Kompendium i Algebra grundkurs Rikard Bøgvad
Förord. Detta kompendium innehåller material till första terminens kurs i algebra vid matematiska institutionen vid Stockholms universitet, närmare bestämt allt utom lineär algebra. Det består av 12 kapitel, vart och ett svarande mot mellan 0.5-2 dagars föreläsningar. Ordningen i vilka de läses kan i viss mån ändras. Uppgifterna på slutet är (med ett par undantag) tentamensfrågor eller instuderingsfrågor. Liknande och fler finns tillgängliga på kursen som webworkuppgifter. Det finns en wiki på kurshemsidan där det djupt uppskattas om man lägger in tryckfel eller felaktigheter, framförallt från övningsuppgifterna oops, ett ögonblick, nu stämmer i alla fall numreringen på övningarna med svaren men det finns nog en hel del fel kvar. Som utgångsmaterial har jag haft sammanställningar och föreläsningsanteckningar av Ralf Fröberg, Martin Tamm och Yishao Zhou, och andra, och så förstås den personliga ambitionen att skriva min generations stora och definitiva algebrakompendium. Paul Vaderlind har gått igenom allt noggrannt och gett många kommentarer. Att texten nu förhoppningsvis är läsbar, korrekt och användbar är i mycket hans förtjänst. Jag tycker att det ofta är för lite motivering om varför en viss typ av matematik finns och anses viktig, och har därför ibland försökt placera in resultaten i en (lite) vidare bild. Men bäst är att fråga föreläsaren åtminstone en gång per vecka varför är det här viktigt, vad används det till, varför existerar det. Den mesta matematiken här har en gång utvecklats för att lösa intensivt spännande och ibland viktiga problem, och fortsätter att vara användbar. Algebra grundkurs senaste triumf är Google-algoritmen, som är baserad på ideér som är smarta men just grundkurs från lineär algebra. För tusen år sedan gav Al Khwarizmi den som först använde ordet al-jabr- följande programförklaring i ett kapitel av sin inflytelserika bok om algebra: I shall now teach you how to multiply the unknown numbers, that is to say, the roots, one by the other, if they stand alone, or if numbers are added to them, or if numbers are subtracted from them, or if they are subtracted from numbers; also how to add them one to the other, or how to subtract one from the other. Bättre kan det egentligen inte uttryckas vad Algebra grundkurs handlar om. Men om läsaren inte känner sig tillräckligt taggad av al-khwarizmi, vill jag bara påpeka a) materialet är helt grundläggande för tillämpningar inom alla ämnen som använder sig av matematik b) rätt skitkul, c) privatekonomiskt lönsamt i alla fall avsnittet om poker och sålunda värt allt arbete. Rikard Bøgvad, Stockholm 2011.
Innehåll Kapitel 1. Algebraiska uttryck. 6 1. Varför algebra när det finns miniräknare? 6 2. Räkneregler. 6 3. Räkning med bråk, förlängning. 9 4. Polynom. 13 5. Andragradspolynom och ekvationer. 15 6. Fler exempel. 21 7. Övningar. 23 Kapitel 2. Heltal. 24 1. Primtal och faktorisering. 25 2. En naturlig fråga. 28 3. Hur många primtal finns det? 29 4. Divisionsalgoritmen. 31 5. Euklides algoritm. 31 6. Diofantiska ekvationer. 35 7. Entydigheten av ett tals primtalsfaktorisering. 37 8. Övningar. 39 Kapitel 3. Moduliräkning alias kongruenser 41 1. Klockräkning. 41 2. Mattenörden som urmakare. 41 3. Räkneregler. 42 4. Vad moduliräkning betyder för just ditt kriminella nätverk. 45 5. Övningar. 47 Kapitel 4. Potenser och aritmetiska och geometriska summor. 49 1. Potenser. 49 2. Räkneregler för potenser. 50 3. Grafer för potensfunktioner. 54 4. Aritmetiska följder och summor. 54 5. Geometriska följder och summor. 58 6. Summa och produktnotation. 61 7. Övningar. 62 Kapitel 5. Komplexa tal. 64 3
4 INNEHÅLL 1. Introduktion. 64 2. Definition. 65 3. Att räkna på riktigt med komplexa tal. 67 4. Komplexa talplanet. 68 5. Division av komplexa tal. 69 6. Andragradsekvationer. 74 7. Övningar. 76 Kapitel 6. Komplexa tal: polär form, och binomiska ekvationer. 78 1. Polär representation. 78 2. Multiplikation och division av komplexa tal i polär representation. 82 3. Binomiska ekvationer. 87 4. Övningar 90 Kapitel 7. Polynom 92 1. Polynommultiplikation och division. 92 2. Divisionsalgoritmen. 95 3. Faktorsatsen. 100 4. Gissa rationella rötter. 101 5. Fundamentalsatsen. 103 6. Partialbråksuppdelning. 107 7. Övningar. 111 Kapitel 8. Absolutbelopp. 113 1. Absolutbelopp. 113 2. Räkneregler. 117 3. Absolutbelopp och kvadratrötter. 119 4. Triangelolikheten. 119 5. Fler exempel på livet med absolutbelopp. Nu i komplexa talplanet. 121 6. Övningar. 123 Kapitel 9. Olikheter. 124 1. Olikheter med obekanta behandlas som ekvationer... nästan. 124 2. Teckenstudium. 125 3. Fler exempel. 127 4. Olikheten mellan det aritmetiska och geometriska medelvärdet. 129 5. Övningar. 130 Kapitel 10. Fundamentala principer för antalsräkning. 131 1. Ett motiverande problem. 131 2. Att stiga upp på morgonen sett som ett matematiskt problem. 131 3. Permutationer. 133 4. Arrangemang. 133 5. Arrangemang med repetitioner. 134
INNEHÅLL 5 6. Kombinationer och binomialsatsen. 135 7. Övningar. 138 Kapitel 11. Induktion. 141 1. Ett motiverande exempel. 141 2. Ett babyexempel. 142 3. Tillämpning på det första exemplet. 143 4. Fler exempel. 144 5. Övningar. 148 Kapitel 12. Matematikens kunskapsteori. 150 1. Logik eller varför är mattenördar som dom nu är och hur kan jag bli likadan? 153 2. Påståenden. 154 3. Implikation och ekvivalens. 155 4. Om matematiska resonemang. 157 5. Antingen antingen eller eller eller, eller vad? 159 6. Implikation och ekvivalens igen. 161 7. Kvantifikatorer. 162 Kapitel 13. Mängder - ja, vad sysslar vi egentligen med för något? 165 1. Operationer på mängder: snitt, union, komplement. Venn-diagram. 167 2. Ändliga mängder. 170 3. Uppsagd ur paradiset. 171 Kapitel 14. Facit till vissa uppgifter 174
KAPITEL 1 Algebraiska uttryck. We may compare a man in the process of computing a real number to a machine which is only capable of a finite number of conditions q 1, q 2,..., q R which will be called m-configurations. A.Turing 1. Varför algebra när det finns miniräknare? Du har förstås stött på många algebraiska samband inom naturvetenskap, t ex hur tillryggalagd sträcka (kalla den s) beror av (konstant) hastighet (v) och tid (t): s = tv. Vi behöver inte ha konkreta tal för att kunna dra slutsatser ur detta samband (även kallat Svenssons TV efter en mytisk mattelärare Svensson...). Ett väldigt banalt exempel: vi kan ju t ex se att dubblar vi tiden så blir den färdade sträckan s 2 dubbelt så lång: s 2 = (t + t)v = tv + tv = 2s. Beroende på vad man vet och vill veta är det förstås också behändigt att kunna omformulera s = tv till v = s/t eller t = s/v. Detta är exempel där vi räknar algebraiskt med reella tal utan att behöva veta vad de är och får samband som gäller för alla tal. Matematikens effektivitet är just sådan allmängiltighet. (Ja, kanske inte just i det exemplet, men det är bara att titta i vilken fysik eller kemibok som helst för att se häftigare saker.) Precis som i exemplet använder algebraiska räkningar symboler istället för tal - oftast bokstäver, ibland också av lång tradition bokstäver från det grekiska alfabetet. 2. Räkneregler. För att kunna genomföra algebraiska räkningar krävs en mer medveten och systematisk styrning av räkningarna än vid vanlig sifferräkning. Vissa tekniker som i konkreta räkningar blivit så självklara att man inte ser dem, är nu kraftfulla verktyg för att förenkla uttryck. En del av dem kallas räkneregler eller räknelagar. Det banalaste exemplet är kanske att vi kan byta ordning vid multiplikation eller addition ab = ba, (1) 6
