Institutionen för fysik och astronomi F1Q1W2 Tentamen i Mekanik II 30 maj 2016 Hjälpmedel: Mathematics Handbook, Physics Handbook och miniräknare. Maximalt 5 poäng per uppgift. För betyg 3 krävs godkänd A-del (12 av maximalt 20 (+4 från duggorna) poäng). För betyg 4 och 5 krävs godkänd A-del samt framgångsrikt genomförd B-del. Notera att A-del och B-del måste göras vid samma tillfälle. Ge mig en fast punkt att stå på och jag skall rubba jorden. Arkimedes Bra att känna till: Tröghetsmomentet för en skiva som vrider sig runt en vinkelrät axel genom skivans centrum ges av Del A I = 1 2 MR2 1. Rullan Rörmokare skall vrida ett rör runt dess axel. Röret går mellan punkterna (1, 0, 1)m och (1, 2, 3)m. Rullan skruvar fast skiftnyckeln i röret och håller änden av skiftnyckeln i punkten (1.5, 1.5, 1)m. Hon planerar att trycka med kraften (200, 200, 400)N. Enligt uppgift krävs ett kraftmoment längs röret på 100Nm för att det skall vrida sig. Kan du tala om för Rullan om hon kommer att lyckas? På frågan om var på röret skiftnyckeln sitter svarar Rullan: "Ingen aning."
2. I en maskin ingår en friktionskoppling bestående av två homogena skivor med massorna M och 2M och radierna R respektive 2R. Skivorna kan rotera friktionsfritt kring fixa axlar som ligger längs en gemensam horisontell linje vinkelrät genom skivornas centrum. I ett visst ögonblick roterar skivorna åt olika håll med vinkelhastigheten 2ω 0 för den mindre skivan och ω 0 för den större skivan enligt figur. Axlarna förskjuts så att skivorna kommer i kontakt med varandra och friktion mellan skivorna uppkommer. a) Beräkna absolutbeloppet av systemets vinkelhastighet efter det att skivorna upphört att glida mot varandra. Ange också rotationsriktning relativt den stora skivans ursprungliga rotationsriktning, (3) b) Hur stor är skillnaden i kinetisk energi efter det att skivorna slutat glida mot varandra jämfört med före det att de kom i kontakt med varandra? (2) 3. Två skivor med radierna 0.1m och 0.2m är sammanfogade till ett hjul. Skivornas massor är 1kg respektive 4kg. På perifierin av vardera skiva är en lina upplindad i vars andra ände det hänger en vikt. Massan på vikten som hänger från den mindre skivan är 3kg och massan på vikten som hänger från den större skivan är 1kg. Hjulet roterar friktionsfritt kring en fix axel genom dess centrum. Systemet släpps fritt. Beräkna vinkelaccelerationen, inklusive riktning. 4. En homogen skiva med massan M står på ett lutande plan med vinkel α enligt figur. Skivan är fäst med en lina och en fjäder med fjäderkonstant k. Dessutom sitter en dämpare fast i skivans centrum. Dämparkraften är proportionell mot hastigheten med dämpningskoefficient c. Hur skall dämpningskoefficienten väljas för att man skall få kritisk dämpning? Underllaget är tillräkligt strävt för att skivan skall rulla under hela förloppet. Linan är hela tiden sträckt.
Del B 5. En platta med massan 15 kg ligger på två rullar i form av homogena cylindrar vardera med radie 0.1m och massa 4kg. Plattan är fäst i en fjäder med fjäderkonstant k = 500N/m Rullarna rullar utan glidning mot både underlag och platta. a) Antag att systemet är konservativt och härled rörelsekvationen. (3) b) Lägg till en dämpare med dämpningskonstant c = 100Ns/m. Avgör om systemet är svagt dämpat och beräkna i så fall svängningstiden vid dämpning. (2) 6. Ett tjockväggigt rör ligger på ett lastbilsflak enligt figur. Lastbilen startar från stillastående och accelererar med 1m/s 2. Olyckligtvis har röret inte spännts fast och det kommer därför att så småningom rulla av flaket. Hur långt hinner lastbilen röra sig innan detta sker? Lastbilens flak är 8 meter långt och 2.7m brett. Röret är 2.2 meter långt och har en yttre diameter på 80cm och en inre diameter på 50cm. Betongens densitet är 2500kg/m 3. Friktionskoeeffficienterna mellan rör och flak är 0.7 för statisk friktion och 0.4 för kinetisk friktion. LYCKA TILL!
Del E och V E. Uppgiften skall enbart lösas av studenter registrerade på kursen före VT2016 som ej genomfört motsvarande miniprojekt. Alternativt kan väljas att genomföra miniprojektet under period 1, HT 2016. Armeringsjärn används för att förstärka betongkonstruktioner. En stång av armeringsjärn, cirkulärt tvärsnitt med diameter 10 mm och längden 4 m, är fast förankrad i sin övre ände och belastas i nedre änden av ett stort stenblock av granit med massan 9 10 3 kg och dimensionerna L B H = 1.5m 1.5m 1.5m. För att fästa stången har i vardera änden 25 cm av stången utnyttjats. I uppgiften bortser vi från dessa delar och behandlar enbart stången mellan fästpunkterna. a) Bestäm den mekaniska spänningen i stången. b) Bestäm stångens förlängning. c) Beräkna ändringen av stångens diameter. d) Antag att två personer vill försöka vrida stenblocket runt en tänkt vertikal axel genom stången. Personerna står på varsin sida av blocket och tar grepp på två diagonalt placerade vertikala kanter. De påverkar blocket med lika stora, men motriktade krafter. Med hur stor kraft måste varje person minst påverka blocket för att vrida det 45 o?
V. Uppgiften skall enbart lösas av studenter registrerade på kursen före VT2016 som ej genomfört motsvarande miniprojekt. Alternativt kan väljas att genomföra miniprojektet under period 1, HT 2016. En 50 meter lång metalltråd har spänts mellan två fästpunkter. Vid den ena fästpunkten finns en vibrator som kan röra trådens ände i en riktning vinkelrät mot tråden. Då uppstår en vågrörelse som rör sig på tråden. a) Vilka paramterar påverkar vågens utbredningshastighet? b) Hur påverkas fashastigheten av amplitud och frekvens på vibratorn? c) Intensiteten hos vågen beskriver den effekt som transporteras av vågen. Hur förändras intensiteten om vibratorns rörelse i sidled halveras samtidigt som antalet svängningar per sekund tredubblas? Välj det av nedanstående alternativ som bäst beskriver kvoten mellan intensiteten efter förändringen och intensiteten före förändringen: 0.10 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.50 4.00 6.00 8.00 10.00 LYCKA TILL!