Självständigt arbete Representationsteori för ändliga supergrupper

Institutionen för naturvetenskap och teknik Självständigt arbete för kandidatexamen i matematik, 15 hp Självständigt arbete Representationsteori för ändliga supergrupper Rasmus Thorsén och Viktor Eriksson Handledare: Jens Fjelstad Examinator: Holger Schellwat

Institutionen för naturvetenskap och teknik Självständigt arbete Representationsteori för ändliga supergrupper Rasmus Thorsén och Viktor Eriksson Juni 217

Abstract This paper is about representations and modules over nite supergroups. Classic representation theory sets the foundation of this paper. We nd that representations over groups and CG-modules over groupalgebras are equivalent, because of this we will study modules over supergroups (SG ρ -modules) by CG-modules. The paper ends in a classication of modules to SG ρ under the constriction that a certain G-representation (V, ρ) is the one-dimensional trivial representation; we recognize, up to isomorphism, all the indecomposable nite dimensional modules. Not all these modules are simple, some are reducible but indecomposable. Sammanfattning Denna uppsats handlar om representationer och moduler över ändliga supergrupper. Klassisk representationsteori lägger grunden för detta arbete. Vi ser att representationer över grupper och CG-moduler över gruppalgebror är ekvivalenta, på grund av detta studerar vi moduler över supergrupper (SG ρ -moduler) genom CG-moduler. Uppsatsen landar i en klassicering av moduler till SG ρ under begränsningen att en viss G-representation (V, ρ) är den endimensionella triviala representationen; vi bestämmer upp till isomor alla ouppdelbara ändligdimensionella moduler. Inte alla dessa moduler är enkla, vissa är reducibla men ouppdelbara.

Innehåll 1 Inledning 3 2 Grundläggande denitioner 4 3 Representationsteori för ändliga grupper 8 4 Teorin för Supergrupper 11 4.1 Supervektorrum.......................... 11 4.2 Superalgebror........................... 12 4.3 Grassmann-algebror....................... 12 4.4 Ändliga supergrupper...................... 13 5 Moduler över ändliga supergrupper 15 5.1 Fallet då dim(v ) = 1....................... 15 5.2 Fallet då dim(v ) = 1 och ρ = 1................. 19 6 Slutsats 24

Kapitel 1 Inledning Denna uppsats börjar i representationsteori för ändliga grupper. I grund och botten handlar representationsteori om att undersöka algebraiska strukturer som t.ex. grupper genom att låta dem verka på vektorrum genom linjära avbildningar, så kallade representationer. Syftet med representationer är att överföra grupper med abstrakt struktur till en undergrupp i den generella linjära gruppen istället. Representationsteori har ett brett utbud av applikationsområden inom matematiken, så som t.ex. Lie grupper och harmonisk analys, men också inom fysiken när man vill undersöka symmetrier. Vi kommer endast att behandla ändligt dimensionella representationer i denna uppsats på grund av avgränsningsskäl, då många satser och denitioner blir mer komplicerade för oändligt dimensionella representationer. 3

Kapitel 2 Grundläggande denitioner Vi kommer här att gå igenom de denitioner och begrepp som lägger grunden till representationsteori för supergrupper. Stora delar av detta är standardmaterial för ringar och dess egenskaper, övergripande delar är hämtade från [2]. Denition 2..1. En verkan av en grupp G på en mängd X är en avbildning a : G X X som uppfyller associativitet och har ett neutralt element e. Vi får alltså följande axiom: a(h, a(g, x)) = a(hg, x), (2.1) a(e, x) = x. (2.2) Detta skriver vi i fortsättningen som att a(g, x) = gx och h(gx) = (hg)x. En gruppverkan denierar alltså för g G en avbildning a(g) : X X där x gx. Denna avbildning är bijektiv eftersom att h.(g.x) = (h.g).x. Om det neutrala elementet är e så är a(g 1 ) inversen till a(g) sådant att a(g)a(g 1 ) = gg 1 x = x. Därför är a(g) en permutation och tillhör mängden Perm(X) av bijektiva avbildningar av X på sig själv. Detta innebär att en gruppverkan a av G på X kan betraktas som en grupphomomor a : G Perm(X). [7] Denition 2..2. Låt V och W vara ändligdimensionella C-vektorrum. Direktsumman V W är vektorrummet där varje element kan skrivas entydigt som en summa, v + w, av element i V och W. Med addition och skalärmultiplikation (v 1 + w 1 ) + (v 2 + w 2 ) = (v 1 + v 2 ) + (w 1 + w 2 ), (2.3) c(v + w) = cv + cw, c C. (2.4) 4

