Grundläggande HÅLLFASTHETSLÄRA av Sture Lönnelid Rune Norberg Stiftelsen Kompendieutgivningen Warfvinges väg 32 112 51 STOCKHOLM Tel: 08-84 08 26 Fax: 08-658 68 46 E-post: komp.ut@grandocean.se Fjärde upplagan 2009 Författarna ISBN 91-7582-168-0 Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering är förbjuden utöver vad som anges i avtalet om kopiering i skolorna (UFB 4).
Innehåll Sida Hållfasthetslära, allmänt 4 Dragning Spänningslagen 6 Töjning 11 Dragprovet, Hookes lag 14 Tillåten spänning 20 Materialbeteckningar 21 Skjuvning Spänningslagen 26 Limförband 27 Svetsförband 28 Nitförband 30 Stansning 32 Böjning Spänningslagen, böjmotstånd 35 Tröghetsmoment 41 Steiners sats 46 Tvärkraft- och momentdiagram 53 Nedböjning 64 Vridning Spänningslagen 71 Effekt, moment och varvtal 77 Deformation vid vridning 82 Sammansatta Spänningar med samma riktning 87 spänningar Spänningar med olika riktning 91 Knäckning Eulers knäckformel 95 Knäckningsdiagram 100 Kälverkan och Kälverkan 106 utmattning Utmattning 110 Svar 114
FÖRORD till fjärde, omarbetade upplagan. Detta läromedel är avsett att användas som en startkurs inom hållfasthetslära för att ge en bred överblick inom området och förutsätter bara elementära kunskaper i mekanik. Läromedlet är framtaget för att användas antingen separat i klassrumsundervisning eller som kärnläromedel i distansbaserad utbildning. För detta ändamål finns en DVD med föreläsningar till hela kursen i videoformat (.wmv) samt lösningar till alla uppgifter i pdf-format. Mer information om dessa distanshjälpmedel finns på www.rntab.se. Läromedlet hette tidigare Teknologi Hållfasthetslära men har nu bytt namn. Innehållsmässigt bygger det på upplaga 3 av Teknologi Hållfasthetslära och kallas därför upplaga 4. Den största förändringen är detaljlayouten; fonter etc. Varje delmoment har i princip följande uppläggning: 1. Teoriblad. Varje nytt moment inleds med teoriblad, där momentet beskrivs. Ibland finns en kortfattad härledning och på samtliga teoriblad finns lösta typexempel. Teoribladen är främst till för att studerande, som varit frånvarande, ska kunna komma i fas med sina kamrater. Teoribladen är också bra vid repetitioner. De är markerade med en grå lodrät linje i ytterkanten. 2. Uppgiftsblad. De kan indelas i tre typer: a) Faktablad. Genomgång (härledning) av nödvändiga formler och samband. Faktabladet kommer direkt efter teoribladet, som inleder varje nytt avsnitt. Vid vissa avsnitt, t.ex. tvärkraft och momentdiagram, består faktabladet av en helt eller delvis löst övningsuppgift. b) Övningsblad med vissa parallelluppgifter, d.v.s. uppgifter med en asterix där bägge uppgifterna har samma problemställning men skilda ingångsdata. Om t.ex. 4 genomgås gemensamt, kan den studerande utan större svårighet lösa 4* på egen hand. Uppgifterna löses direkt på bladen. c) Extrauppgifter som löses i mån av tid. För lösning av övningsuppgifterna behövs en formelsamling, och vi rekommenderar Formelsamling för Teknologi och Konstruktion M (Stiftelsen Kompendieutgivningen) som är speciellt utformad för detta läromedel. Borlänge och Skellefteå Våren 2009 Författarna
HÅLLFASTHETSLÄRA 4 Allmänt HÅLLFASTHETSLÄRA Allmänt I mekaniken kan en belastning påverka en konstruktion och ge upphov till bl a reaktionskrafter i leder och stöd. Då betraktas alltid detaljerna som både starka och helt oelastiska. Vi reflekterar sällan över att något kan gå sönder. Ett haveri beror på att materialets hållfasthet överskridits, t ex att konstruktionen från början blivit underdimensionerad eller att vi belastat den mer än vad som varit tillåtet. Med hjälp av hållfasthetsläran kan vi utnyttja mekanikens krafter till att dimensionera konstruktioner så att de "håller". För att få enkla och användbara formler och samband delas ofta hållfasthetsläran upp i olika belastningstyper. Här följer de vanligaste: När du sätter dig i en hammock blir det dragkrafter i stagen som håller sitsen, är de för klena hamnar du på marken! Hammockens ben ska tåla tryckbelastning ( negativ dragning ) När du klipper en ståltråd med en sidavbitare skjuvas tråden av. Här vill man att tråden ska gå sönder, det gäller bara att vara nog stark i nyporna. När du klipper dig så är det samma belastningsfall. Det gäller att saxen är vass. (foton från Wikipedia)