2. RÄKNEREGLER. 7 a + b = b + a. Dessa två räkneregler, som för den som tycker om terminologi kallas kommutativa räknelagen för multiplikation respektive addition, är sanna för alla tal. T ex säger (1) att 2 3 = 3 2, men också att 217 3x = 3x 217 för ett tal x, vilket som helst. (Vi vet förstås också att 217 3x = (217 3)x = 651x). (Observera att vi för det mesta inte bryr oss om att skriva ut multiplikationstecknet, när det är frågan om multiplikation av symboler: ab ska alltså tolkas som a gånger b. Däremot skriver vi 2 3 för att skilja det från 23.) 2.1. Parentes om prioriteringsregler. För att innebörden av ett uttryck som 2 + 3 5 ska vara entydig har man enats om vilka operationer som ska utföras först, en s k prioriteringsordning. Multiplikation och division genomförs före addition och subtraktion. Alltså är 2+3 5 = 17. Vill man upphäva denna ordning och istället genomföra additionen först, använder man parenteser, och skriver t ex (2+3)5 = 25. På samma sätt är 3+3/6 = 3.5 (observera notationen 1 ) medan (3 + 3)/6 = 1. Operationerna delas ofta i två grupper: i den ena gruppen ingår addition och subtraktion och i den andra multiplikation och division. Operationerna i den andra gruppen utförs alltså före operationenerna i den första. Inom samma grupp utförs operationerna från vänster till höger. Alltså är 3/3 3 = (3/3) 3 = 3, och inte 3/(3 3) = 1/3. Eftersom det kan bli missförstånd skadar det inte att använda överflödiga parenteser. Den som vill se fler prioriteringsregler kan googla på Please Excuse My Dear Aunt Sally (en minnesramsa - Parentheses, Exponentiation, Multiplication/Division, Addition/Subtraction - som kodar prioriteringsordningen) på wikipedia. (För övrigt kan wikipedia rekommenderas som komplement till kurslitteraturen för sina välskrivna matteartiklar och bra exempel!) 2.2. Fler räkneregler. Andra exempel på räknelagar är den s k distributiva lagen eller för fler tal i parentesen, tex 4 stycken, eller a(b + c) = ab + ac, (2) a(b + c + d + e + f) = ab + ac + ad + ae + af, a (b + c) = a b c. Exempel 1. Den distributiva lagen talar om hur man kan bli av med parenteser, men man kan också omvänt använda den för att faktorisera 2 uttryck. T ex x + x 2 = x 1 + xx = x(1 + x), 1 i denna text väljer vi att istället för decimalkomma använda den mera internationellt accepterade decimalpunkten, alltså 3.5 istället för 3,5 2 faktorisera= skriva som en produkt
8 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. och 17x 2 + 17x 3 + 17x 5 = 17(x 2 + x 3 + x 5 ) = 17x 2 (1 + x + x 3 ). 2.3. Konjugat- och kvadreringsreglerna. Med hjälp av reglerna ovan kan vi förenkla (eller komplicera) algebraiska uttryck. Vi gör härledningen av följande regler kanske pinsamt utförligt, för att illustrera en teknik som är användbar i mer komplicerade sammanhang. Exempel 2. Vi ska visa att (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Distributiva lagen (2) gäller för alla tal, oavsett om de kallas a och b, eller något mer fantasifullt. Så t ex gäller det också att c(a + b) = ca + cb och alltså kan vi tillämpa denna variant på räkneregeln med det speciella talet c = a + b för att få (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = c(a + b) = ca + cb = (a + b)a + (a + b)b. På de två parenteserna i högerledet kan vi tillämpa (2) en gång till: (a + b)a + (a + b)b = aa + ba + ab + bb = a 2 + 2ab + b 2. Du har kanske lärt dig att göra detta som vi beskrev genom rita pilar mellan alla möjliga produkter. Poängen med att göra det på sättet nyss istället är att det är systematiskt och fungerar bättre i mer komplicerade sammanhang, när antalet parenteser är många. Man behöver förstås inte införa något c utan bara tänka sig det. Då ser den första räkningen ut som (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b. Räkneregeln (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, kallas kvadreringsregeln. Man kan se den, liksom de andra, på olika sätt. Startar man med vänsterledet och ersätter det med högerledet har man (lite löst uttryckt) multiplicerat ut parenteserna och förenklat uttrycket. Gör man tvärtom, så faktoriserar man a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 i två faktorer a + b. Beroende på sammanhanget kan man, lite förvirrande, se bägge operationerna som en förenkling. De två olika formerna innehåller ju olika information om samma tal. Exempel 3. Faktorisera 4x 2 + 4xy + y 2. Genom att titta på högerledet i kvadreringsregeln och försöka passa in de givna termerna i detta, ser man att med valet a = 2x och b = y ger kvadreringsregeln 4x 2 + 4xy + y 2 = (2x) 2 + 2 (2x)y + y 2 = (2x + y) 2. Nu fler regler. Som i det första exemplet i detta avsnitt kan vi med hjälp av distributiva lagen (2) räkna ut (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd.
3. RÄKNING MED BRÅK, FÖRLÄNGNING. 9 Ersätter vi i detta uttryck c = a och d = b får vi en användbar regel konjugatregeln (a + b)(a b) = a 2 b 2. (3) Exempel 4. Förenkla (3x+2y)(3x 2y). Konjugatregeln kan tillämpas. De två parenteserna i produkten är nämligen summan av två termer respektive skillnaden av samma två termer. Alltså får vi att produkten är skillnaden av kvadraterna på respektive termer: (3x + 2y)(3x 2y) = (3x) 2 (2y) 2 = 9x 2 4y 2. Omvänt kan vi med konjugatregeln faktorisera 8a 2 b 2 c 2 2a 2 b 2 = 2a 2 b 2 (4c 2 1) = 2a 2 b 2 (2c 1)(2c + 1) Exempel 5. Nu ska vi bege oss bortom futtiga två parenteser. Vi ska visa att (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. Argument: (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) enligt definition av vad exponenter innebär. Nu gäller (2) för alla tal, så t ex gäller det också att c(a + b) = ca + cb och alltså kan vi återigen tillämpa denna räkneregel med c = (a + b) 2 för att först få (a + b) 3 = (a + b) 2 a + (a + b) 2 b = (a 2 + 2ab + b 2 )a + (a 2 + 2ab + b 2 )b (den sista likheten enligt kvadreringsregeln.) Sedan kan vi tillämpa distributiva lagen igen på högerledets två parenteser, och får (a + b) 3 = a 3 + 2aba + b 2 a + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, vilket var vad vi ville inse. Senare i denna kurs ska vi se att det går att ge en formel för hur många parenteser som helst. 3. Räkning med bråk, förlängning. Du har säkert stött på uttryck som 1/2, 13/17 och m 0 / c 2 v 2. Vad det gäller de första (s k heltalsbråk eller rationella tal) är det inget problem att räkna ut, visserligen approximativa, värden för de reella tal de står för, d v s de första decimalerna i deras decimalutvecklingar. (Vi använder ordet reellt tal för ett decimalbråk med oändligt antal decimaler 3 ). Men för att förstå och använda den sista typen, - som beskriver hur massan förändras med hastigheten i relativitetsteorin - där de ingående kvantiteterna är okända måste man kunna räkna abstrakt med sådana bråk eller rationella uttryck. Hur man gör detta är formulerat i ett antal räkneregler; så löjligt få att lära sig utantill, att det bara visar hur mycket bättre det är för en lat nöjeslysten person att studera matematik än säg 3 T ex tolkas 4/3 som 1.333... och 1/2 som 0.500... eller 0.4999...