Denition 2..3. Låt V och W vara C-vektorrum. Tensorprodukten V W är i sig självt ett vektorrum där varje element är en linjärkombination av element v w, där v V och w W. Element i tensorprodukten har följande relationer: där α, β C. [5] (αv 1 + βv 2 ) w = α(v 1 w) + β(v 2 w), (2.5) v (αw 1 + βw 2 ) = α(v w 1 ) + β(v w 2 ). (2.6) Denition 2..4. En ring R utgörs av en mängd och två binära operationer + och där (R, +) är en abelsk grupp. Operationen är associativ och distributiv a (b c) = (a b) c, (2.7) (a + b) c = (a c) + (b c), a, b, c R, (2.8) a (b + c) = (a b) + (a c), a, b, c R. (2.9) En ring kallas kommutativ om multiplikationen är kommutativ. En ring har ett neutralt element 1 R R om det uppfyller 1 R a = a 1 R = a, a R. Om R har ett neutralt element så är det unikt. [2] Notera att en ring inte nödvändigtvis behöver innehålla en multiplikativ invers eller för den delen ett multiplikativt neutralt element. Hädanefter när vi pratar om invers eller neutralt element till R så menas det för det multiplikativa operationen. Om en ring har ett multiplikativt neutralt element 1 R och en invers för varje element så kallar vi den ringen för en divisionsring eller en skev kropp. [6] Denition 2..5. En kropp k är en kommutativ divisionsring. Denition 2..6. Låt k vara en kropp. En k-algebra är ett k-vektorrum med en k-linjär associativ multiplikation och ett neutralt element. Denition 2..7. Låt R vara en ring. En vänstermodul M över R är en abelsk grupp tillsammans med en gruppverkan av R på M sådant att R M M skrivet som rm, där m, n M och r, s R gäller (rs)m = r(sm), r(m + n) = rm + rn. Om R har ett neutralt element kräver vi att 1 R m = m, m M. 5

Vi kommer i denna uppsats endast behandla vänstermoduler, så när vi beskriver något som en modul så menas att det är en vänstermodul. Analogt är en högermodul sådan att M R M. [2] Anmärkning 2..8. En modul över en kropp k är ett vektorrum. En modul över en k-algebra A är ett k-vektorrum med en verkan A M M. Denition 2..9. Låt M och N vara moduler över en ring R. En modulmor är en funktion f : M N sådant att x, y M, r R. f(x + y) = f(x) + f(y), (2.1) rf(x) = f(rx), (2.11) Denition 2..1. Låt k vara en kropp och G en grupp. Gruppalgebran kg är k-algebran på vektorrummet fritt genererat av G (d.v.s. med bas G), och har sin multiplikation given av gruppmultiplikationen. Betrakta två element: x = g G a g g, y = g G b g g, x, y kg. (2.12) Då gäller det att xy = g,h G a g b h gh. (2.13) Denition 2..11. Om M är en modul över en ring R och N är en delgrupp till M, då kallar vi N för en delmodul till M om n N, r R : rn N (2.14) Observera att {} M är en delmodul kallad nollmodulen. Denition 2..12. Låt M vara en modul över en ring R. Om N är en delmodul till M så kan man deniera en ny modul N på kvotgruppen M/N. N får verkan r(a + N) = ra + rn = ra + N, r R, a M/N. (2.15) Den andra likheten följer eftersom N är en delmodul. Vi kallar då N för kvotmodul. Denition 2..13. En modul M kallas enkel om den inte har några icketriviala delmoduler. D.v.s. M har endast två delmoduler, sig själv och nollmodulen. Anmärkning 2..14. Om ϕ : M N är en modulmor så är både ker{ϕ} och Im{ϕ} delmoduler till N. 6

Sats 2..15. Schur's Lemma Om M och N är två enkla moduler över en ring R, då är alla modulmorer ϕ : M N antingen isomorer eller noll. Bevis. Vi antar att för något m M : ϕ(m) Im{ϕ} Im{ϕ} är en nollskild delmodul till N Im{ϕ} = N, eftersom N är en enkel modul. Detta leder till att ker{ϕ} = vilket visar att ϕ är en isomor. [4] 7

Kapitel 3 Representationsteori för ändliga grupper En representation ρ av G på V är en grupphomomor ρ : G GL(V ). GL(V ) är den så kallade generella linjära gruppen. Det är en grupp som är isomorf med gruppen av alla inverterbara (n n)-matriser till V (dim(v ) = n). Genom att välja en bas för V kan vi representera varje element i GL(V ) med en inverterbar matris. Varje val av bas ger därför en sådan isomor. [7] Denition 3..1. En linjär representation ρ av G på ett komplext vektorrum V är en verkan på V vilken bevarar den linjära strukturen, det vill säga att ρ(g)(v 1 + v 2 ) = ρ(g)v 1 + ρ(g)v 2, v 1,2 V, (3.1) ρ(g)(kv) = kρ(g)v, k C, v V. (3.2) Denition 3..2. Direktsumman av två representationer (V 1, ρ 1 ) och (V 2, ρ 2 ) utgör rummet V 1 V 2 med gruppverkan ρ 1 ρ 2, d.v.s. (ρ 1 ρ 2 )(g) : v 1 + v 2 ρ 1 (g)(v 1 ) + ρ 2 (g)(v 2 ). (3.3) Denition 3..3. Tensorprodukten av två representationer (V 1, ρ 1 ) och (V 2, ρ 2 ) blir ρ 1 ρ 2 : G GL(V 1 V 2 ) där (ρ 1 ρ 2 )(g) = ρ 1 (g) ρ 2 (g), g G. (3.4) Denition 3..4. Om (V, ρ) är en representation över en grupp G och W är ett delvektorrum till V, då kallar vi (W, ρ) för en delrepresentation till (V, ρ) om w W, g G : ρ(g)w W. (3.5) Denition 3..5. En representation kallas irreducibel om den inte har invarianta delrum, bortsett från det triviala invarianta delrummet {} och hela rummet. En representation kallas fullständigt reducibel om den kan uttryckas som en direktsumma av irreducibla delrepresentationer. 8

