Vildmarksmatematik. Jeremy Kilpatrick och Thomas Lingefjärd

Transkript

1 Vildmarsmatemati Jeremy Kilpatric och Thomas Lingefjärd I en matematiurs sapad av en grupp matematilärare vid en amerians gymnasiesola, introduceras matematisa begrepp genom realistisa tillämpningar som inbegriper analyser av data och matematisa modeller. Med hjälp av ändringar i den loala ursplanen, har lärarna ändrat sin undervisning och därigenom lycats få till stånd en bättre inlärningsmiljö. Denna artiel är baserad på en föreläsning Curriculum Change as a Personal Journey som gavs av J. Kilpatric i samband med att han blev utsedd till hedersdotor vid Göteborgs universitet i otober, En noggrant planerad och organiserad urs i matemati är ibland alltför li en fjällvandring som aldrig lämnar den marerade leden. Man ser en jämn ström av uppseendeväcande scenarier. Man undvier nogsamt alla äventyr, återvändsgränder, hinder och anländer välbehållen l 5 varje eftermiddag till en vältimrad stuga. Svårighetsnivån är noga ontrollerad och det är lätt att inse att färden ommer att bli lätt och nöjsam. Tyvärr missar man därmed ocså upplevelsen av att välja en felatig men spännande väg, få sova i det fria, hitta ett eget spår och insiten i att man an omma långt på egen hand i vildmaren med intuition och ompass. Vildmarsmatemati är en vitig del i en bra utbildning. Polla, 1970, p. 329 Jeremy Kilpatric är Regents Professor i Mathematics Education vid University of Georgia, Athens, USA, och gästprofessor i matematididati vid Göteborgs universitet. Thomas Lingefjärd är dotorand vid University of Georgia. Precalculus ( förberedande analys) är den sista matematiursen man vanligtvis tar i high school, om man avser att läsa matemati på universitet. I USA anses calculus fortfarande vara en inledande universitetsurs, även om många gymnasiesolor erbjuder calculus till studenter som går på teoretisa program i årsurs 11 eller 12. Man inritar sig oftast på att repetera och försöa fördjupa elevers förståelse av rationella, trigonometrisa och exponentiella funtioner. Tonviten är i allmänhet lagd på att transformera algebraisa uttryc och på egensaper hos funtioner. Kursen strävar efter att ge en grund för studier i reell analys och analytis geometri. I allmänhet sanas andra tillämpningar än naturvetensapliga och alla modeller är ontinuerliga, dvs disret matemati disuteras inte. Exemplet på s från Barrett m fl (1992) visar hur boen och ursen närmar sig matematisa begrepp utifrån ränteberäningar. Man inritar sig på matematisa modeller av fenomen i vår omvärld och tillåter därmed stor användning av numerisa metoder. Eleverna förväntas använda grafritande ränare och datorprogram (företrädesvis alylprogram) när de löser problemen. Analys av insamlade data är ett av huvudområdena i ursen och elever- 17

2 na förväntas ofta genomföra egna datainsamlingar. Matrishantering är ett annat huvudområde. Satser och formella bevis sanas helt, vilet är ovanligt för denna typ av ursböcer. Även omfång och utformning är ovanliga för en amerians lärobo för precalculus. Boen har 330, mot vanliga sidor. Även om boen siljer sig från vad man vanligen ser när det gäller utförande och innehåll, är bagrunden till boen ännu mer ovanlig. Fastän många lärobosförfattare i USA är lärare, inbjuds de vanligtvis av förlag eller andra författare att ingå i ett lag. Denna lärobo, såväl som den urs från vilen den härrör, utveclades av en grupp lärare helt utifrån deras egna villor. De tio författarna ingic i matematioch datainstitutionen vid North Carolina School of Science and Mathematics. En amerians gymnasiesola North Carolina School of Science and Mathematics (NCSSM) är en allmän gymnasiesola för såväl flicor som pojar. Eftersom eleverna ommer från hela North Carolina tillhandahåller solan ocså möjligheter till logi för eleverna. Eleverna har det gemensamt att de gjort goda resultat samt visat start intresse för studier i framförallt naturvetensap och matemati. Beslut om att starta solan fattades av ledande politier i North Carolina 1978 och den öppnades den 1 september 1980 med 150 elever. Vid slutet av 1994 hade antalet stigit till 550 elever i årsurs 11 och 12. Syftet med solan är tudelat: att utbilda studenter så att de blir framgångsria i matemati och naturvetensap, att erbjuda fortbildningsprogram till alla lärare i matemati och naturvetensap i delstaten North Carolina. Så gott som alla studenter som utexaminerats från solan har gått vidare till college eller universitet och många av dem har vunnit utmärelser för arbeten i naturvetensap eller matemati. Alla elever på solan läser ursen precalculus. Kort efter det att solan öppnat, 1980, började institutionen för matemati och datavetensap att söa bidrag från såväl privata sponsorer som från överstatliga organ för att unna öpa datorutrustning samt erbjuda s summer worshops för matematilärare i North Carolina. Lärarna på NCSSM valde sin precalculusurs som underlag för sommarsolan. Därigenom påbörjades ocså ett arbete att revidera undervisningsmaterial samt att utvecla nya områden vilet inluderade utveclandet av datorprogram avsedda för illustration av matematisa begrepp i ursen. Dessa worshops drog till sig en stor grupp lärare, även många från andra delstater än North Carolina. En anledning till populariteten sägs vara att lärarna som deltog i sommarurserna föredrog denna typ av fortbildning framför föreläsningar av lassis typ på något universitet. Här fic de chansen att lära av ollegor. Med hjälp av ansenliga donationer och bidrag lycades lärarna på NCSSM hyra in extra lärare för att unna utvecla moduler för de olia delarna av sin precalculus urs. Så småningom började lärarna från sommarurserna och från olia onferenser under övriga solåret att efterfråga opior av dessa moduler för det egna lassrummet. Snart efterfrågades en hel lärobo, som sulle innehålla alla framtagna moduler. Det vore enlare att öpa en lärobo istället för ett antal små ompendier med fotoopierade sidor. Lärarna på NCSSM hade inte tänt sriva en lärobo, men insåg behovet om deras idéer sulle unna bära frut bland andra lärare. Boen fic slutligen sex genomgående teman: matematisa modeller, datorer och miniränare som vertyg, tillämpningar av funtioner, analys av data, disret matemati och numerisa metoder. Vildmarsmatemati Medan lärarna på NCSSM utarbetade underlaget för sin urs, som de om att alla Contemporary Precalculus Through Applications, bestämde de sig för att utesluta områden de inte unde motivera. Däribland 18

3 fanns ägelsnitt och binomialteoremet. Istället för att fråga sig vilet matematist delområde som följde naturligt efter ett annat, bestämde de sig för följande rav: Om vi inte an introducera ett begrepp med en tillämpning, tar vi inte upp det. Många av lärarna hade i början svårigheter med att utesluta delområden de tyct om att undervisa eleverna i men alla insåg så småningom värdet av detta hårda rav. Den vanliga undervisningssevensen i en amerians sola på denna nivå är definition sats bevis exempel övning. I precalculus ursen på NCSSM, blev sevensen istället situation problem data modelllösning. Orienteringen mot tillämpningar om ursprungligen från Henry Polla, en mycet änd och respeterad tillämpad matematier i USA. Han har ocså visat stort intresse för matematiundervisning på olia nivåer. Polla var en av de ursprungliga medlemmarna i den styrelse som övervaade och stöttade arbetet med NCSSM. Han bruade besöa institutionen för matemati och datavetensap för att samtala med matematilärarna om deras arbete. Polla hade länge argumenterat för att den vanliga matematiursen i solan gav eleverna en fals bild av ämnet, eftersom de aldrig fic hjälpa till att onstruera problem. Metaforen i inledningen av artieln är ofta citerad. Naturligtvis finns det andra ameriansa läroböcer från början av 1990 som inluderar vad författarna allar tillämpningar. Den vanliga ansatsen är emellertid att först börja med att undervisa om ett visst matematist begrepp och procedurer i anslutning därtill och därefter visa hur det eventuellt an tillämpas. Tillämpningarna ommer först efter det att eleverna lärt sig den relevanta matematien. Istället för att introducera ett matematist begrepp och därefter ämpa för att hitta en tillämpning, är ansatsen i boen Contemporary Precalculus och tillhörande