Lösning till fråga 5 kappa-06 Figurer till uppgift a) ligger samlade efter uppgiften. Inledning Betrakta först N punkter som tillhör den slutna enhetskvadraten inlagd i ett koordinatsystem enligt figur 1. N 3. Antag att den punkt P (Xp, Yp) som ligger längst till höger inte ligger på den högra kanten. Denna punkt kan då flyttas horisontellt tills den når denna kant. Härvid ökas alla avstånd mellan denna punkt och de övriga. Om dessutom alla punkter förskjuts åt höger med faktorn 1/X p kommer varje avstånd mellan två godtyckliga punkter med olika x-koordinater att öka. x A xb T.ex. blir det nya avståndet mellan punkterna A och B: ( ) + ( y A yb ) ) x x ( x A x ) + ( y y ) ) eftersom X P 1. B A B Man kan resonera på samma sätt åt vänster, uppåt och nedåt och slutsatsen blir att för varje värde på N 3 gäller att om det minsta avståndet mellan två godtyckliga punkter ska maximeras måste det finnas en punkt på varje sida i kvadraten. En punkt som ligger i ett hörn räknas då tillhöra båda sidorna som skapar hörnet. Om alla punkter ligger på randen måste den optimala placeringen av punkterna innebära att en godtycklig punkts (P:s) avstånd till sina två grannar är lika, ty annars kan P flyttas mot den granne som ligger längst bort. Sedan kan alla andra punkter flyttas i samma riktning (medsols eller motsols) och då ökar avståndet mellan de två punkter förut låg närmast varandra. a) N=3 Enligt ovan måste en punkt (P) ligga i ett hörn (t.ex. övre vänstra), för annars täcks inte alla sidor i kvadraten. Om den andra punkten (Q) ligger i motsatta hörnet och den tredje punkten (R) ligger inne i kvadraten är dess avstånd till minst en av punkterna P och Q mindre än 1. Detta inses om man drar cirkelbågar med radien 1 från hörnen där P och Q är belägna (se fig. ). Så låt oss utgå från att punkterna ligger i var sina hörn. Om P ligger mellan Q och R är avstånden PQ = PR = 1 och avståndet QR = (ej optimalt). Med P som medelpunkt ritas cirkelbågar med varierande radier r 1. Med r = 1 skär cirkelbågen kvadratens hörn där Q och R ligger. Radien ökas successivt och cirkelbågen skär kvadratens nedre och högra kant. Q och R flyttas till dessa skärningspunkter. Då avståndet QR = r har vi uppnått den optimala placeringen av punkterna P, Q, R (en liksidig triangel med sidan d.) Ökas radien ytterligare kommer avståndet QR bli mindre än d. (Se fig. 3) 1 4 d = = = 6 1,035 är det maximala avståndet mellan de punkter cos(15 ) 6 + som ligger närmast varandra. P P
N = 4 Lösningen verkar självklar med punkterna P, Q, R och S i kvadratens hörn och det maximala minimiavståndet d = 1. Om en punkt flyttas till det inre av kvadraten är avståndet till minst två närliggande hörn mindre än 1, (detta inses om man drar cirkelbågar från kvadratens fyra hörn, se fig. 4) vilket utesluter en kant att placera någon punkt på som motsägs av det inledande resonemanget. Alltså alla punkter ligger på randen. Om P flyttas en sträcka a (0 a 1) mot Q måste Q flyttas en sträcka a mot R osv. för att alla avstånd skall bli lika (se fig. 5) och då erhålls: d = (1 a) + a = 1 a(1 a) 1 med likhet för a = 0 och a = 1 vilket medför att den optimala lösningen erhålls då punkterna befinner sig i var sitt hörn och d = 1. N = 5 Kvadraten delas i fyra kongruenta delkvadrater. Om 5 punkter skall placeras i dessa fyra kvadrater måste en av dem innehålla minst två punkter. Det längsta avståndet (d) mellan dessa punkter är delkvadratens diagonal 0, 707 och eftersom de fem punkterna kan placeras enligt fig. 6 med alla avstånd mellan två godtyckliga punkter d är detta den optimala placeringen med maximalt minimiavstånd lika med d. N = 6 Dela kvadraten i 6 kongruenta rektanglar och placera