Sats 3..6. Varje G-representation ρ : G GL(V ) denierar en modul över gruppalgebran kg. Omvänt har vi även att varje kg-modul denierar en G-representation. Bevis. Representationen denierar en vänstermodul enligt regeln ( c g g)v = c g (ρ(g)v) v V, c k. g G g G och kg-modulen denierar en G-representation eftersom vi vet att det existerar ett ρ 1 för varje g G, tack vare associativitet hos gruppverkan får vi då ρ 1 (ρ(g)v) = ρ 1 (ρ(gv)) = gv. Anmärkning 3..7. Om vi nu tittar på CG, som är gruppalgebran över kroppen C så följer av sats 3..6 att en representation av gruppen G kan uttryckas som en modul över gruppalgebran CG och vice versa. Vi kan alltså i varje situation välja fritt mellan dessa beskrivningar. [7] Sats 3..8. Maschke's sats Låt G vara en ändlig grupp och k en kropp vars karakteristik inte delar ordningen av G, då är varje G-representation fullständigt reducibel. Bevis. Vi skriver om G-representationen som en KG-modul enligt sats 3..6, där karakteristiken till kroppen k inte delar ordningen av G. Låt M vara en kg-modul där dim(m) <. Det enda som behövs nu är att visa att en delmodul N av M är en komponent i en direktsumma till M. Eftersom M är ett vektorrum kan vi skriva M = N L, där L är ett delrum till M men inte nödvändigtvis en delmodul. Låt nu ϕ vara en linjär avbildning ϕ : M N. Vi skapar en ny linjär avbildning ϕ : M M sådan att: ϕ (α) = 1 G x 1 ϕ(xα). (3.6) x G Då är även ϕ en mor av kg-moduler. Om α M och g G får vi följande: g 1 ϕ (gα) = 1 g 1 x 1 ϕ(xgα) G x G = 1 y 1 ϕ(yα) (3.7) G = ϕ (α). Vi har nu att ϕ : M N eftersom ϕ : M N och N är en delmodul till M. Det gäller nu även att om α N ϕ(xα) = xα och enligt (3.6) har vi att ϕ (α) = α och ϕ = (ϕ ) 2. Alltså är ϕ en modulmor från M till N och M = N ker(ϕ ). [4] 9 y G

För en ändlig grupp G kan man klassicera alla irreducibla representationer upp till isomor, det går att göra genom att till exempel undersöka representationernas karaktärer och karaktärstabeller. Vi kommer inte att gå igenom detta särskilt djupt i denna uppsats. Denition 3..9. Karaktären av en representation ρ till en grupp G över en kropp k är en funktionen χ : G k denierad som. χ(g) = Trace(ρ(g)). (3.8) Det går att visa att isomorfa representationer har samma karaktär. Kortfattat så är en karaktärstabell en tvådimensionell tabell där varje rad är en irreducibel karaktär och varje kolumn är en konjugatklass till G. Anmärkning 3..1. Antalet konjugatklasser till G är detsamma som antalet isomorklasser till ρ. Om vi reducerar en representation blir det nödvändigt att undersöka alla dessa isomorklasser. Denition 3..11. Vi denierar {U i } i I, I = {1, 2,..., k}, där k är antalet konjugatklasser av G, som en fullständig mängd av parvist icke-isomorfa enkla CG-moduler (irreducibla G-representationer). Anmärkning 3..12. Man kan visa att CG U dim(u 1) 1 U dim(u 2) 2... U dim(u k) k. 1

Kapitel 4 Teorin för Supergrupper Supergrupper är en generalisering av vanliga grupper. De är mycket lika i sin struktur med den skillnaden att en supergrupp delar upp sina element som antingen jämna eller udda utefter de regler som deneras nedan. 4.1 Supervektorrum Supervektorrum byggs upp utifrån kvotgruppen Z/2Z. Denna är en cyklisk grupp av ordning två. Denition 4.1.1. Ett supervektorrum V är ett Z/2Z-graderat vektorrum. Alltså ett vektorrum som kan skrivas på formen V = V V 1. Ett homogent element v V är ett element som antingen tillhör V eller V 1. Här menas att (homogena) vektorer v V är jämna och vektorer v V 1 är udda. Vi skapar nu en notation v som vi kallar pariteteten av v, då v är homogent. Där v = om v V och v = 1 om v V 1. Denition 4.1.2. En mor mellan två supervektorrum är en linjär avbildning som bevarar Z/2Z-graderingen. D.v.s. om vi har två supervektorrum V och W och en linjär avbildning f : V W så ska det gälla att f(v ) W och f(v 1 ) W 1. Denition 4.1.3. Tensorprodukten mellan två supervektorrum V W = (V W ) (V W ) 1 är supervektorrummet med jämna och udda delrum (V W ) = V W V 1 W 1, (4.1) (V W ) 1 = V 1 W V W 1. (4.2) 11

