3.1 Derivator och deriveringsregler

3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0, och derivatan =,56 e 0, I tillämpningar är derivatan ett mått på funktionens förändringshastighet. (5) 67 betder att lufttrcket på höjden 5 km sjunker med hastigheten 67 mbar/km. Derivatan till en funktionen f() kan bestämmas på flera olika sätt. Med derivatans definition f ( + h) f () f () = lim h 0 h Med deriveringsregler som är härledda ur derivatans definition. 3 Med numerisk derivering får vi ett approimativt värde. T e med en central differenskvot: f( + h) f( h) f () h Många räknare använder denna approimation för numerisk derivering. f () 4 För små h är differenskvoten f ( + h) f( + h) f( ) ungefär lika med f (). f () h h f( + h) f( ) f () h eller f ( + h) f () + h f (). Om h = kan denna approimation skrivas f ( + ) f () + f (). Derivatan av en funktions derivata skrivs f () och kallas andraderivatan. f () = sin cos funktionen f () = cos + sin förstaderivatan f () = sin + 4 cos andraderivatan + h skrivsätt Om = f () så kan skrivas d eller D f () ( utläses prim ) d skrivas d d eller D f () ( utläses bis ) 00 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb 00 03-0-3 09.4

Med hjälp av definitionen kan följande deriveringsregler härledas: Deriveringsregel = a, a reellt tal = a a, där > 0 = 5 3 + 4 + 7 = 5 + 4 Eempel = + = / + = / + ( ) = = e k = k e k = 5 e 3 = 3 5 e 3 = 5 e 3 = a = a ln a = sin och = cos = cos = sin = 00 0,9 = 00 0,9 ln 0,9 0,5 0,9 = 4 sin + cos = 4 cos sin = f ( g( ) = f ( g( )) g ( ) (kedjeregeln) = ( + ) 0 = 0 ( + ) 9 (4 + ) = e 63 = e 63 (8 ) = 5 cos 3 = 5 sin 3 3 = 5 sin 3 3 = = (sin ) sin 3 = ( 3 ) (sin ) 4 cos = 3 cos sin 4 I eemplen ovan har vi också använt de generella reglerna: = k f () ger = k f ( ) där k är en konstant = f ( ) + g () ger = f ( ) + g ( ) dvs vi kan derivera term för term 30 Bestäm + + om = e + sin 3 = e + sin 3 ger = e + 3 cos 3 och = 4e 9 sin 3 + + = e + sin 3 + e + 3 cos 3 + 4e 9 sin 3 = = 7e 8 sin 3 + 3 cos 3 30 Uppskatta f (3,) med hjälp av approimationen f( + ) f() + f ( ) om vi vet att f (3) = 4 och f (3) = 0,5. f( + ) f () + f () f (3,) = f (3 + 0,) f (3) + 0, f (3) = 4 + 0, ( 0,5) = 3,9 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER 0 Bla 4.indb 0 03-0-3 09.4

Derivatan av en produkt Eempel Funktionen = 5 + 3 4 är en summa av två termer och vi kan derivera funktionen term för term. = 0 + 3. Funktionen = e sin är en produkt av två faktorer. Får vi derivera en sådan funktion faktor för faktor? Vi undersöker med en annan produkt där vi kan förenkla och se vad derivatan ska bli. = 5 3 4 kan förenklas till = 5 6 som har derivatan = 90 5. Om vi deriverar faktorerna var för sig får vi: Faktor Derivata f () = 5 f () = 0 g () = 3 4 g () = 3 Produkten = 5 6 har Produkten av f och g blir derivatan = 90 5. f g = 0 4. Stämmer inte alls! Fel koefficient och fel eponent! Slutsats: Vi får inte derivera en produkt faktor för faktor. För att få rätt derivata använder vi istället sambandet mellan faktorer och derivator som vi fann i aktiviteten på föregående sida. Funktionen = f ( ) g () ger derivatan = f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) = 5 3 4 ger = 5 3 + 0 3 4 = 60 5 + 30 5 = 90 5 Allmänt Vi motiverar att sambandet gäller allmänt på två olika sätt. metod Bilda differenskvoten för = f () g ( ) f ( + h ) f () f ' ger h f ( + h ) g ( + h ) f ( ) g ( ) f ( + h) f () + h f '() h g ( + h) g () + h g '() ( f () + h f ()) ( g ( ) + h g ( )) f ( ) g ( ) = Förenkla täljaren h f( ) h g ( ) + h f ( ) g ( ) + h f ( ) h g ( ) = = Dividera med h h = f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) + h f ( ) g ( ) Då h 0 går differenskvoten mot f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) 04 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb 04 03-0-3 09.4

