + + 804 1112 Ge två olika exempel på en a) addition av tre tal där summan är 40 000 b) multiplikation av två tal där produkten är 40 000. 111 Angela har glömt sin portkod. Men hon kommer ihåg att första siffran är en 1:a och att siffrorna, 5 och 7 också finns med i den fyrsiffriga koden. Vilka är de möjliga koderna? 1105 Beräkna a) 000 kr 500 kr b) 0 000 kr 5 000 kr c) 0 000 kr 500 kr d) 000 kr 50 kr 1106 Beräkna a) 4 8 c) 400 80 b) 400 8 d) 2 4 8 1107 I vilket räknesätt beräknar man en differens? 1108 Skriv med bokstäver a) 86 400 (antal sekunder på ett dygn) b) 720 000 (antal fritidsbåtar i Sverige) c) 6 000 000 000 (kostnaden i kr för den svenska gymnasieskolan 2008) 1109 Vilket värde har siffran i talet a) 27 c) 75 000 b) 1 066 d) 8 000000? 1110 Vid multiplikation spelar ordningen ingen roll, t ex 4 7 = 7 4. Gäller det alla räknesätt? 1111 Steve skulle skriva 850 kr, men skrev fel. Siffrorna och 5 bytte plats med varandra. Hur mycket större blev beloppet? 1114 År 2008 gick det 460 000 barn i förskolan i Sverige. Den totala kostnaden per barn var ca 100 000 kr per år. Ungefär hur stor var den totala kostnaden för förskolan i Sverige år 2008? Svara i miljarder. 1115 Produkten 16 40 = 640. Vad är då a) 17 40 b) 16 41 c) 40 15 1116 Ett naturligt tal som slutar på 1,, 5, 7 eller 9, är ett udda tal. Leon påstår att det finns 12 udda tresiffriga heltal där hundratals siffran är dubbelt så stor som tiotalssiffran. Är det sant? 10 1.1 POSITIVA TAL
Räkneordning När vi ska beräkna en summa spelar det ingen roll i vilken ordning vi adderar termerna. 1 + 86 = 86 + 1. Denna räknelag kan skrivas: a + b = b + a När vi ska beräkna en produkt spelar det ingen roll i vilken ordning vi multiplicerar faktorerna. 1 86 = 86 1. Denna räknelag kan skrivas: a b = b a eller ab = ba. Spelar det någon roll i vilken ordning vi räknar när flera räknesätt är inblandade? Exempel På ett gym kostar det 700 kr per år att vara medlem. Ett träningspass kostar 85 kr. Kostnaden (kr) att bli medlem och gå på 10 träningspass kan skrivas som 700 + 10 85. Här måste vi beräkna multiplikation före addition. 700 + 10 85 = 700 + 850 = 1550 Skulle vi beräkna additionen först, får vi ett annat resultat! Räkneordning Vid beräkningar med flera räknesätt: 1. Först parenteser 2. Därefter upphöjt till (potenser). Sedan multiplikation och division 4. Sist addition och subtraktion. 1.1 POSITIVA TAL 11
1117 Beräkna utan räknare a) 12 7 + b) (4 + 5) 7 c) 4 + 5 7 a) Vi kan räkna på olika sätt. Alternativ 1: 12 7 + = 5 + = 8 Alternativ 2: 12 7 + = 15 7 = 8 b) Parentesen först: (4 + 5) 7 = 9 7 = 6 c) Multiplikationen först: 4 + 5 7 = 4 + 5 = 9 1118 Beräkna med räknare a) 775 + 415 122 87 8 208 b) 19 6 När vi använder räknare till dessa beräkningar måste vi sätta ut parenteser. a) 775 + 415 = (775 + 415) / (122 87) = 4 122 87 8 208 b) = 8 208 / (19 6) = 72 19 6 1119 Beräkna utan räknare a) 8 5 + 1 c) 6 + 2 b) 8 6 d) 0 10 2 1120 Beräkna utan räknare a) 150 0 + 10 c) 40 + 0 2 b) 10 8 5 d) 800 00 2 1121 Beräkna utan räknare 16 + 14 a) 2 + 5 8 c) 2 20 + 12 b) (5 + 2) 4 d) 5 + 1122 Beräkna utan räknare. Kontrollera sedan dina svar med räknare. a) 25 + 25 6 c) 0/5 2 b) (25 + 25) 6 d) 0 /(5 2) 112 Entrépriserna till Kolmårdens djurpark år 2010 var 150 kr för barn och 250 kr för vuxna. Beräkna utan räknare kostnaden för en grupp på a) 10 barn och 4 vuxna b) 4 barn och 10 vuxna. 1124 Malin har handlat några av de frukter som bilden visar. kr/st 4 4 kr kr/st 55 kr/st Vad har hon köpt om hon ska betala a) 2 5 + c) 4 + 7 + 5 b) 2 (5 + ) d) 9 4 + 7 ( + 5) 12 1.1 POSITIVA TAL
1125 Lenny använder sin räknare till beräkningen 9 + 6. 2 + 1 Han trycker 9 + 6 / 2 + 1. a) Vilket resultat visar räknaren? b) Vilket fel gör Lenny? c) Vilket är rätt svar? 1126 Beräkna a) b) 1 26 7 + 65 87 + 69 1 c) d) 4 272 27 149 76 659 2 1127 Jasmine köper 4 godispåsar till sina barn. Varje påse innehåller 18 godisbitar. Hur många bitar får varje barn om de delar lika? A: 4 C: 4 18 18 B: 4 18 D: 4 + 18 1128 I en hiphop-förening kostar det 250 kr att vara medlem. För medlemmar är priset per konsert 150 kr. Hassan är medlem i föreningen och går på fem konserter. Genomsnittskostnaden per konsert kan 250 + 5 150 beräknas med 5 Beräkna genomsnittskostnaden a) utan räknare b) med räknare. 1129 Beräkna utan räknare 7 60 a) 60 40 b) 20 0 110 Beräkna utan räknare. Kontrollera dina svar med räknare. a) 7 5 + 5 c) b) 1 2 + 2 d) 6 + 7 5 6 + 2 7 + 1 111 Vilket tal ska stå i rutan? a) 5 + 5 = 20 c) 4 8 2 = 20 b) 8 + 2 = 50 d) 0 + 5 = 70 112 Beräkna utan räknare. Kontrollera dina svar med räknare. a) 50 6 + 4 50 10 b) 450 50 6 + 2 15 40 + 40 7 c) 5 200 25 + 5 800 d) 5 20 + 25 4 11 På en lunchrestaurang kostar Dagens rätt 79 kr. Om man köper ett rabatthäfte får man 10 lunchkuponger för 700 kr. Lovisa skriver (10 79 700) / 10. Vad är det som Lovisa vill beräkna? 1.1 POSITIVA TAL 1