4.2 Superalgebror Denition 4.2.1. En superalgebra är ett supervektorrum V med en associativ multiplikation och ett neutralt element, sådant att vw V v + w, för homogena element i v, w V. Det är alltså ungefär samma struktur som för vanliga algebror med den skillnad att man ersätter vektorrummet med ett supervektorrum. En superalgebra är alltså en algebra på ett supervektorrum som dessutom uppfyller v, w V vw V, (4.3) v, w V 1 vw V, (4.4) v V, w V 1 vw V 1, (4.5) v V 1, w V vw V 1. (4.6) Denition 4.2.2. En superalgebra är kommutativ om vw = ( 1) v w wv för alla homogena element v, w V. Notera här att multiplikationen av pariteterna v w antingen är eller 1. Vi får en situation där v w = om åtminstone ett av elementen v, w V vilket leder till att vw = wv. Om både v och w V 1 får vi istället v w = 1 vilket leder till att vw = wv. Det är även värt att notera att om v V 1 vv = vv v 2 =. [1] Proposition 4.2.3. Det jämna delrummet A i en superalgebra A är slutet med avseende på multiplikation. Det bildar därför en associativ algebra med neutralt element 1 A A. Bevis. Det följer av denition 4.2.1 att multiplikationen blir associativ och sluten. Tack vare denition 4.2.2 blir det trivialt att det neutrala elementet tillhör A. 4.3 Grassmann-algebror Grassmann-algebra, även kallat yttre algebra, är en speciell klass av kommutativ superalgebra som är nödvändig för att kunna konstruera supergrupper. Låt V 1 vara ett udda supervektorrum med baselementen ζ i, i = 1,...n. Vi beteckar med Λ(V 1 ) Grassmann-algebran av V 1. Denition 4.3.1. Λ(V 1 ) är superalgebran av polynom av element i V 1 där dessa element antikommuterar, d.v.s. ζ i ζ j = ζ j ζ i. Vi kommer ange här nedan vilka element ingår i de udda och jämna delrummen. Anmärkning 4.3.2. Om dim(v 1 ) = n dim(λ(v 1 )) = 2 n. Vi har alltså 2 n baselement. 12

Exempelvis, om V 1 har 3 basvektorer {ζ 1, ζ 2, ζ 3 }. Vektorerna {1, ζ 1, ζ 2, ζ 3, ζ 1 ζ 2, ζ 1 ζ 3, ζ 2 ζ 3, ζ 1 ζ 2 ζ 3 } utgör då en bas för Λ(V 1 ). Elementen i Λ(V 1 ) beskrivs som linjärkombinationer av dessa basvektorer. Ett godtyckligt element θ kan skrivas som θ = α () + α (1) i 1 ζ i1 + α (2) i 1 i 2 ζ i1 ζ i2 +... + α (n) i 1,i 2,...,i n ζ i1 ζ i2...ζ in i 1 i 1 <i 2 i 1 <i 2 <...<i n Där koecienterna α (m) i 1,...,i m C, m n. (4.7) Vi vill nu specisera den jämna och udda delen i Λ(V ). Dela upp ett godtyckligt element θ som θ = θ + θ 1, där: θ = α () + i 1 i 2 ζ i1 ζ i2 + i 1,i 2,i 3,i 4 ζ i1 ζ i2 ζ i3 ζ i4 +... (4.8) i 1 <i 2 α (2) i 1 <i 2 <i 3 <i 4 α (4) θ 1 = i 1 α (1) i 1 ζ i1 + i 1 <i 2 <i 3 α (3) i 1,i 2,i 3 ζ i1 ζ i2 ζ i3 +... (4.9) Där θ är ett jämnt element och θ 1 är ett udda element, d.v.s. θ 1 = θ (Λ(V 1 )), θ = θ (Λ(V 1 )) 1. Det är enkelt att se att multiplikationen av element i Λ(V 1 ) uppfyller kraven för en superalgebra, d.v.s. ekvationerna (4.3-4.6). Eftersom multiplikation mellan polynom är associativ så blir även multiplikationen i Grassmannalgebran associativ, på grund av antikommutativit försvinner alla polynom av grad högre än dim(λ(v 1 )) enlligt denition 4.2.2. [8] 4.4 Ändliga supergrupper Låt q Λ(V 1 ), g G och ρ(g) utgöra en representation på V. Då är ρ(g) en representationsmor på Λ(V 1 ) sådant att ρ(g)q Λ(V 1 ) genom att ρ(g) är en permutationsavbildning på baselementen i q. Då blir ρ en representationsmor på Λ(V 1 ) via ρ(g)(v 1 v 2 v m ) := (ρ(g)v 1 )(ρ(g)v 2 ) (ρ(g)v m ), och ρ(g)1 = 1. Denition 4.4.1. Låt G vara en ändlig grupp och (ρ, V ) en CG-modul, där V är ett udda supervektorrum. Supergruppen SG ρ är en superalgebra på supervektorrummet: SG ρ = Λ(V ) CG (4.1) med multiplikation där g, h G och p, q Λ(V ). [3] (p g) (q h) = p(ρ(g)q) gh (4.11) 13