HÅLLFASTHETSLÄRA 5 Allmänt Plankorna på Slåtmossen i Finland har lagts ut på stöd i naturen för att vi ska kunna gå torrskodda. Om man väljer för tunna plankor eller för långt mellan stöden måste du gå i stövlar för att inte bli blöt om fötterna... I ett bänkskruvstycke klämmer du fast ett arbetsstycke mellan käftarna genom att vrida en skruv. Skruven blir då vridbelastad. Samma belastning utsätts även skruven i en domkraft för. Stavhopparens stav utsätts för en knäckbelastning och tack vare goda materialegenskaper i staven håller den. Benen på förra sidans hammock kan även de knäckas ifall de är för klena... I många fall samverkar flera av dessa belastningstyper på en konstruktion. Vi får då sammansatta belastningsfall som vi beräknar genom att med någon lämplig metod lägga ihop verkan av de enskilda belastningstyperna. Att fundera på: Betrakta en konstruktion, t ex en cykel, moped, bil eller liknande. Försök bestämma vilken belastningstyp som de olika delarna i konstruktionen utsätts for. Kan lösas som gruppuppgift där varje grupp får en belastningstyp att leta "delar" till. (foton från Wikipedia)
Dragning 6 Spänningslagen Dragning Spänningslagen vid dragning Om en rak stång med tvärsnittsarean A påverkas av en kraft F som angriper i stångens symmetriaxel enligt figuren, uppstår inre krafter i materialet. Dessa inre krafter kallas spänning eller påkänning. Spänningen är jämnt fördelad över tvärsnittsarean A. Om stången tänks avskuren genom ett snitt, så måste den avskurna delen vara i jämvikt. Detta innebär att summan av spänningen i snittytan ska vara lika med den yttre kraften F. Spänning, dvs kraft per areaenhet, betecknas med den grekiska bokstaven (sigma). I snittytan är alltså kraften på varje liten areaenhet lika med. På hela tvärsnittsarean A blir kraften lika med. A. Denna snittkraft,. A, håller stången i jämvikt, dvs den är lika stor som den yttre kraften F. Enheten för spänning är N/mm 2 eller MPa. (I den här boken används för det mesta N/mm 2 ). Spänningen är ett mått på materialpåkänningen. Om den blir för stor och överskrider bindningskrafterna i materialet, går stången sönder.
Dragning 7 Spänningslagen 1
Dragning 8 Spänningslagen 1* 2
Dragning 9 Spänningslagen 2* 3
Dragning 10 Spänningslagen 3* 4
Dragning 11 Töjning Töjning I föregående avsnitt visades att en dragkraft F ger upphov till en dragspänning i stången. Eftersom stången är elastisk, kommer den pålagda dragkraften F även att orsaka en förlängning av stången. Förlängningen anges med den grekiska bokstaven (delta) och har enheten mm eller m. Låt oss jämföra ett gummiband och en stållina (som t ex används i hissar och lyftkranar). Vi belastar båda med lika stora krafter, se figuren. Hur ska vi bära oss åt, för att både stållina och gummiband ska få lika stor förlängning? (Gummibandet är ju mycket mer elastiskt än stållinan.) Förlängningen är beroende av den ursprungliga längden L. För att få ett mätvärde på stångens längdutvidgning som är oberoende av den ursprungliga längden L, inför vi begreppet töjning (relativ förlängning). Töjning betecknas med den grekiska bokstaven (epsilon). Vi får följande samband: Storheten är dimensionslös och anges ofta i procent (%). Observera att procent inte är någon enhet, utan bara talar om hur många hundradelar talet är! I fortsättningen måste du skilja på: a) Förlängning som har enheten (mm) eller (m). b) Töjning som är förlängning per längdenhet och är dimensionslös (anges ofta i %).
