En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element.

Relevanta dokument
Sådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller från A till B).

En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast finnas om mängderna har samma antal element.

RELATIONER OCH FUNKTIONER

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Dagens teman. Mängdlära forts. Relationer och funktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Definition av de naturliga talen, Peanos axiom.

Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

ARCUSFUNKTIONER. udda. arcsin(x) [-1, 1] varken udda eller jämn udda. arccos(x) [-1, 1] [ 0, π ] arctan(x) alla reella tal π π. varken udda eller jämn

arcsin(x) udda ( x) varken udda eller jämn alla reella tal ( 0, ) 1. y=a 1 x udda/jämn Värdemängd derivatan Definitionsmängd Arcusfunktioner

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära


TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2015 Skrivtid 8:15 12:15

Diskret matematik, lektion 2

MA2047 Algebra och diskret matematik

Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm

Kap. 8 Relationer och funktioner

Uppgifter om funktioner

Stokastiska variabler

e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär

Analys av funktioner och dess derivata i Matlab.

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

Mängder och kardinalitet

Kinesiska restsatsen

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Definitionsmängd, urbild, domän

Relationer och funktioner

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll Lay, kapitel , Linjära ekvationer i linjär algebra

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1


Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

betecknas = ( ) Symmetriska egenskaper hos derivator av andra ordningen. (Schwarzs sats)

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder

Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.

Teorifra gor kap

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Boolesk algebra

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

1 Dimensionsanalys och π-satsen.

SF1625 Envariabelanalys

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Digital elektronik CL0090

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SF1626 Flervariabelanalys

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3

Kappa 1. Robin Kastberg. 10 oktober 2014

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Introduktion till funktioner

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 3

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

= 0 vara en given ekvation där F ( x,

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Mängder, funktioner och naturliga tal

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9

Introduktion till funktioner

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

SF1626 Flervariabelanalys

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016

Vektorgeometri för gymnasister

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

Vektorgeometri för gymnasister

Uppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

x + y z = 2 2x + 3y + z = 9 x + 3y + 5z = Gauss-Jordan elemination ger: Area = 1 2 AB AC = 4. Span(1, 1 + x, x + x 2 ) = P 2.

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

Vektorgeometri för gymnasister

2MA105 Algebraiska strukturer I. Per-Anders Svensson

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Tentamen Optik, FYSA11,

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Diofantiska ekvationer

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Vektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v.

Transkript:

Inversa unktion BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION Allmän terminologi I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en unktion : A B Vi har otast krav att varje element x i A har precis en bild (x) i B och att varje element i B har precis en original i A Sådana avbildningar kallar vi bijektioner En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan innas endast om mängderna har samma antal element Om det inns en bijektion mellan två mängder A, B (ändliga eller oändliga) säger vi att de har lika kardinalitet ( kardinaltal) DEFINITION 1 Låt vara en unktion rån mängden A till B dvs : A B Vi säger att är en bijektiv unktion (eller en bijektion) om öljande gäller: 1 Funktionens deinitionsmängd D är lika med A Ekvationen ( x) = y, ör varje y B, har precis en lösning x A Anmärkning: En bijektiv unktion har inversen - 1 som deinieras enligt öljande: För en given y inns det precis ett x sådant att ( x) = y och därör kan vi deiniera ( y) = x 1 av 8

Inversa unktion Exempel 1 ( Diskret matematik) A och B är mängder med ändligt många element) Bestäm vilka av öljande avbildningar är bijektioner: iii) A B iv) A 4 4 B 4 1 b a 1 A B c b a Svar i) Nej, element 4 i mängden A har ingen bild ii) Nej, element d i mängden B har ingen original iii) Nej, element b har två original-element och iv) Ja, varje element i A har exakt en bild och varje element i B har exakt en original av 8

Inversa unktion DEFINITION 1 INJEKTION Funktionen : A B kallas injektiv om ekvationen ( x) = y, ör varje y B, har högst en lösning x A ( D v s ingen eller en lösning x A) SURJEKTION Funktionen : A B kallas surjektiv om ekvationen ( x) = y ör varje y B, har minst en lösning x A Från deinitionen ramgår öljande: 1 En unktion är injektiv om och endast om olika original har olika bilder dvs x 1 ( 1 x x x ) ( ) En unktion är surjektiv om och endast om gäller V = B En unktion är bijektiv om och endast om den är både surjektiv och injektiv och deinitionsmängd D är lika med A Exempel Bestäm vilken/vilka av öljande avbildningar är en surjektion, injektion, bijektion Svar: i) 1 är varken injektiv eller surjektiv ii) är injektiv men inte surjektiv iii) är surjektiv men inte injektiv iv) 4 är både injektiv och surjektiv och därmed bijektiv ================================= av 8

Inversa unktion INVERSA FUNKTIONER I ANALYSEN När vi betraktar unktioner i envariabel- eller lervariabelanalys har vi avbildningar rån R n till R m En unktion deinieras med hjälp av en regel ( en ekvation ) och unktionens deinitionsmängd Om deinitionsmängd saknas då menas den största möjliga deinitionsmängden I vår kurs betraktar vi reellvärda och vektorvärda unktioner av en eller lera variabler som till exempel 1 z = ( x, y) = x + y + xy, en reell unktion av två variabler r ( t) = ( t, t + 1, t + t), en vektorunktion av tre variabler r F ( x, y) = ( x + x + x + y), en vektorunktion av två variabler som vi kan också deiniera med tre skalära ekvationer u = x + y v = x + y w = x + y Frågan om inversunktion i analysen är lite örenklad (om vi jämör med ovanstående deinitionen i allmän matematik) och reduceras till rågan om det inns bijektion mellan unktionens deinitionsmängd D och värdemängd V dvs om unktionen : D V har inversen Alltså rågan är om ekvationen ( x) = y, ör varje y V, har precis en lösning x D DEFINITION : Låt vara en unktion rån R n till R p med deinitionsmängden D och värdemängden V Vi säger att unktionen är inverterbar om ekvationen, med avseende på, har precis en lösning ör varje givet Genom tillordningen deinieras en unktion rån till Denna unktion kallas inversen till och betecknas 4 av 8