Primtal och delbarhet Exempel primtal sammansatta tal primtalsfaktorer En lärare ska dela upp 17 elever i grupper. Hur hon än gör är det omöjligt att dela upp eleverna så att de blir lika många i varje grupp. Talet 17 går bara att dela med 1 och 17. Positiva heltal som bara går att dela med 1 och sig självt kallas primtal. De första primtalen är 2,, 5, 7, 11 och 1. Talet 1 räknas inte som primtal. Alla heltal större än 1 är antingen primtal eller sammansatta tal. Alla sammansatta tal kan delas upp i primtalsfaktorer, dvs faktorer som är primtal. Talet 0 är ett sammansatt tal. 0 = 2 5 Primtalsfaktorer (=primfaktorer) Redan Euklides, som var en grekisk matematiker på 00-talet f Kr, visade att listan på primtal aldrig tar slut. Det finns alltså hur stora primtal som helst! Primtal används idag inom datasäkerhet för att kryptera känsliga data. Krypteringen sker med ett mycket stort tal som är en produkt av två 100-siffriga primtal. Även med dagens datorer är det tidsmässigt omöjligt att identifiera det 200-siffriga talet och knäcka koden! När du gör bankaffärer över nätet används primtal för att kryptera informationen. 14 1.1 POSITIVA TAL
delbarhet Ett sammansatt tal är alltid delbart med primfaktorerna och deras produkter. Talet 18 kan delas upp i primfaktorerna 2 Produkter av dessa tal är 2 = 6 = 9 18 är alltså delbart med 2,, 6 och 9 (förutom 1 och 18). Detta innebär också att kvoterna 18/2, 18/, 18/6 och 18/9 är heltal. Ytterligare några delbarhetsregler: Delbarhetsregler 1 Vilka tal är delbara med 2? Svar: Alla jämna tal, t ex 18, 280 och 6 590. 642 har siffersumman 6 + 4 + 2 = 12 2 Vilka tal är delbara med? Svar: Alla tal vars siffersumma är delbara med, t ex 201 och 642. Vilka tal är delbara med 5? Svar: Alla tal som slutar på 0 eller 5, t ex 45, 920 och 1 015. 114 a) Dela upp talet 42 i primfaktorer. b) Vilka positiva tal är 42 delbart med (utöver 1 och 42)? a) Faktoruppdelningen underlättas om vi ritar ett s k faktorträd. De kan se olika ut, men resultatet blir detsamma. 42 42 2 21 42 = 2 21 6 7 42 = 6 7 7 2 Vi avläser primfaktorerna 42 = 2 7 b) 42 är delbart med 2, och 7 och produkter av dessa tal. 2 = 6 2 7 = 14 7 = 21 Svar: 42 är delbart med 2,, 6, 7, 14 och 21. 1.1 POSITIVA TAL 15
115 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal? a) 9 b) 11 c) 21 d) 2 116 Vilka av talen 165, 168 och 170 är a) delbara med 2 b) delbara med 5? 117 Rasmus skriver 60 = 2 5 6. Har Rasmus delat upp talet 60 i primfaktorer? Motivera. 118 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal som saknas. 1142 Är talet ett primtal eller ett sammansatt tal? a) 6 b) 19 c) 592 d) 27 Förklara hur du tänker. 114 Vilka av talen 15, 25, 448, 640 och 2010 är delbara a) med b) med 5 c) med 15? 1144 a) Rita av faktorträdet och skriv tal i rutorna. 48 54 6 b) Dela upp talet 54 i primtalsfaktorer. 119 Vilka primtal finns mellan 10 och 0? 1140 a) Rita av faktorträdet och fyll i de tal som saknas i rutorna. 2 24 b) Dela upp talet 24 i primfaktorer. c) Vilka postiva tal är 24 delbart med (förutom 1 och 24)? 1141 a) Vilken siffersumma har talet 21? b) Är 21 delbart med? c) Vilken siffersumma har talet 521? d) Är 521 delbart med? b) Dela upp talet 48 i primfaktorer. c) Vilka positiva tal är 48 delbart med? 1145 Varför måste ett tal som är delbart med 10 också vara delbart med både 2 och 5? 1146 Vilket är det största tvåsiffriga primtalet? 1147 Summan av tre på varandra följande heltal är alltid delbar med. a) Visa med ett eget exempel att detta är sant. b) Förklara varför detta är sant. 1148 Inför en temadag på en skola ska eleverna delas upp i grupper. Om eleverna delas upp i par, så blir det en elev över. Likadant blir det om antalet elever i grupperna är, 5 eller 7. Antalet elever på skolan är mindre än 500. Vilket är antalet? 16 1.1 POSITIVA TAL
Tal i decimalform Exempel 1 Vid VM i friidrott 2009 vann Usain Bolt löpning 100 m på den nya världsrekordtiden 9,58 sekunder. Decimalerna i talet 9,58 kan uttryckas på olika sätt: 9, 5 8 eller 5 tiondelar 8 hundradelar 58 hundradelar Talet 9,58 kan visas på två olika tallinjer. 9, 5 8 9,0 9,1 9,2 9, 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0 9,00 9,10 9,20 9,0 9,40 9,50 9,60 9,70 9,80 9,90 10,00 Hundradelar Exempel 2 Vi jämför talet 9,58 med talet 9,6. Vilket är störst? 9,6 kan skrivas som 9,60 eftersom 6 tiondelar = 60 hundradelar. 9,6 är större än 9,58. Tiondelar 1.1 POSITIVA TAL 17