punkterna enligt figur7. Det maximala avståndet mellan de två punkter som ligger närmast varandra är 1 1 13 d = + = 0,601 3 6 Vi försöker hitta ett större värde på d. Dra en vertikal symmetrilinje enligt fig. 8. Om någon punkt ligger på symmetrilinjen måste den ena slutna kvadrathalvan innehålla minst 4 punkter vilket innebär att en sluten delrektangel innehåller minst två punkter. Största avståndet mellan dessa punkter blir då lika med d. Om ingen punkt ligger på symmetrilinjen delas kvadraten i fyra kongruenta delkvadrater med hjälp av två symmetrilinjer enligt fig. 9. Ingen punkt får nu ligga på någon av dessa symmetrilinjer ty då kommer någon kvadrathalva att innehålla minst fyra punkter vilket ger 13 maxavstånd enligt ovan. 6 Vidare måste två av delkvadraterna innehålla två punkter och dessa kvadrater måste ligga diagonalt annars blir det åter igen fyra punkter på ena halvan av enhetskvadraten. Antag att delkvadraterna I och III innehåller två punkter. Avståndet mellan punkterna skall vara större än d. Detta medför att de måste placeras i rutorna enligt fig. 10 eller 11. Vi förstorar figur 11 (se fig. 1) och drar cirkelbågar med radien d med nedre högra hörnet i ruta och övre vänstra hörnet i ruta 1 som medelpunkter. Punkterna i ruta 1 och måste då ligga i de skuggade områdena. Motsvarande begränsningar fås för punkterna i ruta 3 och 4.
Punkten som skall placeras i delkvadrat IV läggs i det övre vänstra hörnet för att avstånden till närmaste punkterna i delkvadraterna I och III skall maximeras. Detta innebär dock ytterligare begränsningar för var punkterna i ruta 1 och 3 kan ligga (se figur 1). Detta påverkar i sin tur var punkterna i ruta och 4 kan ligga. Slutligen ser man om man drar cirkelbågar från punkterna A och B med radien d genom delkvadrat II kommer en punkt som ska ha avståndet d till både A och B att hamna utanför delkvadrat II. Det maximala avståndet mellan två närliggande punkter kommer alltså att vara mindre än d. Då återstår placeringen enligt fig. 10 förstorad i fig. 13. En punkt A placeras i nedre vänstra hörnet (bästa placeringen för den punkten för att maximera d). En cirkelbåge med radien d dras med A som medelpunkt. Den skär symmetrilinjerna i B och C. Om man som gränsfall väljer B eller C som läge för punkten i ruta erhålls genom successiva cirkeldragningar olika uppsättningar av ursprungsplaceringen av punkterna enligt figur 7. Vi undersöker det symmetriska fallet då punkten i ruta är placerad på diagonalen. Cirkelbågar med radien d dras med D som medelpunkt. De skär kvadratens rand i E och F. Cirkelbågar med E och F som medelpunkter skär kvadratens rand i G och H. Avstånden AD, DE, DF, FG och EH är då lika med d. Avståndet GH ges av 13 (1 d (1 d ) vilket ger värdet 0,591 med d = 6 Det verkar alltså troligt att om vi betraktar det maximala avståndet mellan de punkter som ligger närmast varandra som funktion av punkten i ruta : s läge på cirkelbågen BC så har vi maximum i B och C och ett litet minimum i D. En annan intressant placering fås om vi i fig. 14 antar att alla avstånd inklusive GH är lika! r 3 r 6 Enligt figur 15 erhålls: = r + + vilket ger r = 0, 598 < d 3 13 Vi vidhåller alltså att den bästa lösningen finns i figur 7 med d = 6 (Man kan gå vidare med fallet enligt fig. 13 mot förhoppningsvis ett fullständigt bevis med flera cirkeldragningar mm för att begränsa punkternas lägen men nu är tiden och orken slut). b) Om punkterna endast får ligga på kvadratens rand får vi samma resultat för N = 3 och N = 4. Vid placering av punkterna på randen bör hörnen utnyttjas maximalt ty till ett hörn måste man gå längs kvadratens rand och inte ta några genvägar. För N = 5 och N = 6 Se bilagor!