4.1 Procent och procentberäl<ningar 4.2 Procentuella förändringar 4.3 Procentberäl<ningar i samhället ; > Tal i brål<- och decimalform > El<vationslösning > Potenser med heltalsexponenter > Avrundninq Fördjupning av ProcentbegrePPet: promille, ppm och Procentenheter Begreppen förändringsfal<tor och index samt metoder för beräl<ning av räntor och amorteringar för olil<a rz6 typer av lån hp
förekommer överatlt i flrocenträkning It samhättet. I tidningar, reklamblad' tv- och radiokanaler presenteras jämföretser och undersökningar där man visar resultaten med hjätp av procent. Ti[L exempei uttrycker man valresultat, [öneökningar, rabatter, moms och jnte minst räntekostnader i procent. Förr i världen kallade man en Person som lånade ut pengar mot orimligt hög ränta förprocentare. Även om det ordet jnte längre används, så möter vi i dag ständigt erbjudanden om snabba [ån e[[er avbetalningsköp där räntan btir orimtigt hög. När du är klar med det här kapitlet ska du kunna ) skrjva bråk och decimaltal i procentform ) använda Promilte och PPm ) utföra procentberäkningar med förändringsfaktor ) beräkna upprepade procentuella förändringar > ange skillnaden mettan procent och procentenheter ) totka och använda begreppet index ) beräknaränta ) beskriva otika sätt att amortera [ån Procentfunderingar Priset på en spikmatta hojs från 400 kr till 500 kr. Därefter sänks priset från 500 kr tillbaka till 400 kr. > Hur stor är prishöjningen i procent? > Är den procentuella prishöjningen större än, mindre än eller lika stor som prissänkningen? Motivera ditt val. > Undersök andrar tal på liknande sätt' Vad kan du dra för slutsats? Ungdomar och Procent I Umeå är ca 50 7o av invåi.rarna under 30 år' i Stockholms iän är det bara 35 %. > Trots påståendet hiir ovanför bor det fler ungdomar i Stockholms län. Hur kan det komma sig? > Det bodde 2 025 750 personer i Stockholms län i slutet av år 2009. Hur många av dessa var under 30 år. > Befolkningen i Stockhohns län ökade rned ca2 o/o under år 2010 och man antar att den kommer att öka med 3 7o under år 2011' Med hur många procent har då befolkningen ökat från slutet ar'år 2009 till slutet av år 2011? > Rehöver man veta hur stor befolkningen var i slutet av år 2009 för att kunna svara på föregående fråga? Motivera ditt svar. t'27
procent kommer från latinets pro centum vilket betyder "för varje hundra 1 Det heter likadant på de flesta europeiska språk. På engelska skrivs det per cent eller Percent.Htrndtadelen av en dollar eller en euro heter just cenf. 4.L Procent och procentberäknin gar Procent - ett sätt att skriva hundradelar En procent är en hundradel och skrivs 1 Vo.Detbetyder att 100 7o motsvarar allt eller det hela. 50 o/o motsvarar hälften och 25 o/o en f1ärdedel av det hela. Det kan skrivas 1 : 100 o/o 1_ -=O.5=50u/o 2! : o.zs = 25 o/o 4 Andelen kan skrivas ibråkform, decimalform ellet procentform: 4 =g,g4=4o7o D'ocelt-or- 100..'. Brål<form Decimalform Om man vill omvandla ett bråk som inte har nämnaren hundra till procentform, så är det lättast att först göra om det till decimalform: l = 0.61 53... = 61,! o/o 1.3 Exempel: Skriv i procentform a) 0,78 0,0035 t, 1 6 Lösning a) 0,78 = 78 o/o 0,0035 = 0,35 o/o.t l= o.r7=17o/o 6 Flytta kommatecknet två steg åt höger, eitersom procent är detsamma som hundradelar Exempelz Skriv i decimalform a) 2I o/o t,7 o/o c) 320 o/o Lösning: a) 2l o/o = 0,21 Flytta kommatecl(net två steq åt vänster I,7 o/o = 0,017 c) 320 o/o = 3,2 128 pnocrnr o 4 1 PRotENT och PRocENTBERÄl<NlNcAR