Om V är endimensionellt får vi: V = {zζ z C} (4.12) där ζ är ett baselement till V. Grassmann-algebran blir då: där Λ(V ) = {zζ + wζ z, w C} (4.13) Λ(V ) = {zζ } C (4.14) Λ(V ) 1 = {wζ} = V (4.15) med den multiplikation av polynom som denierats i kapitel 4.3. För att kunna säga något om dimensionen till supervektorrummet SG ρ nner vi det lämpligt att införa en beteckning för baselement till SG ρ. För V, sådant att dim(v ) = 1, spänns SGρ upp av baselementen där ɛ {, 1} och g G Multiplikationen mellan baselement blir följande: b ɛ,g = ζ ɛ g (4.16) b,g b,h = b,gh (4.17) b,g b 1,h = ρ(g)b 1,gh (4.18) b 1,g b,h = b 1,gh (4.19) b 1,g b 1,h =. (4.2) Vi har här att det neutrala elementet i algebran är 1 CG = b,e och den jämna delalgebran blir CG, eftersom multiplikationen av baselement är densamma som i gruppalgebran. Det gäller att (SG ρ ) = span C {b,g g G} och (SG ρ ) 1 = span C {b 1,g g G}. 14

Kapitel 5 Moduler över ändliga supergrupper Vi vill nu beskriva vilka moduler en ändlig supergrupp kan ha. Vi väljer att begränsa oss i valet av supergrupper i två steg. I första steget kräver vi att dim(v ) = 1, i det andra steget kräver vi dessutom att representationsmor- smen ρ = 1. Man kan betrakta en representation över en ändlig supergrupp som en som en modul över motsvarande superalgebra, i enlighet med sats 3..6. Denition 5..1. Låt A vara en superalgebra. En modul M över A är ett supervektorrum tillsammans med en verkan av A på M. Alltså en morsm σ : A M M som uppfyller associativitet enligt denition 2..7. D.v.s. om vi använder notationen σ(a m) = am så gäller a(bm) = (ab)m, a, b A och 1 A m = m, m M. Anmärkning 5..2. Om M är en A-modul så är M och M 1 båda A -moduler. 5.1 Fallet då dim(v ) = 1 Om M är en SG ρ -modul följer det från anmärkning 5..2 att M och M 1 är CG-moduler. Här nedan följer en karakterisering av SG ρ -moduler i termer av CG-moduler och modulmorer av sådana. Detta kommer att bli användbart eftersom vi då kan använda representationsteorin för ändliga grupper till att förstå moduler över ändliga supergrupper. Låt M vara en SG ρ -modul. Verkan av ett udda element b 1,g kan med hjälp av ekvation (4.18) skrivas som b 1,g m := ρ(g 1 )b,g b 1,e m. (5.1) Så om vi vet hur b 1,e verkar på M vet vi hur alla b 1,g verkar på M. Det är mot bakgrund av denna aspekt som vi väljer följande denition. 15

Denition 5.1.1. Låt M vara en modul över ett ändligt supervektorrum SG ρ med dim(v ) = 1. Låt ϕ : M M 1 och ψ : M 1 M vara de linjära avbildningarna denierade av ϕ(m) = b 1,e m och ψ(m) = b 1,e m. Eftersom produkten av två udda element blir noll gäller det att ϕ ψ =, (5.2) ψ ϕ =. (5.3) Från egenskaperna hos multiplikation i SG ρ följer även att b,g ϕ(m) = ρ(g)ϕ(b,g m), m M, (5.4) b,g ψ(m) = ρ(g)ψ(b,g m), m M 1. (5.5) Sats 5.1.2. En modul M av en ändlig supergrupp SG ρ med dim(v ) = 1 består av ett par M, M 1 av CG-moduler tillsammans med två linjära avbildningar ϕ : M M 1, ψ : M 1 M som uppfyller ekvationerna 5.2 till 5.5 ovan. Bevis. Vi har visat att varje SG ρ -modul M ger upphov till denna struktur, vi ska nu visa att varje sådan struktur denierar en SG ρ -modul. Vi denierar M = M M 1 som SG ρ -modul. Det återstår att deniera hur (SG ρ ) 1 verkar på M samt att visa att denna verkan uppfyller ekvationerna 5.2 till 5.5. Om m M låt då b 1,e m := ϕ(m), medan om m M 1 låt b 1,e m := ψ(m). För ett element m = m +m 1 utökar vi verkan av b 1,e sådant att b 1,e m := b 1,e m + b 1,e m 1. Vi denerar också verkan av b 1,g på m M genom b 1,g m := ρ(g 1 )b,g b 1,e m. För att bevisa detta verkligen är en verkan behöver vi visa att α(βm) = (αβ)m där α och β är baselement i SG ρ, m M. Enligt denition för gruppverkan blir det uppenbart att om α, β (SG ρ ) så är detta uppfyllt. Det som behöver verieras är att det även är uppfyllt i de tre fallen då: Fall 1: α (SG ρ ), β (SG ρ ) 1 (5.6) Vi har här α = b,g och β = b 1,h och vill alltså visa att b,g (b 1,h m) = (b,g b 1,h )m. Vi börjar med vänsterledet: V L = b,g (b 1,h m) = b,g (ρ(h 1 )b,h b 1,e m) (enl. def. för verkan av baselement.) = b,g (ρ(h 1 )b,h ψ(m)) (Låt säga att m M 1.) = b,g (ρ(h 1 )ρ(h)ψ(b,h m)) (enl. ekvation (5.5).) = b,g ψ(b,h m) = ρ(g)ψ(b,gh m). (5.7) 16