metod g g A = gf f f Den gröna rektangelns area: A( ) = f () g ( ) Om ändras med så ändras f med f och g med g. Arean ändras då med (se figur): A = f() g + f g() + f g Differenskvoten blir då: A = f ( ) g + f g ( ) + f g Låter vi gå mot noll får vi derivatan: d A d = lim f ( ) g + f g ( ) + f g = 0 = f ( ) lim g + lim f f g g ( ) + lim = f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) dvs 0 0 0 d ( f ( ) g ( )) = f ( ) g () + f ( ) g () d Om = f () g ( ) så är Produktregeln ' = f ( ) g' ( ) + f' ( ) g ( ) ' = den första faktorn den andra faktorns derivata + den första faktorns derivata den andra faktorn 38 Derivera = e sin f ( ) g'( ) f'( ) g ( ) = e cos + e sin = e (cos + sin ) 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER 05 Bla 4.indb 05 03-0-3 09.4

Derivatan av en kvot Eempel Hur deriverar vi = sin, dvs kvoten av sin och? Vi har en regel för derivering av en produkt men inte av en kvot. Vi utnttjar detta och skriver om = sin som en produkt. Vi får: = sin = sin som kan deriveras med produktregeln. = cos + sin ( ) = cos sin cos sin = På samma sätt härleder vi en allmän formel för derivatan av en kvot. = f () där g ( ) 0 g () = f ( ) (g( )) som deriveras med produkt- och kedjeregeln. = f ( ) (g( )) + f ( ) ( )(g( )) g ( ) = f () f ( ) g ( ) g( ) (g( )) = f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) = (g( )) Kvotregeln = f ( ) g ( ) eller ( g ( ) 0) ger ' = f ' ( ) g ( ) f ( ) g' ( ) (g ( )) ' = täljarens derivata nämnaren täljaren nämnarens derivata, allt dividerat med nämnaren i kvadrat. Eempel Med kvotregeln får vi derivatan av = tan. = tan = sin cos = = cos cos sin ( sin ) cos cos = cos + sin cos (trigonometriska ettan i täljaren) eller = cos sin + = + sin cos cos = + tan Derivatan av = tan Funktionen = tan har derivatan ' = cos = + tan 08 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb 08 03-0-3 09.4

Eponential- och logaritmfunktioner Eempel Vi repeterar några fakta om eponentialfunktioner. Eponentialfunktionen = C a är definierad för alla reella tal. Värdemängden är > 0. Grafen är antingen väande för alla (a > ) eller avtagande för alla (a < ) = Ca har derivatan = Ca ln a Med kedjeregeln kan vi derivera t e =,3 4 som ger =,3 4 ln,3 4 = 8 ln,3,3 4 När en eponentialfunktion skrivs med basen e är funktionen enklare att derivera. T e = 50 e 0,3 = 50 0,3 e 0,3 = 5 e 0,3 C C = Ca a > = Ca a < Derivatan av = a k = e k För eponentialfunktioner gäller = a k ' = a k ln a k = e k ' = k e k Eempel Hur deriverar man = ln? = ln är skrivet i logaritmform. I potensform kan detta skrivas e =. Vi deriverar båda leden i e = med avseende på variabeln och använder kedjeregeln. Vi får e = vilket kan skrivas = e = ttre derivatan inre derivatan Derivatan av = ln Logaritmfunktionen = ln, > 0, har derivatan ' = 346 Derivera a) = ln 5 b) = ln a) Derivera med kedjeregeln: b) Kvotregeln ger = 5 5 = Inre derivata eller Skriv om funktionen med = ln en logaritmlag: = ln 5 = ln 5 + ln = ln = 0 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb 0 03-0-3 09.4