urs, att börja med ett problem som därefter ger tillfälle att disutera och lära den matemati som behövs för att lösa problemet i fråga. Då man frågade en lärare, som använde materialet, om denna ansats svarade han: Om du änner ett behov av att lära dig något, så gör du det när du måste. Under arbetet med läroboen, anslöt sig lärarna på NCSSM till filosofin valitén på inlärningen är vitigare än att följa ursplanen. De strävade därför efter att oncentrera sig på några få huvudområden, istället för att försöa täca en lång lista av mål. Tillgången till ny tenologi gjorde att de trodde att en sådan metod var möjlig. Elever sulle förstå de stora idéerna i ursen att tola mätdata, utvecla matematisa modeller, transformera och använda funtioner. En av lärarna vid NCSSM gav följande ommentar till den matematisa upplevelse de försöte ge sina elever: Jag bruade anse att det var orättvist av mig att fråga elever om något jag inte undervisat om. Så tycer jag inte längre. Nu ser jag det som om vi alltid hade ett öga i bacspegeln. Kommer ni ihåg hur vi löser denna typ av uppgifter? Det var en slags matemati från minnet matemati är att minnas regler. Idag försöer jag fousera på att matemati är att fundera över problemställningar. Poängen är att svara på en fråga som du inte vet hur man svarar på. Vad gör du när du inte vet vad du sall göra? En av de mest nydanande idéerna i ursen Contemporary Precalculus är den om en vertygslåda av elementära funtioner, såsom sin x, log x, och x 2, vila används gång på gång under ursen. Avsiten är inte bara att modellera problem utan ocså att introducera en gradvis tilltagande omplexitet hos funtioner. Eleverna lär sig att transformera vertygslådans funtioner för att passa specifia mätdata genom att vända, rotera, utvidga eller tryca ihop dem. De lär sig ocså att ontrollera transformationen genom att dels förändra funtionens algebraisa form, dels sissa grafen. Som ett resultat av dessa övningar blev funtioner nästan ett fysist begrepp, en slags modell-lera funtioner som 19

4 gic att vända och vrida på, räta ut och tryca ihop. Precalculus ursen vid NCSSM har fortsatt att utveclas sedan boen srivits. Lärarna har börjat inludera fler problem där eleverna samlar in egna mätdata eller tolar givna mätserier genom att använda statistisprogram, alylprogram eller grafritande miniränare. Exempel I en lass som arbetade med myggproblemet nedan använde eleverna en grafis metod och försöte dela mätdata i två delmängder, vars egensaper sulle disriminera mellan de två inseterna. Vissa elever använde en minsta vadratmetod eller median medianlinje som gränsdragning. Andra, som oroade sig för att göra en felatig lassificering vid användandet av dessa linjer, försöte att använda de mest extrema inseterna i varje grupp för att definiera en linje och därefter använda en medellinje mellan de två som siljelinje. En annan grupp närmade sig problemet genom att söa voten mellan antenn- och vinglängd och valde ett medelvärde i intervallet mellan de ej överlappande mängderna av olia voter som siljelinje. Alla grupper disuterade graden av säerhet i den lassificering de gjorde. Elever från NCSSM, med erfarenhet från att lösa problem av denna typ, förefaller ha en annorlunda syn på matemati. Elevlag från solan har deltagit i nationella matematitävlingar avseende matematisa modeller och har presterat mycet väl i jämförelse med studenter från Harvard och andra universitet. Deras lärare säger att det inte beror på att eleverna an mer än studenterna från universitetet, utan på att de vet hur man använder vad man an. Bild från TI-82 Myggproblemet År 1981, upptäctes två nya arter av myggor av bilogerna W. L. Grogan och W. W. Wirth i Brasiliens djungler. De gav de två typerna av myggor namnen Apf och Af. Biologerna upptäcte att Apf myggan bär på ett virus som orsaar att hjärnan svullnar om man blir smittad. Detta an få fatala följder! Den andra myggan, typ Af, är harmlös och angriper inte männisor. För att unna silja på de två typerna mätte biologerna de myggor de fångat. De två mätserierna innehöll både vingoch antennlängd hos myggorna. Af-myggor Vinglängd (cm) 1,72 1,64 1,74 1,70 1,82 1,82 1,90 1,82 2,08 Antennlängd(cm) 1,24 1,38 1,36 1,40 1,38 1,48 1,38 1,54 1,56 Apf-myggor Vinglängd (cm) 1,78 1,86 1,96 2,00 2,00 1,96 Antennlängd(cm) 1,14 1,20 1,30 1,26 1,28 1,18 Är det möjligt att silja en Af-mygga från en Apf-mygga utgående från ving- och antennlängd? Besriv en metod för att unna silja på de två varianterna. Sriv en rapport som besriver för en biolog hur hon eller han sa göra för att lassificera en infångad mygga. 20