- f'*li/å :å 4101 Skriv i procentform a) 0,43 0,8 c) 1,15 4109 Skriv av och fyll i tabellen Bråk Procent (%) LI 24 0 20 =13 35 4s 220 4102 Skriv i decimalform 4103 4104 4105 a) 7 o/o 23,60/o c) 237 o/o Skriv i procentform. Avrunda till en decimal. I 2 ll ^) j o, j olt I en klass var 57 %o av eleverna flickor. Hur stor andel utgjorde pojkarna? Beräkna de skuggade bitarnas andel i procentform. Svara med en decimals noggrannhet. 4105 Hur många procent av alla tegel är spruckna? r',il.ilå ft 4110 Varför kan vi inte lita på foljande redovisning av rösternas fördelning i det kommunala valet? Relativ frekvens (%) MFp V N4p 4111 Enligt en tittarundersökning ser en femtedel av eleverna helst Iånglilmer på tv, en!ärdedel tycker bäst om dokusåpor och en tredjedel föredrar musikkanaler. Ör'riga elever ser helst komedier på tv. Hur många procent av eleverna ser helst komedier På tv? 4t07 4108 Ordna talen i storleksordning. Börja med det minsta. 6 a) 0,38 0,3 ; 1 ; 4o/ct 33 o/o För att klara testet krävdes 60 % av alia poäng. Mark fick 47 poäng av 78. Klarade han testet? 4112 Forklara med ett exempel varför något kan ö vara större än 100 %. t.,iäxiå ;ä 4113 På en plantage i Brasilien är 3/8 av träden citrontriid. Av de övriga träden är 8/15 apelsinträd och 215 palmer. Resten av träden är mangoträd. Hur många procent av träden är nrangoträd? {!t;å,;&..-* *91,{a{ procent o 4 1 protfnt oth PROTENTBERÄ (NlNIAR a29
AndeLen Andelen, delen och det hela En journalist frågar eleverna vid två gymnasieskolor om de är vegetarianer' Vi kallar skolorna A och B' Vid skola A ar 27 e ever vegetarianer, medan det finns 45 vegetarianer i skola B' Är det vanligare med vegetarianer på skola B än På skola A? För att besvara frågan måste vi ta reda pä andelenvegetarianer på respektive skola. Andelen vegetarianer ges av förhållandet mellan antalet vegetarianer (delen) och det totala antalet etevet (det hela) ' SkolaA har totalt 346 elever' medan skola B har 598 elever' Andelen vegetarianer på skola A = # = O'07 8 = 7'8 o/o Andelenvegetarianerpå skola B =# = 0'075 =7'5o/o Eftersom 7,8 o/o ) 7,5 o/obetyder det att det är vanligare med vegetarianer på skola A. Andelen, delen och det helo Vid all procenträkning använder man begrepp en andelen' delen och det hela. Sambandet mellan dem skrivs, Delen Andelen = D.t h.lu Man skriver om sambandet beroende på vad det frågas efter. Fxempel: Vid en realisation sänktes priset på en cykel tilt 3 350 kr' Cykeln hade tidigare kostat 3 600 kr. Med hur många procent sänktes priset? Lösning: Här ska man beräkna andelen, när man känner delen och det hela' Prissänkningen = 3 600 kr - 3 350 kr = 250 kr Priset före sänkningen = 3 600 kr 250 Sänkningen i Procent = JU* =''u' Svar: Cykelns pris sänktes medt o/o' Delen. =7 o/o l)el nela Del en Det hela Delen Andelen - *r heh PRoCENT O 4,1 PROCENT OCH PROCENTBERAI<NINCAR
, ;:,'; t j, e ; U..;,i:,j Lösning Hur mycket är 23 o/o av 569 kr? Här ska man beräkna delen, när man känner andelen och clet hela. Delen kan beräknas på två sätt: 5nc) 1. I okt av 569 kr = l! kr = 5,69 kr 2. 0,23. 569 kr = 130,87 kr = 131 kr I (X) 23 o/o av 569 kr = 23 ' 5,69 kr = = 130,87 kr = 131 kr Svar: 23 o/o av 569 kr är 131 kr. 5 <r v 23 ala i declmalform Delen - Andelen Det he a - [;r*:rl:f:,i;' Rirbatten på en tv är 1 710 kr. Det motsvarar 18 %. Hur mycket kost:rr tv:n utan rabatt? I I Lösning: Här ska man beräkna det hela, när man känner delen och andelen. Priset på tv:n kan beräknas på två sätt: 1. 18 %o av priset är I 710 kr. r 710, I oo ar Priset är lg kt' 95 kl' 100 % av Priset = 100'95 kr - -9500kr 2. Vi kallar priset f-ör x kr. 18 0/o av x kr är I 710 kr 0,18'r = I 710 1 710 Delen 0,18 Andelen x = 9 500 l-1ela priset Svarr: Tv:n kostar 9 500 kr uttrn rarbatt' 4114 Beräkna a) l4%av50 8,5 % av 300 c) 150 o/o av 86 4115 a) Hur många procent är 3 av 4? 