Samband mellan förändringshastigheter Kedjeregeln ger ett samband mellan olika förändringshastigheter. Eempel Antag att vi har en area A som beror av en variabel som i sin tur beror av tiden t. Arean kan då beskrivas av den sammansatta funktionen A(t) = A((t)). Kedjeregeln ger att d A d t = d A d d d t ttre derivatan inre derivatan På denna form ger kedjeregeln ett användbart samband mellan olika variabler och förändringshastigheter för sammansatta funktioner. 367 En rektangel har basen b = 4 cm och höjden = 3 cm. Rektangelns höjd ökar med 0,5 cm/min, dvs d h = 0,5 cm / min d t a) Ställ upp en formel för hur rektangelns area A beror av tiden t. b) Bestäm och tolka d A d t c) Bestäm d A d h om A = b h d) Visa att d A d t = d A d h d h d t a) Arean i cm efter t minuter ges av A(t) = b h = 4 (3 + 0,5 t) = + t b) d A betder derivatan av A med avseende på variabeln t d t A(t) = + t d A d t = Tolkning: Arean ökar med hastigheten cm / min. c) d A betder derivatan av A med avseende på variabeln h d h A = b h d A = b = b (b ska behandlas som en konstant) d h d) VL = d A d t = cm /min HL = d A d h d h d t = b d h d t = 4 cm 0,5 cm/min = cm /min = VL 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER 3 Bla 4.indb 3 03-0-3 09.4

368 En isskulptur har formen av ett klot. Den smälter så att radien minskar med hastigheten mm/h. Med vilken hastighet förändras volmen när radien är 5 dm? Beteckningar: Klotets volm = V dm 3 Klotets radie = r dm Tiden = t h Hastigheten med vilken radien förändras = dr Hastigheten med vilken volmen förändras = dv Volmen beror av radien som förändras med tiden, vilket kan skrivas V(r(t)). Derivatan av V med avseende på t blir enligt kedjeregeln: dv = dv dr dr Klotets volm, V = 4π r 3 3 d V d r = 3 4π r 3 = 4π r Radien minskar med hastigheten mm/h = 0,0 dm/h vilket kan skrivas d r d t = 0,0 dv = dv dr dr d V d r = 4π r d r d t r = 5 och d r = 0,0 ger d t d V d t = 4 π 5 ( 0,0) = 6,83... 6 Svar: Volmen minskar med 6 dm 3 /h. 4 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb 4 03-0-3 09.4

3. Grafer Grafer och derivator Förstaderivatan är ett mått på en kurvas lutning. = f ( ) = f ( ) a b f ( ) > 0 för a < < b a b f ( ) < 0 för a < < b väande och avtagande Om > ger att f( ) f( ) så är f väande och om f( ) > f( ) så är f strängt väande. Om > ger att f( ) f( ) så är f avtagande och om f( ) < f( ) så är f strängt avtagande. Enligt denna definition är den vänstra grafen ovan både väande och strängt väande och den högra både avtagande och strängt avtagande. lokal maimipunkt lokal minimipunkt Andraderivatan är ett mått på hur förstaderivatan ändras. 0 + 0 + a a I en lokal maimipunkt är: I en lokal minimipunkt är derivatans teckenväling + 0 derivatans teckenväling 0 + andraderivatan negativ (förstaderivatan minskar) andraderivatan positiv (förstaderivatan ökar) För att hitta etrempunkter (lokala maimi- och minimipunkter) till en kurva = f () kan vi göra på följande sätt: Bestäm f () och lös ekvationen f () = 0. Antag = a är en lösning Bestäm f () och beräkna f (a). 3 Om f (a) > 0 så har f ett minimum för = a. Om f (a) < 0 så har f ett maimum för = a. 4 Om f (a) = 0 undersök teckenväling för f () + 0 ger maimipunkt. 0 + ger minimipunkt. + 0 + 0 ger terrasspunkt. 6 3. GRAFER Bla 4.indb 6 03-0-3 09.4