10 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. brottsbalken. Vi demonstrerar räknereglerna med ett antal exempel. Det första exemplet demonstrerar hur man kan förlänga och förkorta bråk. Principen är att Här är a, b, d reella tal, och b, d 0. Exempel 6. 2 sin(x + 2θ) 3x sin(x + 2θ) 1 x + 1 = a b = ad bd. 17 34 = 1 17 2 17 = 1 2 2 sin(x + 2θ) = 3x sin(x + 2θ) = 2 3x 1 x + 1 x + 1 x + 1 = x + 1 x + 1 Vi kan använda förlängning tillsammans med konjugatregeln för att förenkla en del algebraiska uttryck som innehåller kvadratrötter. Om p A + q B är ett sådant uttryck kallas p A q B dess konjugat. I det första exemplet nedan förlänger vi ett bråk med konjugatet 2 + 3 till 2 3, för att kunna utnyttja konjugatregeln.(detta är ett exempel på ett snyggt trick, som ibland, men tyvärr rätt sällan, är användbart.) Exempel 7. 1 2 3 = 1 ( 2 + 3) ( 2 3) ( 2 + 3) = 2 + 3 ( 2) 2 ( 3) 2 = 2 + 3 1 = 2 3. Vi behöver också veta hur man tillämpar de fyra räknesätten på bråk (ibland kallade rationella uttryck, kanske för att skilja dem från irrationella utbrott, typ usch), för att få nya rationella uttryck. Addition och subtraktion, sker genom att man förlänger uttrycken, så att de får samma täljare. a b ± c d = ad bd ± bc bd ad ± bc =. bd Exempel 8. Här är några exempel på addition och subtraktion av bråk: (1) 1 10 + 3 7 = 1 7 + 10 3 10 7 = 37 70
3. RÄKNING MED BRÅK, FÖRLÄNGNING. 11 (2) (3) (4) 2y + 1 x 1 1 x ± 1 y = y 1 yx ± x 1 yx = y ± x yx = 2y(x 1) x 1 + 1 x 1 = 2yx 2y + 1 x 1 2 3 +... + 2 3 (sju termer) = 2 3 7 1 = 2 7 3 1 = 14 3 Multiplikation är enklare att komma ihåg. a b c d = ac bd Exempel 9. (1) 1 2 3 4 5 6 = 1 3 5 2 4 6 = 5 16. (2) Låt m = a/b och n = 2a/(x + 1). Då är m 2 n = 2a 3 b 2 (x + 1) Division slutligen, är värst, men lätt att komma ihåg via mellanledet i definitionen nedan: a b c d = a b d c = ad bc. Att dividera med ett bråket c d är alltså samma som att multiplicera med d c. Några speciella varianter är viktiga att komma ihåg: Exempel 10. 1 c d = d c och 1 1 d = d. (1) Lös x ur ekvationen ax = 7 (som funktion av a) och beräkna sedan x för a = 2/3. Lösning: Genom att dela med a (antagande är att a 0, eftersom om a = 0 får vi ekvationen 0 = 7 som ju saknar lösningar) får vi x = 7/a. Om a = 2/3 är alltså x = 7 2 3 = 7 3 2 = 21 2.
12 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. (2) Låt m = a/b och n = 2a/(x + 1). Då är m 2 a2 n = b 2 = a2 (x + 1)2 = 2 4a 2 4a 2 b 2 (x+1) 2 (x + 1)2 4b 2. 3.1. Förstagradsekvationer. En ekvation har formen uttryck = annat uttryck, där de två uttrycken beror av en eller flera obekanta. Att lösa ekvationen är förstås att hitta de explicita värden på de obekanta som löser ekvationen. Några exempel på ekvationer: (1) 3x = 17 (2) 4x + 17 = 2x + 5 (3) x 3 + 2x + 3 = 2x 2 + 2 (4) x 2 + 3a = c + y. De två första ekvationerna är exempel på förstagradsekvationer med en obekant x. Allmänt ser en sådan ut som ax + b = cx + d, där x är obekant och ska bestämmas i termer av a, b, c, d. Till skillnad från nästan alla ekvationer som man stöter på i tillämpningar kan vi, som läsaren vet, faktiskt alltid lösa en sådan ekvation (om det nu finns några lösningar alls)! Senare i kursen ska vi lära oss metoder att lösa system av sådana ekvationer med fler obekanta, och det finns förstås tekniker för att lösa ekvationer approximativt 4. Som enkla fingerövningar löser vi nu två av ekvationerna ovan. Exempel 11. Vi ska lösa ekvationerna (1) och (2). För den första ekvationen är idén att eftersom 3x är lika med 17, så är också 3x delat med 3 lika med 17 delat med 3. Alltså 3x = 17 om och endast om 3x 3 = 17 3. Detta ger x = 17/3 och ekvationen är löst. För den andra ekvationen, använder vi samma princip: om man multiplicerar med eller adderar lika storheter till bägge sidor av en likhet så fortsätter man att ha likhet. Eliminera först termerna som innehåller x från ena sidan: 4x + 17 = 2x + 5 om och endast om (4x + 17) 2x = (2x + 5) 2x. Förenklar vi den sista ekvationen får vi 2x + 17 = 5. Nu drar vi bort 17 från bägge sidorna av ekvationen: 2x + 17 = 5 om och endast om (2x + 17) 17 = 5 17. Den sista ekvationen säger att 2x = 12, som vi kan lösa som ekvation (1) genom att vi delar med 2 på bägge sidor. Då får vi till slut x = 6. Från ett abstrakt perspektiv sett så bestod lösningen av ekvationen av att vi hittade en kedja av ekvivalenta ekvationer, d v s andra ekvationer som har precis samma lösningar, och där den sista ekvationen har formen x = tal. 4 approximativ lösning = ett närmevärde till en lösning
4. POLYNOM. 13 4. Polynom. 4.1. Varför då? Låt oss, för omväxlings skull, ge något slags vidare motivering till varför man ska studera ett begrepp, i det här fallet polynom. Idén bakom matematik är att bygga upp enkla modeller av en komplicerad verklighet. Våra matematiska beskrivningar av verkligheten är faktiskt nästan överdrivet enkla - ta t ex passmyndighetens matematiska modell att en människa har ett precist heltal i centimeter som längd, och jämför med vad som skulle hända om de hade konsulterat en petig algebralektor. En människas längd kan ju variera upp till 4 cm mellan morgon och kväll, och det åtminstone måste man väl ta hänsyn till? Alltså finns det inte ett fixt tal som beskriver avståndet mellan hjässa och fotsula, utan många, ett för varje tidpunkt. Istället för ett enda banalt tal får vi då en varierande längd, som är en härligt komplicerad funktion av tiden på dagen (för att inte tala om månens tidvattenskraft och den valda frisyren, eller hur intressanta kvantmekaniska effekter kan ställa till det). Det hade krävts dagar av intensivt studium bara för att fylla i en rad i passet...och weekendresor ska vi inte ens drömma om. I tillämpningar (som den ovan) förekommer funktioner som man inte har en chans att beräkna explicit, men som man i en förenklad modell av verkligheten mirakulöst kan komma åt. Vi såg att en människas längd är en komplicerad funktion, som vi rått approximerar med ett enda tal, alltså med en konstant funktion. Mer generellt behöver vi ett förråd av enkla funktioner, så enkla att man kan göra något intressant med dem, men tillräckligt komplicerade för att kunna komma i närheten av verkligheten. De enklaste funktionerna i matematiken är de vars värden man kan beräkna genom bara två av de fyra räknesätten - addition och multiplikation - och de kallas polynom eller polynomfunktioner. Exempel