1149 Skriv som ett tal i decimalform a) 7 hundradelar b) 45 tusendelar a) 7 hundradelar = 0,07 b) 45 tusendelar = 0,045 1150 Beräkna utan räknare a) 2,1 + 4,65 a) 2,1 + 4,65 = 2,10 + 4,65 = 6,75 b) 0,4 0,8 b) 0,4 0,8 = 0,40 0,8 = 0,02 1151 Skriv som ett tal i decimalform a) 2 tiondelar b) 4 hundradelar c) 24 hundradelar d) 4 tiondelar och 5 hundradelar. 1152 Skriv talen i storleksordning med det minsta talet först. a) 7,1 7,08 7,15 7,2 7,18 b) 2,01 2,005 2,105 2,11 2,015 c) 0,9 0,87 0,902 0,099 0,805 115 Vilket tal pekar pilen på? 1 1 1154 Beräkna utan räknare a) 0, + 0,25 c) 0,65 + 0,2 b) 0, 0,25 d) 0,65 0,2 1155 Skriv med ord a) 0,009 b) 0,072 1156 Skriv som ett tal i decimalform a) 5 tusendelar c) 175 tusendelar. b) 75 tusendelar a) b) c) d) 2 2 1157 Vilket tal pekar pilarna A och B på? A B 0,1 0,2 1158 Anna sprang 100 m på 14,76 sekunder. a) Belinda sprang två tiondelar snabbare. Vilken var Belindas tid? b) Carlos sprang sju hundradelar långsammare än Anna. Vilken var Carlos tid? c) Dolores sprang 5 hundradelar snabbare än Anna. Vilken var Dolores tid? d) Eric sprang 82 hundradelar snabbare än Anna. Vilken var Erics tid? 1159 Vilket samband finns mellan begreppen tiondel och hundradel? 1160 Kostnaden för sjukvården i ett landsting beräknades ett år till 6, miljarder kr. De verkliga kostnaderna blev 500 miljoner kr större. Hur stora blev de verkliga kostnaderna? 1161 Vilket tal ligger mitt emellan a) 0,4 och 1,4 b) 0,02 och 0,0 c) 0,02 och 0,2? 1162 Beräkna utan räknare differensen mellan a) en tiondel och en hundradel b) en hundradel och en tusendel c) tre hundradelar och fjorton tusendelar. 18 1.1 POSITIVA TAL
Aktivitet UNDERSÖK Tiondelar och hundradelar Materiel: Räknare 1 Du har fyra tal: 24 50,8 0,42 Undersök med hjälp av miniräknare: a) Dividera talen med 10. Skriv upp divisionen och svaret. b) Multiplicera talen med 0,1. Skriv upp multiplikationen och svaret. c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal divideras med 10 jämfört med resultatet då samma tal multipliceras med 0,1? d) Skriv en regel som visar hur decimalkommat flyttas då ett tal multipliceras med 0,1 eller divideras med 10. e) Använd din regel för att med huvudräkning beräkna följande uppgifter: 45 10 0,5 10 0,1 750 2,5 0,1 0, 0,1 0,85 10 Skriv upp divisionen/multiplikationen och svaret. Kontrollera sedan svaren med räknaren. 2 Välj två heltal och två decimaltal. Undersök med hjälp av räknare: a) Multiplicera talen med 100. Skriv upp multiplikationen och svaret. b) Dividera talen med 0,01. Skriv upp divisionen och svaret. c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal divideras med 0,01 jämfört med resultatet då samma tal multipliceras med 100? d) Skriv en regel som visar hur decimalkommat flyttas då ett tal multipliceras med 100 eller divideras med 0,01. e) Använd din regel för att med huvudräkning beräkna följande uppgifter: 2 0,01,8 0,01 100 7,5 0,5 100 0,008 100 0,045 0,01 Skriv upp divisionen/multiplikationen och svaret. Kontrollera sedan svaren med räknaren. 1.1 POSITIVA TAL 19
Multiplikation och division med tiondelar och hundradelar Exempel 1 Hur kan vi inse att 5 10 = 0,5? 5 äpplen ska delas lika av 10 personer. likadelning Exempel 2 Varje person får då ett halvt äpple. En halv = 0,5. Detta sätt att tänka om division kalls likadelning. 6 Hur kan vi inse att 0,1 = 60? Vi tar hjälp av följande exempel: Du vill dela ett snöre som är 6 m i lika långa delar. 6 m Om du gör delarna 2 m långa, får du 6 = stycken delar 2 Om du gör delarna 0,5 m långa, 6 får du = 12 stycken delar 0,5 Om du gör delarna 0,1 m långa 6 får du = 60 stycken delar 0,1 0,5 m 0,1 m 2 m 2 m 2 m innehållsdivision Vi kan tänka hur många nämnare får plats i täljaren eller hur många nämnare innehåller täljaren. Detta sätt att tänka om division kallas innehållsdivision. Exempel Hur kan vi inse att 0,1 5 = 0,5? Faktorerna kan byta plats: a b = b a 0,1 5 = 5 0,1 = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,5 en tiondel + en tiondel + en tiondel + en tiondel + en tiondel = fem tiondelar 20 1.1 POSITIVA TAL