Inversa unktion Enligt deinitionen: ( x) = y ( y) = x dessutom D V = V = D, och Anmärkning Etersom vi tar y rån värdemängden, en lösning dvs y, har ekvationen ( x) = y minst : D V är surjektion Kvar står att kontrollera om unktionen är injektiv d v s ( x) = y att kontrollera om det inns högst en lösning till V --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exempel (en reell unktion av en variabel) Funktionen ( x) = x +, x avbildar intervall D= [, ] på värdemängden V a) Rita graen och bestäm värdemängden V b) Är avbildning : D V bijektiv? c) Är unktionen inverterbar? d) Bestäm om g ( x) = x +, med deinitionsmängden D = [0, ] är inverterbar ( Vi behåller samma ormel men ändrar deinitionsmängden till D = [0, ] ) Lösning: a) Värdemängden till är V=[, 6] b) Vi ser på graen att det inns punkter y ( t ex y=5) sådana att ekvationen ( x) = y har två lösningar som båda ligger i D= [ 1, ] c) Funktionen är inte bijektiv och därmed INTE inverterbar 5 av 8

Inversa unktion d) y = x + x = y x = ± y Formellt har vi ått två lösningar men endast en lösning x = + y ligger i deinitionsområdet D = [0, ] Funktionen g : D g V är inverterbar etersom, g ör varje har ekvationen g ( x) = y precis en lösning i deinitionsmängden D = [0, ] ( y) = + y (där y ligger i V g = [, 6] ) Exempel (En vektorvärd unktion av tre variabel ) Funktionen F( x, = ( x + y + z, y + z, 4 kan också anges med tre skalära ekvationer u = x + y + z, v = y + z, w = 4z a) Är unktionen inverterbar? b) Bestäm inversen i sådant all Lösning: Funktionen är deinierad ör alla ( R x, Låt Y = ( u, vara godtyckligt men ixt vektor Vi undersöker hur många lösningar på X har ekvationen F( X ) = Y där X = ( x, och Y = ( u, Vi löser ekvivalenta systemet med avseende på x, z : x + y + z = u y + z = 4 z = v w 6 av 8

Inversa unktion Alla tre variabler x, z är ledande som medör att systemet med linjära ekvationer har precis en lösning Vi kan även lösa systemet Från den sista ekvationen har vi z = w / 4, rån andra y = v w / 4 och till slut rån örsta har vi x = u v Lösning: x = u v, y = v w / 4, z = w / 4 Alltså, ör varje Y = ( u, rån värdemängden har vi exakt en lösning X = ( x, Därmed är F( x, = ( x + y + z, y + z, 4 en inverterbar unktion Inversen 1 F :V D ges av F ( Y ) = ( u v w / 4, w / 4) Uppgit 1 (En vektorvärd unktion av tre variabel) Låt F ( x, = ( x, z ) Undersök om unktionen är inverterbar och bestäm inversen i sådant all Lösning Låt D och V beteckna unktionens deinitionsmängd resp värdemängd Först måste vi bestämma unktionens deinitionsmängd D etersom den är inte given i uppgiten: På grund av rotuttryck, måste y och z vara 0 ; x kan vara vilket som helst reellt tal, därör D = {( x, R : y 0, z 0} Vi betecknar koordinater i F med u, w och dessutom X = ( x, och Y = ( u, Nu undersöker vi hur många lösningar till F(X)=Y ligger i D (Funktionen F: D V är inverterbar om precis en lösning ligger i deinitionsmängden D ) Vi löser systemet x = u y = v z = w : Från örsta ekvationen har vi x = ± u, y = v och z = w Alltså ör varje Y = (u, i värdemängden V har ekvationen 7 av 8

Inversa unktion F(X)=Y två lösningar X= ( x, = ( ± u, v, w ), som båda ligger i D och därör är unktionen INTE inverterbar Uppgit (Endast en örändring i deinitionsmängden i jämörelse med öregående uppgiten ) Vi betraktar unktionen F ( x, = ( x, z ), med deinitionsmängden D = DF = {( x, R : x 0, y 0, z 0} Undersök om unktionen är inverterbar och bestäm inversen i sådant all Lösning Deinitionsmängden D är given Vi undersöker hur många lösningar till Vi betecknar koordinater i F med u, w och X = ( x, och Y = ( u, Nu undersöker vi hur många lösningar till ekvationen F(X)=Y ligger i D ör en vektor ( punkt, trippel) Y = ( u, som vi tar rån värdemängden V Vi löser systemet x = u y = v z = w : ( Lägg märke till att u, w 0 ) Från örsta ekvationen har vi ormellt två lösningar x = ± u, y = v och z = w men den här gången endast en av dem x = + u, y = v och z = w ligger i D Därmed är unktionen inverterbar och har inversen F ( Y ) = ( u, v, w ) 1 F :V D, där 8 av 8