Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Relevanta dokument
8 + h. lim 8 + h = 8

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

6 Derivata och grafer

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:

Gamla tentemensuppgifter

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Gränsvärden. Uppgift nr 10 Förenkla bråket h (5 + h) h. Uppgift nr 11 Förenkla bråket 8h + h² h

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation

f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1

4 Fler deriveringsregler

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

Funktioner. Räta linjen

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Mathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

1 Förändingshastigheter och derivator

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15

Formelhantering Formeln v = s t

Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

20 Gamla tentamensuppgifter

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

a = a a a a a a ± ± ± ±500

Kontrollskrivning KS1T

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

KONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

Planering för Matematik kurs E

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 27 Origo 3c)

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Matematik CD för TB = 5 +

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

III. Analys av rationella funktioner

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

Linjära ekvationssystem

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b)

10 Derivator och tillämpningar 1

MA2001 Envariabelanalys

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

D 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2.

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

NpMa3c vt Kravgränser

Kravgränser. Provet består av Del B, Del C, Del D samt en muntlig del och ger totalt 63 poäng varav 24 E-, 21 C- och 18 A-poäng.

Växande och avtagande

201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

NpMa2a ht Max 0/0/3

En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Transkript:

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten i punkten (3,9). Eller helt enkelt kurvans lutning i denna punkt. Till sist ska vi komma fram till uttrycket: Funktionen f(x) x 2 har derivatan f (3) 6. 2204 b) Här får vi för första gången ett uttryck där vi inte kan förkorta bort h i nämnaren: (8 + h) 1/3 8 1/3 0 Då h 0 går bråket mot 0. Denna division är inte utan vidare definierad, så vi får ta till numeriska och grafiska metoder än så länge. Det finns anledning att tro att funktionen i fråga är f(x) 3 x och att vi är intresserade av lutningen i punkten (8,2). Figur 1: Visst kan vi uppskatta tangentens lutning genom figur 1, även om det känns osäkert. Tänk på att skalan inte är densamma på x- och y-axeln. Kanske är k 0.1? Bättre kommer det att gå om vi räknar ut (8 + h) 1/3 8 1/3 h för olika värden på h. Vi börjar till exempel med h 3 och låter h successivt närma sig 0, men förstås aldrig nå riktigt fram dit. En tabell visar 3 2 1 0.5 0.2 0.02 0.01 0.001 0.0001 0.07466 0.0772173 0.0800838 0.0816551 0.0826484 0.083264 0.0832986 0.0833299 0.083333 Av denna tabell att döma tror vi oss förstå att gränsvärdet är 0.0833..., vilket också överensstämmer med det exakta värdet 1/12. Hur får man nu detta, jo genom att derivera funktionen f(x) och ur detta bestämma f (8) f(x) x 1 3 har derivatan f (x) x 2 3 3 som ger f (8) 1 12 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

Detta sagt till dem som mins. Vi återkommer till detta senare och konstaterar att vi inte matematiskt klarar av alla gränsvärden. 2208 d) Nu åter till en uppgift vars teknik vi behärskar. f(x) x 2 + 1 och vi ska beräkna f(3 + h) f(3) Problemet är bara aningen svårare (?) än 2202. Punkten på kurvan i vilken vi ska bestämma lutningen är (3,10). Vi skriver nu (3 + h) 2 + 1 (3 2 + 1) h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 2211 a) Bestäm f (4) där f(x) 5x + 3. Vilken typ av funktion är f(x)? Jo förstås en rät linje. k-värdet till linjen är 5 det vet vi från annat håll. Lutningen är densamma var på kurvan vi befinner oss. Även om vi direkt såg detta ska vi utföra beräkningarna med den teknik vi använder i detta kapitel. f(4 + h) f(4) 5(4 + h) + 3 (5 4 + 3)) 5h 5 Nu har vi bestämt att f (4) 5. Men vad händer om vi istället beräknar f (x)? f(x + h) f(x) 5(x + h) + 3 (5 x + 3)) 5h 5 Det blir ingen skillnad oavsett vilket värde vi väljer på x så är f (x) 5 2212 Vi får reda på att f(2 + h) f(2) 3h 2 + 14h. Detta betyder inte att vi kan säga hur f(x) ser ut. Det är inte heller det som efterfrågas så vi släpper den frågan. Vi ska istället bestämma f(2 + h) f(2) 3h 2 + 14h h 0 (2 + h) 2 3h + 14 14 h 0 2215 a) f(x + h) f(x) (2 + h) 3 8) Detta uttryck är ju inte så snällt vi måste förenkla (2+h) 3 8 (2+h)(4+h 2 +4h) 8+2h 2 +8h+4h+h 3 +4h 2 8 h 3 +6h 2 +12h h(h 2 +6h+12) och återgår till vår gränsvärdesberäkning f(x + h) f(x) h(h 2 + 6h + 12) h 2 + 6h + 12 12 h 0 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge

2219 Vi har en tabell given och ska ur den använda åtminstone två värden för att bestämma /. Det är f (12.2) som ska uppskattas. Det finns flera möjligheter, vilken är den riktiga? Figur 2: Traditionen föreslår att använda de punkter som ligger närmast, på var sin sida om den aktuella: y 4 y 2 2.3084 2.2958 0.063 x 4 x 2 12.3 12.1 2220 Här gäller det bara att välja ut två lämpliga punkter (x 1,y 1 ) och (x 2,y 2 ) på tangenten och läsa av koordinaterna. Dessa värden använd sedan för att bestämma 1.5 1 0.5-1.5-1 -0.5 0.5-0.5 Figur 3: f (0) För just de punkter och för de avläsningar jag gjorde. 1.58 0.45 0.5 ( 0.5) 1.13 2222 Vi har funktionen f(x) 22 + 53 0.983 x. Vi vill veta tangentens lutning i f(45). Vi vill bestämma f (45), men kan ännu inte bestämma derivatan. Återstår då att bestämma / för några lämpliga värden på (x 1,y 1 ) och (x 2,y 2 ). Vi bestämmer oss nu för att använda oss av punkterna 45 och 45.001 som vi tycker ligger tillräckligt nära varandra. Vi får: f(45) f(45.001) 45 45.001 46.501 46.5006 45 45.001 0.42 Temperaturen sjunker med 0.42 C/min Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge

70 60 50 40 30 50 100 150 200 Figur 4: Uppgift 2222 2225 Från figuren nedan kan vi teckna hastigheten efter 5 sekunder respektive efter 10 sekunder. y (5) y (10) betecknar skillnaden i hastigheter. Figur 5: Uppgift 2225 Med samma teknik som i uppgift 2219 väljer vi ut punkterna y(4) och y(6) respektive y(9) och y(11) y (4) y (10) y(6) y(4) 6 4 y(11) y(9) 11 9 38.13 20.59 8.77 2 84.28 66.91 8.69 2 Hastigheten efter 5 sekunder har vi beräknat till 8.77 m/s och efter 10 sekunder är hastigheten 8.69 m/s. Hastigheten har alltså minskat med 0.08 m/s. En viss retardation! Detta är förstås svårt att se direkt i figuren. Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

2226 Först plottar vi de tre funktionerna. 9000 8000 7000 6000 5000 4000 10 20 30 40 50 60 70 Figur 6: Det är inte lätt att se vilken som är vilken. Omkring år 2020 skiljer några av modellerna sig åt med cirka en miljard. Så alla kan inte vara lika bra. y(50) ger världens folkmängd år 2000 och y (50) hastigheten med vilken folkmängden växer per år, given i miljoner människor/år. Vi beräknar nu dessa värden för samtliga funktioner. Derivatan bestämmer vi med hjälp av y (50) y(50.001) y(50) 0.01 Funktion Folkmängd Tillväxt A 6067 98.7 B 6075 81.3 C 6023 79.1 Om funktion A är korrekt kommer verkligen en befolkningsexplosion att äga rum. Är B korrekt kommer det inte att finnas några människor kvar på jorden ungefär år 2130. Figur 7: Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge