Lektion 2. Funktioner av två eller flera variabler variabler

Lektion 2 Funktioner av två eller flera variabler variabler

Innehål 1. Grundlägande topologi (10.1) 2. Funktioner av två variabler (12.1)

Innehål 1. Grundlägande topologi (10.1) 2. Funktioner av två variabler (12.1) 3. Gränsvärde ock kontinuitet (12.2)

1. Grundlägande topologi 10.1 -intervall: (a, b), [a, b], (a, ), etc. 1. Omgivning av en punkt P(a, b) är en öppen disk med centrummet i P och radie r, dvs {(x, y) : (x a) 2 + (y b) 2 < r 2 }. 2. Punkten P kallas inre punkt till en mängd S om det finns en disk med centrummet i P som ligger helt i S. En mängd (i planet) kallas öppen om den består bara av sina inre punkter. Ex: hela planet, den öppna disken, {(x, y) : 0 < x < 1; 0 < x < 2}, etc.

1. Grundlägande topologi 10.1 -intervall: (a, b), [a, b], (a, ), etc. 1. Omgivning av en punkt P(a, b) är en öppen disk med centrummet i P och radie r, dvs {(x, y) : (x a) 2 + (y b) 2 < r 2 }. 2. Punkten P kallas inre punkt till en mängd S om det finns en disk med centrummet i P som ligger helt i S. En mängd (i planet) kallas öppen om den består bara av sina inre punkter. Ex: hela planet, den öppna disken, {(x, y) : 0 < x < 1; 0 < x < 2}, etc. 3. Punkten P kallas randpunkt för en mängd S om varje disk centrerat i P innehller både punkter från mängden S och punkter som inte ligger i S. En mängd (i planet) kallas sluten om den innehåller alla sina randpunkter. Ex: hela planet, den slutna disken {(x, y) : (x a) 2 + (y b) 2 r 2 }, {(x, y) : 0 x 1; 0 x 2}, komplementet till en öppen

1. En mängd (i planet) kallas begränsad om det finns en disk som omskriver mängden. En mängd som inte är begränsad kallas obegränsad. 2. En mängd (i planet) kallas kompakt om den är sluten och begränsad.

1. En mängd (i planet) kallas begränsad om det finns en disk som omskriver mängden. En mängd som inte är begränsad kallas obegränsad. 2. En mängd (i planet) kallas kompakt om den är sluten och begränsad. 3. En mängd (i planet) kallas område om den är öppen och konex.

1. En mängd (i planet) kallas begränsad om det finns en disk som omskriver mängden. En mängd som inte är begränsad kallas obegränsad. 2. En mängd (i planet) kallas kompakt om den är sluten och begränsad. 3. En mängd (i planet) kallas område om den är öppen och konex. 4. En mängd (i planet) får vara varken sluten eller öppen eller både och.

Uppgift: Undersök om mängden {(x, y) : xy 1, och x + y < 0} är öppen, sluten, begränsad, kompakt. Lösning: Skissera alltid mängden. Innehåller mängden alla sina randpunkter? Tillhör randen mängden? Ja! Då är mängden sluten. Mängden är obegränsad; den kan därför ej vara kompakt.

2- Funktioner av två eller flera variabler: Exempel

Definition: Låt E R n. En funktion f definerad på E kallas funktion av n- variabler. I många fall är E den största mängden som det går att definiera f på. Vi kommer att studera funktioner av två och tre variabler dvs n = 2, 3. Grafen till en funktion av två variabler är en yta i rummet R 3 medan grafen till en funktion av tre variabler är en hyperyta i R 4. De sista kan därför inte visualiseras.

Exempel: 1. z = f (x, y) = x + y, (x, y) R 2 (ett plan!). 2. f (x, y) = arcsin( x y ), 1 x y (def. mängden är delen av planet som innehåller x-axeln, mellan de två bisekriserna, utan origo).

Exempel: 1. z = f (x, y) = x + y, (x, y) R 2 (ett plan!). 2. f (x, y) = arcsin( x y ), 1 x y (def. mängden är delen av planet som innehåller x-axeln, mellan de två bisekriserna, utan origo). 3. f (x, y) = 1 x 2 y 2, 1 x 2 y 2 0 (grafen är en halv sfär, definitionsmängden är en disk i planet 0xy).

Exempel:

Exempel: 1. z = f (x, y) = x 2 + y 2

Exempel: 1. z = f (x, y) = x 2 + y 2 2. f (x, y) = x 2 + y 2

Exempel: 1. z = f (x, y) = x 2 + y 2 2. f (x, y) = x 2 + y 2 3. f (x, y) = 1 x 2 + y 2.