Dragning 12 Töjning 5 5*
Dragning 13 Töjning 6 6* 7 Det här var ett stort problem i gamla tider med träslipers men även idag är det ett problem, se banverkets folder: http://banportalen.banverket.se/banportalen/upload/5804/solkurvor.pdf
Dragning 14 Hookes lag, Dragprovet Hookes lag, dragprovet Töjningen är oberoende av stångens längd men beroende av material och spänning i stången. För att undersöka sambandet material-spänning-töjning dras provstavar i en dragprovmaskin tills de brister och samtidigt registrerar en skrivare dragkraften F som funktion av förlängningen. Resultatet blir ett diagram, ett spännings-töjningsdiagram eller ett (, )-diagram, där spänningen finns på den lodräta axeln och töjningen e på den vågräta. Olika material ger grafer med helt olika utseende. Vi ska studera ett, -diagram för stål och delar in grafen i tre delar: 1. Elastiska området. Inom detta området är materialet helt elastiskt, dvs detaljen återtar sin ursprungliga form när belastningen avlägsnas. Grafen är en rät linje. 2. Sträckgränsområdet. Här börjar kristallerna i materialet ömsom låsa och ömsom släppa varandra, därav vågorna. Området kallas även flytgränsen och betecknas R el (sträckgränsspänningen). 3. Plastiska området. En detalj som belastats så här hårt kommer att deformeras och behålla sin deformation när belastningen avlägsnas. Grafens högsta punkt kallas brottgränsen R m. 1. Elastiska området. Spänningen = 210 N/mm 2 ger upphov till töjningen = 0,1 %, dvs kvoten = 210. l0 3 N/mm 2 Om spänningen fördubblas, fördubblas även töjningen och kvoten är konstant. Kvoten kallas materialets elasticitetsmodul E. Grafens lutning är alltså ett mått på materialets elasticitetsmodul. För denna räta del av grafen gäller: 2. Sträckgränsområdet. När spänningen uppgår till R p (proportionalitetsgränsen) är grafen inte längre en rät linje utan böjer av för att sedan variera mellan en övre och undre sträckgräns. Sträckgränsspänningen betecknas R el. För material utan utpräglat sträckgränsområde anges ofta i tabellverk R p02 i stället för R el.
Dragning 15 Hookes lag, Dragprovet 3. Plastiska området. Vid slutet av dragprovet sker en kraftig hopsnörning av tvärsnittet på det ställe där provstaven kommer att gå av (kontraktion). Det ser i diagrammet ut som om spänningen skulle minska på slutet, vilket beror på att man räknar med den ursprungliga arean vid konstruktionen av diagrammet, Kraften minskar något vid hopsnörningen, men arean minskar ännu mer. I själva verket ökar spänningen även på slutet (se den streckade linjen i diagrammet) och den verkliga spänningen i brottögonblicket fås genom mätning av den area som brottets tvärsnitt har. Brottgränsspänningen R m definieras som (Från Wikipedia) Robert Hooke, 1635-1703, var en engelsk naturforskare och uppfinnare. Hooke studerade i Oxford, blev 1662 "Curator of experiments" hos Royal Society, vars sekreterare han senare blev, och 1664 professor i geometri vid Gresham College i London. Han var samtida med Newton. Robert Hooke producerade 1676 en fungerande kardanknut (eng. universal joint) och i England benämns uppfinningen Hooke's joint efter honom.
