Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1
Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................ 5 4 Gradient och riktningsderivata 5 5 Partiella derivator av högre ordning 6 2
1 Partiella derivator För funktioner av flera variabler så fungerar inte derivering på samma sätt som för funktioner av en variabel. Säg att du har en funktion f av två variabler x och y. Om du vill studera hur funktionen f växer/avtar i punkten (a, b) så får du ta och studera hur funktionen beter sig längs varje koordinataxel. För att göra detta så kan man fixera en av variablerna x och y och samtidigt gå en liten sträcka h eller k längs en av axlarna. Detta innebär att vi studerar gränsvärdena f(a + h, b) f(a, b) lim h 0 h (1) och f(a, b + k) f(a, b) lim k 0 k där f är definierad i en domän D R 2 och (a, b) D. Dessa gränsvärden betecknar de partiella derivatorna där (1) är den partiella derivatan för f längs x-axeln och (2) den partiella derivatan längs y-axeln. Dessa brukar betecknas f(a + h, b) f(a, b) = f x (a, b) = lim (3) x (a,b) h 0 h och f(a, b + k) f(a, b) = f y (a, b) = lim y (a,b) k 0 k En viktig sak att anmärka angående partiella derivator är att de beter sig annorlunda än ordinära derivator. Detta är särskilt viktigt i partiella differentialekvationer. Låt oss ta exemplet x = 0 (5) där f är en funktion av x och y. Hade detta varit en ordinär derivata hade svaret varit enbart en godtycklig konstant C. Men för exemplet ovan är den allmänna lösningen f(x, y) = g(y) (6) där g är en godtycklig funktion av y. 2 Differentierbarhet För att undersöka en funktion av flera variablers egenskaper räcker det inte med att se att partiella derivator existerar, ty de ger endast information om funktionens lutning på koordinataxlarna. Istället inför man ett nytt, starkare begrepp, nämligen differentierbarhet. Definitionen av differentierbarhet för godtyckligt många variabler ser ut som följer. (2) (4) 3
Låt a vara en inre punkt i definitionsmängden D till en funktion f av n variabler. Vi säger att f är differentierbar i punkten a om det finns konstanter A 1,..., A n och en funktion ϱ(h) sådana att och f(a + h) f(a) = A 1 h 1 +... + A n h n + h ϱ(h) (7) lim ϱ(h) = 0. h 0 Om f är differentierbar i varje punkt a D säger vi att f är differentierbar. Utgående från denna definition kan ett par satser härledas, bland annat fås att en differentierbar funktion är kontinuerlig (Sats 2.2.1, PB) och även att (a) x i = A i, i = 1,..., n, (8) där beteckningarna enligt definitionen ovan gäller (Sats 2.2.2 PB). Detta ger oss ett, i vissa fall lättare, sätt att ta reda på talen A 1,..., A n och därmed avgöra huruvida en funktion är differentierbar. Som vi sedan kommer att se finns ännu ett sätt att avgöra en funktions differentierbarhet, men först måste vi förklara C 1. Om f C 1 (D) innebär det att funktionen är definierad i domänen D och att dess partiella derivator är kontinuerliga funktioner. Utifrån detta får vi att varje funktion f av klassen C 1 är differentierbar (Sats 2.2.3 PB). Det vill säga, om de partiella derivatorna till f är kontinuerliga är f en differentierbar funktion. Vill vi ta reda på en funktions tangentplan (vilket är det plan som tangerar en funktion i en viss punkt) kan vi, med hjälp av att utnyttja (8), göra det. Vi nöjer oss med att titta på en funktion av två variabler i detta läge men fallet för godtyckligt många fås analogt. Genom att utgå från definitionen av differentierbarhet och härleda ett uttryck för tangentplanet till en funktion av två variabler, z = f(x, y), i punkten (a, b, c = f(a, b)) och göra variabelbytet, h 1 = x a, h 2 = y b, där h 1, h 2 0 då x, y a, b får vi att 3 Kedjeregeln z c = (x a) + (y b). (9) x (a,b) y (a,b) Om en differentierbar funktion f består av n variabler och det går att substituera x k mot g k (t) där g k (t) är differentierbara för alla k = 1, 2,..., n så kan man använda nedanstående sats vid derivering. 4