5 En förändrad ursplan Det sätt på vilet ursplanen förändrades i ursen Contemporary Precalculus vid NCSSM, är ovanlig på många sätt. Många ameriansa lärare, speciellt de i det allmänna solväsendet, anser sig inte ha frihet att förändra en urs med en given ursplan. De flesta matematilärare i USA anser att de måste följa den lärobo som är utvald för ursen de undervisar i. Vanligtvis förväntar de sig att någon annan sall berätta för dem hur de sall göra. Lärarna arbetade i en sola vars uppdrag inluderade fortbildning för andra lärare. Deras sola var ny och de var inte bundna av tradition eller givna statliga mandat. Kursen de valde att reformera hade inte någon helt befäst ursplan. Inte heller fanns det någon nationell, officiell examination på det sätt som finns för calculus. Innehållet i ursen gav goda möjligheter till tilllämpningar. Trots alla dessa fördelar rävdes enorma ansträngningar att utvecla och implementera ursen i solans program. För att unna öpa loss lärarna från undervisning behövdes donationer; rutiner för att sriva, mötas och disutera förändringar samt sriva på nytt behövde utveclas; datorprogam behövde onstrueras; en ny inritning mot en ämnesdidatis matemati behövde utveclas. Lärare på andra solor ansåg den nya ursen svår att undervisa i. Elever vägrade delta i en urs som inte stämde in i deras bild av hur en matematiurs sulle se ut. Septisa solpolitier, administratörer och föräldrar ifrågasatte varför ursen behövde ändras. Fastän USA inte har en officiell nationell läroplan för solämnen, så finns det en de facto nationell läroplan, delvis för att befolningen är så rörlig. Föräldrarna vill att barnen enelt sall unna byta sola, och universiteten vill ha studenter med ungefär samma bagrund i fråga om innehåll i urser. På så sätt sapas ett tryc ritat mot solan att inte sapa nydanande urser eller ens ändra innehållet i befintliga urser i någon större utsträcning. De läroplansguider som produceras av de 50 staterna tenderar att vara opior av varandra. Solor tar fram loala ursplaner som motsvarar innehållet i de mest populära läroböcerna. Den s läroplanen, som presenteras i ursplaner och läroböcer, representerar ett urval önsemål från solautoriteter och lärobosförfattare om vad elever bör lära sig. Den verliga läroplanen är emellertid något helt annat, nämligen summan av de erfarenheter som eleven gör i solan. Den an aldrig fångas på papper. Intentionerna i en läroplan är mer som en ritning över ett hus än som huset självt. Oavsett om det finns en nationell läroplan och ett nationellt examinationssystem eller ej, så utgör samhällsstruturen en begränsning för elevens sätt att uppfatta läroplanen. Det finns alltid ett gap mellan officiella uttalanden och praxis: Centraliserade system är inte så centraliserade och decentraliserade system är inte så decentraliserade, som man vanligtvis tror. Som en frans solinspetör en gång anmärte: I Franrie förväntas varje lärare göra samma sa men det gör de inte och i England, där alla förväntas gå sin egen väg, gör alla samma sa. Howson, Keitel, & Kilpatric, 1981 Trots att många röster höjts för att reformera solmatematien i USA under det senaste århundradet an man argumentera för att det, trots mycen retori och ytliga förändringar, inte varit någon ritig reform (Kilpatric & Stanic, 1995). Ropen efter enhetlig matemati, den nya matematien, problemlösning och standards har inte resulterat i något substantiellt annorlunda ursinnehåll eller annorlunda strutur, annat än marginellt. Ett av de få undantagen är precalculus och det mesta av dess typisa innehåll siljer sig inte nämnvärt från ursen som var dess föregångare. Kursplanen i matemati för högstadiet och gymnasiet i USA ser ungefär ut som den gjorde vid seelsiftet. De flesta matematilärare undervisar om det innehåll och på det sätt de själva lärde sig en 21