största/minsta värde Antag att vi har en snäll funktion som har en sammanhängande graf som vi kan derivera överallt. För att hitta funktionens största och minsta värde i ett begränsat intervall måste vi undersöka och jämföra funktionsvärdet i punkter där f () = 0 intervallets ändpunkter Lokalt ma Största värde globalt och lokalt ma Största/minsta värde är ett -värde. En punkt anges med - och -koordinat. Det är dock vanligt att t e en maimipunkt bara anges med -koordinaten. Minsta värde globalt och lokalt min Lokalt min 30 Skissa med hjälp av derivata grafen till = 3 /3 8 i intervallet 0 0 och bestäm funktionens största och minsta värde i intervallet. Kontrollera med grafräknare. = 3 /3 8 = 8 Vi beräknar funktionsvärden för där ' = 0 samt för intervallets gränser. = 0 ger 8 = 0 Derivatans tecken beräknar vi för något mellan 0 och = 4 och = (ej i intervallet) 4 samt mellan 4 och 0. 0 4 0 0 + 0 ] min: 6,7 Z 53,3 60 Kontroll: 3 = 8 3 60 (0, 53,3) 0 0 40 (4, 6,7) I intervallet är funktionens största värde = 53,3 och minsta värde = 6,7 3. GRAFER 7 Bla 4.indb 7 03-0-3 09.4

Olika tper av grafer Vi börjar med att repetera några begrepp som behandlar funktioner och deras grafer. definitionsmängd värdemängd kontinuerlig deriverbar En funktions definitionsmängd är tillåtna värden för den oberoende variabeln, t e. Värdemängden är de funktionsvärden, t e, som definitionsmängden ger. Ordet kontinuerlig betder sammanhängande. En förenklad beskrivning av en kontinuerlig graf är att den går att rita utan att lfta pennan. En funktion är deriverbar i alla de punkter förstaderivatan eisterar, dvs där kurvan har en tangent. Eempel = 3 3 Defintionsmängd: Alla reella tal Värdemängd: Alla reella tal Funktionen = 3 3 är kontinuerlig och deriverbar för alla. = = ln Definitionsmängd: 0 Värdemängd: 0 Funktionen = är kontinuerlig och deriverbar för > 0 = tan π Definitionsmängd: > 0 Värdemängd: Alla reella tal Funktionen = ln är kontinuerlig och deriverbar för > 0 = / Definitionsmängd: π + n π Värdemängd: Alla reella tal Funktionen = tan är inte kontinuerlig och inte deriverbar då = π + n π Definitionsmängd: 0 Värdemängd: 0 Funktionen = / är inte kontinuerlig och inte deriverbar då = 0 största/minsta värde För att avgöra om en funktion f har ett största/minsta värde måste vi, utöver etrempunkter och intervallgränser, också undersöka om det finns punkter där f inte är kontinuerlig eller deriverbar. 0 3. GRAFER Bla 4.indb 0 03-0-3 09.4

36 f( ) =. Beräkna om f( ) = = ger två möjligheter = eller = = 0,5 eller =,5 37 Rita grafen till a) = b) = 6 om 0 a) Definitionen ger = = om < 0 dvs för 0 ritar vi = och för < 0 ritar vi = 6 om 6 0 b) = 6 = ( 6) om 6 < 0 dvs för 3 ritar vi = 6 och för < 3 ritar vi = ( 6) = + 6 38 Figuren visar grafen till en funktion f. a) Bestäm funktionen. b) Är funktionen kontinuerlig och deriverbar för alla -värden? Motivera. a) Vi bestämmer linjens ekvation för k = och m = ger f() = + för f() = + för alla Vi ser t e att = 3 ger f( 3) = 3 + = = vilket stämmer med grafen. b) Funktionen är kontinuerlig och definierad för alla -värden, eftersom grafen är sammanhängande. Funktionen är inte deriverbar då = eftersom grafen saknar tangent där. Närmar vi oss = från höger är lutningen. Närmar vi oss = från vänster är lutningen. Funktionen är inte deriverbar där den har en spets. 3. GRAFER Bla 4.indb 03-0-3 09.4

Kurvor och asmptoter När vi studerar funktioners grafer är det bra att ha god kännedom om derivata och olika funktioners egenskaper. Eempel Skissa i stora drag grafen till = 3 4 + För stora är 3 och för små är 4 +. 4 + 3 3 Polnomfunktioner är snälla funktioner som är kontinuerliga och deriverbara överallt. Eempel Skissa i stora drag grafen till = + För stora är eftersom 0. För små är eftersom 0. Funktionen = är ej definierad för = 0. När närmar sig 0 går / mot ± beroende på om är positivt eller negativt, kurvan närmar sig -aeln. / / asmptot -aeln och den räta linjen = är asmptoter till = +. En asmptot är en rät linje sådan att avståndet mellan kurvan och linjen närmar sig noll när avståndet till origo går mot oändligheten åt något håll. En kurva kan ha vertikala asmptoter där den ej är definierad, t e = är ej definierad för = 4 och har asmptoten = 4. 4 En kurva kan ha horisontella eller sneda asmptoter då en eller flera termer går mot noll för stora, t e = + 3 har asmptoten = 3. 3. GRAFER 5 Bla 4.indb 5 03-0-3 09.4