Dragning 8 16 Hookes lag, Dragprovet
Dragning 8* 9 17 Hookes lag, Dragprovet
Dragning 10 11 12 18 Hookes lag, Dragprovet
Dragning 12* 13 19 Hookes lag, Dragprovet
Dragning 20 Tillåten spänning Tillåten spänning Då en konstruktion, t ex en stång, belastas inom det linjära området i, -diagrammet där Hookes lag gäller, blir stången efter avlastning töjningsfri, dvs den återtar sin ursprungliga längd. Om stången avlastas från en högre spänning än sträckgränsen, uppstår däremot resttöjningar i materialet. Vid förnyad belastning kommer materialet att följa den streckade grafen i figuren. I de flesta konstruktioner undviker man därför att överskrida sträckgränsen, undantag är t ex vissa verktyg som hammare, mejslar o d. Oftast tillåts inte större spänningar än ca hälften eller en tredjedel av ReL. Vid konstruktioner som ställer stora krav på låg vikt, t ex detaljer till flygplan, rymdraketer o d, kan den tillåtna spänningen t o m få uppgå till sträckgränsen. Då erfordras noggrann kontroll av materialegenskaper (sträckgräns, brottgräns) och säkra, väl kontrollerade beräkningar. (Dessutom är de dimensionerande lasterna tilltagna så att de ska motsvara värsta tänkbara situation, så du kan vara helt lugn när du flyger nästa gång!) Byggnadskonstruktioner, t ex hissar kräver relativt hög säkerhet mot flytning, (= R el), på grund av att man inte får utsätta personer för risker. Vem tar ansvar för att man i en hiss för 4 personer inte plockar in 10 personer? Ibland tillåter man endast en tiondel av sträckgränsen i dessa konstruktioner. Man säger då, att säkerheten mot flytning (sträckgränsen) är tiofaldig, dvs För vissa konstruktioner finns det dimensioneringsnormer, t ex tryckkärlsnormerna, byggsvetsnormerna och krannormerna.i dessa föreskrivs ofta även säkerhetsfaktorer mot brott, dvs Vid valet av säkerhetsfaktor bör man ta hänsyn till arten av belastning (konstant eller varierande, snabba belastningsväxlingar o d), materialegenskaper (risk för materialfel), beräkningens noggrannhet och användningsområdet (personfara, vikt, kostnad). Oftast blir det en avvägning mellan dessa olika faktorer, varvid kostnaden kan bli avgörande.
Dragning 21 Tillåten spänning / Materialbeteckningar Materialbeteckningar År 2004 kom en ny Europastandard för materialbeteckningar. För att kunna definiera ett material måste man ange både standardbeteckning och materialbeteckning. I det här kompendiet anges alla material med det svenska systemet för materialbeteckning. Det är samma system som finns i Formelsamlingen och underlättar när du söker materialdata. Här nedan ser du hur de olika systemen är uppbyggda: Det svenska systemet är uppbyggt så här: SS 14 1312-01 Metalliska material Olegerat stål Löpnummer Värmebehandling (01 = normaliserat) (istället för 14 anges här ofta för enkelhets skull vilket metalliskt material det gäller, här stål, dvs SS Stål 1312-01 eller enbart SS 1312-01) Enligt Europastandarden ska SS stål 1312-01 betecknas: SS-EN 10025-2:2004 - S235 JR Standardbeteckning Stålnamn SS-EN 10025-2:2004 - S235 JR Användningsområde (S = Konstruktionsstål) Min. sträckgräns i N/mm2 för tjocklek < 16 mm Standardbeteckning JR = seghärdat Stålnamn Tilläggsbeteckning Ett legerat stål, t ex SS stål 2225 betecknas: SS-EN 10083-3:2004-25CrMo4 + QT Kemisk sammansättning +QT = Seghärdat 25 = kolhalt.100 (0,25.100) CrMo = Legeringsämnen 4 = tal som representerar halt av legeringsämnen Om du behöver ange materialbeteckningen enligt den nya europastandarden finns tabeller där det svenska systemets beteckningar översätts enligt den nya europastandarden.