4117 En flygbiljett mellan Stockholm och Nen'' York kostar 3 900 kronor. Barn under 3 år åker lör 50 oo av priset. a) Hur rnycket kostar resan sammanlagt för Lasse och hans tvååriga dotter Emma? Elin betalar 9 750 kr för flygbiljetter Stockholm-New York. Hur många kan clet vara som reser? Hur många procent i'ir 14 av 50? c) Hr-rr många procent är I I irv l2? Avrunda till hela procent. 4115 a) c) 8 0/o av ett tal är 24. Vilket är talet? 14 0/o av ett tal är 70. vilket är talet? 0,5 70 av ett tal är 0,28. vilket är talet? procent o 4 1 procent och procentberål(n NGAR 13tr
4118 Enligt en undersökning är 13 7o av alla svenska 4119 4L20 elever på mellanstadiet inte simkunniga. I en rnelianstadieskola gick 435 elever. Hur många av dem kan man förvänta sig inte vara simkunniga? I ett land med 10,5 miljoner invånare ökade folkmängden med 126 000 invånare under första halvåret. Hur stor var ökningen uttryckt i procent? När The Rolling Stones spelade på Ullevi i Göteborg i augusti ät 2007 kostade en ståplats 1 295 kr. När biljetterna tagit slut såldes samma biljett för 4 000 kr på "svarta börsen". Hur många procent dyrare blev den då? 4121 Fredrika erbjöds köpa en nybåt for 285 000 kr' Försäljaren påstår irtt det är 85 %o av ordinarie pris. Vilket är båtens ordinarie pris enligt försäljaren? 4L22 Etrpar löparskor som tidigare hade kostat 790 kr såldes för 250 kr under helgen. a) Med hur många procent sänktes priset? Nar Markus gör beräkningen får han svaret 32 o/o. Vad kan Markus ha gjort för fel? 4123 Tornet till vänster på bilden är byggt av tre lika stora klossar. ruhvå # 4L24 En mp3-spelare kostade lika mycket i två ö olika varuhus. Under rean gav det ena varuhuset 50 o/o rabatt på mp3-spelaren, medan det andra varuhuset gav 30 o/o rabatt. Prisskillnaden blev under rean 290 kronor' a) Vad kostade mp3-spelaren innan rean? Ge förslag på hur mycket mp3-spelarna kan ha kostat i de två varuhusen om de kostar lika mycket På rean. 4125 Från år 2005 till år 2010 ökade en kommun sin befolkning med 5,2 % vilket motsvarar 16 200 personer. Hur många bodde i kommunen år 2010? 4125 Ett träd ökar i längd med 8,0 dm på ett år. Det motsvarar 25 o/o. Hur högt är trädet när året har gått? 4127 Sabine och hennes sambo Lars jobbar båda inom vården. Sabine tjänat 23 100 kr i månaden och Lars tjänar 21 600 kr i månaden. Sabine får vid den årliga löneöversynen en Ionehojning pä3,7 o/o och Lars en höjning pä2,9 ok. a) Hur många procent högre blir Sabines lön än Lars? Hur många procent lagre blir Lars lön är"r Sabines? a) c) Hur många procent lägre blir tornet om vi tar bort den översta byggklossen? Hur många procent högre blir tornet i mitten om vi lägger tillbaka den tredje klossen? Undersök hur många procent lägre tornet blir om det från borjan består av 4, 5, 6 eller n klossar och man sedan tar bort en kloss. w b. ffi,.,'t iffi 4128 Formulera en egen uppgift med procenträkö ning Den ska innehålla 32 elever och svaret B'i3xrÅ # ska bli 5 %. lämför din uppgift med en kamrats. 4129 Man vet att andelen ljushåriga bland dem som har blå ögon är större än andelen ljushåriga av hela befolkningen. Måste då andelen med blå ogon av de ljushåriga vara större än andelen med b1å ögon av hela befolkningen? (Uppgift nr.1 i kvalificeringsomgången den 6 oktober 1999 av Skolornos Matematiktiivling arrangerad ay Svenska Dagbladet) PROTENTO 4 1 PROCENT OtH PROCENTBERÄI(N]NIAR
