Inlämningsuppgifter i Funtionsteori, vt 2016 För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa. Enligt ursplanen sa inlämningsuppgifterna och datorövningar vara godända innan den sriftliga tentamen. En veca före varje omtentamenstillfälle tar vi emot missade inlämningsuppgifter. I dessa fall sa samtliga uppgifter lämnas in. Det an därför vara lot att spara det man hunnit göra med inlämningsuppgifterna under ursens gång. När alla obligatorisa inlämningsuppgifter är godända och datorövningarna fullgjorda förs detta in i Lado (under rubrien: Datorlaborationer av historisa säl). Slutbetyg på ursen förs in när såväl den sriftliga tentamen som de obligatorisa momenten är avlarade. Resultatet på den sriftliga tentamen avgör slutbetyget. I år ommer vi inte speciellt att examinera laborationerna. Det är doc nödvändigt att göra dem, för att unna lösa vissa av inlämningsuppgifterna. Varför har vi inlämningsuppgifter? Kursens mål är, förutom fataunsaper om ursinnehållet, att ge: ˆ förmåga att läsa och bedöma de matematisa resultaten i andras arbeten, ˆ färdighet i egen problemlösning, ˆ träning i att för andra redovisa matematisa överläggningar, ˆ träning i att använda matematisa datorprogram. Detta är svårt att göra enbart under letioner och ännu svårare att testa vid en femtimmarstentamen. Därför har vi inlämningsuppgifter. Eftersom uppgifterna inte enbart är till för att träna problemlösning läggs en hel del vit även vid presentationen. Sita på att att sriva lösningarna på ett sådant sätt att att du själv och dina ursamrater sall unna läsa och förstå dem även efter några månader (innan ursen blivit helt bortglömd). Rättning av uppgifterna Dina inlämningsuppgifter rättas av någon av lärarna som är inblandade i ursen. Eventuellt får vi hjälp av ytterligare någon. Se information på urshemsidan för vem du sa lämna in dina lösningar till. Vi använder salan G/U vid rättningen. Om du får U på någon uppgift, måste du lämna in en omplettering av denna. Se till att bli helt godänd på den första omgången inlämningsuppgifter innan det är dags för den andra omgången! Vi rättar inlämningsuppgifterna gansa hårt hårdare än vi bruar rätta tentor. Det ger dig en möjlighet att träna på att presentera goda lösningar, och inte bara nätt och jämt acceptabla sådana. Se det inte som ett misslycande om du inte blir godänd i första försöet (det bruar bara vara ett fåtal som blir det). Se det i stället som en möjlighet att få personlig feedbac som gör att dina lösningar blir bättre! Några regler för utförandet ˆ Arbetet får gärna göras i samarbete. Ange i så fall med vem. Om ni samarbetar två och två, så vill vi att ni lämnar in en enda gemensam lösning. Mär försättsbladet tydligt med bådas namn och personnummer. 1
ˆ Om du ör fast eller är osäer så använd alla tillgängliga hjälpmedel, läroboen, övningssamlingen, dina lärare, amrater,... för att omma vidare. (Det betyder doc inte att det är tillåtet att någon annan förser dig med en fullständig lösning! Det är heller inte tillåtet att fråga efter fullständiga lösningar på onlineforum. Om du ändå ställer frågor om inlämningsuppgifter, var noga med att ange att det handlar om obligatorisa och examinerande uppgifter.) ˆ Redogörelserna sa vara prydligt handsrivna. Riv bort eventuella fransar från marginalerna. ˆ Inled redogörelsen med ett försättsblad. Du an ladda hem ett förtryc sådant på urshemsidan. ˆ Sortera uppgifterna i nummerordning. ˆ Redogörelserna sall vara läsbart uppställda och utsrivna. ˆ Se till att svara på alla frågor som som ställs i uppgiften! Det händer ofta att man får U på någon uppgift, just för att man inte besvarat frågorna. ˆ Alla räningar sall vara insrivna. ˆ Räningarna an vara utförda för hand. Använd gärna Maple eller Matlab för att ontrollera dina beräningar och på så sätt undvia onödiga slarvfel. ˆ Förlara de betecningar som du inför. ˆ Förlara de olia stegen