33 Ange grafens asmptoter. Motivera ditt svar. a) b) = = e a) -aeln är en asmptot eftersom e 0 då b) = och = är asmptoter. är ej definierat för =. När närmar sig närmar sig kurvan =. För stora är 0 vilket ger dvs kurvan närmar sig =. 333 a) Skissa grafen till = + 6 med hjälp av derivata. 4 b) Ange eventuella asmptoter till kurvan. a) Funktionen blir enklare att studera om vi först skriver om den. = + 6 = 4 4 + 4 = 0,5 + 4 ( 0) = 0,5 4 = 0,5 4 = 0 ger 0,5 4 = 0 = 6 och = ±4 4 0 4 + 0 ej def 0 Z ] ] Z ma min = 4 ger ma = = 4 ger min = b) = 4 + 4 är ej definierat för = 0. -aeln är en asmptot. För stora är 4 0 vilket ger 4 Svar: -aeln och = /4 är asmptoter. 6 3. GRAFER Bla 4.indb 6 03-0-3 09.4

39 a) = cos + sin b) = = ( 3 sin 3) + cos 3 = = cos 3 3 sin 3 30 a) = 6 + + 6 = ( + ) + (3 + ) b) = 6 + + 6 = 3 + + 6 + 3 3 a) = sin b) = sin c) Kommentar: Produktregeln måste vi använda när vi har en produkt av funktioner som beror av t e. Är den ena faktorn en konstant så är det enklare att använda sambandet i a). 3 a) = sin cos b) = sin cos + cos sin = = sin cos 33 a) = 5 e Lösning: = e 3e + e e 3 = = 5e 5 b) = 5e 5 = e 5 34 Petter har rätt. Motivering: Derivatan är en summa. En summa förändras inte om ordningen på termerna ändras. 35 a) = cos b) = sin 36 a) = Faktorisering av derivatan ger e ( + ) = 0 och e > 0 för alla. b) = 0 eller = / 37 a) h (3) = 8 h (3) = f (3) + g (3) b) h (3) = 93 h (3) = f (3) g (3) + f (3) g(3) 38 f (4) = 6,5 f (4) = 4 g (4) + 4 g(4) 39 a) A (t) = 8 cos t + 8 cos t cos t 6 sin t 4 sin t sin t b) A (5) 4,95 Efter 5 sekunder minskar arean med 5 m /s. 330 e 33 a) = cos 3 3 sin cos b) = (sin e + + cos e ) + sin e = = e ( sin + cos + + sin ) Använd produktregeln i produktregeln. 33 a) fg Lösning: ( f + g) ( f g) = 4 f + g + fg f g + fg = = 4 = fg b) Lösning: = fg = ( f + g) ( f g) 4 4 Kedjeregeln ger: = = ( f + g)( f + g ) 4 ( f g)( f g ) = 4 = ( ff + fg + gf + gg ) 4 ( ff fg gf + gg ) = 4 = 4 fg + 4 f g = f g + f g 4 333 Lösning: f (gh) + f (g h + gh ) = = f gh + fg h + fgh 334 a) V = f gh + f g h + + fg h + f g h + f g h + fg h + f g h V = ( f + f ) (g + g) (h + h) fgh b) lim V = f gh + fg h + fgh 0 Ställ upp differenskvoten V/ och bestäm de olika termernas gränsvärde. Jämför med metod på sidan 05. Historik: Leibniz och produktregeln a) f () = u v = 0 = 0 b) f () = 5 4 u v = 3 = 6 3 c) f () = 3 + + u v = = a) Produktregeln ger derivatan: (c + d) ( + b) + c ( + b) = = 3c + (bc + d) + bd Parentesmultiplikation ger: c 3 + (bc + d) + bd vars derivata är: 3c + (bc + d) + bd 3 Om u och v är konstanter blir derivatan i båda fallen 0. 336 a) f () = ( + ) b) f () = sin cos = sin + cos = 337 a) f () = b) f () = cos sin = sin e cos e = (e ) = sin + cos e SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 69 Bla 4.indb 69 03-0-3 09.47