Dragning 14 22 Tillåten spänning
Dragning 15 15* 16 17 18 23 Tillåten spänning
Dragning 24 Extra Uppgifter 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Extra uppgifter
Dragning 28 29 30 31 32 33 34 35 25 Extra uppgifter
Skjuvning 26 Spänningslagen Skjuvning Spänningslagen När du klipper av ett papper eller ett hårstrå med en sax, ger saxen upphov till så stora spänningar i materialet att brott uppstår. Dessa spänningar kallas skjuvspänningar och är riktade i tvärsnittsareans plan. För att få ett allmängiltigt samband betraktar vi en stång med tvärsnittsarean A. Stången påverkas av en kraft F, riktad i tvärsnittsareans plan enligt figuren. Kraften F ger upphov till skjuvspänningar i tvärsnittet. Skjuvspänningen betecknas med den grekiska bokstaven (tau) och har liksom dragspänningen enheten N/mm 2 dvs kraft/area. Skjuvspänningarna är i regel inte jämnt fördelade över tvärsnittet utan störst i mitten. Vi bortser dock från denna variation. Vi gör en jämförelse med dragning för att se likheter och olikheter: DRAGNING SKJUVNING Belastningsriktningar Inre spänningar och jämvikt mellan inre och yttre krafter Spänningslag Vid dragning kunde vi jämföra tillåten spänning med den sträck- resp brottgräns som dragprovet gav. Vid skjuvning däremot anges inte sträck- och brottgräns i materialdata. Vi måste därför jämföra den tillåtna skjuvspänningen till med materialets tillåtna dragspänning. För de flesta material kan vi anta, att till 0,6. till. Skjuvningen är alltså ett mer riskfyllt belastningsfall än dragning. Eftersom skjuvbelastningar är mycket vanliga i olika typer av förband (hopfogningar), handlar övningsuppgifterna i första hand om sådana. Förbanden dimensioneras med hjälp av spänningslagen och svårigheten är oftast att bestämma den skjuvade areans storlek.
Skjuvning 27 Limförband Limförband Limning är en gammal hopfogningsmetod som blivit aktuell igen tack vare moderna syntetiska lim som epoxi- och polyamidlim. Inom flygindustrin används de till att limma metaller, varigenom man får både lätta och starka konstruktioner. 36 36*
Skjuvning 28 Limförband / Svetsförband 37 Svetsförband Vid svetsförband bestämmer vi tillåten skjuvspänningen med hjälp av byggsvetsnormerna. Svetsfogen dimensioneras genom att man beräknar dess längd L och dess a-mått. Svetsens a-mått, a, är den minsta höjden i dess triangulära tvärsnittsyta. Vi räknar i de följande exemplen med att hela längden överför skjuvkraft, medan man i praktiken ofta får reducera denna längd. 38 3
Skjuvning 29 Svetsförband 38* 39 40
Skjuvning 30 Nitförband Nitförband Vid nitförband överförs kraften med hjälp av skjuvspänningar i nitarna. Vi räknar med att den skjuvande kraften fördelas jämnt på antalet nitar i förbandet. Om antalet nitar är n och antalet skjuvytor per nit (skärigheten) är m, blir förbandets totala skjuvade area n. m. A nit Vid nitförband ger dessutom den skjuvande kraften upphov till ett hålkanttryck p h på plåten. 41
Skjuvning 31 Nitförband 42 43
Skjuvning 32 Nitförband / Stansning 44 Stansning Vid stansning använder man ett speciellt verktyg som består av en stans och en dyna. Passningen mellan stans och dyna är mycket noggrann. Stansning är en mycket billig metod om seriestorleken är stor. I de andra tillämpningarna på skjuvning ville vi dimensionera så att förbandet höll. Vid stansning är det tvärtom. Stanskraften måste vara så stor, att materialets skjuvbrottgräns, B överskrids. Den skjuvade arean = plåtens tjocklek gånger stansens omkrets. Om vi ska stansa ett hål med diametern d i en plåt med tjockleken t blir den skjuvade arean =. d. t.