Högerledet i sin tur blir: HL = (b,g b 1,h )m = (ρ(g)b 1,gh )m = ρ(g)b 1,gh m = ρ(g)(b 1,e b,gh m) = ρ(g)(ρ(g 1 )b,gh b 1,e m) = b,gh ψ(m) = ρ(g)ψ(b,gh m). (5.8) HL = V L. Observera att det inte spelar någon roll om m är udda eller jämn, ekvationerna blir snarlika eftersom både ϕ och ψ följer samma räkneregler. Fall 2: α (SG ρ ) 1, β (SG ρ ) (5.9) Vi har här α = b 1,g och β = b,h och vill alltså visa att b 1,g (b,h m) = (b 1,g b,h )m. Vi börjar med vänsterledet V L = b 1,g (b,h m) = b,g (b 1,e (b,h m)) = b,g (ψ(b,h m)) (återigen, låt m M 1.) = b,g (b,h ψ(m)) = (b,g b,h )ψ(m) = b,gh ψ(m) = b,gh (b 1,e m) = b 1,gh m. (5.1) Högerledet i sin tur blir: HL = (b 1,g b,h )m = b 1,gh m. (5.11) HL = V L. Fall 3: α (SG ρ ) 1, β (SG ρ ) 1 (5.12) Vi har här α = b 1,g och β = b 1,h och vill alltså visa att b 1,g (b 1,h m) = (b 1,g b 1,h )m. Det är enkelt att se att denna likhet gäller eftersom att resultatet alltid blir noll när man verkar med ett udda element två gånger enligt (5.2) och (5.3). 17

Vi har nu visat att två CG-moduler som uppfyller kriterierna i sats 5.1.2 tillsammans skapar en SG ρ -modul Denition 5.1.3. Låt M och N vara två SG ρ -moduler. En modulmor φ från M till N är en mor av supervektorrum φ : M N som kommuterar med verkan av SG ρ. Alltså a SG ρ, m M : aφ(m) = φ(am). Om φ dessutom är inverterbar så kallas avbildningen en isomor. Denition 5.1.4. Låt M och M 1 vara två CG-moduler. Låt ϕ =, ψ =. Detta denerar en SG ρ -modul. Låt S + i vara det fall där M = U i och M 1 = {}. Låt S i vara det fall där M = {} och M 1 = U i. Dessa moduler kan illustreras som S i + : U i {} Si : {} U i. Denition 5.1.5. Direktsumman M N av två SG-moduler blir en SG ρ - modul med verkan ρ M ρ N. Anmärkning 5.1.6. Om vi har två SG ρ -moduler M och N ϕ M ϕ N M : M M 1 och N : N N 1 ψ M ψ N så blir direktsumman M N en SG ρ -modul som avbildas enligt: ϕ M ϕ N M N : M N M 1 N 1. ψ M ψ N Lemma 5.1.7. Låt X vara en godtycklig CG-modul och låt S + X vara SG ρ- moduler sådana att S + X : X {} Om vi har X = i I U n i i som CG-modul, så får vi S + X = i I(S i + ) n i som SG ρ -modul. Analogt har vi att även S X = i I(Si ) n i som SG ρ -modul. 18