på sådana funktioner är f(x) = 2x + 3, g(x) = 2x 2 + 3x + 5 eller h(x) = 1.3x 17 + 2.313x 2 + 36.1x. Andra, mer komplicerade funktioner beräknas ofta genom att man approximerar dem med polynom - t ex så ger 1+x+x 2 /2+x 3 /6 ett bra närmevärde till exponentialfunktionen e x i ett litet intervall kring 0. (I analyskursen möter du en systematisk teori för hur man ska hitta vissa sådana polynom, kallade Taylorpolynom.) Miniräknaren, som ju bara behöver beräkna några futtiga, säg åtta, decimaler av oändligt många, fuskar genom att ha inprogrammerat approximerande polynom för alla vanliga funktioner. Polynom utgör alltså en omistlig del av förrådet av modellverktyg av funktioner, och det är detta som ur ett statligt ekonomiskt perspektiv, månande om lönsamma tillämpningar av matematik, motiverar att du ska lära dig om dem (sedan tycker ju förstås mattelärarna att de är intressanta, ja, t o m skitkul, men det är en annan sak.) 4.2. Definitioner. Exponenten i den högsta potens av x som förekommer i polynomet kallas graden av polynomet. De tre polynomen i det föregående avsnittet har alltså grad 1, 2 respektive 17. De tal som står framför de olika potenserna av x kallas för polynomets koefficienter. Vill man ge en definition av vad ett polynom är (och inte bara ett
14 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. antal belysande exempel), så tvingas man bli abstrakt. Ett polynom har en grad (kalla det n), som är vilket heltal större än eller lika med noll som helst, och har vissa koefficienter (kalla dem a 0, a 1,..., a n.) Definition 1. Med ett polynom menas en funktion av typen f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0. Koefficienterna a 0, a 1,..., a n antas för närvarande vara reella tal (senare ska vi använda komplexa tal), och n 0 är ett heltal. Om a n 0, så kallas n för polynomets grad och vi skriver grad f = n. Om n = 0, så kallas den konstanta funktionen och polynomet f(x) = a 0 ett konstant polynom. Exempel 12. Polynomet x 3 + 2x + 17 har alltså grad 3 och koefficienterna a 3 = 1, a 2 = 0, a 1 = 2 och a 0 = 17. Två polynom p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 1 x+a 0 och q(x) = b m x m +b m 1 x m 1 +...+ b 1 x + b 0 anses vara lika, p(x) = q(x), om de har samma grad, m = n, och koefficienterna vid motsvarande x-potenser är lika: a i = b i, för i = 0, 1, 2,..., n. 4.3. Exkurs om prickar. Några kanske överbeskyddande ord om prickarna i föregående definition, eftersom vi ska stöta på många sådana. (Det står mer i avsnitten om induktion och logik senare.) Avsikten med formeln för polynomet i definitionen är att beskriva ett allmänt polynom vilket som helst. Beskrivningen ska vara tillräckligt exakt för att kunna tala om vad som är dess grad och dess koefficienter. Samtidigt vill man att den ska vara enkel och okomplicerad, och framför allt kort. Ta ett annat lite enklare exempel. Vi vill beskriva avtagande följder som startar i ett heltal n, och där nästa tal är n 1 (om nu n 1 0), osv ända tills vi når 0. Alltså följder av typen 5, 4, 3, 2, 1, 0 eller 2, 1, 0 eller bara den överdrivet korta följden 0. Förslagvis beskriver vi sådana följder som n, n 1,..., 1, 0 och n 0. (4) Vad (4) alltså tänks beskriva är hur man från ett tal i följden får nästa (dra bort 1) och när man ska stoppa (när man nått 0, så att man inte fortsätter med en massa läbbiga negativa tal.) De tre prickarna antyder, precis som i formeln i polynomdefinitionen ovan, att läsaren förväntas förstå mönstret. Observera att det är detta mönster som är det viktiga, inte de fyra termer n, n 1,..., 1, 0 som står utskrivna. Ty om vi utan att tänka försöker passa in n = 0, n = 1 eller n = 2 i (4) så får vi problem. Eftersom för t ex n = 1, n 1 = 0, så blir följden 1, 0,..., 1, 0. Vilket ju inte alls var vår avsikt. När man läser (4)ska man alltså identifiera mönstret, och sedan använda detta för att skriva upp de olika följderna: för n = 0, 1, 2, 3 ska (4) alltså läsas som 0 1, 0 2, 1, 0
5. ANDRAGRADSPOLYNOM OCH EKVATIONER. 15 3, 2, 1, 0 4, 3, 2, 1, 0. Den enda poängen med detta avsnitt är att formeln i definitionen av polynom i föregående avsnitt ska för n = 0, 1, 2, 3 läsas som f(x) = a 0 f(x) = a 1 x + a 0 f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 f(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0. Det är annars alltid en bra idé att skriva ner de enklaste fallen av en ny definition för att få känsla för vad den säger. Då ser man t ex svaret till följande övning: Övning Försök reta din föreläsare på denna kurs genom att påpeka att inte alla polynom kommer att ha ett gradtal enligt definitionen ovan. Det finns nämligen precis ett som inte täcks av definitionen. Vilket? Fråga henne/honom om vilket gradtal hon/han anser att detta polynom har. Jämför med andra gruppers lärare och dra några slutsatser om matematik som exakt vetenskap, och ring kanske sedan till en kvällstidning... eller kanske dra några nyttiga slutsatser. 5. Andragradspolynom och ekvationer. Vi börjar med att avslöja det mystiska polynomet från övningen ovan. Ni har säkert själva funnit att detta är det konstanta polynomet p(x) = a 0, där konstanten a 0 är 0. Eftersom gradtalet definierades som den högsta x-potensen med en icke-noll koefficient så är det klart att det konstanta polynomet med a 0 = 7 har grad 0: p(x) = 7 = 7 x 0. Om däremot a 0 är 0, alltså p(x) är 0 x 0 så rimmar det illa med kravet om en icke-noll koefficient, som är inbyggd i definitionen av graden. Detta lämnar fältet öppet för hur man vill se noll-polynomet. Ofta väljer man att säga att noll-polynomet saknar grad, men ofta visar det sig vara bekvämt att välja till exempel talet 1 eller som graden för detta polynom. Vi väljer här att säga att noll-polynomet har grad och senare (i kapitel 3) ska vi motivera varför detta är bekvämt. Noll-polynomet är alltså polynomet med alla koefficienter lika med 0: om vi säger att p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 är noll-polynomet så innebär det bara att a n = a n 1 =... = a 1 = a 0 = 0. Vidare, för att elliminera eventuella missförstånd när vi vill säga p(x) är ett noll-polynom med hjälp av symboler, så undviker vi att skriva p(x) = 0, som kan tolkas som en ekvation, och skriver istället p(x) 0. Detta utläses alltså som att polynomet p(x) är identiskt lika med 0, är noll-polynomet. Sammanfattningsvis: Om p(x) 0 så är deg p(x) =.