116 Beräkna a) 100 25,2 b) 0,1,5 c) 0,01 64 a) 100 25,2 = 2520 b) 0,1,5 = 0,5 c) 0,01 64 = 0,64 1164 Beräkna a) 0,1 b) 8,1 0,01 c) 8,1 100 a) 0,1 = 0 b) 8,1 0,01 = 810 c) 8,1 100 = 0,081 Lös följande uppgifter utan räknare. 1165 Beräkna a) 10 12,5 c) 0,1 15, b) 10 4,28 d) 0,1 9 1166 Beräkna a) 25,4 10 b) 2,50 0,1 1167 Beräkna a) 100 50,25 c) 0,01 600 b) 100 4,2 d) 0,01 26 1168 Beräkna a) 95 100 b) 2,50 0,01 c) c) 2 0,1 28 0,01 117 Vilket tal ska stå i rutan? a) 20 7 = 20 c) 100 7 = 0,1 b) 4,5 0,1 = 4,5 d) 0,25 = 0,25 0,01 1174 1 centiliter = 0,01 liter. Hur många 10-centilitersglas kan du fylla om du har 25 liter saft? 1175 Vid frukosten läser Erika innehållsdeklarationen på mjölkförpackningen. 1169 En bunt med 100 papper är 12 mm tjock. Vilken tjocklek har ett papper? 1170 Priset på ett 10-pack med batterier är 58,90 kr. Vilket pris per styck motsvarar det? 1171 Vilket tal ska stå i rutan? a) 75 = 7,5 c) 5 = 0,05 b) = 0,0 d) 5, = 5 1172 Du har ett snöre som är 120 m långt. Du delar snöret i lika långa delar. Hur många delar får du om varje del är a) 10 m c) 0,5 m b) 2 m d) 0,1 m? Beräkna mängden a) protein i 1 g mjölk b) socker i 10 g mjölk c) natrium i 1 000 g mjölk. 1.1 POSITIVA TAL 21
1.2 Negativa tal När används negativa tal? När temperaturen är under noll grader använder vi negativa tal för att tala om hur många grader det är. Negativa tal används även för att ange t ex behållningen på ett konto, utgifter, ekonomiska resultat och tidsskillnad mellan olika länder. tallinje Här nedan ser du några tal markerade på en tallinje. 5 4 2 1 0 1 2 4 5 Negativa tal Nollpunkten kallas origo. Vi jämför de markerade talens storlek på följande sätt: Positiva tal På tallinjen Med ord Med symboler 2 ligger till höger om 2 är större än 2 > 5 ligger till vänster om 5 är mindre än 5 < olikhetstecknen Lägg märke till att båda olikhetstecknen > (större än) och < (mindre än) pekar med spetsen mot det mindre talet. När du ska räkna med negativa tal kan du ta hjälp av en termometerskala. Temperaturen är 5 och ökar 7. 5 + 7 = 2 ökar 7 Temperaturen är 4 och minskar 7. 4 7 = minskar 7 6 5 4 2 1 0 1 2 4 5 6 7 6 5 4 2 1 0 1 2 4 5 6 7 1201 Beräkna utan räknare a) 2 5 b) 2 + 5 c) 2 5 + 1 a) 2 5 = b) 2 + 5 = c) 2 5 + 1 = 7 + 1 = 6 22 1.2 NEGATIVA TAL
Lös följande uppgifter utan räknare. Kontrollera svaren med räknare. 1210 1202 Temperaturen är 2º. Vad blir den om den a) ökar med 5º b) minskar med 4º? 120 9 5 = 4 Vad blir 5 9? 1204 Beräkna a) 5 d) 8 + 2 b) 5 e) 2 8 c) + 5 f) 8 2 1205 När Lotta var på vintersemester i fjällen noterade hon temperaturen några gånger under ett dygn. kl 07.00 6º kl 18.00 º kl 12.00 +2º kl 22.00 10º Med hur många grader a) steg temperaturen under förmiddagen b) sjönk temperaturen under eftermiddagen c) sjönk temperaturen under kvällen? 1206 Vad betyder 1 500 kr på ett bankkonto? 1207 Agnes saldo på bankkontot är 450 kr. Hur mycket pengar har hon på sitt konto om hon a) sätter in 500 kr c) tar ut 200 kr b) sätter in 200 kr d) sätter in 50 kr? 1208 Beräkna a) 7 5 + 1 c) 1 + 1 b) 2 + 5 1 d) 1 7 + 2 1209 Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen. a) 5 2 c) 2 1 b) 2 5 d) 0 7 Idealresultat på en golfbana är 72 slag. Resultatet 74 slag anges då som +2. Ange följande resultat på detta sätt. a) Henrik 69 slag c) Anna 71 slag b) Sophie 75 slag d) Darren 70 slag 1211 Temperaturen sjönk från ºC till 2 ºC på en timme. Vilken blir temperaturen, om den sjunker med lika många grader nästa timme? 1212 En dag varierade utomhustemperaturen mellan 2,5 ºC och +4,1 ºC. Hur stor var temperaturskillnaden den dagen? 121 Vilka belopp ska stå i de tomma vita rutorna? Insättning Uttag Behållning 2 000 800 1 800 2500 800 1214 Vilket tal ligger mitt emellan a) och 7 d) 8 och 2 b) 2 och 6 e) 5 och 0 c) och 5 f) 25 och? 1.2 NEGATIVA TAL 2
Addition och subtraktion med negativa tal Exempel 1 Vad blir 000 + ( 400)? Karl har två bankkonton med kredit. På det ena kontot har han 000 kr och på det andra en skuld på 400 kr. Om man slår ihop, dvs adderar, de två kontona blir summan: 000 kr + ( 400 kr) = 2 600 kr Vi ser att detta kan beräknas med subtraktionen 000 kr 400 kr = 2 600 kr Sammanfattning Två olika tecken efter varandra kan ersättas med ett minustecken. 000 + ( 400) = 000 400 = 2 600 Exempel 2 Vad blir 00 ( 50)? Vi tar hjälp av följande bild. a) Hur högt över huset flyger luftballongen? 00 m 100 m = 200 m b) Hur högt över dykaren flyger luftballongen? På samma sätt som ovan får vi 00 m ( 50) m =? Av figuren ser vi att detta kan beräknas med additionen 00 m + 50 m = 50 m m 00 100 0 50 Sammanfattning Två lika tecken efter varandra kan ersättas med ett plustecken. 00 ( 50) = 00 + 50 = 50 På de flesta räknare finns det två olika knappar för minustecken. ( ) för negativa tal och för subtraktion. 24 1.2 NEGATIVA TAL