Denition 5.1.8. En SG ρ -modul M är enkel om den inte innehåller några icke-triviala äkta delmoduler. En trivial modul är en modul vars underliggande vektorrum är nollrummet {}. En delmodul är ett delvektorrum som är invariant under SG ρ -verkan. Därför är exempelvis S ± i, i I enkla. Lemma 5.1.7 säger oss att om en CG-modul X är direktsumma av enkla CG-moduler så kan S ± X skrivas som en direktsumma av enkla SG ρ -moduler. Det följer även av lemma 5.1.7 att S ± X alltid är fullständigt reducibel. 5.2 Fallet då dim(v ) = 1 och ρ = 1 Vi betecknar SG ρ där ρ = 1 som SG. Så långt kommet i denna uppsats, är vi nu redo att formulera vår huvudsats, vilken föregående teori lagt till grund för. Vi kommer längre fram i detta kapitel att deniera en uppsättning ouppdelbara SG-moduler T ± i. Sats 5.2.1. Låt G vara en ändlig grupp och I är en mängd uppsättningar av gemensamt icke-isomorfa CG-moduler. Då kan varje ändligdimensionell modul över SG skrivas som en direktsumma av ett ändligt antal SG-moduler av strukturen {S i ±, T i ± i I}. Beviset till denna sats delas upp i fyra lemman. ρ = 1 ger följande: Ekvation 5.4 blir nu: b,g ϕ(m) = ϕ(b,g m), m M (5.13) Ekvation 5.5 blir nu: b,g ψ(m) = ψ(b,g m), m M 1 (5.14) 5.13 och 5.14 är nu morer av CG-moduler. Denition 5.2.2. Låt X vara en CG-modul. Låt M = X, M 1 = X, ϕ = id M och ψ =. Detta denierar en SG-modul T + X. Om vi istället sätter ϕ = och ψ = id M får vi T X. Om X = U i använder vi notationen T i ±. Denition 5.2.3. En modul kallas ouppdelbar om den inte kan skrivas som en direktsumma av två delmoduler. Lemma 5.2.4. T ± i är reducibel men ouppdelbar 19

Bevis. För varje i I har vi SG-modulerna T i + id : U i U i S i är ett delvektorrum till T + i S i : {} eftersom {} U i & U i U i S i T + i. Detta delrum är dessutom invariant under verkan av udda element. Båda modulmorerna är noll i diagrammet. Detta medför att Si är en invariant delmodul till T i +, d.v.s. T i + är reducibel. Låt u + v T i + \S i vara ett element där u är jämnt och v är udda (u U i \{}). Vi får då b 1,e (u + v) = ϕ(u) + ψ(v) = id Ui (u) + (v) = u + Si. Vi har alltså att alla element i T i + som inte tillhör Si avbildas in i Si av b 1,e, detta innebär att T i + inte kan skrivas som en direktsumma av Si och någon annan SG-modul. Alltså är T i + reducibel men ouppdelbar för varje i I. Man kan visa detta på samma sätt för S i + Ti. U i Lemma 5.2.5. En modulmor Φ : M N av SG-moduler M och N består av ett par av modulmorer φ : M N och φ 1 : M 1 N 1 av CG-moduler, sådana att följande diagram kommuterar. M ϕ M M 1 M ψ M M 1 φ φ 1 N ϕ N N 1 φ N N 1 ψ N φ 1 Vi säger att Φ är en isomor om både φ och φ 1 är isomorer av CGmoduler. Med kommuterande diagram menar vi att φ 1 ϕ M = ϕ N φ, (5.15) φ ψ M = ψ N φ 1. (5.16) För att kunna klassicera SG-moduler är det nödvändigt att känna till vilka moduler som är isomorfa. Som ett viktigt led i detta ska vi visa att om X och Y är isomorfa CG-moduler så följer att S ± X och S± Y respektive T ± X och T ± Y är isomorfa SG-moduler. Framförallt, om X i IU n i i så är S ± X i I(S i ± ) n i. Lemma 5.2.6. Låt X, Y, Z vara parvis isomorfa CG-moduler och låt ξ : X Y och Ω : Y X vara modulisomorer. Denera SG-modulerna T +,ξ X,Y och T,Ω X,Y som T +,ξ X,Y : X ξ Y T,Ω X,Y : X Ω Y 2

Vi får då att: T +,ξ X,Y : X ξ Y T + id Z : Z Z T,Ω X,Y : X Y T Z : Z Ω id Z Bevis. Låt Φ = id X och Φ 1 = ξ 1. Detta par denierar en isomor av SG-moduler från T +,Φ X,Y till T + X. X Φ =id X X ξ id X Y X Φ 1 =ξ 1 Där X avbildas till X genom Φ och Y avbildas till X genom Φ 1. Nu har visat att T +,Φ X,Y T + X. Det återstår att visa att T + X T + Z. Vi låter η : X Z vara en modulisomor, då denierar Φ = η = Φ 1 en isomor av SG-moduler från T + X till T + Z. Vi får: η X Z id X id Z Transitivitet hos isomor ger oss T +,Φ X,Y T + Z. Lemma 5.2.6 innebär att om X Z η X i I (U i ) n i (5.17) så får vi att: T ±,Φ X,Y i I(T ± i ) n i. (5.18) Vi låter nu M vara en modul sådan att ϕ M : M M 1 ψ 21