16 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. 5.1. Förstagradspolynom. Ett polynom av grad 0, är alltså bara en konstant, betraktad som en funktion, t ex p(x) = 1. Ett polynom av grad 1 är av typen p(x) = ax + b där a 0 och b är reella tal. Ritar man grafen y = p(x) till polynomet får man en rät linje i (x, y)-planet. Koefficienten a är riktningskoefficienten för linjen, medan b kan tolkas som y-koordinaten för skärningen mellan y-axeln och linjen. Vidare är lösningen x = b/a till förstagradsekvationen p(x) = 0 också synlig i grafen. Den är x-koordinaten för skärningen mellan x-axeln och linjen, det enda nollstället till polynomet. y 0, b y ax b b a, 0 x Figur 1. Grafen till ett förstagradspolynom. 5.2. Andragradspolynom. I den föregående paragrafen fanns ett enkelt exempel på det allmänna problemet att lösa ekvationen f(x) = a, där a är ett fixt tal och f(x) en funktion. Inte ens för polynom kan man lösa detta exakt i allmänhet (men däremot approximativt.) Därför är exempel där vi kan få ett exakt svar viktiga och användbara. Förutom för förstagradspolynom går problemet också att lösa för andragradspolynom. Du har säkert redan sett följande formel. Sats 1. Ekvationen ax 2 + bx + c = 0 (där a 0 så att vänsterledet verklige är ett polynom av grad 2) har de två lösningarna (också kallade ekvationens rötter) x = b ± b 2 4ac, 2a om uttrycket b 2 4ac (som kallas diskriminanten till polynomet ax 2 + bx + c) under rottecknet är ett icke-negativt tal. Om det sista villkoret inte gäller och alltså b 2 4ac < 0 så saknar uppenbarligen ekvationen reella lösningar.
5. ANDRAGRADSPOLYNOM OCH EKVATIONER. 17 Notera att när högstagradskoefficienten i polynomet a = 1, och ekvationen alltså ser ut som x 2 + px + q = 0, så säger formeln för rötterna - som då ofta kallas p, q-formeln - ovan att x = p ± p 2 4q 2 = p 2 ± (p 2) 2 q. (Kom ihåg att a/b = a/ b.) 12 KOMPENDIUM TILL ALGEBRA 1 Exempel 13. I de följande tre bilderna ser vi graferna y = p(x) för tre olika andragradspolynom p(x). De illustrerar de tre olika fall som kan förekomma vad det gäller (Kom ihåg att a/b = a/ b.) nollställen till polynomet: 2, 1 eller inga nollställen. Exempel. I de följande tre bilderna ser vi graferna y = p(x) för tre olika andragradspolynom p(x). De illustrerar de tre olika fall som kan förekomma: 2, 1 eller inga nollställen till polynomet. i) I den första bilden är p(x) = x 2 5x+6. Här är diskriminanten 25 4 6 = 1 och formeln i satsen ovan ger att rötterna till ekvationen p(x) = 0 är x = ( 5) ± 1 i) I det första fallet är p(x) =x 2 5x + 6. Här är diskriminanten 25 4 6=1och, formeln i satsen ovan ger att rötterna till ekvationen p(x) =0ärx = 2 alltså x3 och x = 2. Detta svarar mot de värden på x där ( 5) ± funktionen 1 = 2 2 2, 3. Detta svarar mot de värden på x där funktionen 0, och syns i grafen som är 0, och de syns i grafen skärningarna sommellan skärningarna grafen och x-axeln. mellan grafen och x-axeln. 8 6 4 2 1 2 3 4 5 Figure 2. Grafen till x 2 5x +6 Figur 2. Grafen till x 2 5x + 6.
18 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. ii) I nästa bild är p(x) = x 2 KOMPENDIUM TILL ALGEBRA 1 13 2x + 1, och diskriminanten är 4 4 1 = 0. Formeln i satsen ovan ii) I det gerandra då bara fallet är lösningen p(x) =x 2 x 2x = + 1, och diskriminanten vi ser detta är 4i figuren 4 1=0. som att grafen Formeln i satsen ovankompendium ger då bara lösningen TILL ALGEBRA x = 1, 1 och vi ser detta i figuren som13 bara tangerar x-axeln i punkten x = 1. att grafen bara skär x-axeln i den enda punkten x =1. ii) I det andra fallet är p(x) =x 2 2x + 1, och diskriminanten är 4 4 1=0. Formeln i satsen ovan ger då bara lösningen x = 1, och vi ser detta i figuren som 15 att grafen bara skär x-axeln i den enda punkten x =1. 15 10 10 5 5 2 2 4 Figure 3. Grafen till x 2 2x +1 Figur 3. Grafen till x 2 2x + 1. 2 2 4 iii) Slutligen i det tredje fallet är p(x) =x 2 +5x+7, och diskriminanten är 25 4 7 = 3. Eftersom 3 inte Figure har någon 3. Grafen kvadratrot, till x 2 finns 2x +1 inga nollställen till polynomet. Vi ser detta i figuren som att grafen inte skär x-axeln. iii) Slutligen i det tredje fallet är p(x) = x 2 +5x+7, och diskriminanten är 25 4 7 = 3. Eftersom iii) Slutligen 3i det inte tredje har fallet någon är p(x) kvadratrot, =x 2 +5x+7, och finns diskriminanten inga nollställen är 25 4 7 = till polynomet. 3. Eftersom 3 inte har någon kvadratrot, finns inga nollställen till polynomet. Vi ser detta i figuren som att grafen inte skär x-axeln. Vi ser detta i figuren som att grafen inte skär x-axeln. 8 6 8 4 6 2 4 5 4 3 2 1 Figure 4. Grafen till x 2 +5x +7 2 5 4 3 2 1 1.4.3. Bevis för sats 1. Nu ska vi bevisa sats 1. Det är en bra illustration av att bevis ofta innehåller idéer som Figure är användbara 4. Grafen i andra till sammanhang. x 2 +5x +7 Här är det en algebraisk Figur 4. Grafen till x 2 + 5x + 7. 1.4.3. Bevis för sats 1. Nu ska vi bevisa sats 1. Det är en bra illustration av att bevis ofta innehåller idéer som är användbara i andra sammanhang. Här är det en algebraisk 5.3. Bevis av sats 1. Nu ska vi bevisa sats 1. Beviset är en bra illustration av att bevis ofta innehåller idéer som är användbara i andra sammanhang. Här är det en algebraisk teknik som kallas kvadratkomplettering. För att motivera den, så ser vi först att det är vissa specialfall av den allmänna ekvationen ax 2 + bx + c = 0, som är lätta att lösa, nämligen när b = 0. Exempel 14. En ekvation som x 2 2 = 0 har ju lösningarna x = ± 2, och på samma sätt ser vi bums att x 2 + 2 = 0 inte har några lösningar alls. Om man sedan, med
5. ANDRAGRADSPOLYNOM OCH EKVATIONER. 19 detta enkla fall i bakhuvudet tittar på en ekvation som x 2 + 2x 1 = 0, så ser vi kanske att vi kan skriva om den så här: Men då är x 2 + 2x 1 = (x 2 + 2x + 1) 2 = (x + 1) 2 2 = 0 (x + 1) 2 2 = 0 (x + 1) 2 = 2 och vi har hittat de två rötterna till ekvationen! x + 1 = ± 2 x = 1 ± 2 Kvadratkomplettering är ett sätt att försöka göra exemplets resonemang så allmänt som möjligt. Nu till beviset för Sats 1. Det är ett antal steg och vi är utförliga för att var tydliga. Steg 1: Vi kan först värma upp med att dela med a 0. ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0. Ge sedan för att få överskådlighet nya namn p = b och q = c, så att ekvationen a a blir x 2 + px + q = 0. Steg 2: Tittar vi tillbaka på exemplet vill vi skriva om de två första termerna som en kvadrat. Det kan vi göra genom att titta på ett specialfall av kvadreringsregeln (x + p 2 )2 = x 2 + 2 p 2 x + (p 2 )2 = x 2 + px + ( p 2 )2 och skriva om detta som Steg 3: Alltså är x 2 + px = (x + p 2 )2 ( p 2 )2. x 2 + px + q = (x + p 2 )2 ( p 2 )2 + q = 0 (x + p 2 )2 = ( p 2 )2 q. Inför nu igen nya namn: Y = x + p 2 och Q = ( p 2 )2 q = p2 4q 4, så att ekvationen blir Y 2 = Q. Steg 4: Nu har vi äntligen kommit till en av den lätta sortens ekvationer. Den har lösningarna Y = ± Q om Q 0 och inga lösningar om Q < 0. Nu kan vi rulla upp allt baklänges. Y = ± Q x + p 2 = ± p2 4q 4 x = p 2 ± p2 4q 4 = p 2 ± (p 2) 2 q.