1215 Beräkna a) 5 + ( 2) c) 5 ( 2) b) 5 + ( 2) d) 5 ( 2) a) 5 + ( 2) = 5 2 = b) 5 + ( 2) = 5 2 = 7 c) 5 ( 2) = 5 + 2 = 7 d) 5 ( 2) = 5 + 2 = Tecknen + ( ) ersätts med Tecknen ( ) ersätts med + Bilden visar läget av en luftballong, en dykare och en u-båt. 1216 a) Vilket avstånd svarar mot m 200 ( 50)? b) Vad blir 200 ( 50)? 200 1217 a) Vilket avstånd svarar mot 200 ( 200)? b) Vad blir 200 ( 200)? 1218 Två konton slås ihop. Bestäm summan. a) + 2 700 kr och 700 kr b) 900 kr och 400 kr Lös uppgifterna 1219 1222 utan räknare. 1219 a) 5 + ( 2) c) 5 + ( 7) b) 9 + ( 5) d) 6 + ( 2) 1220 a) 8 ( 2) c) 7 ( 9) b) 1 ( 1) d) 9 ( 5) 1221 a) 25 + ( 15) c) 25 ( 15) b) 25 + ( 15) d) 25 ( 15) 0 50 200 1222 a) 12 5 d) 16 ( 10) b) 24 + ( 7) e) 2 + 5 c) 9 + 19 f) 14 + ( 7) 122 Ge exempel på två tal som gör att beräkningen stämmer. Du kan tänka på två konton. a) + = 2 000 positivt tal negativt tal b) positivt tal c) + = 2 000 negativt tal + = 2 000 negativt tal negativt tal 1224 Beräkna temperaturändringen, dvs sluttemperatur minus starttemperatur. Starttemperatur Sluttemperatur a) +17 C +2 C b) +9 C C c) 11 C +4 C d) 4 C 1 C 1225 Kan två negativa tal ha a) summan 20? Förklara. b) differensen 20? Förklara. 1226 Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) 21 + = 5 c) 42 + = 7 b) 12 = 0 d) 15 = 24 1.2 NEGATIVA TAL 25
Multiplikation och division med negativa tal Våra vanliga räkneregler gäller även för negativa tal. multiplikation ( 4) = ( 4) + ( 4) + ( 4) = 12 Multiplikation är upprepad addition a = a + a + a ( 4) = ( 4) = 12 ( 4) ( ) = 12 Faktorerna kan byta plats a b = b a Se uppgift 127. division 12 = 4 eftersom ( 4) = 12 Division kan omformas till multiplikation. a = c kan skrivas bc = a b 12 = 4 eftersom ( ) ( 4) = 12 12 = 4 eftersom ( ) 4 = 12 Vid multiplikation och division med negativa tal gäller: Sammanfattning 2 ( 5) = 10 ( 2) 5 = 10 Olika tecken ( 2) ( 5) = 10 ( 10) / 2 = 5 ger minus. ( 10) / ( 2) = 5 10 / ( 2) = 5 Lika tecken ger plus. 1227 Beräkna a) 8 ( 6) b) ( 5) ( 7) c) ( 72) /8 d) ( 56) /( 8) a) 8 ( 6) = 48 c) ( 72) /8 = 9 b) ( 5) ( 7) = 5 d) ( 56) /( 8) = 7 1228 Beräkna a) 14 + ( 2) b) 25 ( 5) ( 2) Vi räknar multiplikationen först. a) 14 + ( 2) = 14 + ( 6) = 14 6 = 8 b) 25 ( 5) ( 2) = 25 10 = 15 26 1.2 NEGATIVA TAL
1229 Beräkna utan räknare a) 7 ( 9) c) ( 6) ( 2) b) ( 4) 8 d) ( 12) 0 120 a) ( 14) / 2 c) ( 81) / ( 9) b) 6 / ( 4) d) /1 121 Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) ( 7) = 21 c) ( 4) = 24 b) ( 5) = 40 d) 2 ( 2) = 8 122 Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) 16 = 8 c) = 6 6 128 Daniel läser i en bok att beräkningen 1,8 ( 10) + 2 omvandlar temperaturen 10 grader Celsius ( C) till grader Fahrenheit ( F). Vilken temperatur i grader Fahrenheit a) motsvarar 10 C b) motsvarar 20 C om man räknar på samma sätt som för 10 C? 129 När det blåser storm och termometern ( 4) visar 4 C ger beräkningen 15 2 den temperatur vi upplever. b) 45 = 5 d) 4 = 8 12 Beräkna utan räknare a) ( 4) + 2 c) 5 + ( 2) ( ) b) 10 + ( 5) 6 d) 8 + ( 4) 124 a) ( 6) ( 2) 4 b) 24 2 ( 6) 125 a) ( 2) ( ) ( 4) b) ( ) 7 + ( 4) ( 5) 126 Beräkna och ordna därefter resultaten i storleksordning med det minsta först. ( 5) 28 4 9 ( 2) ( ) ( 2) 127 Läs uppifrån och ned. Studera mönstret i multiplikationerna. ( ) = 9 2 ( ) = 6 1 ( ) = 0 ( ) = 0 ( 1) ( ) =? a) Hur ändras den första faktorn? b) Hur ändras produkten? c) Vad bör ( 1) ( ) bli om mönstret fortsätter? d) Vad är ( 4) ( )? 2 2 a) Vilken temperatur ger beräkningen? b) Beräkna på samma sätt den temperatur vi upplever i en storm om termometern visar 20 C. 1240 Du har talen, 2, 0, 1, 1, 4, 2 Vilka två tal ger den a) största produkten b) minsta produkten? 1241 Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) 40 4 + = 0 b) 4 + ( ) = 25 c) 50 + ( 2) = 10 d) 8 5 = 75 1.2 NEGATIVA TAL 27
Tema Tidszoner Jorden är indelad i 24 tidszoner med normalt 1 timmes tidsskillnad. Nollzonen går genom samhället Greenwich strax utanför London. Greenwich Mean Time (GMT) är världens standardtid. Tidsskillnaden i timmar mellan några olika platser och London Los Angeles 8 London 0 Moskva + Chicago 6 Stockholm +1 Tokyo +9 New York 5 Athen +2 Melbourne +10 Så här tolkas tabellen: När klockan är 18 i London, är den i Chicago 18 6 = 12. När klockan är 18 i London är den i Moskva 18 + = 21. Plats Chicago 6 London 0 Moskva + 6 timmar efter London timmar före London Tid kl 12.00 kl 18.00 kl 21.00 Moskva är 9 timmar före Chicago, eftersom skillnaden mellan och 6 är 9. 28 1.2 NEGATIVA TAL