Operationer med funktioner av flera variabler 1. addition 2. multiplikation

Operationer med funktioner av flera variabler 1. addition 2. multiplikation 3. sammansättning ; f (x, y) = x + y, x = sin t = g(t), y = arcsin t = h(t) eller. x = s t, y = arcsin(s/t)

Nivåkurvor 1. z = f (x, y) = x + y, z = f (1, 2) = 1 + 2 = 3. Skärningen mellan planet z = 3 och z = x + y är linjen x + y = 3. Projektionen av denna linje på planet x0y kallas nivåkurva. 2. f (x, y) = arcsin( x y ), 1 x y. (a, b) = (1, 1), f (1, 1) = π/4. Kurvan arcsin(x/y) = π/4 är nivåkurvan till f.

Nivåkurvor 1. z = f (x, y) = x + y, z = f (1, 2) = 1 + 2 = 3. Skärningen mellan planet z = 3 och z = x + y är linjen x + y = 3. Projektionen av denna linje på planet x0y kallas nivåkurva. 2. f (x, y) = arcsin( x y ), 1 x y. (a, b) = (1, 1), f (1, 1) = π/4. Kurvan arcsin(x/y) = π/4 är nivåkurvan till f. 3. f (x, y) = 1 x 2 y 2, 1 x 2 y 2 0. x = 3/4, y = 1/4, ( 5 ) f (2/4, 1/4) = 11 2, 4, 1 x 2 y 2 = 11 4, eller x 2 + y 2 = 4 dvs en nivåkurvan som går genom punkten (3/4, 1/4) är en cirkel.

3.Gränsvärde och kontinuitet Definition:1. Anta att (a, b) är en hoppningspunkt till definitionsmängden av f. Funktionen har gränsvärdet L i punkten (a, b) om oavsett omgivning av L man kan hitta en omgivning av (a, b) sådan att f (x, y) ligger i omgivningen av L, för alla (x, y)i omgvningen av (a, b). 2. Man säger att f har gränsvärdet L, när (x, y) (a, b) om f ligger godtyckligt nära L, om (x, y) är tillräckligt nära (a, b). Man skriver lim (x,y) (a,b) f (x, y) = L. 3. lim (x,y) (a,b) f (x, y) = L om för varje ε existerar en δ sådan att f (x, y) f (a, b) < ε om (x, y) (a, b) < δ.

Egenskaper: 1. Gränsvärdet är entydigt. 4. Instängningssatsen: Om (f (x, y) L) h(x, y) för alla (x, y) i en omgivning av (a, b) och h(x, y) 0, då (x, y) (a, b) så är lim f (x, y) = L. 5. lim f + g = lim f + lim g; lim f g = lim f lim g

Problem 1: Att beräkna gränsvärdet till en funktion i en punkt: Metod 1: Standard gränsvärde: Beräkna gränsvärdet sin(x y) lim = 1 (x,y) (0,0) x y Metod 2: Instängningssatsen (MYCKET VIKTIGT!!!!) Ex. 5 sid 679.

Problem 2: Att visa att funktionen saknar gränsvärde i en punkt: Ex. 3 och 4 sid. 678-679 Förklara varför gränsvärdet inte existerar: lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 4 + 2y 4. Funktionen är definierat i hela planet utom origo (0, 0). Om (x, y) (0, 0) längst linjen y = 0 så är f (x, y) = f (x, 0) = 0, dvs lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 4 + 2y 4 = 0. Om (x, y) (0, 0) längst linjen y = x så är f (x, y) = f (x, x) = x2 x 2 x 4 +2x 4, dvs lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 4 + 2y 4 = 1/3. Efersom gränsvärdet är entydigt kan vi dra slutsatsen att funktionen saknar gränsvärde.

Kontinuitet Anta att (a, b) tillhör definitionsmängden till en funktion av två (eller flera variabler). Funktionen kallas kontinuerlig i punkten (a, b) om lim f (x, y) = f (a, b). (x,y) (a,b) En funktion som är kontinuerlig i varje punkt av sin definitionsmängd kallas kontinuerlig.

Uppgift Är funktionen f (x, y) { x 2 ln(1+x 2 +y 2 ) om (x, y) (0, 0) 1 om (x, y) = (0, 0) kontinuerlig i punkten (0, 0)?

Efter denna lektion bör ni bestämma om en mängd är öppen, sluten, begränsad, kompakt. beräkna gränsvärdet till en funktion av tvåvariabler eller visa att det inte existerar skissera grafen till enkla funktioner av två variabler och skissera deras nivåkurvor bestämma om en funktion är eller inte kontinuerlig i en punkt.