338 a) = 3 5 5 b) = 339 a) = 0 3 6 3 b) = 3 4 = 3 4 340 f π 3 = 4 T e f () = + tan tabell ger tan (π/3) = 3 = 3 4 34 = 3 b -, dvs derivatan beror av b men inte av a. = 3 + a + b/ 34 a = 8 Kvotregeln ger a f () = ( ) 343 a) = e + e = = e = e b) Ja. Motivering: = f()/g() = f () (g()) 344 = sin cos sin 345 = (8π 6) + 8 π π = ( + tan ) tan (π/4) = π / 8π 6 = (π / 4) π 349 a) = / b) = 4/ c) = / d) = 4/ Kedjeregeln ger = 4 4 3 eller logaritmlag ger = ln 4 = 4 ln 350 a) = e /5 b) = 5 ln 5 c) = 3 000, ln, 340, d) = 0 ln 0 4,60 0 35 a) = ln b) = / c) = ln ( ) = = ln d) = ln Skriv först om till =. 35 a) = (5 + ) 5 = = 5 (5 + ) b) = e = e c) = cos sin = (sin ) d) = 4 e (e + ) 3 Lösning: = (e + ) = (e + ) 3 e = 4 e = (e + ) 3 353 a) = e ln + b) = e 354 Hassan har rätt. Motivering: ln a har derivata a a = 3 355 = (, 0) Lösning: () = / () = () = 0 Tangentens ekvation 0 = ( ) = 356 f (e) = 0 f () = ln ln 357 a) N (7) = 37,7 Tolkning: Efter sju dgn insjuknar ungefär 38 personer/dgn Använd räknarens deriveringsverktg eller derivera för hand. 6 50 e N (t) = t ( + 49 e t ) b) N (7) = 3,7 Tolkning: Efter sju dgn minskar antalet som insjuknar varje dag med 4 (personer/dgn)/ dgn N (t) = t t t 3000500e 650e ( + 49e ) = t 3 ( + 49e ) 358 a) = cos eller = ( + tan ) b) = tan cos eller = tan ( + tan ) sin c) = = tan cos d) = = ln ln 70 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Bla 4.indb 70 03-0-3 09.47

359 = (, 0) () = ln 3 Tangentens lutning = () = 360 = e /3 0,77 3 ln + = 0 (3ln + ) = 0 Obs, > 0 36 = Lösning: = ger = = = / = 36 a) Lösning: = a = e ln a = ln a e ln a = ln a a b) Lösning: = a ln = ln a = ln a = ln a = ln a a 363 = ln 0 Motivering: = lg 0 = ln 0 0 = = ln 0 0 = ln 0 364 a) Lösning: VL = = tan = = sin cos = = cos = cos cos = = HL b) Lösning: = sin 3 cos sin = 3 cos sin = 3 tan cos = = sin cos 3 sin cos = cos 365 Nej, = ln har ett minimivärde e 0,3679. Lösning: Sätt f () = ln > 0 f () = ln + = ln + f () = 0 ger ln = vilket ger = e f () = > 0 för > 0 = e ger minimivärde f min = e ln e = e 0,36787... ln > 0,3675 gäller ej för alla > 0. 366 Maimipunkt: (e, e /e ) (e, e /e ) Lösning: () = / ln / = e ln ln () = e + = = ln () = 0 då ln =, dvs då = e. Maimipunkt: (e, e /e ) 369 a) d d t = cos t b) d A d t = 8 r 370 a) d r d t = 0,075 b) d A d r = π r c) d A 0,94 (π 0,075) d t Tolkning: När radien är,0 m ökar arean med hastigheten 0,94 m /s 37 a) d V d t = d V d d d t b) d V d t 5 dm3 /h d V d t = 3 d d t Omvandla till samma längdenhet, t e dm, dm/h 37 a) 36 cm /min A = d A d t = d d t c) 0,9 cm/min d d t = d A d t / 373 0,0074 cm/s d V d t = 4π r d r d t 374 a) dv b) dv c) dv = πr dh =πrh dr =9πr dr 375 a) Sidan är 6 cm. Volmen minskar då med 6 cm 3 /min. b) Det är inte säkert att den smälter med konstant hastighet. 376 a) Om radien minskar med r minskar volmen med klotets area multiplicerat med r. Jämför t e med att skala bort ett tunt skal på en lök. SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 7 Bla 4.indb 7 03-0-3 09.47