1 Hur många timmar före Stockholm är a) Moskva b) Tokyo? 2 Hur många timmar efter Stockholm är a) New York b) Los Angeles? Hur många timmar före Los Angeles är a) New York b) Moskva? 4 Hur många timmar efter Tokyo är a) Athen b) Chicago? 5 Vad är klockan på följande platser, om den är 10.00 i London? a) Stockholm c) Moskva b) New York d) Chicago 6 Vad är klockan på följande platser, om den är 16.00 i Stockholm? a) Athen c) London b) Tokyo d) Los Angeles 7 Finalen i US Open i tennis avgörs i New York. Den sänds direkt i TV via satellit. Matchen börjar kl 19.00 lokal tid. När kan den ses i a) London c) Melbourne b) Stockholm d) Los Angeles? 8 Ett flygplan startar kl 10.0 från Kastrup i Danmark (Stockholms tidszon) och flyger direkt till Seattle (Los Angeles tidszon). Flygtiden är 9 h. När är planet framme lokal tid i Seattle? 9 Ett flygplan startar kl 15.05 från Arlanda utanför Stockholm och flyger direkt till Tokyo. Flygtiden är 10 h 15 min. När är planet framme lokal tid i Tokyo? 10 Du flyger från Los Angeles till Melbourne. Flygtiden är 16 h. Du startar den 10 januari kl 09.00. När är du framme? 1.2 NEGATIVA TAL 29
Tema Vinst eller förlust? Exempel 1 Jenny och Mia har ett litet företag som designar, tillverkar och säljer kläder. Förra året köpte de varor för 150 000 kr och sålde dem för 85 000 kr. Företagets kostnader för löner, lokaler, reklam m m var sammanlagt 165 000 kr. Företagets intäkter och kostnader var: Intäkter Kostnader Försäljning: 85 000 kr Inköp av varor: 150 000 kr Försäljningskostnader: 165 000 kr Resultatet = 85 000 kr 15 000 kr = 70 000 kr. 15 000 kr Resultat Resultat = Intäkter Kostnader Positivt värde på resultatet innebär vinst. Negativt värde på resultatet innebär förlust. Exempel 2 Ett företag köpte ett år nya maskiner till sin tillverkning. Maskinerna kostade 100 000 kr. Under året köpte man varor för 4 000 kr. Försäljningskostnaderna (löner, marknadsföring mm) var 60 000 kr. Under året sålde man varor för 150 000 kr. Det kan verka som om verksamheten gick med förlust under året. Man hade utgifter på sammanlagt 20 000 kr men fick bara in 150 000 kr. I det här fallet måste man dock tänka på att de inköpta maskinerna kan användas under flera år. Om vi antar att maskinerna kan användas i 5 år och att de minskar i värde 100 000 lika mycket varje år blir värdeminskningen = 20 000 kr per år. 5 Siffrorna för året blir då så här: Intäkter Kostnader Försäljning: 150 000 kr Värdeminskning: 20 000 kr Inköp av varor: 4 000 kr Försäljningskostnader: 60000 kr Resultatet = 150 000 kr 12 000 kr = 27 000 kr Verksamheten har alltså under året gett en vinst på 27 000 kr! 12 000 kr 0 1.2 NEGATIVA TAL
Resultat räknas utan moms. I detta avsnitt är alla priser givna utan moms. 1 Företaget AlfaStar redovisar följande: Intäkter 210 000 kr Kostnader Inköp av varor 169 000 kr Hyra 28 000 kr Övriga kostnader 17 000 kr Beräkna företagets resultat. 2 Under en sommarvecka säljer Petter jordgubbar vid en badstrand. Hans kostnader är följande: Inköp av 00 liter jordgubbar 600 kr Frakt 500 kr Reklam 400 kr Beräkna resultatet om han säljer a) alla jordgubbarna för 20 kr/l b) 200 liter för 29 kr/l och resten för 19 kr/l. Ett företag köper en maskin för 180 000 kr. a) Den används i 5 år, därefter skrotas den. Vad är maskinen värd efter 2 år om värdeminskningen är lika stor varje år? b) Vad är maskinen värd efter 2 år om dess värde varje år minskar med en tredjedel av föregående års värde? 4 Företaget Tryck-till-tusen ska köpa in t-shirts och trycka text på tröjorna. Första årets budget såg ut så här: Intäkter Starta-eget-bidrag 78 000 kr Försäljningsintäkter Modell A 98 kr/st Modell B 149 kr/st Kostnader Inköp av material Hyra av lokaler och utrustning Reklam 26 000 kr 95 000 kr 45 000 kr a) Beräkna resultatet om man säljer 2 00 st tröjor av modell A och 1 400 st tröjor av modell B under året. b) Hur mycket skulle var och en av de två delägarna få om de delar lika på överskottet? 5 En hotellkedja köpte in 200 souvenirdockor för 5 kr/st. Övriga försäljningskostnader uppgick till 48 000 kr. Anta att man lyckas sälja alla dockorna. a) Hur stor blir vinsten om försäljningspriset är 69 kr/st? b) Vid vilket försäljningspris blir resultatet en förlust? 6 Helena har ett familjebageri. Förra året köpte hon maskiner för 640000 kr med en beräknad livslängd på 8 år. Bageriets kostnader under året för inköp, löner mm fördelade sig på följande sätt: Råvaror 1 275 000 kr Löner 540 000 kr Lokaler 120 000 kr Reklam 40000 kr Bageriet sålde för 2 40 000 kr under året. a) Vad är kostnaden för värdeminskning av maskinerna om den är lika stor varje år? b) Beräkna bageriets totala kostnader under året. c) Vad blev bageriets årsresultat? 1.2 NEGATIVA TAL 1
1. Tal i bråkform Hur stor andel? Exempel Täljare Nämnare Elna delar sin pizza i fjärdedelar och äter tre av delarna. Hur stor andel av pizzan äter hon? 1 + 4 1 4 + 1 4 = 4 Hon äter tre fjärdedelar av pizzan. Tre fjärdedelar är ett tal som i bråkform kan skrivas eller /4. 4 Talet under bråkstrecket talar om vilka delar vi har (fjärdedelar). Talet ovanför bråkstrecket talar om hur många delar vi har ( stycken). Omvandla tal i bråkform till decimalform kan vi enkelt göra med räknare. Tabellen visar några viktiga omvandlingar du bör kunna utantill! En halv En tredjedel En fjärdedel En femtedel Bråkform 1 2 1 1 4 1 5 Decimalform 0,5 0,... 0,25 0,2 101 Hur stor andel av figuren är färgad? Vi måste först dela området i lika stora delar. trianglar av 8 är färgade. av figuren är färgad. 8 2 1. TAL I BRÅKFORM