Skjuvning 33 Stansning 45 46
Skjuvning 34 Extra Uppgifter Extra Uppgifter 47 48 49 50 51 52 53 39 54
SVAR 114 Dragning / Skjuvning 1 150 N/mm 2 1* 200 N/mm 2 2 125 N/mm 2 2* 6,4 N/mm 2 3 45 kn 3* 1 570 kn Dragning 4 21 mm (20,6 mm) 5 15,3 % 5* 2 % 6 2 mm 6* 140 mm 7 3 mm ( +20 till +50 ) 8 R el 252 N/mm 2 R m 382 N/mm 2 E stål 210 000 N/mm 2 8* R el 380 N/mm 2 R m 480 N/mm 2 E mässing 103 000 N/mm 2 9 a) 37,5 N/mm 2 b) 273 N/mm 2 c) 210 kn/mm 2 d) 206 kn/mm 2 e) 0,083 % 10 210 N/mm 2 11 121 kn/mm 2 12 0,026 mm (0,0047 + 0,0212) 12* 0,020 mm (0,0085 + 0,0114) 13 0,39 mm 14 a) minst 11,3 mm b) - 15 120 N/mm 2 15* 143 N/mm 2 16 2,8 17 n B = 4,6, n s = 2,3 18 Ja, = 400 N/mm 2 R m 19 minst 0,2 mm 20 183 st 21 80 N/mm2 22 941 kn 23 18,8 kn 24 25 m 25 d = 25 mm 26 d y = 25 mm 27 2,4 mm 28 90 kn 29 24,7 mm 30 42,5 mm 31 1 510 N 32 230 mm (om n s = 5) 33 17 mm ( om n s = 5, = 0,9 kg/dm 3 ) 34 Naturligtvis lika stort för såväl plast som trä ( = 1,7 N/cm 2 ) 35 16 mm 36 67,5 kn 36* 84 mm Skjuvning 37 9 kn (dragning) 38 24 kn 38* 4,5 mm 39 23 kn 40 58 mm då a = 3,5 mm
SVAR 115 Skjuvning / Böjning 41 6,3 kn 42 6 mm (5,95 mm) 43 d = 13 mm (12,5 mm) b = 95 mm ( om n s = 3) 44 4 nitar: d = 16 mm standard (14,6 mm) p h = 235 N/mm 2 (d = 17 mm) 8 nitar: d = 13 mm standard (10,3 mm) p h = 142 N/mm 2 (d = 14 mm) Med hänsyn till hålkanttryck bör 8 nitar väljas. 45 200 kn 46 14 mm resp 36 mm (min resp. max) 47 307 kn 48 165 kn 49 361 N/mm 2 50 15,3 mm 51 20 mm 52 a) 22 mm standard ( 21,9 mm) b) 162 N/mm 2 (d = 23 mm) c) 130 N/mm 2 (D = 23 mm) 53 minst 3,2 mm 54 330 mm 55 Mb b W b Böjning b h Wb 6 56 a) W z = 5,33 cm 3, W y = 2,67 cm 3 b) W z = 2,66 cm 3, W y = 2,66 cm 3 c) W z = 6 cm 3, W y = 4 cm 3 d) W z = 1,37 cm 3, W y = 1,37 cm 3 e) W z = 18,3 cm 3, W y = 116 cm 3 f) W z = 1 260 cm 3, W y =421 cm 3 g) W z = 4,78 cm 3, W y = 1,32 cm 3 h) W z = 8,79 cm 3, W y = 6,32 cm 3 2 57 a) b = 104 N/mm 2 b) b = 102 N/mm 2 c) b = 94,5 N/mm 2 58 a) I 160 b) U 400 59 40 resp 60 mm 60 M b y I 61 a) I z = 1,95 cm 4, W z = 1,56 cm 3 b) I z = 5,33 cm 4, W z = 2,00 cm 3 c) I z = 1,92 cm 4, W z = 1,54 cm 3 d) I z = 1 350 cm 4, W z = 150 cm 3 e) I z = 3690 cm 4, W z = 389 cm 3 f) I z = 6,99 cm 4, W z = 2,35 cm 3 g) I z = 24 010 cm 4, W z = 1 260 cm 3 62 I tp = I tp1 + I tp2 63 I z = 288 cm 4, W z = 72,0 cm 3 63* I z = 235 cm 4, W z = 58,8 cm 3 64 b = 11,2 mm 65 a) I z = 10 000 mm 4 b) I z = 32 500 mm 4 c) I z = 70 000 mm 4 65* a) b) c) (samma svar som i uppgift 65 a, b c) 66 I z = I tp + A. a 2 67 I z = 229 cm 4, W z = 57,3 cm 3 68 I z = 902 cm 4, W z = 113 cm 3 68* I z = 6 104 cm 4, W z = 509 cm 3 69 Fall b) tar upp 100 % större moment 70 W z = 1 334 cm 3, M b = l73 knm 71 W z = 10,6 cm 3, W y = 14,2 cm 3 72 18,8 % 73 36,5 N/mm 2