Bilföraren som körde av vägerr var kraftigt onykter. Hon hade över I promille alkohol iblodet och brottet betecknas som gro\t rattf,lleri. Påföljden kan bli upp till två års fängelse. Promille och ppm Arrdelar som är mindre än en procent uttrycks ibland i promille. Promille betyder tusendel. Tecknet för promille är %o. Vid riktigt små andelar anvands ppm, som kommer från engelskans "parts per million" och betyder miljondel. När man räknar med promille och ppm gör man i grunden som vid procenträkning. - ffcerrep*år Skriv i decimalform a) 15 o/oo 12 ppm Losnrng: a) 15 %o : 0,015 o/oo är tusende ar och därfor flyttas decimall(ommat I steg 12 ppm = 0,000 012 ppm är milondelar och därför f lyttas dec malkommat 5 steg flxempe$; a) Hur mycket dtr 36 o/oo av 4,5 ton? Hur många ppm är 2,1 mm av 140 m? Lösning: a) 36o/oo = 0,036 o/oo är tusendelar och därför f yttas decimall(ommat 3 steq 0,036. 4,5 ton = 0,162 ton = 162 kg Svar: 162 kg 140 m = 140 000 mm f,ör orn t samma enhet += - 0,000 015 = i5 ppm ppm är miljondelar och därför flyttas l4o ooo decrma kommat 6 steq Svar: 15 ppm NTVå å 4130 Skriv i decimalform a) 5%o c) 12 500 ppm I20 o/oo d) 82 ppm 4132 Hur mycket är a) I4Voo av 3 500 kr? 8%oavlkg? c) 3,5 ppm av 3,5 miljoner kr? i 4131 Skriv som promille a) 0,0048 c)7 'r000 0,2873 d) 0,61% 4133 Hur många promille är a) 6 kg av 3 ton? 15 m av 2 mil? procento4.l protent och PRoTENTBERÄ<NtN[AR 133
lffiw 4135 Menieres sjukdom är en öronsjukdom som påverkar både hörsel och baians' Det är en ganska ovanlig sjukdom, endast omkring en halv promille av befolkningen insjuknar årligen. Hur miinga personer kan förväntas drabbas av Menieres sjukdom under ett år i en stad med 42 000 invånare? Under en influensaperiod drabbades 8,3 ppm av iandets befolkning av allvarliga foljdsjukdomar. Hur många av landets 17,2 miljoner invånare drabbades? 4136 Martina och hennes kompisar i musikklassen har startat ett band. De har fått en hel del spelningar och eftersom det finns risk att instrumenten skadas när de transporteras bestämmer de sig for att försäkra dern' De ber musikläraren om hjälp att värdera instrumenten och han bedömer att de är värda 35 000 kr. Vad kostar försäkringspremien om 'r.d"äwå # 4137 Skriv den är 12 o/oo tw värdet? a) 0,85 Yoo som PPm 65 000 PPm sonr Promilie c) 3,5 ' 10-5 som PPm 4138 Ordna f'öljande tal i storleksordning' Börja med det minsta. 520 PPm 4,2 o/oo 0'05 % 4140 I ett högspänningslaboratorium bildas ozon, som är en gars med viss giftverkan' Arbetarskyddsstyrelsens gränsvärde för ozon är 0,10 ppm. Hur många kubikcentimeter ozon får högst bildas i ett laboratorium med volymen 3 100 m3? Frida är olycksfallforsäkrad hos ett försäkringsbolag. Årspremien är 1044 kr vilket motsvarar 1, i 6 7oo av försäkringsbeloppet' Hur stort är hennes försäkringsbelopp? 4141 Järn förekornmer i marken där det kan lösas upp av genomströmmande vatten och hamna i grundvattnet. Dricksvatten som innehåller mer än 0,5 mg järn per iiter bör renas' Hur många ppm motsvarar det? En liter vatten väger 1 kg' 4142 När man dricker alkohol tas den upp av kroppen. Alkohoihalten i kroppen kan uppskattas med formeln: alkoholhait (kvinnor) = ffiffi vikt ren alkohol rrlkoholhalt (män) = t -pp**.t.o.os 1 ml aikohol väger 0,78 g' Uppskatta alkoholhalten i Promille a) for en kvinna som väger 70 kg och dricker 0,5 I vin med 12 % alkoholhalt' for en man som väger 70 kg och dricker 0,51vin med 12 % alkoholhalt' c) for en man/kvinna som väger lika mycket som du och dricker tre folköl ä 0,5 I med alkoholhalten2,s o/o.,;ii På vilka tre sätt kan man uttrycka en andel? i:] AtL procenträkning byggetpå tre begrepp. Vilka är dessa och vilket samband finns mellan dem? +;' Kan en andelvara större än roo %? Motivera ditt svar' +j, Ge exempel på sammanhang där begreppen procent, promi[le respektive ppm är tämpligt att använda' # Vitket samband fjnns mellan procent' promi[[e och ppm? prorent o 4.1 PRocENT och PRocENTBERÄl(N NGAR