och ge logisa motiveringar till dem. Sriv text, helst fullständiga meningar, och namnge om möjligt de resultat du använder (geometris summa, telesopserie, CauchyRiemanns evationer... ). ˆ Börja om möjligt med en ort presentation av det problem du löser och sluta om det passar med en sammanfattning av resultaten. Du behöver förstås inte göra det överdrivet detaljerat utan får förutsätta att läsaren har problemtexten tillgänglig. ˆ Rita gurer varje gång det an förbättra förståelsen! ˆ Alla örningar i Matlab eller Maple redovisas genom att en örjournal bifogas - om inget annat sägs i uppgiften. Kommentera resultaten av datorräningarna, försö att förlara eventuella överrasningar! Checlista för bedömning av inlämningsuppgifter Ni sall ocså själva pröva att bedöma lösningar, för att träna era av ursmålen ovan. Det an då vara bra att ha en liten checlista: ˆ Går lösningen att läsa? ˆ Förlarar författaren sina betecningar? ˆ Är räningarna ordentligt uppställda i logis ordning? ˆ Talar författaren om vila (inte självlara) formler och satser som används? ˆ Svarar författaren på den fråga som ställs i uppgiften? ˆ Är framställningen språligt orret? ˆ Är resultatet rimligt (använd sunt förnuft)? ˆ Är resultatet ritigt? 2
Inlämningsuppgift 1, Funtionsteori, vt 2016 Inlämning: Lösningarna sa lämnas in senast l 15 måndagen den 8 februari 2016 i speciella fac på våning 3 i Mattehuset. Kontrollera att du har srivit namn, personnummer och ursprogram på dina lösningar. Hämtning: De rättade uppgifterna an hämtas i ett fac invid inlämningsfacet. Uppgifterna bör vara rättade senast en veca efter deadline. Om du har någon deluppgift, som är U-märt, reommenderas du att omgående rätta den och därefter lämna in den för ny bedömning. Alla deluppgifterna sa alltså vara godända för att inlämningsuppgiften i sin helhet sa betratas som godänd. 1.1. Bestäm den reella onstanten a så att v(x; y) = x 3 + axy 2 3x 2 y + y 3 blir imaginärdelen av en holomorf funtion f sådan att f (0) = 1. Uttryc ocså f (z) som en funtion av z, där z = x + iy. Utnyttja det du lärt dig på laboration 1: använd Maple för att ontrollera att du ränat rätt. Lämna in resultatet av dina Mapleörningar. 1.2. Bestäm alla lösningar till evationen sin z = 2i. Vila lösningar hittar Maple? Om du bara får fram en lösning så sriv i Maple: _EnvAllSolutions:=true: Lös sedan evationen igen och använd evalc på lösningen. Kommandot convert(..., expln) an ocså vara användbart. Fic Maple samma lösning som du c vid handräning? Tola alla onstiga symboler som eventuellt nns med i Maples svar. Glöm inte att lämna in en utsrift av dina Mapleräningar. Glöm heller inte att i heter I i Maple. 1.3. Med följande Matlab-ommandon: t = 0:pi/100:pi/2; r = 0.5:0.1:1; x = r' * cos(t); y = r' * sin(t); z = x + i*y; w = log(z.^12); surfc(x, y, imag(w)) y 0:5 1 x ritas grafen till funtionen w = Im(log(z 12 )) om denitionsområdet är den fjärdedels cirelring, som är avbildad ovan. Matlabgrafen tycs göra tre språng. Vad är värdet på t i respetive språng? Motivera ditt svar matematist och jämför dessutom med den gur, som du får fram med Matlab. Försö att vara så tydlig (och orret) som möjligt! Tän på att Matlab använder logaritmfuntionens principalgren. (Vad blir z 12 om z = re it?) Glöm inte att lämna in resultatet av Matlab-örningen. 1.4. Låt Log betyda logaritmfuntionens principalgren. Ge onreta exempel på tal z 1 och z 2 sådana att Log z 1 ; Log z 2 och Log(z 1 =z 2 ) är denierade men där Log(z 1 =z 2 ) 6= Log z 1 Log z 2. 1.5. Beräna urvintegralerna a) Z sin z jzj=3 (z 3 30)(z 2 + 10) Z dz b) e z z 2 + 4 dz; där urvan i b) är ellipsen x 2 + 4y 2 = 100 (där z = x + iy). 3