102 Skriv talen i bråkform. a) en åttondel b) sju åttondelar c) tre femtedelar d) en tiondel 109 Jennys farmor har sytt ett lapptäcke. Hon påstår att 2/9 av lapptäcket är grönt. 10 Skriv ett bråk som anger hur stor andel av respektive figur som är färgad. a) c) a) Förklara varför hon har fel. b) Hur stor andel av täcket är grönt? c) Hur stor andel av täcket är blått? b) d) 110 a) Vad är hälften av 6 2? b) Ge exempel på ett bråktal som är dubbelt så stort som 6 2 104 Willy ska åka till Stockholm. 4 När han har åkt av sträckan tar han paus. 5 Hur stor del av resan har han kvar? 105 Bestäm utan räknare vilket bråk är störst, 1/5 eller 1/6? Förklara hur du tänker. 106 Skriv i decimalform. Kontrollera med räknare. 1 a) b) 2 c) 2 10 5 107 I en butik arbetar fem män och sju kvinnor. a) Hur stor är andelen män? b) Hur stor är andelen kvinnor? 108 Malin och Leila har delat en pizza i två lika stora delar. Malin har ätit /8 av sin del och Leila /5 av sin del. Vem har ätit mest? Förklara hur du tänker. 111 B E A F Det kinesiska Tangram-pusslet består av en kvadrat som delats i sju delar. Hur stor andel av pusslet utgör a) A e) F b) A + B f) D c) G g) E + F d) E h) E + F + C + D? 112 Skriv ett tal i bråkform a) som kan skrivas 0,025 b) som är hälften så stort som 0,1 c) som ligger mellan 0,10 och 0,11. C D G 1. TAL I BRÅKFORM
Aktivitet Jämföra bråktal UNDERSÖK 1 En chokladkaka med 24 rutor kan delas i lika stora delar på många olika sätt. Rita sex bilder av kakan och dela kakan i två delar dela kakan i tre delar dela kakan i fyra delar dela kakan i sex delar dela kakan i åtta delar dela kakan i tolv delar 2 Skugga eller färglägg en av dina bilder. Skriv bråktalet bredvid den skuggade delen. 2 2 a) av kakan c) av kakan 6 6 b) av kakan d) av kakan 4 8 Två av bråktalen i uppgift 2 beskriver lika mycket choklad. Vilka? 4 Studera dina bilder och skriv flera olika bråktal 1 som är lika stora som. 2 5 Vilka tal är större än 2 1? Förklara hur du tänker. 11 14 7 12 5 8 2 5 5 10 1 28 6 Vilket tal är störst? 4 1 1 a) eller b) eller c) 2 6 6 6 8 4 8 14 eller 2 7 Använd bilderna i uppgift 1. Vad ska det stå i rutorna? a) 1 b) 2 5 = c) 24 6 7 = d) 24 8 10 = e) 24 12 = 24 = 24 8 Använd resultatet i uppgift 7 för att avgöra vilket bråk som är störst. 2 5 7 10 a) eller b) eller 6 8 12 9 Vilket bråk är störst? Visa en beräkning eller förklara hur du tänker. 1 7 a) eller c) eller 5 2 4 9 2 1 7 8 b) eller d) eller 5 8 9 4 1. TAL I BRÅKFORM
Förlängning och förkortning Exempel 1 förlänga/ förkorta Det är viktigt att förstå att flera olika bråk kan beskriva samma sak. Vi kan därför förlänga eller förkorta ett bråk utan att ändra dess värde. Vi förlänger med 2. Vi förkortar med 2. 1 1 1 2 = 2 2 = 2 2 2 1 6 6 = / 6 / 2 = Täljare och nämnare 2 Täljare och nämnare multipliceras med 2. 6 divideras med 2. enklaste form förhållande Ett bråk som inte kan förkortas mer är skrivet i enklaste form. Bråktal används både för att ange en andel och för att beskriva ett förhållande mellan två tal. Exempel 2 I en skolklass med 0 elever finns 12 pojkar och 18 flickor. Förhållandet mellan antalet pojkar och flickor skrivs i enklaste form. antalet pojkar 12 12/6 2 = = = antalet flickor 18 18/6 Förhållandet 2 skrivs ofta som 2 :. Man säger: två till tre. Med andra ord kan man säga att det går två pojkar på tre flickor. 11 Bestäm utan räknare vilket bråk som är störst, 6 5 eller 8 6? Vi förlänger till samma nämnare (24) för att kunna jämföra talen. 5 5 4 20 = = och 6 6 4 24 6 6 18 = = 8 8 24 20 18 Svar: är mer än, alltså är 5 6 större än. 24 24 6 8 1. TAL I BRÅKFORM 5
114 Förhållandet mellan den långa och den korta sidan är olika för olika flaggor. En svensk flagga som är 70 cm bred skall vara 112 cm lång. Beräkna på enklaste sätt förhållandet mellan 70 och 112. 70 70/ 2 5/ 7 5 Förhållandet = = = = 112 112 / 2 56/ 7 8 Svar: Förhållandet är 5 : 8. 115 Hur stor andel av figuren är a) färgad b) ofärgad? Svara i enklaste form. 116 Förläng bråken så att nämnaren blir 18. a) 4 9 b) 5 6 c) 2 117 Miriam arbetade 4 kvällar kl 18 22 under en vecka. Hur stor del av full tid, 40 h, arbetade hon? Svara i enklaste bråkform. 118 När man förkortar ett bråk så minskar bråkets värde, säger Tim. Är det sant? Motivera ditt svar. 119 Bestäm utan räknare. Kontrollera ditt svar med räknare. a) Vilket bråk är störst 5 eller 5 7? b) Vilka av följande tal är lika med 2 5? 