b) A = πr da =π r dr där πr är cirkelns omkrets. Om radien ändras med r ändras arean med omkretsen multiplicerat med r. 377 Höjden stiger med 0,39 cm/min. Lösning: dv dv dh = π 3 (7h 3h ) dh = π h(9 h) dh ger dv = π h( 9 h) dv h = 4,5 och =,5 ger dh 5, = 0,039 π 45, 45, 378 Vätskenivån sjunker med 0,35 cm/min Lösning: För vattenkonen med radien r och höjden r gäller V = πr r πr 3 = 3 3 dv = 3 πr dr = π r 3 dr dr ger dv dv = πr = 360 r = 8 ger 0,35 dr 360 = π 8 303 a) = eller = b) ( ) = 9 < 0 dvs lokal mapunkt då = () = 9 > 0 dvs lokal minpunkt då = c) Kontrollera att grafen har lokalt min (; 0,5) och lokalt ma (, 4) 304 a) Visa att = cos är 0 då = π 3π och = 4 4 b) π 4 = 4 < 0 dvs lokal mapunkt då = π 4 3π 4 = 4 > 0 dvs lokal minpunkt då = 3π 4 c) Kontrollera att grafen har lokalt ma ( π, ) och 4 lokalt min ( 3π 4, ) 305 a), 3, 4 306 a) b) 5 c), 6 d), 3, 5 b) är väande för < och Derivata ger lokalt ma (, ) och lokalt min (, ) 307 (; 0,5) 308 309 0,4 Kurvan har lokalt ma (,5; e,5 ) 30 a) Energiåtgången per meter minskar. b) 6 m/s. = k 3 har sitt minsta 4 värde då = 3 har sitt 4 minsta värde. 3 a) b) = 3 ger min = 7 0,037 3 ( 5π 6, 5π 3 3 ) 33 a = 6 = 3 a ska vara noll då =. Visa att () > 0. 34 a) A (v) = = 44 sin v cos v = = 44 sin v, 0 v π/ Höjd = sin v Bas = cos v b) A () = 44 0 c) 44 cm för v = π/4 och = 7. 7 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Bla 4.indb 7 03-0-3 09.47

35 = ger min Lösning: z u z 6 u u Pthagoras sats ger = + u (uppvikta triangeln) (6 ) + z = u = (u z) + 6 (färgade trianglarna) 6 3 =, 8 < 6 6 Sök minimum för. Sätt = z, sök minimum för z. 3 z =, 8 < < 6 6 (m) z = ( ) 3 66 = ( 6) = 96 4 ( 6) 3 3 = = 8 3 96 = 8 ( ) ( 6) ( 6) z = 0 för = i intervallet. Teckenstudium av z ger att det blir minimum. 39 a) b) 9 c) 4,9 30 a) f(3) =, f( 3) = 5 3 a) b) = 9 eller = 5 = = b) Kontrollera graferna med din grafräknare. Använd t e = abs () 3 Fiona har fel. Motivering: 0 = 0 är inte ett positivt tal men 0 ger > 0. 33 a) A Motivering: Grafen är inte sammanhängande för = b) A största och minsta värde saknas. B största värde saknas, minsta värde är. Motivering: A väer resp avtar obegränsat när närmar sig. B saknar största värde då ( + ) kan bli hur stort som helst. Minsta värde är då ( + ) är noll. 34 a) = 5 b) Kommentar: Många räknare har begränsad upplösning varför graferna kan bli konstiga när man zoomar ut. 35 a) T e = /( ) b) T e = 36 = 0,5 + 5 Bestäm linjens ekvation för > 0. 37 a) Definitionsmängd: > Värdemängd: Alla reella tal. b) Förklaring: = ln (+) e = + ger att ln( + ) ej är definierat eftersom e > 0. Om närmar sig kan, som motsvarar en eponent, bli hur litet som helst, t e e 00 är ett litet positivt tal. När ökar väer först snabbt och sedan långsammare, t e e 7,4, e 3 0, e 4 55 38 Motivering: Både och ger avståndet mellan de reella talen och. 39 a =, b = 4 = 0 ger skärningen med -aeln. 330 a = 4, b = och c = 33 a = 4/3 Min.värde ger att triangelns bas är 3. Bestäm linjens lutning. 334 a) -aeln b) = och -aeln c) -aeln och = 0,5 d) = π/ 335 a) -aeln b) -aeln och = c) = 336 Förklaring: En asmptot är en rät linje som grafen närmar sig när avståndet till origo ökar. T e = e närmar sig -aeln när ökar. -aeln ( = 0) är en asmptot. 337 a) 0 = + 8 Lokalt ma: (, 8) Lokalt min: (, 8) b) Ja, -aeln och = c) Nej, när närmar sig 0 från höger väer obegränsat 338 a) För stora dominerar 3, = 3 är en asmptot. För små dominerar, -aeln är en asmptot. SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 73 Bla 4.indb 73 03-0-3 09.47