6 gång. Färre än 10 procent av de som undervisar i matemati i USA tillhör en professionell organisation för matematilärare (ungefär samma siffror gäller för andra länder), och de flesta lärare är inte professionellt inblandade i ursplanearbete och anstränger sig inte för att ändra läroplanen. Det finns stara rafter för att bevara stabiliteten i solsystemet vilet gör varatiga förändringar av urs- och läroplaner så gott som omöjliga att introducera av solpolitier eller facfol. När rymdprogrammet i USA var som mest uppmärsammat i början av 70-talet, började fol undra varför inte utbildningsväsendet unde utveclas på ett linande sätt. Vi an sica fol till månen. Varför an vi inte lösa problemen inom utbildningen? Svaret är att det är enbart ett tenist problem att placera fol på månen medan det är ett allt annat än tenist problem att förbättra solan, som Irving Kristol (1973) påpeade. Att förbättra utbildning innebär att förändra synsätt och man an inte förändra männisor på samma sätt som man uppdaterar dataprogram eller tar fram en ny flygplansmodell. Märbara förändringar av läroplanen såsom den upplevs av elever, i USA eller någon annanstans, an följatligen inte genomföras genom att man publicerar nya läroplaner, ursplaner eller läroböcer. Den typen av doument an endast stimulera till förändringar. Verlig förändring av solans upplevda läroplan uppnås enbart när lärare själva bestämmer sig för att förändra de sätt på vilet de undervisar och vad de undervisar om. Vildmarsundervisning Lärarna och lärare på andra solor, vila deltog i NCSSMs worshops och onferenser, unde ändra på dels den urs de undervisade i, dels det sätt de undervisade på, tac vare det stöd de fic av omgivningen. De stimulerades ocså av möjligheten att lära sig mer matemati och att experimentera med nya undervisningsformer. En stor del av denna stimulans fanns i att de undervisade varandra och arbetade tillsammans i ett gemensamt projet. Lärare vid andra solor upptäcte att de hade blivit medlemmar i ett landsomfattande nätver, där medlemmarna ville ändra på sin undervisning. Som en illustration till hur lärarna engagerade sig i varandras undervisning an vi berätta om hur de svarade på de svårigheter som vissa elever hade med ränteberäningsproblemet. I en lass beränade eleverna resultatet när en dollar investerades till 100 % räntesats om räntan beränas per år, vartal, månad, dag, timma och minut. När en elev försöte att beräna räntan per seund, fann hon att resultatet minsade istället för att öa, jämfört med beräning per minut. Hennes lärare var inte säer på varför detta inträffade och unde bara anta att eleven förlorat signifianta siffror på sin miniränare. Efter letionen onsulterade läraren en annan lärare på solan vilen uppgav att hon upplevt samma problem i sin lass. Även en tredje lärare hade uppmärsammat problemet. Vid lärarnas vanliga tisdagsmöte disuterades problemet och en lärare berättade om hur en elev undersöt problemet med ett alylprogram. Själv hade läraren använt en miniränare och testat resultatet när man gic från ränteberäning per minut till en tiondels minut. Hon unde därigenom bättre följa hur begränsningen hos miniränaren numerisa apacitet påverade resultatet. Som en följd av disussionen denna tisdag, unde alla lärarna återvända till sina lasser och förlara hur begränsningar hos miniränare och datorer an påvera resultatet. Matematilärare har ingen tradition av professionellt utveclingsarbete där de an undervisa andra lärare i matemati, bli undervisade av andra lärare, lära och utvecla nya undervisningsformer tillsammans. Lärarna vid NCSSM bröt ny mar och sapade en miljö i vilen inte bara ursplanen och innehållet i ursen utan ocså det sätt på vilet de undervisade förändrades. Allteftersom de lärde sig att undervisa i vildmarsmatemati så att eleverna arbetade med problem vars resultat eller utvecling inte unde förutses, lärde de sig ocså att 22