20 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. Därmed har vi kommit fram till p, q-formeln. Steg 5: För att uttrycka lösningen i a, b, c, substituerar vi p = b a (slutligen) och q = c, och får a x = p 2 ± p2 4q 4 = b 2a ± b2 4ac 4a 2 där den andra likheten följer ur = b 2a ± b2 4ac 4a 2 = b 2a ± b2 4ac, 2a p 2 4q 4 = b 2 a 2 4 c a 4 = b2 4a 2 4ac 4a 2 = b2 4ac 4a 2. 5.4. Kvadratkomplettering. Den algebraiska idén i beviset ovan är så användbar, även i andra sammanhang, att vi skriver upp den som en sats. Idén är alltså att vi kan skriva ett godtyckligt andragradspolynom x 2 + px + q som Y 2 + C, med en ny variabel Y och en ny koefficient C. Försök att undvika att lära dig satsen utantill, utan kom ihåg den som en användbar metod, med ett klart syfte och en enkel teknik. Sats 2. (Kvadratkomplettering). där Y = x + p 2 och C = q ( p 2 )2 x 2 + px + q = (x + p 2 )2 ( p 2 )2 + q =Y 2 + C, Exempel 15. Bestäm det minsta värde som f(x) = 4x 2 2x 1 kan anta. Lösning: Kvadratkomplettera! Skriv f(x) =4x 2 2x 1 = 4(x 2 2 4 x 1 4 ) ( =4 (x 1 4 )2 1 16 1 ) 4 ( =4 (x 1 4 )2 5 ) = 4(x 1 16 4 )2 5 4 Kvadrater är alltid större än eller lika med 0, så därför är (x 1 4 )2 0, med likhet precis när x = 0.25. Alltså är f(x) = 4(x 1 4 )2 5 4 5 4, med likhet precis när x = 0.25.
Att det minsta värdet är 1.25 ser vi också från grafen: 16 KOMPENDIUM TILL ALGEBRA 1 6. FLER EXEMPEL. 21 1.0 0.5 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.5 1.0 0.25, 1,25 Figure 5. Grafen till 4x 2 2x 1 Figur 5. Grafen till y = 4x 2 2x 1. 1.4.5. Hur löser jag x 17 +2x +37=0 förresten? Vi började med att säga att vi ville lösa f(x) =a, men de enda fall vi beskrivit är när f(x) är ett första- eller andragradspolynom, 5.5. vilket Hurju löser kan verka jagoch x 17 är+ lite 2x snopet, + 37 = om0 man förresten? har ambitionen Vi började att t exmed ta över att världen. säga att vi villehur lösa görf(x) man = i allmänhet? a, men de Det enda finnsfall betydligt vi beskrivit mer komplicerade är när f(x) formler är för ett hur första- rötterna eller andragradspolynom, ser ut även för vilket polynom ju av kan grad verka 3 och och 4, är men lite i snopet, praktiken om används man har dessa ambitionen sällan. För att högregradspolynom finns inga formler för rötterna (och det är bevisat att det aldrig t ex ta över världen. Hur gör man i allmänhet? Det finns betydligt mer komplicerade kommer att finnas) som bara använder sig av rotutdragning. I praktiken gör detta inte formlerså för mycket. hur rötterna Där är man ser ut intresserad även för polynom av att kunna av grad bestämma 3 ochsäg 4, men de första i praktiken 10 decimalerna används dessa sällan. av en rot, Föroch högregradspolynom det finns bra metoder finns för inga att beräkna liknande dessa. formler Den intresserade för rötterna hänvisas (och det till är bevisatatt att slådet på Newton-Raphsons aldrig kommer att metod finnas). på nätet I praktiken eller ge siggör till tåls detta till inte datakursen. så mycket. För tillämpningarna är man intresserad av att kunna bestämma säg de första 10 decimalerna av en rot, 1.5. och Flerdet exempel. finns branu metoder lämnar för vi polynomekvationer att beräkna dessa. och Den titta intresserade på lite blandade hänvisas ekvationer. på Newton-Raphsons metod på nätet eller ge sig till tåls till datakursen. till att slå Exempel. Lös ekvationen 4x 1 6. Fler exempel. 3x +1 =1. Lösning: Uttrycket på vänster sidan är meningsfullt, utom när det innebär att vi delar Nu lämnar vi polynomekvationer för att titta på lite blandade ekvationer av andra med en nämnare som är 0. Detta sker för x = 1/3, och detta värde på x kan alltså typer. inte vara en lösning. Låt oss sedan titta på de övriga, d v s antaga att x = 1/3, så att 3x +1= 0. Då kan vi multiplicera bägge sidor av ekvationen med 3x +1ochfårdå Exempel 16. Lös ekvationen den ekvivalenta ekvationen 4x 14x = 3x + 1 1. Omedelbara manipulationer ger att denna ekvation har den enda lösningen x =2. 3x + 1 = 1. Lösning: Exempel Uttrycket Det varpå viktigt vänster attsidan göra analysen är meningsfullt, av nämnaren utomi föregående när det innebär exempel. att vi Omdelar vi hade att lösa med en nämnare som är 0. Detta sker för x = 1/3, och detta värde på x kan alltså inte 6x +3 vara en lösning. Låt oss sedan titta på de övriga 2x +1 =1, tänkbara värdena på x, d v s antaga att x 1/3, så att 3x + 1 0. Då kan vi multiplicera bägge sidor av ekvationen med 3x + 1 och bara zombieartat sätter igång att multiplicera med 2x+1, så får vi ekvationen 6x+3 = och får då den ekvivalenta ekvationen 4x 1 = 3x + 1. Omedelbara manipulationer ger 2x + 1 som har lösningen x = 1/2. Vi får då ett felaktigt resultat om vi tror att detta är att denna en lösning ekvation till den har ursprungliga den enda lösningen ekvationen. x = Ty2. i denna är ju inte vänsterledet meningsfullt för x = 1/2, eftersom vi då försöker dela med 0.