20 50 12 25 6 15 4 9 8 20 120 Hur stor andel av en timme är a) 10 minuter c) minuter b) 45 minuter d) 5 minuter? 121 Ange ett bråk som har samma värde som 2 /7 men en nämnare som är a) 21 b) 56 122 En TV kan ha olika förhållanden mellan bredd och höjd på bilden. 4: var tidigare ett standardformat och 16:9 kallas för widescreen. Ayla mäter bredden på sin TV till 56 cm och höjden till 42 cm. Är Aylas TV standard eller widescreen? 12 48 g koppar, 12 g zink och 20 g nickel smälts samman till nysilver. Bestäm i enklaste form a) andelen koppar b) förhållandet mellan mängden zink och mängden koppar. 124 Två tal förhåller sig som : 4. Vilka är talen om deras summa är 28? 125 Bråket x har ett värde som ligger mellan 6 1 och 1. Vilka tal kan x vara? 2 126 Dela upp täljare och nämnare i primfaktorer och förklara varför 5 66 inte går att förkorta. 6 1. TAL I BRÅKFORM
Addition och subtraktion av bråk Exempel 1 Hur mycket blir 5 6 + 2 6? Två bråk med samma nämnare kan adderas direkt. + = 5 6 + 2 6 = Bråk större än 1 kan skrivas antingen i bråkform eller i blandad form. 7 6 = 1 1 6 7 6 Bråkform Blandad form, uttalas en hel och en sjättedel. Exempel 2 Två bråk med olika nämnare kan inte adderas direkt. Om du får 1 4 av en chokladkaka och 1 av en annan likadan kaka, hur stor del av en hel kaka har du fått? olika nämnare + Kakorna är delade på olika sätt. 1 4 + 1 När bråken har olika nämnare måste man först skriva om, förlänga, bråken till samma nämnare. Båda bråken skrivs med nämnaren 12. gemensam nämnare Detta kallas att använda en gemensam nämnare till bråken. + = 1 4 + 1 4 4 = 12 + 4 12 = 7 12 förlänger med förlänger med 4 Tips Genom att multiplicera nämnarna med varandra i två bråktal får du alltid en gemensam nämnare. 1. TAL I BRÅKFORM 7
127 Beräkna och svara i enklaste form 12 7 12 7 4 4 /4 1 = = = 12 12 12 12 /4 128 Skriv a) 9 4 i blandad form b) 1 2 i bråkform. a) 9 4 = 4 4 + 4 4 + 1 4 = 2 1 4 1 2 = 2 2 + 2 2 + 2 2 + 1 2 = 7 2 129 Beräkna och svara i enklaste form. a) 1 2 + 1 6 b) 2 1 4 Förläng till nämnaren 6. Förläng till samma nämnare. a) 1 2 + 1 6 = 1 2 + 1 6 = b) 2 1 4 = 2 4 4 1 4 = = 6 + 1 6 = 4 6 = 2 = 8 12 12 = 5 12 Förkorta med 2. 10 På en idrottsdag kunde eleverna välja fotboll, volleyboll eller bad. 1/4 valde fotboll och /5 valde volleyboll. Hur stor andel av eleverna valde a) en bollsport b) bad? a) Fotboll eller volleyboll: 1 4 + 5 = 1 5 4 5 + 4 5 4 = 5 20 + 12 20 = 17 20 b) Bad: 1 17 20 = 20 20 17 20 = 20 Svar: a) 17/20 valde en bollsport. b) /20 valde bad. 8 1. TAL I BRÅKFORM
Lös följande uppgifter utan räknare. 11 Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) 2 7 + 7 = 5 b) 5 7 9 + 9 = 1 19 Skriv den beräkning som visas med bilden och gör beräkningen a) + 12 a) Bilden visar 2 2 b) + 140 Anna, Bo och Per delade på en lotterivinst. Skriv talet i bråkform. b) Bilden visar 9 2 Anna fick 5 8 och Bo fick 1 av vinsten. 4 Hur stor andel fick Per? 141 Skriv talen i bråkform och beräkna a) 1 1 2 + 1 1 4 b) 2 1 1 2 Skriv talet blandad form. 1 Skriv i blandad form a) 7 b) 7 2 4 10 c) 142 Ge exempel på två olika bråk som har summan a) 5 6 b) 2 14 Skriv i bråkform 14 Visa att 8 är större än 1 a) 2 1 2 b) 2 1 c) 1 4 5 144 Vilket tal är a? 15 Beräkna och svara i enklaste form a) 2 5 + 1 b) 5 5 9 2 c) 9 12 + 1 12 16 Beräkna 1 2 + 1 5 Förläng först till nämnaren 10. 17 Förläng till gemensam nämnare och beräkna a) 1 2 + b) 2 4 1 4 18 Beräkna a) 2 6 + 4 b) 10 1 6 c) 6 15 + 4 5 a) 8 5 1 = a 5 b) + 7 9 = a 9 145 För flera tusen år sedan räknade man i Egypten nästan bara med bråk där täljaren är 1. Sådana bråk kallas stambråk. a) 2 kan skrivas som summan av två olika 7 stambråk. Det ena är 1 4. Vilket är det andra? b) Sju tolftedelar kan skrivas som summan av två olika stambråk. Det ena är 1. Vilket är det andra? 1. TAL I BRÅKFORM 9
Multiplikation och division av bråk Exempel 1 Hur beräknas 4 1? 4 1 kan beräknas 4 1 + 4 1 + 4 1 = 4 + + = 1 1 Vi får samma resultat med = = 4 4 4 Det är bara täljaren som ska multipliceras med! Exempel 2 Hur beräknas 7 2 av 2 800 kr? 1 2800 av 2 800 kr = kr = 400 kr 7 7 2 av 2 800 kr = 2 400 kr = 800 kr 7 2 2 2800 Vi får samma resultat med 2 800 kr = kr = 800 kr 7 7 Exempel Hur beräknas 2 av 4? /4 /4 2 av 4 Av figuren ser du att 2 av 4 = 2 4 = 1 2 Vi får samma resultat med: 2 4 = 2 4 = 2 4 = 1 2 Multiplikation av bråk Vid multiplikation av två bråk multipliceras täljarna för sig och nämnarna för sig. a c a c = b d b d Då ett bråk multipliceras med ett heltal multipliceras endast täljaren b a b med talet. a = c c 40 1. TAL I BRÅKFORM