7 arbeta som ett lag, att dela med sig av sina idéer och att lära av andra lärare. I denna miljö uppstod ingen riti av de lärare på andra solor som inte vågade ta steget fullt ut mot en så pass äventyrlig pedagogi. Tvärtom uppmuntrades varje lärare som ville delta i projetet att använda dessa idéer så långt som han eller hon ansåg tryggt. De insåg att arbetet med att förändra ursplanen är ett personligt utveclingsarbete som räver stöd, uppmuntran och tillfälle till att pröva och förasta nya undervisningsmetoder. Precis som de arbetade med sina elever, oavsett var de befann sig i sin matematisa utvecling, arbetade de ocså med sina ollegor oavsett var de befann sig i sin pedagogisa utvecling. De bjöd in andra lärare till att delta i sin process av refletion och gemensam uppmuntran, men förstod ocså när vissa av dessa inbjudna lärare valde att gå sin egen väg. Lärare vid NCSSM upptäcte att en ritig förändring av den upplevda ursplanen och därigenom ocså en utvecling av hur lärare undervisar, ser annorlunda ut från insidan än från utsidan. Det är en osäer och risabel process som räver stöd och uppmuntran från de egna ollegorna och omgivningen. Det är en långsam pro- cess som räver mycet av var och en som inte följer den vanliga trygga vägenoch äventyrar etablerade pedagogisa onventioner i lassrummet och solan. Processen följer inte de vanliga lagarna för samhällelig ingenjörsonst eller införande av ny policy. Istället tar den den över uttryc från samma slags vildmarsvandring som dessa lärare ville att eleverna sulle våga pröva i matematien. Referenser Barrett, G. B., Bartovich, K. G., Compton, H. L., Davis, S., Doyle, D., Goebel, J. A., Gould, L. D., Graves, J. L., Lutz, J. A., & Teague, D. J. (1992). Contemporary precalculus through applications: Functions, data analysis and matrices (Rev. ed.). Dedham, MA: Janson Publications. Howson, G., Keitel, C., & Kilpatric, J. (1981). Curriculum development in mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. Kilpatric, J., & Stanic, G. M. A. (1995). Paths to the present. In I. M. Carl (Ed.), Prospects for school mathematics (pp. 3-17). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Kristol, I. (1973, January 8). Some second thoughts. The New Yor Times, pp. 55, 62. Polla, H. O. (1970). Applications of mathematics. In E. G. Begle (Ed.), Mathematics education. (69th Yearboo of the National Society for the Study of Education, Part 1, pp ). Chicago: University of Chicago Press. Mathematics Handboo for Science and Engineering BETA Lennart Råde & Bertil Westergren This is the third edition of the BETA mathematics handboo. This handboo covers basic areas of mathematics, numerical analysis, probability and statistics with various applications. The handboo is intended for students and teachers of mathematics, science and engineering and for professionals woring in these areas. The aim of the handboo is to provide useful information in a lucid and accessible form, concentrating on definitions, results, formulas, graphs, figures and tables and emphasising concepts and methods with applications. The BETA handboo is organised in 19 chapters starting with basic concepts in discrete mathematics, ending with chapters on probability and statistics. The authors are both on the faculty of the Mathematics Department of Chalmers University of Technology and the University of Gothenburg, Sweden. Studentlitteratur, ISBN

8 Sammansatt ränta Man an beräna den ränta man får om man sätter in pengar på ett räntebärande onto på olia sätt. Ett sätt är apitalisering helårsvis, vilet innebär att räntan tillförs ontot vid slutet av året. I dag är det anse vanligare att tillföra räntan vartalsvis, månadsvis eller dagligen. En ban som beränar ränta vartalsvis, ränar ut och adderar den intjänade räntan till det räntebärande ontot vid slutet av var tredje månad. Vilen effet har denna mer freventa apitalisering på ontots behållning? Antag att Maria sätter in 1000 r på en ban som ger 8 % i ränta. Banen beränar ränta vartalsvis. Räntan tillförs hennes onto 4 gånger på ett år, men endast en fjärdedel av 8 %, dvs 2 %, används vid varje beräning. Vid slutet av första vartalet har Maria på ontot ,02 = 1020 Vid slutet av det andra vartalet har Maria ,02 = ,02 2 = 1040,40 Vid slutet av det första året ommer behållningen att vara 1040,40 1,02 1,02 = ,02 4 = 1082,43 Notera att detta är ett något högre belopp än vad motsvarande belopp sulle bli vid årlig apitalisering, Vi an göra jämförelser genom att låta ett alylprogram beräna behållningen efter exempelvis 5 år för olia frevenser på ränteberäningarna. Tabell 1 visar resultatet för olia frevenser av ränteberäningar och tidsperioder, vid 8% ränta. Värdena i tabell 1 visar tydligt att det spelar en viss roll hur ofta man beränar ränta. Övningar 1. Ange ett samband för hur det framtida värdet F beror på en första insättning A 0, antal år N med apitalisering vartalsvis. 2. Ange ett samband enligt ovan, men med räntan beränad månadsvis. 3. Ange ett generellt samband för hur det framtida värdet F beror på en första insättning A 0, antal år N och med ränta beränad gånger per år. 4. Studera tabell 1 och jämför behållningen på Marias onto för olia frevenser på ränteberäningen. Kontrollera gärna värdena i tabellen, utgående från 1000 ronor och 8 % ränta. Alla värden är avrundade till närmaste heltal. Besriv med ord hur den framtida behållningen förändras när frevensen på apitaliseringen öar. Ögonbliclig apitalisering Studera värdena i tabell 1. Genom att läsa nedåt olumnvis an vi se hur behållningen på ontot öar, när antalet år öar. Om vi läser radvis ser vi att behållningen öar när frevensen på ränteberäningarna öar, men öningen förefaller minsa desto tätare ränteberäningar vi utför. Det verar som om det finns en övre gräns för öningen. I tabell 1 beränades de olia värdena med hjälp av sambandet Framtida värde: A 0 (1 + r )N där A 0 representerar den ursprungliga insättningen, r är den ränta man får, är antalet beräningsperioder per år, och N är antalet år som räntan beränas på. I tabell 1 är A 0 = 1000 och r = 0,08, vilet innebär att följande samband användes: Tabell 1 Behållning vid olia apitalisering År Kapital år vartal månad veca dag timme minut

9 1000(1 + 0,08 )N = 1000((1 + 0,08 ) ) N Eftersom antalet år, N, är onstant i varje rad, beror den öning av beloppet vi an iatta för öad frevens av ränteberäningar, uteslutande på vantiteten (1 + 0,08 ). Vidare, eftersom behållningen nuten till ett visst N förefaller vara upp- åt begränsad, an vi sluta oss till att uttrycet måste ha ett gränsvärde när går mot oändligheten. I tabell 2 ser vi detta uttryc beränat för större och större värden på. Gränsvärdet vi talat om förefaller vara lia med 1,083287, avrundat till sex decimaler. Använd nu en miniränare för att beräna värdet av e 0,08. Genom att jämföra ditt resultat med värdena i tabell 2, bör du se ett samband mellan e 0,08 och (1 + 0,08 ) för stora värden på. Håller detta samband även för andra värdet på r? Använd gärna din miniränare för att ontrollera sambandet när r = 1. Tabell 3 visar vad som händer med uttrycet (1 + 1 ) för några olia värden på. Använd miniränaren för att beräna värdet av e 1 och jämför med värdena i tabell 1. Detta började undersöas av matematier i början av 1800-talet. Gränsvärdet för (1 + 1 ) då är 2,71828,... Talet bruar allas e, uppallat efter en matematier från Schweiz, Leonhard Euler. Med hjälp av matematisa symboler an vi sriva sambandet så här: lim (1 + 1 ) = e Använd din ränare till att jämföra värden för e 0,10 och (1 + 0,10 ) där är ett stort tal. Upprepa för andra värden på r och övertyga dig om att följande samband är orret lim (1 + r ) = e r Exponentialfuntionen med basen e, f(x) = e x, är vitig i många sammanhang där en vantitet växer eller avtar med onstant hastighet. Genom att använda det samband vi funnit, an vi beräna resultatet av frevent ränteberäning på ett nytt sätt. Om ränta beränas mycet ofta och förs till apitalet på det insatta beloppet 1000 r, an uttrycet 1000 (1 + 0,08 )N approximeras med 1000 e 0,08N. Den matematisa modell vi får genom att använda e, svarar mot ontinuerlig apitalisering. Namnet antyder vad vi lagt märe till, desto mer frevent ränteberäning, desto bättre ommer approximationen att stämma. Tabell 2 Kapitalisering År vartal månad veca dag timme minut (1 + 0,08 ) 1, , , , , , , Tabell (1 + 1 ) 2, , , , , ,