1.6. Lös reursionsevationen x n+2 8x n+1 + 16x n = 9n + 3; n = 0; 1; 2; : : : x 0 = 0; x 1 = 0: 1.7. Lös reursionsevationen x n 10x n 1 + 50x n 2 = 0; n = 2; 3; : : : x 0 = 0; x 1 = 10: Sriv svaret på reell form (dvs. inga i:n i svaret). Använd formeln för x n som du har beränat för hand och bestäm x 32 dels med Matlab, dels med Maple. Det är alltså inte meningen att du sa lösa evationen med hjälp av datorprogrammen. Beräna även x 32 för hand (med din formel) så att du an jämföra med resultaten du c från Maple och Matlab. Är de samma? Eftersom det inte är säert att de båda programmen ommer fram till samma svar är det bra om du besriver hur du har gjort då du använt programmen. Lämna ocså in en utsrift av vad du gjort med Maple respetive Matlab. Försö att förlara eventuella sillnader. 4
Inlämningsuppgift 2, Funtionsteori, vt 2016 Inlämning: Lösningarna sa lämnas in senast l 15 onsdagen den 24 februari 2016 i speciella fac på våning 3 i Mattehuset. Kontrollera att du har srivit namn och ursprogram på dina lösningar. Hämtning: De rättade uppgifterna an hämtas i ett fac invid inlämningsfacet. Uppgifterna bör vara rättade senast en veca efter deadlinen. Om du har någon deluppgift som är U-märt reommenderas du att omgående rätta den och därefter lämna in den för ny bedömning. Alla deluppgifterna sa alltså vara godända för att inlämningsuppgiften i sin helhet sa betratas som godänd. 2.1. Vila av serierna a) e) =0 =0 5 + 1 b) e i f) =2 3 ( 1) 2 c) 1 1+1= g) ( 1) p ( 1) arctan d) h) 3 3 ( 1) sin 2 + 1 änner Maple igen och an ange en summa eller 1? För att t ex summera serien P +1 1=2 an du i Maple sriva sum(1/^2,..infinity);. Avgör utan att använda Maple vila av serierna som är onvergenta respetive divergenta. Ge noggranna och fullständiga motiveringar. Detta är den uppgift som bruar orsaa est U:n. Vi rättar den stenhårt för att ni verligen sa träna på att ge ordentliga motiveringar. Varning: Om man med Maple försöer beräna ett närmevärde P för en divergent serie an +1 man få vilseledande resultat. Exempelvis är serien =0 ( 1) givetvis divergent men i Maple ger ommandot evalf(sum((-1)^,=0..infinity)); ändå värdet 0.5000000000. Testa både med och utan evalf när du ör Maple. 2.2. Sriv i Matlab K = 1:100; t = -10:0.05:10; cnoll = 3*pi/4; aoeff = 1/pi * ((-1).^K - 1)./ (K.^2); boeff = 1./K; ymin = -0.5; ymax = 4; Använd Matlab-funtionen visaserie.m från laboration 2 för åsådliggöra delsummorna till Fourierserien 3 4 + ( 1) 1 cos 2 t + 1 sin t Använd Matlabillustrationen som underlag för att gissa vilen sträcvis linjär funtion som Fourierserieutveclas. Visa att du har gissat rätt genom att räna ut för hand Fourieroecienterna för den funtion du gissar på. 5
2.3. Den 2-periodisa funtionen f är jämn och uppfyller f (t) = 8 < : Funtionens trigonometrisa Fourierserie är 2 + 2 inte ontrollera.) då t = 0; 0 då 0 < t 2; då 2 < t : sin 2 ( 1) cos t. (Det behöver du a) Bestäm seriens summa S(t) dels då t = 0, dels då t = 2. Motivera noggrant! b) Rita en tydlig gur med grafen till y = f (t), 2 t 2 i ett oordinatsystem och grafen till y = S(t), 2 t 2 i ett annat oordinatsystem. c) Bestäm seriesummorna sin 2 och sin 2 2 2 : (Använd Parseval för att beräna den andra seriesumman.) d) Konvergerar den trigonometrisa Fourierserien liformigt på intervallet 0 < t < 2? Motivera noggrant! 2.4. Det är änt (bl a från Maclaurinutveclingar ) att ln(1 + x) = P +1 ( 1) a) Då x = 1 ger det att ln 2 = 1 approximeras med partialsumman P 10 b) Observera att ( 1) 1 x ; då 1 < x 1: (1) : Uppsatta felets absolutbelopp då ln 2 ( 1) 1. ln 1 + x = ln(1 + x) ln(1 x): 1 x Utnyttja serien i (1) att för att bestämma Maclaurinserien för f (x) = ln 1 + x 1 x : c) Bestäm ett värde på x, sådant att f (x) = ln 2. Uppsatta felet då ln 2 uppsattas med partialsumman av grad högst 10 för serien i b) (med motsvarande värde på x). d) Kontrollera dina uppsattningar genom att låta Maple beräna det verliga felet: evalf(sum(..., 1..infinity)); (där... byts ut mot lämpligt uttryc). Gör detta både för resultatet i a) och c). Vilet tal är större? Din uppsattning eller det verliga felet? Är det som förväntat? 6