3.1 Sats 2.3.4 Låt f(x 1, x 2,..., x n ) vara en differentierbar funktion av n variabler och låt g 1 (t), g 2 (t),.., g n (t) vara differentierbara funktioner i intervallet a < t < b på R. Då är den sammansatta funktionen f(g(t)) deriverbar i a < t < b och d dt (f(g(t))) = n p=1 x p (g(t)) dg p dt. (10) Om istället f består av n variabler och det går att substituera x k mot g k (t 1, t 2,..., t q ) där g k (t 1, t 2,..., t q ) är differentierbara för alla k = 1, 2,..., n så kan man istället använda nedanstående sats vid derivering. 3.2 Allmänna kedjeregeln Låt f(x 1, x 2,..., x n ) vara en differentierbar funktion av n variabler och låt g 1 (t 1, t 2,..., t q ), g 2 (t 1, t 2,..., t q ),..., g n (t 1, t 2,..., t q ) vara differentierbara funktioner av q variabler. Då är f(g 1 (t 1, t 2,..., t q ), g 2 (t 1, t 2,..., t q ),..., g n (t 1, t 2,..., t q )) en differentierbar funktion av q variabler och t k = n p=1 4 Gradient och riktningsderivata x p g p t k. (11) Partiella derivator beskriver förändringshastigheten hos en funktion längs med räta linjer parallella med koordinataxlarna. Om vi söker information om funktionens uppförande i alla riktningar i en viss lokal punkt använder vi oss av det som kallas gradient; en vektor av samtliga av funktionens partiella derivator. Gradienten definieras enligt följande: För en given differentierbar funktion f där f : R n R definieras ( f(x) = (x),..., ) (x), (12) x 1 x n där gradienten betecknas med f. För att beräkna gradienten i en given punkt beräknar vi alltså alla partiella derivator i denna punkt. Om vi istället vill undersöka derivatan i en specifik riktning skild från koordinataxlarna behöver vi introducera den så kallade riktningsderivatan. Om vi låter f : R n R vara differentierbar i en punkt a R n och û R n vara en enhetsvektor, alltså û = 1, då ges riktningsderivatan i riktningen û av u (a) = f u(a) f(a + hû) f(a) = lim h 0 h (13) Om f är en differentierbar funktion och û en given riktning enligt ovan så gäller 5
f u(a) = û f(a), (14) vilket bevisas med hjälp av formeln för differentierbarhet enligt (15) f(a + hû) f(a) = (hû) f(a) + hû ρ(hû) (15) där ρ(hû) 0 då h 0. Division med h ger ekvation (16). f(a + hû) f(a) lim = û f(a) (16) h 0 h En följd av detta är att f(a) pekar i den riktning i vilken f växer snabbast i punkten a. På en nivåyta f = konstant kommer gradienten även vara normal till tangentplanet. 5 Partiella derivator av högre ordning Om de partiella derivatorna av en funktion f(x 1, x 2,..., x n ) också är partiellt deriverbara kan man skriva den andra ordningens partiella derivata som ( ) x k x j för j, k = 1, 2,..., n. Detta kan också skrivas som 2 f alternativt x k x j f xk x j. För specialfallet x j = x k kan det också betecknas 2 f x 2. j Är de andra ordningens partiella derivator fortfarande partiellt deriverbara kallas deras partiella derivator för tredje ordningens partiella derivator, och så vidare. För fallet då de är deriverbara i gånger betecknas den i:te partiella derivatan som i f x a1 x a2... x ai för a 1, a 2,..., a i = 1, 2,..., n och för något i N. De partiella deriveringsoperatorerna i en partiell derivata av ordning i är kommutativa då f C i enligt sats 2.5.9 i PB, vilket gör det möjligt att kasta om ordningen på dem. För i = 3 gäller exempelvis 6
3 f x 2 k x j = 3 f x j x 2. k 7