och sätter K = ker(ϕ), K 1 = ker(ψ), L = Im(ψ), L 1 = Im(ϕ). Där L K och L 1 K 1. Vi denierar en SG-modul M ϕ M : K /L L M /K K 1 /L 1 L 1 M 1 /K 1 ψ och en SG-modul M ϕ M : L M /K L 1 M 1 /K 1 ψ Man kan här se, tack vare denition 5.1.5 att M S + K /L S K 1 /L 1 M. Lemma 5.2.7. Det existerar en isomor M S K 1 /L 1 S + K /L M Bevis. Vi ska alltså visa att M M. Vi börjar med att denera en isomor Φ : M M av SG-moduler. Första steget för att konstruera Φ är att deniera två isomorer av CG-moduler Detta kan illustreras som φ : M K /L L M /K, (5.19) φ 1 : M 1 K 1 /L 1 L 1 M 1 /K 1. (5.2) ϕ M M 1 ψ φ φ 1 ϕ M M 1 ψ Enligt lemma 5.2.5 behöver vi nu bara visa att diagrammen till φ och φ 1 kommuterar enligt ekvationerna (5.15) och (5.16). Vi kan beskriva delmodulerna på följande vis: d.v.s M = K K M 1 = K 1 K 1 K = L L K 1 = L 1 L 1 M = L L K M 1 = L 1 L 1 K 1 Modulerna L, L 1, K, K 1 är inte entydigt bestämda. Men vi har följande L K /L L 1 K 1 /L 1 K M /K K 1 M 1 /K 1 22

Nu introducerar vi följade f : L K /L f 1 : L 1 K 1 /L 1 g : K M /K g 1 : K 1 M 1 /K 1 Där f är den kanoniska surjektionen från K till K /L när vi begränsar oss till L. Låt på samma vis låt g vara den kanoniska surjektionen från M till M /K när vi begränsar oss till K. Detta gäller på samma sätt för f 1 och g 1. f, f 1, g och g 1 är isomorer. Vi denierar nu φ id L f g, vilket ger förljande avbildning f id L g φ : (L L K ) (K /L L M /K ) Detta är givetvis analogt för φ 1. För att visa att φ och φ 1 faktiskt utgör en modulisomor Φ : M M behöver vi nu bara visa att φ 1 ϕ = ( ϕ) φ (5.21) φ ψ = ( ψ) φ 1 (5.22) Vi börjar med ekvation 5.21. Om x L L får vi (φ 1 ϕ)(x) = = (( ϕ) φ )(x) eftersom L L = ker(ϕ). Om x K får vi (φ 1 ϕ)(x) = ϕ(x) (( ϕ) φ )(x) = ϕ(g (x)) = ϕ(x) Eftersom g : K M /K och ϕ : M /K M 1 /K 1. Ekvation 5.22 visar på samma sätt som ovan. φ och φ 1 uppfyller nu kraven givna i lemma 5.2.5 vilket i sin tur leder till att Φ är en isomor. Vi är nu klara eftersom M S + K /L S K 1 /L 1 M. Vi har per denition att M = T +,ϕ M /K,L 1 T,ψ L,M 1 /K 1. Om vi nu låter M /K i I (U i ) p i, M 1 /K 1 i I (U i ) q i, så får vi enligt lemma 5.2.6 att M i I (T i + ) p i i I (Ti ) q i. Av lemma 5.2.7 följer det då att en modul M kan dekomposeras i en direktsumma av moduler av strukturen S i ± och T i ±. Bevis av sats 5.2.1: Satsen följer nu direkt av lemman 5.1.7, 5.2.5, 5.2.6 och 5.2.7. 23

Kapitel 6 Slutsats Målet med denna uppsats har varit att säga så mycket som möjligt om representationsteorin för ändliga supergrupper. Vi har försökt att hitta en allmän egenskap eller regel hos moduler över supergrupper. Som alltid med de esta problem inom matematiken, får man börja med ett förenklat problem. De förenklingar vi gjort utgörs av begränsningar i vilka SG ρ -moduler vi valt att studera. För vi har i slutet av denna uppsats enbart kunnat säga något om de SG ρ -moduler av begränsad dimension och konstant representationsmor-. Med dessa restriktioner vi lyckats säga något allmänt om moduler över supergrupper via beviset av sats 5.2.1. 24

Litteraturförteckning [1] Private discussions with Jens Fjelstad. [2] David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract algebra, 3rd ed.,john Wiley & Sons Inc., 24. [3] B. Kostant, Graded manifolds, graded Lie theory, and prequantization, Di. geom. meth. Math. Phys., Proc. Symp. Bonn 1975, Lect. Notes Math. 57 (1977), s.177-36. [4] Derek J.S. Robinson, A Course in the theory of groups, 2nd ed., Springer New York, 1996. [5] Barry Simon, Representations of nite and compact groups, American Mathematical Society, 1996. [6] Per-Anders Svensson, Abstrakt algebra, Studentlitteratur AB, 21. [7] Constantin Teleman, Lecture notes of Representation theory, 25, https://math.berkeley.edu/~teleman/math/repthry.pdf. [8] Franz Wegner, Supermathematics and its applications in statistical physics, Springer Verlag Berlin och Heidelberg GmbH & Co., 216. 25