339 b) För stora dominerar 4 För små dominerar 4 Lokalt ma: (, ) Lokalt min: (, 3) Asmptoter: -aeln och = 0,5 + 340 a) Etrempunkter saknas eftersom derivatan saknar nollställen. Asmptoter: - och -aeln b) Lokalt ma: (0,5; 4) Asmptoter: - och -aeln, = 34 a) -aeln och = b) = 34 Nej, Johan har fel. Motivering: = sin + har = som mittlinje, dvs grafen varierar kring denna men närmar sig inte mer och mer när ökar. 343 = tan har asmptoterna = π/ och = π/ Motivering: När ökar närmar sig tan värdet π/ eftersom tan ökar obegränsat när närmar sig π/. På motsvarande sätt närmar sig tan värdet π/ när. 344 a) T e = e - + eller = + / b) T e = ( )( 3) + 345 Grafen har lokalt ma: (0, /4) och asmptoter = ± och =. (0) = 0, (0) < 0 Undersök för vilka uttrcket inte är definierat samt vilket värde närmar sig när blir stort. 330 a) Lösning: = 5 e ger = 0 e VL = = = 0 e 5 e = 0 = HL b) Lösning: = 4 cos, = 4 sin, = 4 cos VL = + = = 4 cos + 4 cos = 0 = HL 3303 T e + + = 0 3304 a) Lösning: VL = d d = A k e k HL = k = k A e k = VL b) (0) = A e k 0 = A 3305 Nej. Motivering: = e, = e + e VL = = e + e e = = e HL = = e = e VL HL 3306 A =, k = 0,03 3307 k = 3 Lösning: = cos k där k > 0 = k sin k = k cos k + 9 = 0 ger k cos k + 9 cos k = 0 cos k (9 k ) = 0 9 k = 0 k = 9 k = 3, k > 0 3308 r = eller r = 3 = e r är en lösning om r + r 6 = 0 3309 a) b) A = 0, B = 0 c) A =, B = 3 330 e = ( + e ) 33 a) T e = e 0, och = 0e 0, b) Kommentar: = C e 0, + C e 0, är en lösning för alla värden på C och C. 334 a) Lösning: = 50 e 0,0t ger (0) = 50 e 0,0 0 = 50 b) Lösning: VL = d 0,0t = 50 ( 0,0) e d t HL = 0,0 = = ( 0,0) 50 e 0,0 t = VL 335 a) År 00 var folkmängden 45 miljoner. b) Folkmängden ökar med en hastighet som är, % av folkmängden. 336 a) k = 0,5 b) Ca 33 000 st Beräkna (8). 337 a) b) C = 44 000 338 a) = 0,0 b) = k, k > 0 c) = k(0 ), k > 0 339 Lösning: s = v 0 t + at / s = v 0 + at s = a 330 a) A = 4 b) Lövmängden närmar sig 4 g/cm. 33 a) b) Begnnelsevärdet, dvs mängden föroreningar vid t = 0. c) Den tid det tar innan mängden föroreningar är en tiondel av begnnelsevärdet. 74 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Bla 4.indb 74 03-0-3 09.47