Exempel 18. Lös ekvationen x + 1 + x = 11. (5) 22 1. ALGEBRAISKA UTTRYCK. Exempel 17. Det var viktigt att göra analysen av nämnaren i föregående exempel. Om vi t ex hade att lösa 6x + 3 2x + 1 = 1, och bara söndagszombieartat sätter igång att multiplicera med 2x + 1, så får vi ekvationen 6x + 3 = 2x + 1 som har lösningen x = 1/2. Vi får då ett felaktigt resultat om vi tror att detta är en lösning till den ursprungliga ekvationen. Ty i denna är ju inte vänsterledet meningsfullt för x = 1/2, eftersom vi då försöker dela 0 med 0, vilket är rätt meningslöst. (Ja, visserligen påstod en svensk morgontidning nyligen att en engelsman löst det tusenåriga problemet om vad 0/0 egentligen är för något, men det var nog journalistisk desperation och längtan efter att det äntligen skulle hända något en ovanligt mordfattig dag.) Här är det naturligt att först dra bort x från bägge sidor, så att kvadratroten blir ensam kvar på ena sidan och vi kan kvadrera bägge sidor. Alltså får vi först x + 1 = 11 x. (6) Detta är en ekvation som har precis samma lösningar som den ursprungliga, alltså en ekvivalent ekvation. Men om vi nu kvadrerar bägge sidor i denna ekvation och får den nya ekvationen x + 1 = (11 x) 2, (7) så har vi inte längre en ekvation som är ekvivalent med den ursprungliga. Varje lösning till (6) är en lösning till (7), men inte tvärtom. Att vi vet ett tals kvadrat räcker ju inte för att vi ska kunna bestämma talet ifråga. Det är bara bestämt upp till tecken: y = 2 ger att y 2 = 4, men inte tvärtom eftersom y 2 = 4 y = ±2, t ex. Emellertid kan vi ändå utnyttja den nya ekvationen (7). Vi löser den och sedan prövar vi lösningarna som vi fått i den ursprungliga ekvationen (5). Så här: x + 1 = (11 x) 2 x 2 23x + 120 = 0 x = 8 eller x = 15. (sista steget gjordes med lösningsformeln för en andragradsekvation) Vi prövar dessa två värden. För x = 8 får vi x + 1 + x = 8 + 1 + 8 som är lika med 11. Här har vi alltså en lösning till den ursprungliga ekvationen. Men för x = 15 får vi x + 1 + x = 15 + 1 + 15 = 4 + 15 som inte är lika med 11. Detta är alltså inte en rot till den ursprungliga ekvationen (5). (Notera att x = 15 löser ekvationen x + 1 = (11 x), som när den kvadreras också ger ekvationen x + 1 = (11 x) 2.) Exempel 19. Lös ekvationen sin 2 x 4 sin x+3 = 0. Här är det naturligt att dela upp lösningen i två steg. Först tar vi reda på vilka värden sin x kan ha, och sedan vilka värden på x som är lösningar. Sätt alltså först t = sin x. Då blir ekvationen t 2 4t + 3 = 0, som (enligt den vanliga formeln) har lösningarna t = 1 och t = 3. I nästa steg ska vi lösa ekvationen sin x = 1 x = π/2 + 2nπ, där n är ett godtyckligt heltal, och ekvationen
7. ÖVNINGAR. 23 sin x = 3, som saknar lösningar. (För det sista steget se senare i avsnittet om komplexa tal och polära koodinater.) För att sammanfatta: vid ekvationslösning letar vi i första hand efter andra enklare ekvivalenta ekvationer, d v s ekvationer som har precis samma lösningar. Sådana kan ofta fås genom att vi gör flera av följande operationer: Lägger till eller drar ifrån lika från bägge sidor av ekvationen, typ 2x + 3 = 5 är ekvivalent med 2x = 2. Multiplicerar bägge sidor av ekvationen med en kvantitet som är skild från noll, typ xe x = 2e x är ekvivalent med x = 2. Algebraiskt omformulerar ena ledet, typ ekvationen 1 = x 2 + 2x + 1 är ekvivalent med 1 = (x + 1) 2. 7. Övningar. (1) Förenkla (a b) 3. (2) Faktorisera a) x 3 9x, b) a(a + b) 9(a + b), c) a 2 9a + ab 9b, d) x 6 x 4 + x 2 1. (3) Faktorisera (x + a) 2 b 2. (4) Förenkla 2 3x + 9 + x x 2 9 1 2x 6. (5) Förläng bråket 2 + 5 2 5, så att nämnaren blir fri från kvadratrötter. (6) Förenkla a) x 4 y 4 x + y, b) 16x 4 81 y4 2x + y, 3 c) 1 + 1 x+1 x 1 1 1 x 1 x+1 (7) Kvadratkomplettera polynomet p(x) = 2x 2 x 5, lös ekvationen p(x) = 0, samt bestäm det minsta värde som polynomet kan antaga. (8) Lös ekvationerna a) 2x + 3 = x och 2x + 3 = x, b) x + 2 x 1 = x..
KAPITEL 2 Heltal. I naturvetarens verktygslåda utgör olika sorters tal förstås en stor del. Historiskt har man allt eftersom nya problem dykt upp hittat på nya typer. Allra först kom förstås de positiva hela talen, som användes för att beräkna antal. Betraktat t ex som militär teknologi var det säkert en revolution - för första gången fick man en billig metod att avgöra om man kunde plundra grannbyn -man räknade helt enkelt hur många dom var och jämförde med hur många man själv var och hade så en enkel tumregel för om man skulle vinna eller inte. (Som så många matematiska modeller innebar detta förstås en grov men också effektiv förenkling av verkligheten.) Efter många hundra år införde man talet 0 (kanske som en symbol för en walk-over situation när grannbyn mangrant tagit semester) och fick så N, mängden av hela tal större än eller lika med 0. Negativa tal och bråktal är utvidgningar av detta vinnande koncept, och så småningom har man också hittat på reella tal (oändliga decimaltal) och t o m komplexa tal (och det finns fler varianter). Det finns flera poänger med att inte bums kila vidare till säg reella tal, funktioner och analys, utan först se vad man kan göra enbart med hela tal. En är att här kan man bygga upp känsla för hur en matematisk teoribyggnad ser ut och hur komplicerade de saker man kan göra med den kan bli. En annan och kanske oväntad sådan poäng är teorins aktualitet och användbarhet. Primtal är väsentliga i vissa viktiga tillämpningar av matematik från de sista decennierna. De är nämligen basen för de flesta moderna krypterings- och kodningsmetoder och det som följer i denna text (och mycket mer) används sålunda varje gång man stoppar in ett bankomatkort i en automat. Dessa tillämpningar är rätt nya, men baserade på resultat som varit kända i mer än 2000 år. (Det mesta av dem står i en bok av Euklides som kallas Elementa från cirka 300 fkr). Detta illustrerar att även om teorin kan tyckas vara ren vetenskap, enbart intressant ur ett vetenskapligt perspektiv och i sin egen rätt, så hindrar detta inte dess användbarhet, och också att allt i matematik inte är gjort, på långa vägar när. Det finns många andra exempel. 24
1. PRIMTAL OCH FAKTORISERING. 25 1. Primtal och faktorisering. Antag att man tittar på hur man kan konstruera hela tal. Från 2 och 3 kan vi med addition bilda t ex 5 = 2 + 3, 6 = 3 + 3,... I själva verket kan vi redan med 1 bilda 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Och vi inser förstås, att med 1 som den enda typen av legobit (men i obegränsat antal) kan vi få alla strikt positiva heltal med upprepad addition. Inte speciellt fantasieggande... Titta nu på nästan samma problem, men låt oss använda oss av multiplikation i stället för addition. Från 2 och 3 kan vi med multiplikation (hur många gånger vi vill eller ingen alls) bilda t ex 2, 3, 4 = 2 2, 6 = 2 3, 8 = 2 2 2, 12 = 2 2 3,... Några ögonblicks eftertanke får en att inse att vi inte kan få t ex 5 som en produkt av 2 och 3. Och situationen blir inte bättre av att vi lägger till 1 till legobitarna. För att kunna skriva alla heltal som produkter måste vi alltså ha tillgång till åtminstone 2 och 3 och 5. Men även då får vi inte med 7. Så då måste vi ha 7 också. Men då kan vi fortfarande inte skriva 11 som en produkt av våra legotal. Situationen är alltså helt annorlunda och mycket mer komplicerad än den var med addition. När världen känns krånglig och svår finns det inget (utom kanske kaffe med något starkt i och en deckare) som är så lugnande som en definition: Definition 2. Ett positivt heltal n kallas sammansatt om det är en produkt n = a b av två positiva heltal a och b som bägge är strikt större än 1. (Alltså 1 < a och 1 < b. Observera att av detta följer nödvändigtvist att 1 < a < n och 1 < b < n.). Om n är större än 1 och inte är sammansatt kallas det för ett primtal. Exempel 20. Talet 6 är ett sammansatt heltal ty 6 = 2 3. Talen 2, 3, 5, 7, 11 som dök upp i resonemanget ovan är primtal. Observera att talet 1 enligt definitionen inte är ett primtal. Det gör (så småningom) teorin lättare att hantera. Vi ger en definition till. Definition 3. Ett heltal b 0 kallas delare av ett tal n om det finns ett heltal a så att n = a b. Vi säger också att n delas av b. Ett annat sätt att uttrycka detta är att säga att kvoten n/b är ett heltal. Vi skriver detta som b n. Exempel 21. 2 och 3 är delare till 6, eftersom 6 = 2 3. Vilket positivt tal som helst n delas alltid av talet själv n och av 1, eftersom n = n 1. Talet n är alltså ett primtal om och endast om dess enda positiva delare är n och 1. Observera också att varje tal är en delare av 0, och att inget tal delas av 0.
26 2. HELTAL. Primtalen är de tal som vi fann ovan svara mot legobitar för att bygga upp tal med multiplikation. Varje tal verkar kunna skrivas som en produkt av primtal. Argument för att detta är sant är lätt att ge och det ska vi göra nu. Först ska vi se det i ett exempel med ett konkret heltal och sedan i allmänhet för alla heltal. Ofta i matematiska texter finns bara det allmänna argumentet för ett påstående och då är det ett mycket effektivt sätt att förstå argumentet att själv gå igenom det i ett speciellt fall. Exempel 22. Tag ett tal, t ex talet 3102. Precis som alla tal större än 1 är det antingen ett primtal eller ett sammansatt tal. Man ser att 3102 = 2 1551, så det är ett sammansatt tal, delbart med 2. Talet 2 är förstås ett primtal: de enda talen a, b mindre än 2 som kunde komma ifråga för att ge 2 = a b är ju a = b = 1, som ju inte fungerar. Fortsätt nu med 1551. Precis som alla tal större än 1 är det antingen ett primtal eller ett sammansatt tal. Om det är sammansatt så måste det vara delbart med något tal som är mindre än 1551. Låt oss kolla alla dessa. Talet är inte delbart med 2, men med 3 ty 1551 = 3 517. Hittills har vi fått 3102 = 2 3 517, och det är lätt att kolla att 3 också är ett primtal. Fortsätt med 517. Precis som alla tal större än 1 är det antingen ett primtal eller ett sammansatt tal. Det är inte delbart med 2 och därför inte heller med något jämnt tal över huvudtaget. Vidare är det inte delbart med 3 ty 517/3 = 172.333... och inte med 5 eller 7 ty 517/5 = 103.4 och 517/7 = 73.8571... Vi behöver inte kolla om 517 är delbart med 9 eller 10, för gäller det t ex att 517 = 9 a för något a så är ju också 517 = 3 3a, så att då skulle 517 vara delbart med 3. Men däremot är 517 delbart med 11, ty 517/11 = 47. För att sammanfatta har vi hittills fått 3102 = 2 3 11 47. Genom att pröva dela 47 med tal som är mindre än 47, ser man att 47 är ett primtal och vi har alltså fått en framställning av 3102 som en produkt av primtal, en primtalsfaktorisering. Talet i exemplet är förstås bara ett av oändligt många tal. Vi kan pröva fler tal och se att argumentet i exemplet fungerar på samma sätt, och sen är vi nog rätt övertygade om att det är sant att varje tal kan skrivas som produkten av primtal. Men vi vet inte att den är sann förrän vi gett ett bevis, d v s ett korrekt argument, som visar att satsen är sann för alla heltal. Som tur är kan vi analysera exemplet ovan och se varför samma teknik kommer att fungera för vilket heltal som helst (större än 1).
1. PRIMTAL OCH FAKTORISERING. 27 Sats 3. Varje positivt tal större än 1 är antingen ett primtal eller kan skrivas som en produkt av primtal. En alternativ formulering är: För varje heltal n 2 finns det r 1 och primtal p 1,..., p r så att n = p 1 p 2...p r. Bevis. Även det här beviset formuleras rätt pladdrigt. Poängen är att satsen ur en viss synvinkel sett ett rätt starkt påstående. Varför då? Jo det uttalar sig ju om existensen av något som vi konkret inte har en isbits chans i helvetet att hitta, ty redan för en del tal med säg bara futtiga tusen siffror kommer det att krävas en dator stor som universum och mer tid än dess återstående livslängd för att hitta en faktorisering. Som tur är behöver vi inte hitta konkreta faktoriseringar för alla tal. Vi behöver bara visa på en principiell metod och den kan vi hitta i exemplet. Det startade med att vi hade ett tal n (större än 1), och så konstaterade vi att precis som alla tal är det antingen ett primtal eller ett sammansatt tal. Notera nu att om n är ett primtal är vi klara: satsen är sann för detta tal. Annars så finns det a > 1 och b > 1 så att n = ab. Hade vi nu vetat att både a och b är primtal eller produkter av primtal, så hade vi varit färdiga. I förstone kan detta tyckas vara ett cirkelbevis. Men vad vet vi om a och b? Jo, åtminstone att de är strikt mindre än n. Så låt oss lägga upp beviset som ett tankeexperiment. Låt oss tänka oss att vi går igenom heltalen i storleksordning, startande med 2. Antingen är satsen sann för alla tal eller så kommer vi förr eller senare till ett första motexempel, alltså ett tal n som inte är en produkt av primtal och inte ett primtal själv. Låt oss antaga att vi har hittat ett sådant n. Eftersom n inte är ett primtal finns det heltal a, b så att n = ab. Men vi vet att alla tal strikt mindre än n är produkter av primtal (eller primtal själva). Speciellt gäller detta för a och b. Men då är förstås också deras produkt n = ab en produkt av primtal. Det är en klar motsägelse mot att vårt n skulle vara det minsta motexemplet. Alltså kan det inte finnas sådana n. D v s satsen är sann. Observera att vi också får en metod att hitta en primtalsfaktorisering på köpet. Givet ett tal n kollar vi för alla tal mindre än n om de delar n. Hittar vi inget så är n ett primtal, och om vi hittar n = ab, så tillämpar vi samma procedur på a och b. Exempel 23. Man kan lätt visa att om n är ett tal sådant att inga heltal a n delar n så är n ett primtal. (Se övningarna.) Detta kan användas för att med huvudräkning visa att 113 är ett primtal. Och för att kolla om 8521 är ett primtal med en miniräknare behöver du högst genomföra 30 divisioner, om du kan multiplikationstabellen och därmed vet vilka tal under 100 som är primtal. Exempel 24. Följande sätt att konstruera primtal kallas Eratosthenes såll. Det har fördelen att man inte ens behöver kunna räkna ut kvoter av heltal, och är egentligen samma